文档内容
备注：
第一篇给定了详细的备课教案和与之对应的简案稿，对于资
格证笔试教学设计，只需要掌握简案稿如何写即可。
第二篇是课上有小伙伴想要一篇关于直线方程的教案。给定
的是直线方程点斜式（特殊的斜截式）的详细教案稿~
《等比数列的前 n 项和》教案
一、教学目标
【知识与技能目标】
1.理解等比数列的前n项和公式的推导方法；
2.掌握等比数列的前n项和公式及其应用。
【过程与方法目标】
通过自主探究、小组讨论公式的推导过程，培养观察、思考和解决问题的能力，加强特
殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。
【情感态度价值观目标】
通过创设情景，激起学习的好奇心与求知欲，体会数学的美和与生活的密切联系。
二、教学重难点
【重点】
学生理解并掌握等比数列的前n项和公式的基本应用。
【难点】
学生掌握等比数列前n项和公式的推导及成立条件。
三、教学方法
引导发现法、合作探究法、直观演示法。
四、教学过程
环节一：复习旧知，故事导入
同桌交流等比数列的定义，公式与性质，并回忆等差数列求和公式的推导过程。通过多媒体设备呈现棋盘放麦粒的故事，激发学生学习的兴趣，引导学生利用等比数列的性质进行
列式，并通过初步渗透“错位相减”的思想方法，达到解决最终问题的目的。
师：国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，谁知道这个故事呢？
PPT展示故事：
国王问发明者想要什么，发明者回答，请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2
个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是
前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求。
师：假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计，你认为国王
能不能满足他的要求？请学生思考计算方法并在练习本上尝试计算。请一位学生板演列式并
解释每一项的意义。
生：每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，所以是首项为1公比为
2的等比数列，共64项，麦粒总数为1+2+22+…+263。
师：这位同学能够利用已经掌握的知识解决实际问题，非常值得大家学习。那么如何计
算这个式子结果呢？记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，若
给每一项都乘2，那么得到的新式子与原式相比较，中间有62项是对应相等的，作差是否
会得到什么启发呢？请同学们前后四人为一个数学小组，利用3分钟的时间交流讨论，根据
思路进行计算，并思考国王能否实现诺言。我请小组代表来展示你们的计算过程和答案。
生：S=1+2+22+23+…+2 63 ①
2S=2+22+23+…+263+264 ②
②-①得2S-S=2 64-1
师：计算过程完整，结果准确，请坐。264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒
麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨，而目前世界年度小麦产量约60
亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。国王的故事表明他的数学知识有所欠缺，今天我们就
对等比数列的前n项和的知识进行探索。
环节二：探索新知
帮助学生总结分析与解决问题的思想方法，告知学生刚才所用的数学思想方法称为“错
位相减法”，同时通过将“错位相减法”应用于等比数列求和公式的过程，加深学生对这种
方法的理解。
师：刚才在解决国王的故事这个问题的过程中，蕴含着一个既特殊又重要的处理问题的
方法，即“错位相减，消除差别”，我们称之为“错位相减法”。那么在解决等比数列的一般
情形时，我们可以使用“错位相减法”吗。刚才我们已经复习了等比数列以及前n项和的概
念与公式，请同学们看黑板，对于等比数列它的前n项和是 S
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n
，若
将每一项都用首项与公比相乘的形式表示出来，则S 可以写成这样的形式（师板书）
n
S
n
= a
1
+ a
1
q + a
1
q 2 + + a
1
q n − 1 ①
师：接下来请小组合作完成第二个等式并利用错位相减法得出结果。
引导小组合作探究，参与等比数列求和公式的推导过程，利用错位相减法推出等比数列
求和的一般公式，教师引导学生思考公式中公比的取值范围，从而总结归纳出完整的公式。
生： q S
n
= a
1
q + a
1
q 2 + a
1
q n − 1 + a
1
q n ②
两式相减，有 (1 − q ) S
n
= a
1
− a
1
q n
，
a (1−qn)
如果q 1，则有S = 1
n 1−q
师：这组代表的答案完全正确。请大家思考当q=1时，它的前n项和是什么结果。
生：如果q=1，则S =na ，等比数列的各项相等，相当于常数列，它的前n项的和等于
n 1它的任一项的n倍。
师：考虑问题非常细致。我们一起来归纳总结（师板书）
S n =
n
a
a
1
，1
( 1
1
−
−
q
q
q
=
n
1
)
,
， q 1
或
n
a
a
1
1
，1
−
−
q
a
n
q
=
q
1
，
,
q 1
多媒体展示例题，让学生尝试利用等比数列的前n项和公式解题，通过板演步骤发现问
题，并提醒学生在计算过程中需要注意的细节。
PPT展示例题：
求等比数列的前8项和： a
1
= 2 7 ， a
9
=
2
1
4 3
， q 0
师：求前8项和需要什么条件，请一位同学阐述他的思路并板演解题步骤。
生：需要根据 a
9
与 a
1
的值求出公比q，再用公式即可。
由 a =27，
1
a
9
=
2
1
4 3
，可得 q 8 =
a
a
9
1
=
2 4 3
1
2 7
1
，又由q 0，可得q=− ,于是当 n
3
＝8时， S
8
=
a
1
(1
1
−
−
q
q
8
)
=
1
2 7
(1
1
−
−
2
(
4
−
31
3
1
)
2 7
)
=
1 6
8
4
1
0
师：步骤十分细致完整。另外大家在书写公式时要注意， q n 中的n不要写在括号外。
环节三：巩固练习
通过板演练习题目，进一步加强学生对公式的理解与应用。
师：请两位同学板演教材第66页的练习1、2、3题，其他同学在练习本上完成，小组
内进行评议。
师：刚才我在巡视的过程中发现大家的解题步骤都比较完整，板演的两位同学也注意到
了老师刚才强调的细节，说明大家对本节内容已经掌握了，同学们的学习能力和解决问题的
能力都很强，值得表扬。
环节四：课堂小结
小组讨论并总结本节课的收获。
1.等比数列前n项和公式的推导，且在推导过程中，学习了“错位相减法”；
2.等比数列前n项和公式的应用，公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要
知道其中的3个，才能求出另外一个量。而公式有两种形式，在应用中应该根据所给的条件，
适当选择公式的运用；
3.两个注意：在使用等比数列求和公式时，注意q的取值，这是首先要考虑的问题，其
次要注意n大于1的取值。
环节五：布置作业
1.阅读课本64页例题3内容并完成思考题；
2.用其他方法证明等比数列前n项和公式。《等比数列的前 n 项和》简案（资格证版）
一、教学目标
【知识与技能目标】
理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式及其应用。
【过程与方法目标】
通过自主探究、小组讨论公式的推导过程，培养观察、思考和解决问题的能力，加强特
殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。
【情感态度价值观目标】
通过创设情景，激起学习的好奇心与求知欲，体会数学的美和与生活的密切联系。
二、教学重难点
【重点】
学生理解并掌握等比数列的前n项和公式的基本应用。
【难点】
学生掌握等比数列前n项和公式的推导及成立条件。
三、教学方法
引导发现法、合作探究法、直观演示法。
四、教学过程
环节一：故事导入
教师活动：教师通过多媒体设备呈现棋盘放麦粒的故事，引导学生认真观察阅读故事后，
提出问题：假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计，你认为国
王能不能满足他的要求？如何列式？
学生活动：就老师提出的问题进行思考或讨论，得出：每个格子里放的麦粒都是前一个
格子里放的麦粒数的2倍，所以是首项为1公比为2的等比数列，共64项，麦粒总数为
1+2+22+…+263。
教师活动：教师顺势提问如何计算结果？引发学生的思考，导入新课——等比数列前n
项和公式。
设计意图：采用故事导入，提高学生的学习兴趣，达到“课未始，兴已浓”的状态，同
时通过提问启发式问题，激发学生的学习动机，引发学生的思考，进而引入新课的学习。
环节二：探索新知
1.探究方法
教师活动：是否可以有一种简便方法计算上面的式子呢？老师给与大家提示。如果记
S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，若给每一项都乘2，那么得
到的新式子与原式相比较，中间有62项是对应相等的，作差是否会得到什么启发呢？请同
学们前后四人为一个数学小组，利用3分钟的时间交流讨论，讨论过程中老师进行巡视指导。讨论结束后小组代表来展示你们的计算过程和答案。针对回答结果给予评价。
学生活动：S=1+2+22+23+…+2 63 ①
2S=2+22+23+…+263+264 ②
②-①得2S-S=2 64-1
教师活动：计算过程完整，结果准确，。264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千
粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨，而目前世界年度小麦产量约60
亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。
刚才在解决国王的故事这个问题的过程中，蕴含着一个既特殊又重要的处理问题的方法，
即“错位相减，消除差别”，我们称之为“错位相减法”。
2.得出公式
教师活动：在解决等比数列的一般情形时，我们可以使用“错位相减法”吗。也就是对
于等比数列它的前n项和是 S
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n
，若将每一项都用首项与公比相乘的
形式表示出来，则S 可以写成这样的形式。
n
S
n
= a
1
+ a
1
q + a
1
q 2 + + a
1
q n − 1 ①
接下来请先独立思考，然后小组合作完成第二个等式并利用错位相减法得出结果。
学生活动： q S
n
= a
1
q + a
1
q 2 + a
1
q n − 1 + a
1
q n ②
两式相减，有 (1 − q ) S
n
= a
1
− a
1
q n
，
如果 q 1 ，则有 S
n
=
a
1
(1
1
−
−
q
q
n )
教师活动：答案完全正确。请大家思考当q=1时，它的前n项和是什么结果。
学生活动：如果q=1，则S =na ，等比数列的各项相等，相当于常数列，它的前n项的
n 1
和等于它的任一项的n倍。
教师活动：教师归纳总结并板书。
S n =
n
a
a
1
，1
( 1
1
−
−
q
q
q
=
n
1
)
,
， q 1
或
n
a
a
1
1
，1
−
−
q
a
n
q
=
q
1
，
,
q 1
3.例题讲解
教师活动：PPT展示例题：
求等比数列的前8项和： a
1
= 2 7 ， a
9
=
2
1
4 3
， q 0 ，求前8项和需要什么条件，请
一位同学阐述他的思路并板演解题步骤。
学生活动：需要根据a 与a 的值求出公比q，再用公式即可。
9 1
1 a 1 1
由 a =27，a = ，可得q8 = 9 = ，又由q 0，可得q=− ,于是当 n
1 9 243 a 24327 3
1
＝8时， S
8
=
a
1
(1
1
−
−
q
q
8
)
=
1
2 7
(1
1
−
−
2
(
4
−
31
3
1
)
2 7
)
=
1 6
8
4
1
0
教师活动：评价并总结。
设计意图：通过设置问题，层层提问，利用提问法和引导法引导学生进行问题的思考并
进一步的讨论，体现了教师的主导性作用；学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，
进行问题的探究，提高学生之间的合作交流意识、语言表达和信息共享意识，为提高解决问题的能力奠定基础，这也是体现学生主体性作用的一种重要学习方法。
环节三：巩固练习
教师通过多媒体展示不同类型不同层次的练习题目，引导学生独自思考并作答，或者找
同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。
设计意图：通过设置不同层次的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也使学生
思维能力得到有效提高，能更好的将知识学以致用，找学生代表去黑板练习，这也充分体现
学生的主体性地位。最后针对练习结果，进行统一订正，并对他们的表现作出及时的评价，
亦体现课程评价在课堂中的合理应用。
环节四：课堂小结
教师引导学生可以从知识方面，能力方面或情感等方面畅谈本节课的收获，针对学生的
回答，相机评价并总结。
设计意图：在小结环节采用先让学生自评，接着让学生互评，最后教师表扬全班学生，
不仅是为了检验学生对本节课重点内容的清楚认识，更能进一步增强学生的自信心和荣誉感，
使他们更加热爱数学。
环节五：布置作业
1.阅读课本64页例题3内容并完成思考题；
2.用其他方法证明等比数列前n项和公式。
设计意图：对本节课知识的再巩固，再认识。
《直线的点斜式方程》教案（详稿）
一、教学目标
【知识与技能目标】
1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；
2.掌握直线的点斜式和斜截式方程；
3.能应用点斜式方程解决实际问题。
【过程与方法目标】
1.学生通过独自探究和小组讨论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出
直线的方程；
2.培养提出问题，分析问题解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】
通过本节课的学习，激起学习的好奇心与求知欲，体会数学的美和与生活的密切联系。
二、教学重难点【教学重点】
学生知道直线的点斜式、斜截式方程，理解并掌握其推导过程，并运用该知识解决实际
问题。
【教学难点】
理解并掌握直线的点斜式、斜截式方程的适用范围。
三、教学方法
启发式教学法、探索式教学方法、自主合作交流法。
四、教学过程
环节一:温故知新、导入新课
教师引导学生思考.直线的倾斜角与斜率,倾斜角的取值范围是什么？
生：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向
旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和轴平行或重
合时，我们规定直线的倾斜角为0°。
倾斜角的取值范围是[0°，180°），倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率，常用k=tanθ表示。
师：强调 ① 当直线和轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；
② 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°）；
③ 倾斜角是90°的直线没有斜率。
教师引导学生总结斜率公式，斜率公式的形式特点及适用范围。
生：斜率公式 k =
y
x
1
1
−
−
y
x
2
2
（ x
1
x
2
）
斜率公式的形式特点：
① 斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时
颠倒；
② 斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而
不需求出直线的倾斜角；
③ 斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用。
教师引导学生通过讨论，思考：确定一条直线需要具备几个独立条件？
学生可能的回答：
（1）两个点P （x ，y ），P （x ，y ）；
1 1 1 2 2 2
（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；
（3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）。
环节二：提出问题、思考探索探究 1：设点P (x ，y )为直线上的一定点，那么直线上不同于
0 0 0
P
0
的任意一点
P ( x ， y ) 与直线的斜率 k 有什么关系？
例如一个点p(0，3)和斜率为k＝2就能确定一条直线。
探究2：直线的点斜式方程：
已知直线l上一点P (x ，y )与这条直线的斜率k，设P(x，y)为直线上的任意一点，
0 0 0
我们能否将直线上所有点的坐标 P ( x ， y ) 满足的关系表示出来？
教师引导学生总结公式，并指明公式中的斜率k必须存在。
思维拓展：
① 经过点 P
0
( x
0
， y
0
) 且平行于 x 轴（即垂直于 y 轴）的直线方程是什么？x 轴所在
直线的方程是什么？
② 经过点 P
0
( x
0
， y
0
) 且平行于 y 轴（即垂直于 x 轴）的直线方程是什么？ y 轴所在
直线的方程是什么？
环节三:合作探究、巩固成果
例1．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程。
解：根据直线的点斜式方程，得直线l的方程为y-b=k(x-0)，即y=kx+b
师：介绍截距和斜截式方程的概念。
说明: (1)这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距来确定的方程，因此叫做直线
的斜截式方程；
(2)我们称b为直线l在y轴上的截距。
(3)斜截b可以大于0，也可以等于或小于0。
例2：（课本例2）已知直线 l1 : y = k
1
+ b
1
， l
2
: y = k
2
+ b
2
，试讨论：（1）l //l 的
1 2
条件是什么？（2）l ⊥l 的条件是什么？
1 2
分析：回忆3.1.2中用斜率判断两条直线平行、垂直的结论。思考（1）l //l 时，
1 2
k
1
, k
2
； b
1
, b
2
有何关系？（2） l1 ⊥ l
2
时， k
1
, k
2
； b
1
, b
2
资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
有何关系？
练习：教材95页第1，2，3，4
教师请学生板演详解，展示解题过程，教师巡视，观察学生讨论情况并点评。
环节四:总结反思、共同提高
小结：
（1）直线的点斜式和斜截式方程形式特点和适用范围。
（2）转化与化归的思想与数形结合思想的应用闪光点。资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
环节五:布置作业
课后作业：1.课本第100页第1题中的1，2，3小题
2.选做拓展练习：《自主探究》3，5，6
