文档文本内容
4.4 等比数列
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等比数列的概念............................................................. 2
考点二：等比中项......................................................................2
考点三：等比数列的通项公式....................................................... 2
考点四：等比数列的单调性.......................................................... 2
考点五：等比数列的判断（证明）..................................................2
考点六：等比数列常用性质.......................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：等比数列的定义和认识.................................................... 3
题型二：等比数列通项公式的应用..................................................3
题型三：等比中项......................................................................4
题型四：等比数列的判断与证明.................................................... 5
题型五：等比数列性质的应用....................................................... 6
题型六：等比数列子数列的性质及应用............................................7
题型七：构造等比数列求通项公式..................................................7
题型八：正项等比数列的对数成等差数列的应用................................ 8
题型九：等比数列的单调性.......................................................... 9
题型十：求等比数列的最值.......................................................... 9
题型十一：等比数列在传统文化中的应用....................................... 10
模块三：综合巩固....................................................................... 11
4.4 等比数列
模块一：基础知识
考点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(
0
q
)
符号语言
1
n
n
a
q
a
（或者
1
(
2)
n
n
a
q n
a
）( q 为常数，
0
q
，n
N
)
考点二：等比中项
如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，
b 成等比数列⇔
2
G
ab
.
考点三：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{
}
n
a
的第n 项
na 有公式
1
1
n
n
a
a q
.这就是等比数列{
}
n
a
的通项公式，其中
1a
为首项，q 为公比．
考点四：等比数列的单调性
已知等比数列{
}
n
a
的首项为
1a ，公比为q
1、当
1
0
1
a
q
或
1
0
0
1
a
q
时，等比数列{
}
n
a
为递增数列；
2、当
1
0
0
1
a
q
或
1
0
1
a
q
时，等比数列{
}
n
a
为递减数列；
3、当
1
q
时，等比数列{
}
n
a
为常数列（
0
na
）
4、当
0
q
时，等比数列{
}
n
a
为摆动数列.
考点五：等比数列的判断（证明）
1、定义：
1
n
n
a
q
a
（或者
1
(
2)
n
n
a
q n
a
）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证
2
1
2
n
n
n
a
a a
（特别注意
0
na
）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于n 的指数型函数（只可判断）
考点六：等比数列常用性质
设数列{
}
na
是等比数列，
n
S 是其前n 项和．
（1）
n m
n
m
a
a q
(2)若m
n
p
q
，则
m
n
p
q
a a
a a
，其中
, , ,
m n p q
N
.特别地，若
2
m
n
p
，则
2
m
n
p
a a
a
，其
中
, ,
m n p
N
.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
ka ，
k m
a
，
2
k
m
a
，…仍是等比数列，公比为
m
q ( ,k m
N
).
(4)若数列{
}
na
，{ }
nb
是两个项数相同的等比数列，则数列{
}
n
ba
，{
}
n
n
pa
qb
和{
}
n
n
pa
qb
(其中b ，p ，q
是非零常数)也是等比数列．
模块二：题型分类
题型一：等比数列的定义和认识
1．下列三个数依次成等比数列的是（
）
A．1，4，8
B．1
，2，4
C．9，6，4
D．4，6，8
2．下列数列一定是等比数列的是（
）
A．数列1，2，6，18，…
B．数列
na
中，
2
1
2
a
a
，
3
2
2
a
a
C．常数列a ，a ，…，a ，…
D．数列
na
中，
1
0
n
n
a
q q
a
3．下面四个数列中，一定是等比数列的是（
）
A．q，2q，4q，6q
B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q
D．1
q ，
2
1
q ，
3
1
q ，
4
1
q
题型二：等比数列通项公式的应用
1.在等比数列
na
中，
(1)已知
1
3
a ，
2
q =
，求
5a ；
(2)已知
1
1
a ，
2
q =
，
16
na
，求n ；
(3)已知
1
1
3
a
，
7
9
a
，求q；
(4)已知
3
2
q
，
4
27
a
，求
1a ．
2.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2
1
n
n
S
a
，则
na
.
3.已知数列{
}
na
的首项
1
1
a ，且
1
2
(
N,
1)
n
n
a
a
n
n
，那么
3a
；数列{
}
na
的通项公式为
na
.
4.已知数列
na
是公比为q 的等比数列．
(1)若
2
2
a
，
5
54
a
，求
na
的通项公式；
(2)若
1
125
a
，
0.2
q
，
4
3.2 10
na
，求n．
5.知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
n
n
S
a
，则数列
na
的通项公式为（
）
A．
2n
na
B．
2 n
na
C．
1
2n
na
D．
12
n
na
6.已知各项均为正数的等比数列
na
满足
1
1
a ，且
2
4
3
2
8
a a
a
，则
na
题型三：等比中项
1．数1 与4 的等差中项，等比中项分别是（
）
A．
5
2
，2
B．
5
2
，2
C．5
2 ，2
D．5
2 ，2
2.若a，G，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项．
(1)求45 和80 的等比中项；
(2)已知两个数
9
k 和6
k
的等比中项是2k，求k．
3.在等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
6
4
0
x
x
的两根，则
3
9
6
a a
a
（
）
A．2
B．2
C．2
或2
D．3
5
4.已知等差数列
na
的公差不为0，若
1a ，
3
a ，
6a 成等比数列，则这个等比数列的公比是（
）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．4
5.已知数列
na
是等比数列，函数
2
5
6
y
x
x
的零点分别是
2
10
,
a a ，则
6a （
）
A．2
B．
6
C．
3
D．
6
题型四：等比数列的判断与证明
1.如果数列
na
是等比数列，那么（
）
A．数列
lg
na
是等比数列
B．数列
2 n
a
是等比数列
C．数列
2
na
是等比数列
D．数列
n
na
是等比数列
2.函数
logk
f x
x
（k 为常数，
0
k
且
1
k ），数列
n
f a
是首项为4，公差为2 的等差数列，求证：
数列
na
是等比数列．
3.已知数列{
}
na
满足
1
2
a ，且
1
3
6
n
n
a
a
，求{
}
na
的通项公式．
4.在数列
na
中，
1
2
a
，
*
1
4
3
2,
N
n
n
a
a
n
n
．
(1)求证：
1
na
是等比数列；
(2)求数列
na
的通项公式．
5.已知数列
na
中
1
1
a ，
1
2
3
n
n
a
a
，
*
N
n
.证明：数列
3
na
是等比数列；
6．若数列
na
的通项公式为
1
2
n
na
，则（
）
A．数列
1
n
n
a
a
是首项为1
4 ，公比为1
2 的等比数列
B．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
4
，公比为
1
2
的等比数列
C．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
4
，公比为1
2 的等比数列
D．数列
1
n
n
a
a
是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列
题型五：等比数列性质的应用
1.等比数列
na
中，
3
7
15
8
6,
3
a a a
a
，则
9a （
）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．12
2.已知数列
na
是正项等比数列，数列
nb
满足
2
log
n
n
b
a
.若
12
2
5
8
2
a a a
，
1
2
3
9
b
b
b
b
（
）
A．24
B．32
C．36
D．40
3.在正项等比数列
na
中，
1 13
36
a a
，则
5
9
4
a
a
的最小值是（
）
A．12
B．18
C．24
D．36
4.在正项等比数列
na
中，
3
a 与
8a 是方程
2
30
10
0
x
x
的两个根，则
1
2
10
lg
lg
lg
a
a
a
.
5.已知数列{
}
na
是等差数列，数列{ }
nb
是等比数列，
7
9
4π
3
a
a
，且
2
6 10
8
b b b
，则
3
8
13
4 8
1
a
a
a
b b
（
）
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
6.已知在等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
13
14
0
x
x
的两个实数根，则
6a
．
7.正项等比数列
na
中，
3
6
4
a
a
，则
2
1
2
2
2
8
log
log
log
a
a
a
的值是
．
8．已知公比不为1 的正项等比数列
na
满足
2
*
3
,
N
m
n
a
a a
m n
，则4
1
m
n
的最小值为（
）
A．6
B．2
C．3
2
D．1
2
题型六：等比数列子数列的性质及应用
1．已知数列
na
满足
1
1
5,
2n
n
n
a
a a
，则
7
3
a
a （
）
A．4
B．2
C．5
D．5
2
2．已知数列
na
的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且
1
1
a ，2
2
a
，3
4
6
a
a
，5
6
11
a
a
，
则
7
8
a
a
（
）
A．16
B．18
C．19
D．20
3．实数a 、b 满足
0
a
b
，按顺序a 、
2
a
b
、b 、
ab 可以构成的数列（
）
A．可能是等差数列，也可能是等比数列
B．可能是等差数列，但不可能是等比数列
C．不可能是等差数列，但可能是等比数列
D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列
题型七：构造等比数列求通项公式
1.已知数列
na
，
1
1
a ，
1
2
1
2
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式为
.
2.已知数列
na
的首项
1
6
a
，且满足
1
1
4
2n
n
n
a
a
．求数列
na
的通项公式；
3.在数列{
}
na
中，
1
2
a
，
*
1
2
2(
)
n
n
a
a
n
N
(1)证明：数列{
2}
na
是等比数列；
(2)若
2
log (
2)
n
n
b
a
，
1
1
n
n
n
c
b b
，求数列{ }
nc
的前n 项和Sn．
4.已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2
n
n
a
a
a
，证明
1
na
为等比数列，并求
na
的通项公式.
5.数列
na
满足
1
1
1
1,
1
2
2
n
n
a
a
a
n
.
(1)若
2
n
n
b
a
，求证：
nb
为等比数列；
(2)求
na
的通项公式．
6.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
2
1
n
n
a
a
n
N
.
(1)写出该数列的前5项；
(2)求数列
na
的通项公式.
题型八：正项等比数列的对数成等差数列的应用
1．设
na
为等比数列，则“对于任意的
*
N
n
，
2
n
n
a
a
”是“
na
为递减数列”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知等差数列
na
的前项和为
n
S ，且
11
10
12
S
S
S
，若
2023 n
a
nb
，数列
nb
的前n项积为
nT ，则使
1
nT
的最大整数n 为（
）
A．20
B．21
C．22
D．23
3．等比数列
na
中，
1012
1
a
，
1011
1012
a
a
，则满足
1
2
1
2
1
1
1
0
n
n
a
a
a
a
a
a
的最大正整数n
为（
）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
题型九：等比数列的单调性
1．等比数列
na
公比为
1
q q
，1
0
a
，若
1
2
3
n
n
T
a a a
a
（n
N ），则“
1
q
”是“数列
nT
为递增数列”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设等比数列
na
的公比为q，前n 项积为
nT ，并且满足条件
1
1
a ，
6
7
1
a a ，
6
7
1
0
1
a
a
，则下列结论正
确的是（
）
A．
6
8
1
a a
B．0
1
q
C．
1
q
D．
nT 没有最大值
3．设等比数列
na
的公比为q，其前n项和为
n
S ，前n 项积为
nT ，且满足条件
1
1
a ，
2022
2023
1
a
a
，
2022
2023
1
0
1
a
a
，则下列选项不正确的是（
）
A．
na
为递减数列
B．
2022
2023
1
S
S
C．
2022
T
是数列
nT
中的最大项
D．
4045
1
T
题型十：求等比数列的最值
1．已知正项等比数列
na
满足
8
11
12
1
8,
4
4
a
a
a
，则
1
2
n
a a
a
取最大值时n 的值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
2．设等比数列{
}
na
的公比为q，其前n 项之积为
nT ，并且满足条件：
1
1
a ，
2019
2020
1
a
a
，
2019
2020
1
0
1
a
a
，
给出下列结论：①0
1
q
；②
2019
2021
1
0
a
a
；③
2019
T
是数列{ }
nT
中的最大项；④使
1
nT 成立的最大
自然数等于4039；其中正确结论的序号为（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
3．设数列
m
A
：1a ，2a ，…，
2
m
a
m
，若存在公比为q 的等比数列
1
m
B
：1b ，2b ，…，
1
m
b ，使得
1
k
k
k
b
a
b
，
其中
1
k ，2，…，m，则称数列
1
m
B
为数列
m
A
的“等比分割数列”.若数列
10
A
的通项公式为
2
1,2,
,10
n
na
n
，其“等比分割数列”
11
B
的首项为1，则数列
11
B
的公比q 的取值范围是（
）
A．
9
10
2 ,2
B．
10
11
2 ,2
C．
10
9
2,2
D．
11
10
2,2
题型十一：等比数列在传统文化中的应用
1.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出
了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单
音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．3 2 f
B．3
2
2 f
C．12
5
2 f
D．12
7
2 f
2.在第24 届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿
景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一
段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1 个图中的三角形的周长为3，则
第4 个图形的周长为
.
3.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），
沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续
以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1 三角形的边长为2，
则图4 被挖去的三角形面积之和是（
）
A．7 3
16
B．9 3
16
C．27 3
64
D．37 3
64
4.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1 将线段AB 等分为线段
,
,
AC CD DB，
如图2.以CD 为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD ，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2
的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3 的曲线.设线段AB 的长度为1，则图3 中曲线
的长度为（
）
A．2
B．16
9
C．64
27
D．3
模块三：综合巩固
1．在等比数列
na
中，
3
7
1,
9
a
a
，则
5a （
）
A．-3
B．3
C．3 或-3
D．1
3 或
1
3
2．已知等比数列
na
满足
5
1
3
1
3
a
a
a
a
，则
10
2
6
2
a
a
a
a
（
）
A．1
B．3
C．4
D．15
3．已知数列
na
是以2 为首项，1为公差的等差数列；
nb
是以1为首项，2 为公比的等比数列，则
1
2
3
4
b
b
b
b
a
a
a
a
（
）
A．18
B．19
C．30
D．34
4.设
na
是等比数列，且
1
3
3
a
a
，
3
5
6
a
a
，则
9
11
a
a
（
）
A．24
B．36
C．48
D．64
5.在等比数列
na
中，
1
8
a ，
4
64
a
，则q （
）
A．3
B．3
C．2
D．2
6.数列1，1，1，…，1，…必为（
）
A．等差数列，但不是等比数列
B．等比数列，但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
7.已知等比数列
na
的各项均为正数，若
2
1
a ，
8
6
4
2
3
a
a
a
，则
9a （
）
A．18 3
B．36 3
C．27
D．27 3
8.已知数列
na
满足
1
1
3
n
n
a
a
，若
4
5
4
a
a
，则
2
3
a
a
（
）
A．4
9
B．4
3
C．12
D．36
9．已知正项等比数列
na
中，
2
2023
4
a a
，则
2
1
2
2
2
2024
log
log
log
a
a
a
（
）
A．1012
B．2024
C．
1012
2
D．
2024
2
10．已知数列
na
各项均为正数，
1
3
a
，且有
1
2
3
n
n
a
a
，则
na （
）
A．
1
2
1
n
B．
3
2
1
n
C．
1
4
2
1
n
D．
1
2
2
1
n
11.已知公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1a ，
2
6
a
a
，
4a 成等比数列，则
10
20
S
S
（
）
A．1
20
B．1
22
C．3
20
D．3
22
12.分形几何是一门新兴学科，图1 是长度为1 的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得
到图2，称为一次分形；同样把图2 的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5 次
分形后图形长度为（
）
A．
10
2 27
B．13
381
C．
52
4 243
D．
451
5 729
13.正项等比数列
na
中，
3
1
2
2
a
a
a
，若
2
1
16
m
n
a a
a
，则4
1
m
n
的最小值等于（
）
A．1
B．3
5
C．13
6
D．3
2
14.（多选）已知数列
na
的首项为4，且满足
*
1
2(
1)
0
N
n
n
n
a
na
n
，则（
）
A．
na
n
为等差数列
B．
na
为递增数列
C．
na
n
为等比数列
D．
1
2
n
n
a
的前n 项和
2
2
n
n
n
T
15.(多选)下列命题中，正确的有（
）
A．数列
na
中，“
1
2
2,
n
n
a
a
n
n
N
”是“
na
是公比为2 的等比数列”的必要不充分条件
B．数列
na
的通项为
2
2
na
n
n
，若
na
为单调递增数列，则
4
C．等比数列
na
中，
2a ，
10
a 是方程
2
8
4
0
x
x
的两根，则
6
2
a
D．等差数列
na
，
nb
的前n 项和为分别为
n
S ，
nT ，若
5
7
15
13
S
T
，则
3
4
21
13
a
b
16.已知
1
1
a ，
1
3
2
N
n
n
a
a
n
，则通项公式
na
.
17.记等比数列
nb
的前n 项和为
nT ，且
3n
nT
a
，则
a
.
18.数列
na
的满足
1
3
a
，
*
1
2
1
N
n
n
a
a
n
，
2
log
1
n
n
b
a
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)将数列
nb
中去掉数列
na
的项后余下的项按原来的顺序组成数列
nc
，求数列
nc
的前50 项和
50
S ．
19.设各项都是正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a ，且
2
2
n
n
n
a
a
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
b ，
1
2
3
n
a
n
n
b
b
，求数列
nb
的通项公式．
