3.7 圆锥曲线中定点定直线问题
模块一:基础知识.........................................................................2
考点一:圆锥曲线中定点问题的思路与策略......................................2
考点二:直线过定点问题............................................................. 2
考点三:圆过定点问题................................................................ 2
考点四:与定点问题有关的基本结论...............................................3
考点五:定直线问题的处理方法.................................................... 3
模块二:题型分类.........................................................................4
题型一:椭圆中直线过定点问题.................................................... 4
题型二:双曲线中直线过定点问题................................................12
题型三:抛物线中直线过定点问题................................................18
题型四:圆锥曲线中动圆过定点...................................................22
题型五:椭圆中定直线问题........................................................ 28
题型六:双曲线中定直线问题......................................................36
题型七:抛物线中定直线问题......................................................43
题型八:圆锥曲线中定曲线问题...................................................49
模块三:综合巩固....................................................................... 52
3.7 圆锥曲线中定点定直线问题
模块一:基础知识
考点一:圆锥曲线中定点问题的思路与策略
1.处理定点问题的思路:
(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )
(2)利用条件找到k 与过定点的曲线
,
0
F x y
的联系,得到有关k 与,x y 的等式
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点
0
0
,
x
y
,使得无论k 的值如何变化,等式恒成立。此时要将关于k
与,x y 的等式进行变形,直至易于找到
0
0
,
x
y 。常见的变形方向如下:
①若等式的形式为整式,则考虑将含k 的项归在一组,变形为“
k
”的形式,从而
0
0
,
x
y 只需要先
让括号内的部分为零即可
②若等式为含k 的分式,
0
0
,
x
y 的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关;或
者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择
容易观察到的形式)
2.圆锥曲线过定点问题处理方法
(1)参数无关法
把直线或者曲线方程中的变量x,y 当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程
就要对任意参数都成立,这时的参数的系数就要全部为零,这样就得到一个关于x,y 的方程组,这个方
程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
(2)特殊到一般法
根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关。
(3)关系法
对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题,可设直线(或曲线)上
两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标满足方程(组),求出相应的直线(或曲线),
然后再利用直线(或曲线)过定点的知识求解。
考点二:直线过定点问题
1.直线过定点问题的解题模型
2.求解动直线过定点问题,一般可先设出直线的一般方程:y
kx
b
,然后利用题中条件整理出,k b 的关
系,若
,
b
km
n m n
为常数,代入y
kx
b
得
y
k x
m
n
,则该直线过定点
,
m n
。
考点三:圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P,求解思路是把问题转化为PA
PB
,也可以转化
为
0
PA PB
考点四:与定点问题有关的基本结论
1.若直线l 与抛物线
2
2
y
px
交于点
,
A B ,则OA
OB
直线l 过定点
2 ,0
P
p
;
2. 若直线l 与抛物线
2
2
y
px
交于点
,
A B ,则
OA
OB
k
k
m
直线l 过定点
2 ,0
P p
m
p
;
3.设点
2
0
0
2
,2
P
pt
pt
是抛物线
2
2
y
px
上一定点,
,
M N 是该抛物线上的动点,则PM
PN
直线MN 过
定点
2
0
0
2
2
, 2
Q
p
pt
pt
。
4.设点
0
0
,
A x y
是抛物线
2
2
y
px
上一定点,
,
M N 是该抛物线上的动点,则
AM
AN
k
k
m
直线MN 过定
点
0
0
2
,
p
P x
y
m
;
5.过椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点
,
A B ,则PA
PB
直
线AB 过点
2
2
2
2
,0
a a
b
Q
a
b
;
6.过椭圆
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点
,
A B ,则PA
PB
直
线AB 过点
2
2
2
2
,0
a a
b
Q
a
b
;
7.设点
,
P m n 是椭圆C:
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若
0
PA
PB
k
k
,则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
;
8. 设点
,
P m n 是双曲线C:
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点
考点五:定直线问题的处理方法
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题这类问题的核心在于确定定点的
轨迹,主要方法有:
(1)设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;
(2)待定系数法:设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数;
(3)验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证
模块二:题型分类
题型一:椭圆中直线过定点问题
1.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的左、右焦点分别为F1, F2,F1F2 = 4,过F2的直线l 与椭圆C 交于
P,Q 两点,△PQF1的周长为8 2.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)如图,点A,F1分别是椭圆C 的左顶点、左焦点,直线m 与椭圆C 交于不同的两点M,N(M,N 都在x
轴上方).且∠AF1M = ∠OF1N.证明直线m 过定点,并求出该定点的坐标.
【解题思路】(1)由焦距和焦点三角形的周长求出�, �, �,得椭圆C 的方程;
(2)设直线l 方程为�= ��+ �,代入椭圆方程,设���, ��, ���, ��,韦达定理表示出根与系数的关
系,由∠����= ∠����,得����=−����,利用斜率公式结合韦达定理化简得�= ��,可得直线l 过定
点−�, �.
【解答过程】(1)设椭圆C 的焦距为2c,由题意知����= ��= �,解得c=2.
由椭圆的定义知,△����的周长为��= ��,∴�= ��,故��= �.
∴椭圆C 的方程为
��
�+
��
�= �.
(2)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设直线l:�= ��+ �,���, ��, ���, ��,
把直线方程代入椭圆方程,整理可得�+ �����+ ����+ ���−�= �,
�= ����−��+ �> �,即���−��+ �> �,∴��+ ��=−
���
�+���, ����=
���−�
�+���.
∵����=
��
��+�, ����=
��
��+�,M,N 都在x 轴上方,且∠����= ∠����,∴����=−����.
∴
��
��+�=−
��
��+�,即����+ �=−����+ �.
将��= ���+ �, ��= ���+ �代入,
整理可得������+ ��+ �
��+ ��+ ��= �,又����=
���−�
�+���, ��+ ��=−
���
�+���,
即����−���−����−����+ ����+ ��= �,整理可得�= ��,
∴直线l 为�= ��+ ��= ��+ �.∴直线l 过定点−�, �.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
1,0
F
,A、B 分别是椭圆C 的左、右顶点,P 为椭圆C 的
上顶点,PAB
的面积为
2 .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线:l y
kx
m
与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,点
2,0
Q
,若直线MQ 的斜率与直线NQ 的斜率
互为相反数,求证:直线l 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
;(2)证明见解析
【解析】(1)由题知
1
c ,
,0
A
a
,
,0
B a
,
0,
P
b ,
由PAB
的面积为
2 ,得
2
ab =
,
又
2
2
2
a
b
c
,代入可得
2
2
a
,
2
1
b ,∴椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
.
(2)联立
2
2
,
1,
2
y
kx
m
x
y
得
2
2
2
2
1
4
2
2
0
k
x
kmx
m
,
设
1
1
,
M x y
,
2
2
,
N x
y
,可得
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
,
2
1
2
2
2
2
2
1
m
x x
k
,
由题知
0
MQ
NQ
k
k
,
即
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
0
2
2
2
2
2
2
kx x
m
k
x
x
m
y
y
kx
m
kx
m
x
x
x
x
x
x
,
即
1
2
1
2
2
2
4
0
kx x
m
k
x
x
m
,解得k
m
,
∴直线l 的方程为
1
y
k x
,故直线l 恒过定点
1,0 .
3.已知点
1
1,0
F
,
2 1,0
F
,曲线C 上的动点M 满足
1
2
1
2
2
MF
MF
F F
.
(1)求曲线C 的方程;
(2)若直线
1
MF 与曲线C 相交于另一点N,当直线MN 不垂直于x 轴时,点M 关于x 轴的对称点为P,证明:
直线PN 恒过一定点.
【分析】(1)由题意得出
1
2
1
2
4
MF
MF
F F
,根据椭圆的定义可知曲线C 是以
1F ,
2
F 为焦点,长轴长
为4 的椭圆,从而可求出椭圆方程;
(2)设直线MN 的方程为
1
y
k x
或
1
x
ty
,把直线方程与椭圆方程联立,消元,写韦达;根据点M
的坐标写出点P 的坐标,从而求出直线PN 的方程,证明直线PN 与x 轴的交点为定点即可.
【解析】(1)因为
1
2
2
F F
,
1
2
1
2
4
MF
MF
F F
,
所以曲线C 是以
1F ,
2
F 为焦点,长轴长为4 的椭圆,
所以
2
a
,
1
c ,
2
2
3
b
a
c
.
所以曲线C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
(2)解法一:因为直线MN 不与x 轴垂直,所以设直线MN 的方程为
1
y
k x
由
2
2
1
1
4
3
y
k x
x
y
,得
2
2
2
2
3
4
8
4
3
0
k
x
k x
k
,
因为点
1F 在曲线C 内,所以
0
恒成立,
设
1
1
,
M x y ,
2
2
,
N x
y
,则
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
,
2
1
2
2
4
3
3
4
k
x x
k
.
因为点P 与点M 关于x 轴对称,所以
1
1
,
P x
y
.
所以直线PN 的斜率
2
1
2
1
PN
y
y
k
x
x ,直线PN 的方程是
2
1
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
.
令
0
y
,得
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
x
x
y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
2
1
1
2
2
1
1
1
2
x
k x
x k x
k x
x
1
2
1
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
4
3
8
2
3
4
3
4
4
8
2
3
4
k
k
k
k
k
k
.
所以此时直线PN 过定点
4,0
.
当直线MN 与x 轴重合时,直线PN 为x 轴,显然过点
4,0
.
综上所述,直线MN 恒过定点
4,0
.
解法二:当MN 不与x 轴重合时,设直线MN 的方程为
1
x
ty
,
由
2
2
1
1
4
3
x
ty
x
y
,得
2
2
3
4
6
9
0
t
y
ty
,
2
2
2
6
4
3
4
9
144
1
0
t
t
t
.
设
1
1
,
M x y ,
2
2
,
N x
y
,设
1
2
2
6
3
4
t
y
y
t
,
1
2
2
9
3
4
y y
t
.
因为点P 与点M 关于x 轴对称,所以
1
1
,
P x
y
.
所以直线PN 的斜率
2
1
2
1
PN
y
y
k
x
x ,直线PN 的方程是
2
1
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
令
0
y
,得
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
ty
ty
y
x
x
y
x
x
ty
y
y
y
y
1
2
2
1
2
1
ty y
y
y
2
2
9
2
3
4
1
4
6
3
4
t
t
t
t
,
所以此时直线PN 过定点
4,0
.
当直线MN 与x 轴重合时,直线PN 为x 轴,显然过点
4,0
.
综上所述,直线MN 恒过定点
4,0
.
4.椭圆C 的焦点为
1
2,0
F
,
2
2,0
F
,且点
2,1
M
在椭圆C上.过点
0,1
P
的动直线l 与椭圆相交
于A,B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D(不同于点A).
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)证明:直线AD 恒过定点,并求出定点坐标.
【分析】(1)计算
1
2
2
4
a
MF
MF
,得到椭圆方程.
(2)考虑斜率存在和不存在两种情况,联立方程得到根与系数的关系,通过特殊直线得到定点为
2
(0 )
Q
,,
再计算斜率相等得到证明.
【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
,
由已知得
2
2
1
2
2,2
2
2
1
2
2
1
4
c
a
MF
MF
.
所以
2
a
,
2
2
2
2
b
a
c
,所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
.
(2)
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为
1(
0)
y
kx
k
.
由
2
2
1
4
2
1
x
y
y
kx
得
2
2
(2
1)
4
2
0
k
x
kx
.
设
1
1
(
,
)
A x y
,
2
2
(
,
)
B x
y
,
2
2
(
,
)
D
x
y
,则
2
2
1
2
2
1
2
2
Δ
16
8 2
1
0
4
2
1
2
2
k
k
k
x
x
k
x x
k
x
,
特殊地,当A 的坐标为(2 )
0
,时,
1
2
k
,所以
2
4
2
3
x
,
2
2
3
x
,
1
4
3
y
,
即
2 4
,
3 3
B
,所以点B 关于y 轴的对称点为
2 4
,
3 3
D
,则直线AD 的方程为
2
y
x
.
当直线l 的斜率不存在时,直线AD 的方程为
0
x
.
如果存在定点Q 满足条件,则为两直线交点
2
(0
)
Q
,,
1
1
1
1
1
2
1 1
1
QA
y
y
k
k
x
x
x
,
2
2
2
2
1
QD
y
k
k
x
x
,
又因为
1
2
1
2
1
2
1
1
2
(
)
2
2
2
0.
QA
QD
x
x
k
k
k
k
k
k
x
x
x x
所以
QA
QD
k
k
,即
,
,
A D Q三点共线,故直线AD 恒过定点,定点坐标为(0 )
2
,.
5.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
1
2,依次连接四个顶点得到的图形的面积为4 3.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过直线x = 4 上一点P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为M, N,求证:直线MN 过定点.
【解题思路】(1)根据离心率和四边形面积得到方程组,求出�= �, �=
�,得到椭圆方程;
(2)设�(�, �),�(��, ��),�(��, ��),设过点�(��, ��)且与椭圆相切的直线方程,联立椭圆方程,得到
两根之和,两根之积,根据�= �结合
���
�+
���
�= �求出�=
���
���,求出以�为切点的椭圆�的切线方程为
���
�+
���
�= �,同理得到以�为切点的椭圆�的切线方程,得到直线��的方程为��+ ��−�= �,直线��过定
点���, �.
【解答过程】(1)由题可得�=
�
�=
�
�,即
��
��=
�
�,
��−��
��
=
�
�,得
�
�=
�
�①,
依次连接四个顶点得到的图形的面积为��,即
�
�× ��⋅��= ��,即��= ��②,
由①②可得�= �, �=
�,
∴椭圆�的方程为:
��
�+
��
�= �.
(2)设�(�, �),�(��, ��),�(��, ��),
由题知,直线�= �上一点�作椭圆�的两条切线斜率存在,
设过点�(��, ��)且与椭圆相切的直线方程为:�−��= �(�−��),
∴联立方程
�−��= �(�−��)
��
�+
��
�= �
得�+ �����+ ��(��−���)�+ �(��−���)�−��= �,
∴�= ����(��−���)�−�(�+ ���)[�(��−���)�−��] = �,
整理得��−����−(�+ ���) = �,即(���−�) −������+ ��(���−�) = �,
∵�(��, ��)在椭圆上,∴
��
�
�+
��
�
�= �,即��
�−�=
���
�
�,��
�−�=−
���
�
�,
∴−
���
�
�−������−��⋅
���
�
�= �,即���
�+ �������+ ������
�= ���+ �����= �,
∴���+ ����= �,解得�=
���
���,
∴过点�(��, ��)且与椭圆相切的直线方程为:�−��=
���
���(�−��),
∵
��
�
�+
��
�
�= �,即���
�+ ���
�= ��,
∴整理可得以�为切点的椭圆�的切线方程为
���
�+
���
�= �,
同理,以�为切点的椭圆�的切线方程为
���
�+
���
�= �,
又两切线均过点�,故
���
�+
���
�= �,且
���
�+
���
�= �,
整理化简得���+ ���−�= �,且���+ ���−�= �,
∴点�(��, ��),�(��, ��)均在直线��+ ��−�= �上,
∴直线��的方程为��+ ��−�= �,直线��过定点���, �.
6.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ,点
0, 1
M
是椭圆的一个顶点,
1
2
F MF
△
是等
腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点M 分别作直线
,
MA MB 交椭圆于
,
A B 两点,设两直线的斜率分别为
1
2
,
k k ,且
1
2
4
k
k
,求证:
直线AB 过定点
1 ,1
2
.
【分析】(1)根据题意列方程组求得,a b ,即可得到椭圆的标准方程;
(2)设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,分直线AB 斜率存在与不存在两种情况证明.
当直线AB 的斜率存在时,设AB :y
kx
m
,联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
2
1
,
,
2
1
2
1
km
m
k
m
x
x
x
x
k
k
,由
1
2
4
k
k
求得
1
2
k
m
,代入直线方程可证得直线过定
点
1 ,1
2
,再考虑直线AB 的斜率不存在时情况,易证得结果.
【解析】(1)由题意可得
2
2
2
1
b
c
b
a
b
c
,解得
2,
1,
a
b
所以椭圆的方程为
2
2
1
2
x
y
.
(2)设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
.
①当直线AB 斜率存在时,设直线AB 方程为y
kx
m
,
联立
2
2
1
2
y
kx
m
x
y
得
2
2
2
2
1
4
2
2
0
k
x
kmx
m
.
由
2
2
2
2
2
2
Δ
16
4 2
1 2
2
8 2
1
0
k m
k
m
k
m
,得
2
2
2
1
k
m
.
所以
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
,
2
1
2
1
km
m
x
x
x
x
k
k
.
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
y
y
kx
m
kx
m
k
k
x
x
x
x
1
2
1
2
2
1
4
x
x
k
m
x x
,
即
2
2
4
1
km
k
m
,所以
2
1
km
k
m
,即
2
1
2
2
km
k
m
km
k
m
,
所以
1
2
k
m
,所以
1
1
1
2
2
k
y
kx
m
kx
k x
,所以直线AB 过定点
1 ,1
2
.
②当直线AB 斜率不存在时,
1
1
1
1
,
,
,
A x y
B x
y
,则
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
4
y
y
k
k
x
x
x
,所以
1
1
2
x
,则直线
AB 也过定点
1 ,1
2
.
综合①②,可得直线AB 过定点
1 ,1
2
.
7.已知椭圆C:
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ,
2
F .离心率等于
6
3
,点P 在y 轴正半轴上,
1
2
PF F
△
为直角三角形且面积等于2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知斜率存在且不为0 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时,
直线l 是否过定点?若过定点,求出此定点;若不过,请说明理由.
【解析】(1)根据题意,由对称性得
1
2
PF F
△
为等腰直角三角形,且
1
2
90
F PF
,
因为
1
2
PF F
△
的面积等于2 ,所以
1
2
2 2
F F
,即
2
c
,
因为椭圆C的离心率等于
6
3
,即
6
2
3
e
a
,解得
3
a
,
所以
2
2
2
1
b
a
c
,
所以椭圆C的标准方程为:
2
2
1
3
x
y
.
(2)由(1)得
0,
2
P
,
设直线l 的方程为
0
y
kx m k
,
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,
因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上,
所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数,即
0
PB
PA
k
k
,
因为
1
2
1
2
2
2
,
AP
BP
y
y
k
k
x
x
,所以
1
2
1
2
2
2
0
y
y
x
x
,
整理得
2
1
1
2
(
2)
(
2)
0
x
y
x y
又因为
1
1
2
2
,
kx
m y
kx
m
y
,所以
1
2
1
2
2
2
0
kx x
m
x
x
,
由
2
2
3
3
y
kx
m
x
y
消去y 得
2
2
2
(3
1)
6
3
3
0,
k
x
kmx
m
所以
0
,即
2
2
3
1
m
k
,
2
1
2
1
2
2
2
6
3
3
,
,
3
1
3
1
km
m
x
x
x x
k
k
所以
2
2
2
3
3
6
2
(
2) (
)
0
3
1
3
1
m
mk
k
m
k
k
,
整理得
2
2
(3
3)
6
(
2)
0,
k
m
mk m
由于
0
k
,故解方程得
2
2
m
,
此时直线l 的方程为
2
2
y
kx
,过定点
2
0, 2
所以直线l 恒过定点
2
0, 2
.
题型二:双曲线中直线过定点问题
1.已知圆M:
2
2
5
9
x
y
的圆心为M,圆N:
2
2
5
1
x
y
的圆心为N,一动圆与圆N 内切,与圆
M 外切,动圆的圆心E 的轨迹为曲线C.
(1)证明:曲线C 为双曲线的一支;
(2)已知点
2,0
P
,不经过点P 的直线l 与曲线C 交于A,B 两点,且
0
PA PB
.直线l 是否过定点?若过
定点,求出定点坐标:若不过定点,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)直线l 恒过定点,10
( 3 ,0)
【解析】(1)证明:由题意知圆M:
2
2
5
9
x
y
的圆心为
(
5,0)
M
,
圆N:
2
2
5
1
x
y
的圆心为
( 5,0)
N
如图,设圆E 的圆心为
( , )
E x y ,半径为r,
由题可得圆M 半径为3,圆N 半径为1,
则|
|
3
EM
r
,|
|
1
EN
r
,所以|
|
|
| 4 |
| 2 5
EM
EN
MN
,
由双曲线定义可知,E 的轨迹是以M ,N 为焦点、实轴长为4 的双曲线的右支
又
(
5,0)
M
,
( 5,0)
N
,所以动圆的圆心E 的轨迹方程为
2
2
1
4
x
y
,(
2)
x
,
即曲线C 的方程为
2
2
1
4
x
y
(
2)
x
.
(2)设直线l 的方程为x
my
t
,
联立
2
2
1,(
2)
4
x
my
t
x
y
x
,消去x 得
2
2
2
(
4)
2
4
0
m
y
mty
t
,
由题意直线与曲线有两个交点,则
2
4
0
m
,
2
2
16(
4)
0
m
t
,
设
1
( ,
A x
1)
y ,
2
(
,
B x
2)
y ,其中
1
2
x
,
2
2
x
,
由韦达定理得:
1
2
2
2
4
mt
y
y
m
,
2
1
2
2
4
4
t
y y
m
,
又点
(2,0)
P
,所以
1
(
2,
PA
x
1)
y ,
2
(
2,
PB
x
2)
y ,
因为
0
PA PB
,所以
1
2
1
2
(
2)(
2)
0
x
x
y y
,
则
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
2)(
2)
(
1)
(
2 )(
)
(
2)
my
t
my
t
y y
m
y y
mt
m y
y
t
2
2
2
2
2
(
1)(
4)
2
(
2 )
(
2) (
4)
0
4
m
t
mt mt
m
t
m
m
,
即
2
3
16
20
0
t
t
,解得
10
3
t
(
2
t
舍去),
当
10
3
t
,直线l 的方程为
10
3
x
my
,
1
2
m
,
故直线l 恒过点10
( 3 ,0) .
2.已知双曲线Ω: mx2 −ny2 = 1 经过点A(8,
7), B(4, −1).
(1)求Ω的离心率;
(2)设直线l: y = kx + b(k ≠0)经过Ω的右焦点,且与Ω交于不同的两点M, N,点N 关于x 轴的对称点为点
P,证明:直线PM 过定点.
【解题思路】(1)由两点坐标代入待定系数�, �求出双曲线方程,进而得离心率;
(2)设点�, �, �的坐标,联立直线与双曲线方程,结合韦达定理表示出��+ ��,����,坐标表示直线��
的方程,由对称性知直线若过定点必在�轴上,直线方程中令�= �,代入韦达定理化简可得横坐标为定值
即得证.
【解答过程】(1)由双曲线�: ���−���= �经过点�(�,
�), �(�, −�),
则有���−��= �
���−�= �,解得�=
�
�
�= �
,
即双曲线的标准方程为
��
�−��= �,则�= ��, �= �, �= �,
所以离心率�=
�
�=
�
��=
��
�,
故�的离心率为
��
�;
(2)由(1)知�的右焦点为(�, �),直线�: �= �(�−�),
设���, ��,���, ��,由点N 关于x 轴的对称点为点P,则���, −��,
联立
�= ��−�
��
�−��= �,得�−�����+ �����−����−�= �,
由题可知�−���≠�,即��≠
�
�,
且�= �����+ ��−���
����+ �= ���+ ��> �,
则
��+ ��=
����
���−�
����=
����+�
���−�
,
则直线��的直线方程为�−��=
��+��
��−���−��,
由对称性可知,直线��若过定点,则必在�轴上,
令�= �,得�=−��
��−��
��+��+ ��=
����+����
��+��
=
���−���+�����−�
���−�+���−�
=
������−����+��
���+��−��
当�≠�,且��≠
�
�时,
�=
�⋅����+�
���−�−�⋅����
���−�
����
���−�−�
=
�����+��−�����
����−����−�
=
�
�,
所以直线��过定点
�
�, �.
3.双曲线C:
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
,
0
b
)的一条渐近线l 的倾斜角为π
6 ,过左、右焦点
1F ,
2
F 分别作l
的垂线,两垂足间的距离为2 3.
(1)求双曲线C 的方程;
(2)过点P(1,0)且斜率不为0 的直线1l 与双曲线C 交于M,N 两点,记N 关于x 轴的对称点为Q,证明
直线MQ 过x 轴上的定点.
【解析】(1)依题意,渐近线l 为
b
y
x
a
,即
0
bx
ay
.
由
π
3
tan 6
3
b
a
,得
3
a
b
=
.
∵
1F ,
2
F 到渐近线l 的距离均为
2
2
bc
bc
b
c
b
a
,
1
2
OF
OF
c
,
∴两垂足间的距离为
2
2
2
2
2 3
c
b
a
,解得
3
a
,则
1
b .
∴双曲线C 的方程为
2
2
1
3
x
y
.
(2)依题意,得直线1l 的斜率存在且不为0.
设1l 为
1
y
k x
且
0
k
,代入双曲线C 的方程中,消去y,整理得
2
2
2
2
1 3
6
3
3
0
k
x
k x
k
.
∵直线1l 与双曲线C 交于两点,
∴
2
2
2
2
2
1 3
0
6
4 1 3
3
3
0
k
k
k
k
,解得
2
1
2
k
且
2
1
3
k
.
设
1
1
,
M x y ,
2
2
,
N x
y
(
1
2
x
x
),则
2
2
,
Q x
y
,
2
1
2
2
6
1 3
k
x
x
k
,
2
1
2
2
3
3
1 3
k
x x
k
,则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
MQ
k x
x
k
y
y
kx
k
kx
k
k
x
x
x
x
x
x
,
∴直线MQ 的方程为
1
2
1
1
1
2
2
k x
x
k
y
y
x
x
x
x
,
令
0
y
,则
1
1
2
1
1
2
2
y
x
x
x
x
k x
x
k
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
kx
k
x
x
k x
x
x
kx
k x
x
k
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
kx
kx x
kx
kx
kx
kx x
kx
k x
x
k
1
2
1
2
1
2
2
2
kx x
k x
x
k x
x
k
2
2
2
2
2
2
3
3
6
2
1 3
1 3
6
2
1 3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
3
3
3
3
6
6
6
3
6
2
6
k
k
k
k
k
k
.
∴直线MQ 过x 轴上的定点(3,0).
4.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的虚轴长为2 2,点P(3, −2)在C 上.设直线l 与C 交于A,B 两
点(异于点P),直线AP 与BP 的斜率之积为
1
3.
(1)求C 的方程;
(2)证明:直线l 的斜率存在,且直线l 过定点.
【解题思路】(1)借助虚轴定义得�=
�,将�(�, −�)的坐标代入方程得��= �,即可求解双曲线方程;
(2)设出直线方程,代入曲线中,可得与交点横坐标有关韦达定理,借助韦达定理计算斜率之积可得直
线l 中参数关系,即可得其定点.
【解答过程】(1)因为虚轴长为��= ��,所以�=
�,
将�(�, −�)的坐标代入方程
��
��−
��
��= �,得
�
��−
�
�= �,解得��= �,
故�的方程为
��
�−
��
�= �.
(2)设���, ��, ���, ��,直线AP 的斜率为��,直线BP 的斜率为��.
当直线�的斜率不存在时,设�: �= �,联立
��
�−
��
�= �
�= �
得�=±
���
�−�,
即��,
���
�−�, ��, −
���
�−�,
由����=
�
�,得
���
�−�+�
�−�
×
−
���
�−�+�
�−�
=
�
�,解得�=−�(舍去)或�= �(舍去),
所以直线�的斜率存在,设直线�的方程为�= ��+ �,
代入�的方程得�−�����−����−���−�= �,
则��+ ��=
���
�−���, ����=
−���−�
�−���,
由����=
��+�
��+�
��−�
��−�=
���+�+�
���+�+�
����−���+��+�
=
������+�(�+�) ��+��+(�+�)�
����−���+��+�
=
�
�,
可得��−
�
�����+ (��+ ��+ �) ��+ ��+ ��+ ��+ �= �,
即��−
�
�·
−���−�
�−���+ (��+ ��+ �)·
���
�−���+ ��+ ��+ �= �,
化简得���+ (��+ �)�−���−�= �,即(��−��+ �)(�+ ��+ �) = �,
所以�= �−
�
�或�=−��−�,
当�=−��−�时,直线�的方程为�= ��−��−�,直线�过点�(�, −�),
与条件矛盾,舍去;
当�= �−
�
�时,直线�的方程为�= ��+ �−
�
�,直线�过定点−�, −
�
�.
5.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 的左、右焦点分别为F1, F2,且F1F2 = 8,过F2作其中一条渐近
线的垂线,垂足为M,延长F2M 交另一条渐近线于点N,且F2M = MN .
(1)求C 的方程;
(2)如图,过A 6,0 作直线l(l 不与x 轴重合)与曲线C 的两支交于P,Q 两点,直线F1P, F1Q 与C 的另一个
交点分别为S, T,求证:直线ST 经过定点.
【解题思路】(1)利用焦距,结合题干条件与渐近线构成的几何关系,列方程组求出�, �, �,得到双曲线
方程;
(2)设���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��,利用点斜式方程分别写出直线���, ���的方程,和双曲线
联立后,得到�, �的坐标,然后得到直线��的方程,即可求解.
【解答过程】(1)渐近线��: �=
�
��,渐近线��: �=−
�
��.
设�为坐标原点,由题意,不妨设�在��上,�在��上,��是线段���的中垂线,△����≌△���,
所以∠����= ∠���.由对称性,∠����= ∠����,
所以∠����= ∠���= ∠����,从而∠����=
π
�.
���=
�
��
�
�
�
+�
= �,在Rt△����中,sin∠����=
�
�=
�
�=
�
�,
解得�= ��.
所以��= ��−��= ��−��= �,故C 的方程为
��
�−
��
��= �.
(2)设���, ��, ���, ��, ���, ��, ���, ��,设直线��: �= ��−�.
可得直线��: �=
��
��+��+ �.
联立
�=
��
��+��+ �,
��
�−
��
��= �,
得���+ ��−��
���−���
��−����
�−����+ ��= �,
则��+ ��=
���
�
���+��−��
�,又��
�= ���
�−��,
所以��+ ��=
����
�−��
���+��−���
�−��=
����
�−�
����+��=
���
�−�
���+�,
所以��=−
���+�
���+�, ��=
��
��+�⋅−
���+�
���+�+ �=
��
��+�⋅
���+��
���+�=
���
���+�,
所以�−
���+�
���+�,
���
���+�,同理�−
���+�
���+�,
���
���+�.
则���=
���
���+�−���
���+�
−���+�
���+�−−���+�
���+�
=
������+�−������+�
−���+�
���+�+ ���+�
���+�
= ����−�
���+ �−����−�
���+ �
−���+ �
���+ �+ ���+ �
���+ �
= ������−����
���−��
=−���
�.
直线��: �−
���
���+�=−
���
�
�−−
���+�
���+�
,
令�= �,得�=−
����+���
�����+�=−
��
��,所以直线��过定点−
��
��, �.
题型三:抛物线中直线过定点问题
1.已知抛物线C: x2 = 2py 的焦点与椭圆C':
x2
4 + y2 = 1 的上顶点重合,点A 是直线l: x −2y −8 = 0 上任意
一点,过点A 作抛物线的两条切线,切点分别为M、N.
(1)求抛物线C 的方程.
(2)证明直线MN 过定点,并且求出定点坐标.
【解题思路】(1)根据椭圆的顶点计算求参得出抛物线方程;
(2)根据导数求出切线斜率再分别表示切线,求解即可.
【解答过程】(1)由题意椭圆�':
��
�+ ��= �的上顶点为�, �,
�
�= �,∴�= �,∴�: ��= ��.
(2)设点���, ��,���, ��,��, �.
由�=
��
�⇒�′ =
�
�,∴直线��的斜率为���=
��
�,∴���: �−��=
��
��−��
即���= ��+ ��
同理可得���: ���= ��+ ��
∵点�∈���,代入���得���= ���+ �
∵点�∈���,代入���得���= ���+ �
∴点�、�都满足关系��= ��+ �= ��+ ��
∴���: ��= ��+ �= ��+ ��①
又点�∈�,∴��= �−�,代入①得��= ��+ �−�⇒��−�−��+ �= �
故直线��恒过定点�, �.
2.在平面直角坐标系xOy 中,点
,1
A m
在抛物线
2
:
2
C y
px
上,且A 到C 的焦点的距离为1.
(1)求C 的方程;
(2)若直线l 与抛物线C 交于
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
两点,
1
2
0
y y
,且
3
OP OQ
,试探究直线l 是否过定点,
若是,请求出定点坐标,否则,请说明理由.
【答案】(1)
2
:
2
C y
x
;(2)直线l 过定点
3,0
【解析】(1)依题意可得
2
1
1
2
pm
p
m
,解得
0.5
1
m
p
,
所以抛物线方程为:
2
:
2
C y
x
;
(2)设直线:
,
l x
ty
n t
显然存在,
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
联立方程
2
2
y
x
x
ty
n
,化简可得
2
2
2
0
y
ty
n
所以
2
1
2
1
2
Δ
4
4
0,
2 ,
2
t
n
y
y
t y y
n
在抛物线C 上,故
2
1
1
2
2
2
2
2
y
x
y
x
,
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
3
0
4
OP OQ
x x
y y
y y
y y
n
n
,解得
1
n 或
3
n ,
因为
1
2
0
y y
,所以
1
2
2
0
0
y y
n
n
,得
3
n
所以直线l过定点
3,0 .
3.已知抛物线的顶点为原点,焦点F 在x 轴的正半轴,F 到直线
2
0
x
y
的距离为5 2
4
.点
0
0
0
,
0
N x
y
y
为此抛物线上的一点,
5
2
NF
.直线l 与抛物线交于异于N 的两点A,B,且
2
NA
NB
k
k
.
(1)求抛物线方程和N 点坐标;
(2)求证:直线AB 过定点,并求该定点坐标.
【分析】(1)设抛物线的标准方程为
2
2
y
px
,利用点到直线距离公式可求出p ,再利用焦半径公式可求
出N 点坐标;
(2)设直线的方程为x
ty
b
,与抛物线联立,利用韦达定理计算
2
NA
NB
k
k
,可得,t b 关系,然后代
入直线方程可得定点.
【解析】(1)设抛物线的标准方程为
2
2
y
px
,
0
p
,其焦点为
,0
2
p
F
则
2
5 2
2
4
2
p
,∴
1
p
所以抛物线的方程为
2
2
y
x
.
0
5
2
2
p
NF
x
,所以
0
2
x
,所以
2
0
4
y
.
因为
0
0
y
,所以
0
2
y
,所以
2,2
N
.
(2)由题意知,直线的斜率不为0,设直线的方程为x
ty
b
(t
R
),
联立方程
2
2 ,
,
y
x
x
ty
b
得
2
2
2
0.
y
ty
b
设两个交点
2
1
1
,
2
y
A
y
,
2
2
2
,
2
y
B
y
(
1
2
y ,
2
2
y ).
所以
2
1
2
1
2
Δ
4
8
0,
2 ,
2 ,
t
b
y
y
t
y y
b
所以
NA
NB
k
k
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
,
即
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
2
4
4
2
y
y
y y
y
y
b
t
整理得
2
3
b
t
,此时
2
4
4
6
0
t
t
恒成立,
此时直线l 的方程为
2
3
x
ty
t
,可化为
3
2
x
t y
,
从而直线过定点
3, 2
.
4.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ,点
0
(
,4)
M x
在C 上,且
5
2
p
MF
.
(1)求点M 的坐标及C的方程;
(2)设动直线l 与C 相交于
,
A B 两点,且直线MA与MB的斜率互为倒数,试问直线l 是否恒过定点?若过,
求出该点坐标;若不过,请说明理由.
【分析】(1)利用抛物线定义求出
0x ,进而求出p 值即可得解.
(2)设出直线l 的方程x
my
n
,再联立直线l 与抛物线C 的方程,借助韦达定理探求出m 与n 的关系,再
根据
1
MA
MB
k
k
求解.
【解析】(1)抛物线
2
:
2
C y
px
的准线:
2
p
x
,于是得
0
5
2
2
p
p
MF
x
,解得
0
2
x
p
,
而点M 在C 上,即
2
16
4 p
,解得
2
p ,又
0
p
,则
2
p
,
所以M 的坐标为
4,4 ,C 的方程为
2
4
y
x
.
(2)设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,直线l 的方程为x
my
n
,
由
2
4
x
my
n
y
x
消去x 并整理得:
2
4
4
0
y
my
n
,则
2
16
0
m
n
,
1
2
4
y
y
m
,
1
2
4
y y
n
,
因此,
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
1
4
4
4
4
4
4
4
4
MA
MB
y
y
y
y
k
k
y
y
x
x
y
y
,
化简得
1
2
1
2
4
0
y y
y
y
,即
4
n
m
,代入l 方程得
4
x
my
m
,即
4
0
x
m y
,则直线l 过定点
0, 4
,
所以直线l 过定点
0, 4
.
5.在平面直角坐标系xOy 中,M 为直线y=x-2 上一动点,过点M 作抛物线C:x
2=y 的两条切线MA,MB,
切点分别为A,B,N 为AB 的中点.
(1)证明:MN⊥x 轴.
(2)直线AB 是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
【解析】(1)设
2
1
2
1
2
2
(
,
),
(
,
)
A x x
B x
x
,由
2
'
2
y
x
y
x
=
Þ
=
,
所以切线MA 的斜率为
1
2x ,因此切线MA 的方程为:
2
1
1
1
2
(
)
y
x
x x
x
,
M 为直线y=x-2 上一动点,设
( ,
2)
M t t
,
因此有
2
2
1
1
1
1
1
2
2
(
)
2
2
0
t
x
x t
x
x
x t
t
,
同理可得:
2
2
2
2
2
0
x
x t
t
,因此
1
2
,
x x 是方程
2
2
2
0
x
xt
t
的两个根,
所以
1
2
2
x
x
t
,
1
2
2
x x
t
因为N 为AB 的中点,所以
1
2
2
x
x
x
N
t
,因此MN⊥x 轴;
(2)因为
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
2
2
2
2
y
x
x
x
x
x x
N
t
t
,
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
AB
x
x
k
x
x
t
x
x
,
所以直线AB:y-(2t
2-t+2)=2t(x-t),
即y-2=2t
1
(
)
2
x
,
所以直线AB 过定点1
( ,2)
2
.
题型四:圆锥曲线中动圆过定点
1.已知抛物线C 的方程为
2
2
y
px
,若不过原点的直线y
kx
b
与抛物线C 相交于A ,B 两点,且以AB 为
直径的圆过坐标原点,证明直线y
kx
b
过定点.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意可知OA
OB
,可得斜率之积为1
,记
1
m
b
,
k
n
b
,代入抛物线方程,由根与系数
的关系可得
2
1
OA
OB
k
k
pn
,
1
2
n
p
代入直线方程即可得解.
【详解】证明:因为以AB 为直径的圆过坐标原点,所以OA
OB
,即
1
OA
OB
k
k
.
如图,
设
1
1
(
,
)
A x y
,
2
2
(
,
)
B x
y
,则
1
1
OA
y
k
x
,
2
2
OB
y
k
x
.
将直线
,
0
y
kx
b b
,变形得
1
y
kx
b
b
,记
1
m
b
,
k
n
b
,则直线可化为
1
my
nx
,
将“1”代入抛物线C 的方程得
2
2
(
)
y
px my
nx
,整理得
2
2
2
2
0
y
pmxy
pnx
,
因为
0
x
,方程两边同除以
2x ,得
2
(
)
2
2
0
y
y
pm
pn
x
x
,
易知
1
1
OA
y
k
x
和
2
2
OB
y
k
x
是方程
2
(
)
2
2
0
y
y
pm
pn
x
x
的两个根,
由韦达定理得
2
1
OA
OB
k
k
pn
,即
1
2
n
p
,
代入求直线方程
1
my
nx
得
1
1
2
my
x
p
,即
2
2
x
pmy
p
,
当
0
y
时,
2
x
p
,故直线恒过定点(2 ,0)
p
.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
(1 0)
F ,,与x 轴不重合的直线l 过焦点F ,l 与椭圆C交于A ,
B 两点,当直线l 垂直于x 轴时,
3
AB
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设椭圆C 的左顶点为P ,PA ,PB 的延长线分别交直线
4
x
于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的
圆过定点.
【分析】(1)根据给定条件结合椭圆通径的意义及
2
2
2
a
b
c
计算即可得解.
(2)设出直线l 方程,再与椭圆C 的方程联立,用点A,B 的纵坐标表示出点M,N 的纵坐标,然后证明
0
FM FN
.
【解析】(1)椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点
(1,0)
F
,则半焦距
1
c ,
当l
x
轴时,弦AB 为椭圆的通径,即
2
2
|
|
b
AB
a
,则有
2
2
3
b
a
,即
2
3
2
b
a
,
而
2
2
2
a
b
c
,于是得
2
3
1
0
2
a
a
,又
0
a
,解得
2
a
,
3
b
,
所以椭圆C的方程为:
2
2
1
4
3
x
y
.
(2)依题意,直线AB 不垂直于y 轴,且过焦点
(1,0)
F
,设AB 的方程为
1
x
my
,
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
,
由
2
2
3
4
12
1
x
y
x
my
得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
,
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
,
1
2
2
9
3
4
y y
m
,
因点
( 2,0)
P
,则直线PA 的方程为
1
1
(
2)
2
y
y
x
x
=
+
+
,令
4
x
,得
1
1
6
(4,
)
2
y
M
x
,
同理可得
2
2
6
(4,
)
2
y
N
x
,于是有
1
2
2
1
6
6
),
)
2
2
(3,
(3,
FM
FN
y
y
x
x
,
则
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6
6
36
36
9
9
9
2
2
3
3
3
9
y
y
y y
y y
FM FN
x
x
my
my
m y y
m y
y
2
2
2
2
2
9
36
36 ( 9)
3
4
9
9
0
9
18
36
9
3
4
3
4
m
m
m
m
m
,
因此,FM
FN
,即F 在以MN 为直径的圆上,
所以以MN 为直径的圆过定点
(1,0)
F
.
3.已知与圆
2
2
: (
1)
3
C
x
y
相切的直线l,过抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
的焦点F,且直线l 的倾斜角为
2
3
.
(1)求抛物线E 的方程;
(2)直线1l 与抛物线E 交于点A,B 两点,且A,B 关于直线
5 3
y
x
对称,在
1
2
y
x
上是否存在点N,
使得以AB 为直径的圆恰好过点N,若存在,求出点N 的坐标;否则,请说明理由.
【解析】(1)抛物线焦点为(0,
)
2
p ,直线l 斜率
2
tan
3
3
k
,
所以直线方程为
3
2
p
y
x
,
由圆与直线相切可得,|
3
|
2
3
2
p
,
由
0
p
可解得
2 3
p
,
所以抛物线方程为
2
4 3
x
y
.
(2)设
1
1
1
1
(
,
),
(
,
)
A x y
B x y
,
因为A,B 关于直线
5 3
y
x
对称,
所以设AB 中点
0
0
(
,
)
M x y
在
5 3
y
x
上,且
1
k ,
由
2
2
2
2
1
1
4 3
4 3
x
y
x
y
相减可得,
2
1
1
2
2
1
1
4 3
y
y
x
x
k
x
x
,
所以
1
2
0
2 3
2
x
x
x
,
又
0
0
(
,
)
M x y
在
5 3
y
x
上,
所以
0
3 3
y
,
所以直线1l 的方程为
3
0
x
y
,
联立抛物线消元得
2
4 3
12
0
x
x
,
1
2
1
2
4 3,
12
x
x
x x
,
2
1
2
1
2
|
|
2 (
)
4
2
4 6
8 3
AB
x
x
x x
,
若存在点N
0
0
( 2
,
)
y y
,
则
1
|
|
|
|
2
MN
AB
,
即
2
2
0
0
(
3 3)
(2 3
2
)
48
y
y
,
解得
0
3 3
y
或
0
3
5
y
,
即存在点
( 6 3,3 3)
N
或
2 3
3
(
,
)
5
5
N
满足条件.
4.已知圆
2
2
:(
3)
72
M
x
y
,点
3,0
N
,动圆P 经过点N ,且与圆M 相切,记动圆圆心P 的轨迹为W .
(1)求轨迹W 的方程;
(2)过点
0, 1
Q
的动直线l 交曲线W 于,
A B 两点,在y 轴上是否存在定点T ,使以AB 为直径的圆恒过这
个点?若存在,求出点T 的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
18
9
x
y
;(2)存在,
(0,3)
T
【解析】(1)由已知
2
2
(3
3)
0
72
,故点N 在圆M 内部,所以圆P 与圆M 内切,
设
( , )
P x y ,则
72
6
PM
PN
MN
,
因此P 为以
( 3,0),
(3,0)
M
N
焦点的椭圆,
设该椭圆长半轴长为a ,短半轴长b ,半焦距为c,
且知2
72
6 2
3 2
a
a
,于是
2
2
2
2
2
(3 2)
3
9
b
a
c
,
因此轨迹W 的方程为
2
2
1
18
9
x
y
.
(2)设y 轴上存在定点
0
0,
T
y
,使以AB 为直径的圆恒过这个点T ,
设直线的方程为:
1
l y
kx
,
联立方程
2
2
1
1
18
9
y
kx
x
y
,整理得
2
2
1
2
4
16
0
k
x
kx
,
2
2
Δ
16
64 1
2
0
k
k
,
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,则
1
2
1
2
2
2
4
16
,
1 2
1 2
k
x
x
x x
k
k
,
1
1
0
2
2
0
,
,
,
,
TA
x y
y
TB
x
y
y
则
1
2
1
0
2
0
0
TA TB
x x
y
y
y
y
,
即有:
2
1
2
1
2
0
1
2
0
0
x x
y y
y
y
y
y
,
而
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
y
y
kx
kx
k x x
k x
x
2
2
2
2
2
16
4
18
1
1
1 2
1 2
1 2
k
k
k
k
k
k
k
,
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
2
1
1
2
2
1 2
1 2
k
y
y
kx
kx
k x
x
k
k
,
代入上式得
2
2
0
0
2
2
3 6
5
2
0
1 2
1 2
k
y
y
k
k
,
整理可得:
2
0
0
0
0
2
3
3
3
5
0
k
y
y
y
y
,
可见
0
3
y
总满足上面等式,
即y 轴上存在定点
(0,3)
T
,使以AB 为直径的圆恒过这个点.
5.已知F 为抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点,点P 在C 上,且满足
3,4
FP
.
(1)求点P 的坐标及C 的方程;
(2)设过点F 的直线l 与C 相交于,
A B 两点,且l 不过点P ,若直线
,
PA PB 分别交C 的准线于,
S T 两点,证
明:以线段ST 为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
4,4
P
;
2
4
y
x
;(2)证明见解析.
【解析】(1)设点
,0
2
p
F
,点
,
P m n ,
则有
,
3,4
2
p
FP
m
n
,则
3
2
4
p
m
n
,
因为点P 在C 上,故16
2
3
2
p
p
,解得:
2
p
或
8
p (舍),即
1
2
p ,
所以点P 的坐标为
4,4
P
,方程为
2
4
y
x
.
(2)由对称性可知:以线段ST 为直径的圆所过定点在x 轴上.
设直线l 的方程为
1
x
ty
3
4
t
,代入
2
4
y
x
,得
2
4
4
0
y
ty
设点
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
,则
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
t y y
,
因为
4,4
P
,所以
1
1
2
1
1
1
4
4
4
4
4
4
4
PA
y
y
k
y
x
y
,
直线PA 的方程为
1
4
4
4
4
y
x
y
,
令=
1
x ,得
1
1
1
4
4
20
4
4
4
y
y
y
y
,所以点
1
1
4
4
1,
4
y
S
y
同理,点
2
2
4
4
1,
4
y
T
y
,
设以线段ST 为直径的圆与x 轴的交点为
,0
N a
,
则
1
1
4
4
1,
4
y
SN
a
y
,
2
2
4
4
1,
4
y
TN
a
y
因为SN
TN
,则
0
SN TN
,
即
2
1
2
1
2
4
4 4
4
1
0
4
4
y
y
a
y
y
,
则
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4 4
4
3
4
1
16
16
4
4
4
4
16
12 16
y y
y
y
y
y
t
a
y
y
y y
y
y
t
,
解得:
1
a 或
3
a ,
故以线段ST 为直径的圆所过定点为
1,0 和
3,0
.
6.已知常数
0
s
,向量
0,1
a
,
,0
b
s
,经过点
,0
A s
的直线AD 以a
b
为方向向量,经过点
,0
B
s
的直线BD以
4
b
a
为方向向量,其中
R
.
(1)求点D 的轨迹方程,并指出轨迹E .
(2)当
3
s
时,点A 为轨迹E 与x 轴正半轴的交点,过点
6,0
T
的直线2l 与轨迹E 交于P 、Q 两点,直线AP 、
AQ 分别与直线
6
x
相交于M ,N 两点,试问:是存在定点R 在以M 、N 为直径的圆上?若存在,求出
R 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)定点R 的坐标为
6
2 3,0
,
6
2 3,0
,理由见解析.
【解析】(1)由题设有
,
a
b
s
,
4
,4
b
a
s
.
设
,
D x y ,则
,
AD
x
s y
,
,
BD
x
s y
因为直线AD 以a
b
为方向向量,故
x
s
sy
,
因为直线BD以
4
b
a
为方向向量,故
4
x
s
sy
,
当x
s
时,
0
y
,故点D 的轨迹过
,0
s
,
当x
s
时,由
x
s
sy
可得
sy
x
s
,故
2
2
2
2
4 x
s
s y
,
整理得到
2
2
2
1
4
x
y
x
s
s
.
综上,点D 的轨迹E 的方程
2
2
2
1
4
x
y
s
,
轨迹E 是以
2
4,0
s
为焦点,实轴长为2s 的双曲线.
(2)当
3
s 时,点D 的轨迹方程
2
2
1
9
4
x
y
,故
3,0
A
,
由题设可得2l 的斜率不为零,设
6
x
ty
,
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
,
又
1
1
:
3
3
y
AP y
x
x
,
2
2
:
3
3
y
BP y
x
x
,
故
1
2
1
2
3
3
6,
,
6,
3
3
y
y
M
N
x
x
,
故以M 、N 为直径的圆的方程为:
2
1
2
1
2
3
3
6
0
3
3
y
y
x
y
y
x
x
,
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
9
9
3
3
3
3
3
3
y
y
y y
y y
x
x
x
x
ty
ty
1
2
2
1
2
1
2
9
3
9
y y
t y y
t y
y
.
由
2
2
6
4
9
36
x
ty
x
y
可得
2
2
4
9
48
108
0
t
y
ty
,
2
2
2
Δ
48
4 108 4
9
36 108
48 12
0
t
t
t
,
而
1
2
1
2
2
2
48
108
,
4
9
4
9
t
y
y
y y
t
t
,
故
2
1
2
2
1
2
2
2
108
9
3
3
4
9
12
108
48
3
3
3
9
4
9
4
9
y
y
t
t
x
x
t
t
t
t
,
故以M 、N 为直径的圆的方程可化简为:
2
2
6
12
0
x
y
y
,
其中
1
2
1
2
3
3
3
3
y
y
x
x
,
令
2
2
0
6
12
0
y
x
y
可得
0
6
2 3
y
x
或
0
6
2 3
y
x
,
故以M 、N 为直径的圆过定点R ,其坐标为
6
2 3,0
,
6
2 3,0
.
题型五:椭圆中定直线问题
1.椭圆E 的中心为坐标原点,坐标轴为对称轴,左、右顶点分别为
2,0
A
,
2,0
B
,点
1,
6 在椭圆E
上.
(1)求椭圆E 的方程.
(2)过点
1,0
的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点(异于点A,B),记直线AP 与直线BQ 交于点M,试问点M
是否在一条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
8
x
y
;(2)点M 在定直线
4
x 上
【解析】(1)设椭圆E 的方程为
2
2
1
0
0
mx
ny
m
n
,
.
则
4
1
6
1
m
m
n
,解得
1
4
1
8
m
n
,
故椭圆E 的方程为
2
2
1
4
8
x
y
.
(2)依题可设直线l 的方程为
1
x
my
,
1
1
P x y
,
,
2
2
Q x y
,
,
0
0
,
M x y
.
联立方程组
2
2
1
1
4
8
x
my
x
y
,整理得
2
2
2
1
4
6
0
m
y
my
,
则
1
2
2
4
2
1
m
y
y
m
,
1
2
2
6
2
1
y y
m
直线AP 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
,直线BQ 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
,
联立方程组
1
1
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
,得
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
0
1
2
2
1
1
2
2
4
2
4
4
6
2
2
2
3
y x
y
x y
y
my y
y
y
x
x
y
x
y
y
y
由
1
2
2
4
2
1
m
y
y
m
,得
1
2
2
6
2
1
y y
m
,得
1
2
1
2
2
3
my y
y
y
.
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1
2
1
2
6
6
2
4
6
2
12
4
4
3
3
3
y
y
y
y
my y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
.
故点M 在定直线
4
x 上.
2.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的左顶点为A −3,0 ,右顶点为B 3,0 ,椭圆上不同于点A, B 的一点P
满足kPA ⋅kPB =−
4
9.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点2,0 的直线l 交椭圆C 于M、N 两点,直线AM、BN 交于点Q,证明:点Q 在定直线上.
【解题思路】(1)由左、右顶点为�,�先求�,再设点�的坐标,利用斜率公式表示条件���⋅���=−
�
�,
结合点�在椭圆上求,由此可得椭圆方程.
(2)解法一(非对称韦达):设点�, �的坐标及直线��的方程为,联立直线与椭圆的方程组,化简写出
韦达定理,然后表示出直线��、��的方程相除结合韦达定理化简即可;解法二(齐次化):设不过点�
的直线��的方程,由题意求出�的值,然后表示出直线��、��的斜率,设点���, ��,结合椭圆方程化
简分析即可.
【解答过程】(1)如图所示:
根据题意,�= �,设点�的坐标为��, ��,由于点�在椭圆上,
所以
���
�+
���
��= �,得���=−
���−���
�
,
则���⋅���=
��
��+�⋅
��
��−�=
��
�
��
�−�=−
��
�−���
�
�
��
�−�=−
��
�=−
�
�,
解得��= �,所以椭圆�的标准方程为
��
�+
��
�= �.
(2)解法一(非对称韦达):
由题意如图所示:
设点���, ��, ���, ��,可设直线��的方程为:�= ��+ �,
联立
�= ��+ �
��
�+
��
�= �,得���+ ���+ ����−��= �,
由根与系数的关系,��+ ��=−
���
���+�, ����=−
��
���+�,
直线��的方程:�=
�+���
��+�,①
直线��的方程:�=
�−���
��−�,②
①÷②得,
�+�
�−�=
��+���
��−���=
����+���
����−���=
���+���+���
���+���−���=
�����+���
�����−��
因为�����=
�
���+ ��,
所以
�+�
�−�=
�����+���
�����−��=
�
���+��+���
�
���+��−��= �,解得�=
�
�,
因此,点�在定直线�=
�
�上.
解法二(齐次化):
由题意如图所示:
设不过点��, �的直线��的方程为:��−�+ ��= �,
由于直线��过�, �,所以�=−�.
设��= ���=
��
��−�, ��= ���=
��
��−�, ��= ���,点���, ��.
椭圆�的方程转化为,�(�−�)�+ ���−�+ ���= �,代入直线��的方程得,
−��(�−�)�+ ����−��+ ���= �,即�
�
�−�
�
+ ���
�
�−�−��= �,
即���+ ����−��= �,由根与系数的关系,��⋅��=−
��
�,
又由题意可得:��⋅��=−
�
�,所以两式相除得:��= ���,
即
��
��−�=
���
��+�,解得��=
�
�,
所以点�在定直线�=
�
�上.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左,右顶点分别为A,B,且AB
4
,椭圆C 离心率为1
2 .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过椭圆C 的右焦点,且斜率不为0 的直线l 交椭圆C 于M,N 两点,直线AM,BN 交于点Q,求证:点Q
在直线
4
x
上.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
;(2)证明见解析
【解析】(1)因为AB
4
,椭圆C 离心率为1
2 ,
所以
2
2
2
2
4
1
2
a
c
a
a
b
c
,解得
2
4
a
,
2
3
b .
所以椭圆C 的方程是
2
2
1
4
3
x
y
;
(2)①若直线l 的斜率不存在时,
因为椭圆C 的右焦点为
1,0 ,所以直线l 的方程是
1
x ,
所以点M 的坐标是
3
1, 2
,点N 的坐标是
3
1,
2
,
所以直线AM 的方程是
1
2
2
y
x
,直线BN 的方程是
3
2
2
y
x
.
所以直线AM,BN 的交点Q 的坐标是
4,3 ,
所以点Q 在直线
4
x
上.
②若直线l 的斜率存在时,设斜率为k.所以直线l 的方程为
1
y
k x
.
联立方程组
2
2
1
1
4
3
y
k x
x
y
消去y,整理得
2
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
k x
k
.
显然
0
.不妨设
1
1
,
M x y
,
2
2
,
N x
y
,
所以
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
,
2
1
2
2
4
12
3
4
k
x x
k
.
所以直线AM 方程是
1
1
2
2
y
y
x
x
.令
4
x
,得
1
1
6
2
y
y
x
.
直线BN 的方程是
2
2
2
2
y
y
x
x
.令
4
x
,得
2
2
2
2
y
y
x
.
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6
1
2
1
6
1
2
2
2
1
6
2
2
2
2
2
2
2
k x
k x
k x
x
k x
x
y
y
x
x
x
x
x
x
.
其中
1
2
1
2
6
1
2
2
2
1
k x
x
k x
x
1
2
2
1
1
2
1
2
2
3
2
2
2
2
k
x x
x
x
x x
x
x
2
2
1
2
1
2
2
2
2 4
12
5 8
2
2
5
8
2
8
3
4
3
4
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
2
2
2
2
8
24
40
24
32
2
0
3
4
k
k
k
k
k
.
所以点Q 在直线
4
x
上
4.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的离心率为
2
2 ,A,B 分别为C 的上、下顶点,O 为坐标原点,直线y =
kx + 4 与C 交于不同的两点M,N.
(1)设点P 为线段MN 的中点,证明:直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值;
(2)若AB = 4,证明:直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.
【解题思路】(1)设���, ��,���, ��,由中点坐标公式和斜率公式,结合点差法证明定值.
(2)由题意求出椭圆方程,与直线方程联立,韦达定理表示根与系数的关系,联立直线��与直线��的
方程,化简可求得交点在定直线上.
【解答过程】(1)设���, ��,���, ��,则�
��+��
�
,
��+��
�
.
由����
�+ ����
�= ����,
����
�+ ����
�= ����, 两式相减得����
�−��
�+ ����
�−��
�= �,即
��
�−��
�
��
�−��
�=−
��
��.
所以���⋅���=
��+��
��+��⋅
��−��
��−��=
��
�−��
�
��
�−��
�=−
��
��= ��−�=
�
�−�=−
�
�.
(2)解法一:
由
��= �,
�
�=
�
�,
��= ��+ ��,
解得
�= ��,
�= �,
�= �.
所以椭圆�的方程为
��
�+
��
�= �.
将直线的方程�= ��+ �代入椭圆�的方程��+ ���= �,化简整理得���+ ���+ ����+ ��= �.①
由�= �����−�> �,解得��>
�
�.
由韦达定理,得��+ ��=
−���
���+�,����=
��
���+�.②
设���, ���+ �,���, ���+ �,
则直线��的方程为�=
���+�
��
�−�,③
直线��的方程为�=
���+�
��
�+ �,④
由③④两式解得
�=
������+��+���
���−��
=
�
���
���+�+ −���
���+�+���
���−−���
���+�
=
�
��
���+�+���
���+ ���
���+�
= �,
即��= �,所以直线��与直线��的交点�在定直线�= �上.
解法二:
设直线��(即直线�= ��+ �)与直线��(�轴)的交点为��, �,直线��与直线��的交点为�,
则点�,�,�构成椭圆�的自极三点形,点�一定在点��, �对应的极线��上,其方程为
��
�+
��
�= �,即
�= �,
就是说直线��与直线��的交点�在定直线�= �上.
5.已知双曲线Γ:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2,左、右顶点分别为A1, A2,在x 轴上位
于F2右侧有一点A,满足AF1 ⋅AF2 = 4, AA1 = 5, AA2 = 1.
(1)求Γ的方程;
(2)过点A 且不与坐标轴垂直的直线l 与Γ交于M, N 两点,以A 为圆心作圆与直线x = 3 交于E, F 两点,
证明:直线ME, NF 的交点恒在直线x =
4
3上.
【解题思路】(1)设���, �,Γ的半焦距为�(�> �),则��> �,由已知可得��+ �= �
��−�= �,可求��, �,进而
可得�+ �
�−�= �,可求椭圆Γ的方程.
(2)由(1)知,点��, �,设直线��的方程为�= ��+ �, �≠�,联立方程组可得��+ ��=−
��
��−�, ����=
�
��−�,设��, �, ��, −�
�≠�,求得��, ��的方程,联立两方程可求得直线��, ��的交点恒在直线�=
�
�上.
【解答过程】(1)设���, �,Γ的半焦距为�(�> �),则��> �.
因为���= �, ���= �,
所以��+ �= �
��−�= �,解得��= �
�= �,
因为���·|���∣= �,所以�+ �
�−�= �,即�−��= �,解得�=
�,
则�=
��−��= �,
所以Γ的方程为
��
�−��= �.
(2)由(1)知,点��, �,设直线��的方程为�= ��+ �, �≠�.
由
�= ��+ �
��
�−��= �,可得��−���+ ���+ �= �,
则��−�≠�,Δ = (��)�−����−�= ����+ ��> �.
设���, ��, ���, ��,则��+ ��=−
��
��−�, ����=
�
��−�.
由题可设��, �, ��, −�
�≠�,
则直线��的方程为�−�=
��−�
��−��−�,直线��的方程为�+ �=
��+�
��−��−�,
联立两方程,可得��=
��+�
��−�−
��−�
��−�
�−�=
��+�
���−
��−�
���
�−�=
���+��
�����
�−�
=
−���
��−�
��
��−�
�−�=
�
���−�,
解得�=
�
�,即直线��, ��的交点恒在直线�=
�
�上.
6.已知椭圆C 的两个顶点分别为A 0,1 、B 0, −1 ,焦点在x 轴上,离心率为
3
2 ,直线l: y = kx −
5
3 k < 0
与椭圆C 交于M、N 两点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)当k 变化时,是否存在过点A 的定直线m,使直线m 平分∠MAN?若存在,求出该定直线的方程;若
不存在,请说明理由.
【解题思路】(1)根据题意,得到�= �,由�=
�
�,求得�= �,即可求得椭圆�的方程的标准方程;
(2)假设存在定直线�,设为�′,联立方程组求得��+ ��, ����,化简���⋅���= �,设直线��、��
及直线�的倾角分别为�,�,�,且直线�与直线�交于点�,利用斜率公式,化简得到�′�
���+ ���=
���+ ���且���+ ���≠�,求得�′�
= �,即可求解.
【解答过程】(1)解:由椭圆�的两个顶点分别为��, �、��, −�,可得�= �,
又由�=
�
�=
��−�
�
=
�
�,解得�= �,
所以椭圆�的方程的标准方程为
��
�+ ��= �.
(2)解:假设存在定直线�,显然直线�的斜率存在,设为�′,且���, ��、���, ��,
联立方程组
�= ��−
�
�
��
�+ ��= �
,整理得�+ �����−
��
���+
��
�= �,
则( −
��
��)�−�⋅�+ ���×
��
�> �,且��+ ��=
��
��
�+���,����=
��
�
�+���,
由���⋅���=
��−�
��⋅
��−�
��=
���−�
�
���−�
�
����
=
������−�
����+��+��
�
����
= ��−���+ �+ ���= �.
设直线��、��及直线�的倾角分别为�,�,�,设直线�与直线�交于点�,
则∠���= �−�,∠���= �−�,所以���∠���= ���∠���,
即����−�=
����−����
�+��������=
�′−���
�+�′���= ����−�=
����−����
�+��������=
���−�′
�+�′���,
所以
�′−���
�+�′���=
���−�′
�+�′���即�′ −���
�+ �′���
= ���−�′
�+ �′���,
化简得�′�
���+ ���= ���+ ���且���+ ���≠�,
所以�′�
= �,解得�′ = �或�′ =−�(舍),
所以存在过点�的定直线�,使直线�平分∠���,该定直线的方程为�−�+ �= �;
题型六:双曲线中定直线问题
1.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线方程为y
x
,且点
6,
2
P
在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设双曲线左右顶点分别为,
A B ,在直线
1
x 上取一点
1,
0
P
t
t
,直线AP 交双曲线右支于点C ,直
线BP 交双曲线左支于点D ,直线AD 和直线BC 的交点为Q ,求证:点Q 在定直线上.
【答案】(1)
2
2
4
x
y
;(2)证明见解析.
【解析】(1)因为渐近线方程为y
x
,所以a
b
,设双曲线为
2
2
2
x
y
a
,
代入
6,
2
P
得
2
4
a
,双曲线的标准力程为
2
2
4
x
y
;
(2)法一、
设直线
3
:
2
AP x
y
t
,联立双曲线
2
2
3
2
4
x
y
t
x
y
得:
2
2
9
12
1
0
y
y
t
t
,
2
2
2
12
3
18
2
,
2
9
9
C
C
C
t
t
y
x
y
t
t
t
,且
2
9
t
;
设直线
1
:
2
BP x
y
t
,联立双曲线
2
2
1
2
4
x
y
t
x
y
得:
2
2
1
4
1
0
y
y
t
t
,
2
2
2
4
1
2
2
,
2
1
1
D
D
D
t
t
y
x
y
t
t
t
,且
2
1
t ;
所以
2
2
2
2
2
2
4
12
1
3
1
9
,
4
4
2
2
1
9
C
D
AD
BC
D
C
t
t
y
y
t
t
k
k
t
t
x
t
x
t
t
t
则
1
3
:
2 ,
:
2
AD y
x
BC y
x
t
t
设
0
0
,
Q x
y
,则
0
0
0
0
1
2
3
2
y
x
t
y
x
t
,两式相除消t 得
0
0
0
2
1 ,
1
2
3
x
x
x
所以Q 在直线
1
x 上;
法二、
设直线
2
2
4
2
:
2
2
2
2
2
D
D
D
D
D
D
D
D
y
y
x
x
AD y
x
x
x
x
x
y
y
,
直线
2
2
4
2
:
2
2
2
2
2
C
C
C
C
C
C
C
C
y
y
x
x
BC y
x
x
x
x
x
y
y
,
由于
BP
BD
k
k
,即
2
D
D
y
t
x
,
由于
AP
AC
k
k
,即
2
3
C
C
y
t
x
,
则
1
3
:
2 ,
:
2
AD y
x
BC y
x
t
t
.
设
0
0
,
Q x
y
,则
0
0
0
0
1
2
3
2
y
x
t
y
x
t
,两式相除消t 得
0
0
0
2
1 ,
1
2
3
x
x
x
所以Q 在直线
1
x 上;
2.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 的右焦点F
10, 0 到C 的一条渐近线的距离为6.
(1)求C 的方程.
(2)设C 的左、右顶点分别为A1,A2,过点3,0 且斜率不为0 的直线l 与C 相交于M,N 两点,直线A1M
与直线A2N 相交于点P.试问点P 是否在定直线上?若是,求出定直线的方程;若不是,说明理由.
【解题思路】(1)由题意列式求出�, �,即得答案;
(2)设直线�的方程为�= ��+ �,联立双曲线方程,可得根与系数的关系,写出直线���和直线���的的
方程,联立化简可求出点P 横坐标,即可得结论.
【解答过程】(1)根据对称性,�
��, �到�的一条渐近线��−��= �的距离�=
���
��+��=
�,则���=
��.
由�
��, �,知�=
��,得�=
�,则��= ��−��= �,
故�的方程为
��
�−
��
�= �.
(2)点�在定直线�=
�
�上.
依题可设直线�的方程为�= ��+ �,���, ��,���, ��,
联立方程组
��
�−
��
�= �
�= ��+ �
,整理得���−���+ ����+ ��= �,必有�> �,
则��+ ��=−
���
���−�,����=
��
���−�,则�����=−
�
���+ ��.
直线���的方程为�=
��
��+��+ �,直线���的方程为�=
��
��−��−�,
整理得
�+�
�−�=
����+�
����−�=
�����+�
�����+�=
�����+���
�����+��=
−�
���+��+���
−�
���+��+��=−�,解得�=
�
�.
故点�在定直线�=
�
�上.
3.已知点
1,0
A
,
10
B
,
,动点
,
P x y 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3,记动点P 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程;
(2)过点
2,0
F
的直线与曲线C 交于
,
M N 两点,直线AM 与BN 相交于Q .求证:点Q 在定直线上.
【答案】(1)
2
2
1
1
3
y
x
x
;(2)证明见解析
【解析】(1)
1
PA
y
k
x
,
1
PB
y
k
x
,
2
2
3
1
PA
PB
y
k
k
x
,整理可得:
2
2
1
3
y
x
,
又
1
x ,曲线C 的方程为:
2
2
1
1
3
y
x
x
.
(2)由题意知:直线MN 斜率不为0 ,则可设
:
2
MN x
ty
,
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
,
则直线
1
1
:
1
1
y
AM
y
x
x
,直线
2
2
:
1
1
y
BN y
x
x
,
由
1
1
2
2
1
1
1
1
y
y
x
x
y
y
x
x
得:
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
3
1
1
1
1
y
x
y
ty
ty y
y
x
x
y
x
y
ty
ty y
y
,
由
2
2
2
1
3
x
ty
y
x
得:
2
2
3
1
12
9
0
t
y
ty
,
则
2
2
3
1
0
Δ
12 3
5
0
t
t
,即
2
5
3
t
,
1
2
2
9
3
1
y y
t
,
1
2
2
12
3
1
t
y
y
t
,
1
2
1
2
3
4
ty y
y
y
,
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
3
3
3
3
9
1
4
3
3
1
3
4
y
y
y
ty y
y
y
y
x
x
ty y
y
y
y
y
y
y
,解得:
1
2
x
,
即Q 点在定直线
1
2
x
上.
4.已知A,B 分别是双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的左、右顶点,P 是C 上异于A,B 的一点,直线PA,
PB 的斜率分别为k1, k2,且k1k2 = |AB| = 4.
(1)求双曲线C 的方程;
(2)已知过点(4,0)的直线l: x = my + 4,交C 的左,右两支于D,E 两点(异于A,B).
(i)求m 的取值范围;
(ii)设直线AD 与直线BE 交于点Q,求证:点Q 在定直线上.
【解题思路】(1)由已知条件去设点的坐标,表示斜率之积,通过点在双曲线上,代入并消元一个变量,
即可得到��= ��,从而求出双曲线方程;
(2)(i)利用过点�, �的直线与双曲线的左右两支相交,必满足����> �,从而去求出�的取值范围;
(ii)先用交点�, �坐标去表示直线��, ��的方程,然后猜想交点�的横坐标为定值,所以消去纵坐标得
到关于交点�的横坐标的表达式,最后利用韦达定理代入化简,可得定值,即问题可得证.
【解答过程】(1)
由题意可知�( −�, �), �(�, �),
因为|��| = ��= �,所以�= �.
设�(�, �),则
��
�−
��
��= �,所以��=
��
���−�,
又����=
�
�+�⋅
�
�−�=
��
��−�=
��
���−�
��−�
=
��
�= �,
所以��= ��.
所以双曲线C 的方程为
��
�−
��
��= �.
(2)(i)由题意知直线l 的方程为�= ��+ �, ���, ��, ���, ��.
联立
��
�−
��
��= �
�= ��+ �
,化简得���−���+ ����+ ��= �,
因为直线l 与双曲线左右两支相交,所以����> �,
即�满足:
���−�≠�
����−������−�> �
����=
��
���−�> �
,
所以�<−
�
�或�>
�
�;
(ii)��+ ��=
−���
���−�, ����=
��
���−�,
直线AD 的方程为�=
��
��+�(�+ �)
直线BE 的方程为�=
��
��−�(�−�).
联立直线AD 与BE 的方程,得
��
��+�(�+ �) =
��
��−�(�−�),
所以
��
���+�−
��
���+��=
���
���+�+
���
���+�,
所以���−����= ������+ ���+ ����,
所以�=
������+���+���
���−��
=
������+���+��+���
−��+��+���
=
��⋅
��
���−�+�
−���
���−�+���
−
−���
���−�+���
=
���
���−�+���
���
���−�+���= �.
所以点Q 的横坐标始终为1,故点Q 在定直线�= �上.
5.在平面直角坐标系xoy 中,O 为坐标原点,A( −1,0), B(1,0),动点P 满足kPA ⋅kPB = 3,设点P 的轨迹为
曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)过点C(1,1)的直线l 与曲线Γ在y 轴右侧交于不同的两点M,N,在线段MN 上取异于点M,N 的点D,满
足|CM| ⋅|DN| = |MD| ⋅|CN|.证明:点D 在定直线上.
【解题思路】(1)设点P 的坐标为(�, �),根据斜率乘积为定值化简即可;
(2)设直线l 的方程为�−�= �(�−�),联立双曲线方程得到韦达定理式,化简弦长得�����−��+
��= ��+ ��−��,代入韦达定理式计算即可.
【解答过程】(1)设点P 的坐标为(�, �),
由���⋅���= �得
�
�+�⋅
�
�−�= �,化简整理得��−
��
�= �(�≠± �),
所以曲线�的方程为��−
��
�= �(�≠± �).
(2)若直线l 的斜率不存在,则直线l 与曲线�只有一个交点,不符合题意,
所以直线l 的斜率存在,设为k,则直线l 的方程为�−�= �(�−�),
设点���, ��, ���, ��, �(�, �),
联立方程组
�−�= ��−�,
��−
��
�= �,
,整理得�−����+ ���−���−��−��+ �= �,易知��≠�,
Δ = ���−���+ ��−��
��−��+ �> �,解得�< �,
��+ ��=
���−��
��−�> �
��⋅��=
��−��+�
��−�
> �
,解得�<−
�或�>
�,
综上�<−
�或�< �< �,
因为��=
�+ ����−�=
�+ ����−�,
同理由|��| ⋅|��| = |��| ⋅|��|得��−�
��−�= ��−�
�−��,
化简整理得�����−��+ ��= ��+ ��−��,
所以�×
��−��+�
��−�
−
���−��
��−�=
���−��
��−�−��,
化简整理得�=
��−�
�−�,代入�−�= �(�−�),
化简整理得��−�−�= �,
所以点D 在定直线��−�−�= �上.
6.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 实轴端点分别为A1 −a, 0 、A2 a, 0 ,右焦点为F,离心率为2,
过A1点的直线l 与双曲线C 交于另一点B x, 3 ,已知△A1BF 的面积为
9
2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过点F 的直线l′与双曲线C 交于M、N 两点,试探究直线A1M 与直线A2N 的交点Q 是否在某条定直
线上?若在,请求出该定直线方程;若不在,请说明理由.
【解题思路】(1)分析可知�= ��,可得出���= ��,利用三角形的面积公式可求出�的值,进而可得
出�、�的值,由此可得出双曲线�的方程;
(2)分析可知,直线�′不与�轴重合,设直线�′的方程为�= ��+ �,设点���, ��、���, ��,将直线
��的方程与双曲线�的方程联立,列出韦达定理,将直线���、���的方程联立,求出这两条直线交点�
的横坐标,即可得出结论.
【解答过程】(1)解:因为双曲线�的离心率为�=
�
�= �,可得�= ��,则���= �+ �= ��,
则�△����=
�
�× ��× �=
�
��=
�
�,可得�= �,则�= �,�=
��−��=
��−��=
�,
因此,双曲线�的方程为��−
��
�= �.
(2)证明:若直线�′与�轴重合,则点�、�为双曲线�实轴的端点,不合乎题意,
设直线�′的方程为�= ��+ �,设点���, ��、���, ��,
联立�= ��+ �
���−��= �可得���−���+ ����+ �= �,
则
���−�≠�
�= �����−�����−�= ����+ �> �,可得�≠±
�
�,
由韦达定理可得��+ ��=−
���
���−�,����=
�
���−�,
直线���的方程为�=
��
��+��+ �,直线���的方程为�=
��
��−��−�,
联立直线���与直线���的方程可得
�+�
�−�=
����+�
����−�=
�����+�
�����+�=
�����+���
�����+��
=
��
���−�+�−���
���−�−��
��
���−�+��
=
−���
���−�−���
��
���−�+��=−�,解得�=
�
�.
因此,点�在定直线�=
�
�上.
题型七:抛物线中定直线问题
1.已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ,设动点P 的坐标为
,
m n .
(1)若
2,
1
m
n
,求过点P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程;
(2)设过动点P 的两条直线1
2
,l l 均与C 相切,且1
2
,l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ,满足
1
2
1
1
4
k
k
.证明:动
点P 在一条定直线上.
【答案】(1)
2
x
或
1
0
x
y
;;(2)证明见解析
【解析】(1)当经过点P 的直线不存在斜率时,直线方程即为
2
x
,
与抛物线抛物线C:
2
4
x
y
有且只有一个公共点
2,1
P
,符合题意,
当经过点P 的直线存在斜率时,不妨设直线方程为
1
2
y
k x
,
代入抛物线方程化简得:
2
4
8
4
0
x
kx
k
,
2
4
4 8
4
0
k
k
,即
1
k ,直线方程即为
1
0
x
y
因此所求直线方程为
2
x
或
1
0
x
y
;
(2)证明:设过点P 与抛物线C 的相切的切线方程为
:l y
n
k x
m
,
由
2
4
y
n
k x
m
x
y
,消去y 整理得
2
4
4
0
x
kx
km
n
,
因为l 与抛物线C 相切,所以
2
4
4 1 4
0
k
km
n
,
即
2
0
k
km
n
.
又因为
1k ,
2k 是方程
2
0
k
km
n
的两根,则有
1
2
1 2
,
k
k
m k k
n
,
由
1
2
1
1
4
k
k
,可得
1
1
2
2
3
0
k k
k
k
,即
3
0
n
m
从而动点
,
P m n 在直线
3
0
x
y
上.
2.已知点F 为抛物线C: x2 = 2py(p > 0)的焦点,点M、N 在抛物线上,且M、N、F 三点共线.若圆P: (x −
2)2 + (y −3)2 = 16 的直径为MN.
(1)求抛物线C 的标准方程;
(2)过点F 的直线l 与抛物线交于点A,B,分别过A、B 两点作抛物线C 的切线l1,l2,证明直线l1,l2
的交点在定直线上,并求出该直线.
【解题思路】(1)由题可知MN 中点为�(�, �),|��| = �,设�、�到准线的距离分别为��,��.�到准线
的距离为�,由梯形中位线得到方程�= ��+
�
�=
��+��
�
,再根据抛物线定义求解.
(2)设���, ��,���, ��,由��= ��,得�=
��
�,则�′ =
�
�,分别设直线��的方程为�−��=
��
��−��,
直线��的方程为�−��=
��
��−��,联立��,��方程,求得交点坐标,再由直线�方程为�= ��+ �,与抛
物线��= ��联立,利用韦达定理求解.
【解答过程】(1)由题可知MN 中点为�(�, �),设�、�到准线的距离分别为��,��.�到准线的距离为�,
则�= ��+
�
�=
��+��
�
,由抛物线定义得��= |��|,��= |��|,所以��+ ��= |��| = �,
所以��+
�
�= �,即�= �× �−��= �.
所以抛物线�的标准方程为��= ��.
(2)设���, ��,���, ��,由��= ��,得�=
��
�,则�′ =
�
�,
所以直线��的方程为�−��=
��
��−��,直线��的方程为�−��=
��
��−��,
联立��,��方程得
�=
��+��
�
,
�=
����
�,
,即��,��的点坐标为
��+��
�
,
����
�
.
因为�过焦点�(�, �),
由题可知直线�的斜率存在,所以设直线�方程为�= ��+ �,
与抛物线��= ��联立得��−���−�= �,
所以����=−�,�=
����
�
=−�,
所以直线��,��的交点在定直线�=−�上.
3.已知点F 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,动点P 在抛物线上.
(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线l 与抛物线交于D,E 两点,若抛物线上存在点P,使得四边形DPEF 为平行四边形,证明:直线
l 过定点,并求出这个定点的坐标.
【答案】(1)
(1,0)
F
,=
1
x ;(2)证明见解析,1 ,0
2
【解析】(1)根据抛物线标准方程可得:焦点
(1,0)
F
,准线=
1
x .
(2)设
0
0
,
P x
y
,
1
1
,
D x y ,
2
2
,
E x
y
,
(1,0)
F
,直线l 为x
my
b
,联立
2
4
x
my
b
y
x
.
则
2
4
4
0
y
my
b
,
2
16
16
0
m
b
,所以
2
1
2
1
2
4
4
2
y
y
m
x
x
m
b
,
因为四边形DPEF 是平行四边形,所以FP
FD
FE
,
则
0
0
1
1
2
2
1,
1,
1,
x
y
x
y
x
y
,
所以
2
0
1
2
1
4
2
1
x
x
x
m
b
,
0
1
2
4
y
y
y
m
,代入
2
0
0
4
y
x
,
得:
2
2
(4 )
4 4
2
1
m
m
b
,解得
1
2
b
,即直线过定点1 ,0
2
.
4.已知抛物线C: y2 = 2px(p > 0),过点D 0,2 的直线l 与C 交于不同的两点A, B.当直线l 的倾斜角为135°
时,AB = 4 30.
(1)求C 的方程;
(2)在线段AB 上取异于点A, B 的点E,且满足
DA
DB =
AE
EB ,试问是否存在一条定直线,使得点E 恒在这条定
直线上?若存在,求出该直线;若不存在,请说明理由.
【解题思路】
(1)先求直线�的方程,再与抛物线联立组成方程组,利用韦达定理及两点距离公式,求弦|��|
的长即可;
(2)设直线�方程,再与抛物线联立组成方程组,利用韦达定理及相似三角形求解即可.
【解答过程】(1)设���, ��, ���, ��.
若直线�的倾斜角为���∘,则直线�的方程为�=−�+ �.
联立�=−�+ �,
��= ���, 得��−�+ ���+ �= �,
则�= (�+ ��)�−��= ���+ ���> �,
且��+ ��= �+ ��, ����= �,
所以��=
���+ ���−�����
= ����+ ��.
因为��= ���,所以�= �,故�的方程为��= ���.
(2)存在,定直线为�= ��.
由题意知直线��的斜率存在,
设直线�的方程为�= ��+ ��≠�,�(��, ��), �(��, ��).
联立��= ���,
�= ��+ �, 得����+ ��−���+ �= �.
由�≠�,Δ = (��−��)�−����> �,得�<
�
�且�≠�,
��+ ��=
��−��
��
, ����=
�
��.
不妨设��< ��, ���, ��,则�< ��< ��< ��,
过点�, �, �向�轴作垂线,垂足分别为点��, ��, ��,如图所示,
则
��
��=
���
���=
��
��,
��
��=
��−��
��−��.
因为
��
��=
��
��,所以
��
��=
��−��
��−��,
整理得�����= ����+ ��,所以��=
�����
��+��=
�
�−�.
代入直线�的方程得��= �⋅
�
�−�+ �=
�
�−�.
因为��= ���,所以点�恒在直线�= ��上.
5.已知抛物线E:y2 = 2px(p>0),过点−2,0 的两条直线l1,l2分别交E 于AB 两点和C,D 两点.当l1
的斜率为
2
3时,AB =
13.
(1)求E 的标准方程:
(2)设G 为直线AD 与BC 的交点,证明:点G 必在定直线上.
【解题思路】(1)根据直线的点斜式方程写出直线方程,与抛物线联立方程,利用弦长公式,求出�的值,
从而求出抛物线的标准方程;
(2)设直线方程为�= ���+ �或�= ��−�,与抛物线联立方程,由韦达定理得出����= �,����= �,
求出直线方程��和直线方程��,求出交点�的横坐标,然后进行化简,可以证明结论.
【解答过程】(1)当��的斜率为
�
�时,得��方程为�=
�
��+ �,
由
��= ���
�=
�
�(�+ �) ,消元得��−���+ ��= �,�= ( −��)�−�× ��> �,��+ ��= ��,����= ��;
由弦长公式得��=
�+
�
��(��+ ��)�−�����=
�+
�
(�
�)�(��)�−�× ��,
即���−���= �,解得�= �或�=−
�
�(舍去),�= �满足�> �,
从而�的标准方程为��= ��.
(2)法一:因为l1,l2分别交E 于AB 两点和C,D 两点,所以直线斜率存在
设直线��的方程为�= ���+ �,设�
��
�
�, ��, �
��
�
�, ��,
由�= ��(�+ �)
��= ��
,消去�得����−��+ ���= �,则����= �.
设直线��的方程为�= ���+ �, �
��
�
�, ��, �
��
�
�, ��,
同理�= ��(�+ �)
��= ��
,消去�得����−��+ ���= �可得����= �.
直线��方程为�−��=
��−��
��
�
�−
��
�
�
�−
��
�
�,即�=
�
��+���+
����
��+��,
化简得��−��+ ���+ ����= �,
同理,直线��方程为��−��+ ���+ ����= �,
因为−�, �在抛物线的对称轴上,由抛物线的对称性可知,交点�必在垂直于�轴的直线上,所以只需证�
的横坐标为定值即可.
由��−(��+ ��)�+ ����= �
��−(��+ ��)�+ ����= �消去�,
因为直线��与��相交,所以��+ ��≠��+ ��,
解得�=
������+��−������+��
���+��−��+��
,
= ������+ ������−������−������
���+ ��−��+ ��
=
���+���−���−���
���+��−��+��
=
�[(��+��)−(��+��)]
�[(��+��)−(��+��)]
= �,
所以点�的横坐标为2,即直线��与��的交点�在定直线�= �上.
法二:设直线��方程为�= ��−�,由�= ��−�
��= ��
消去�得��−���+ �= �,
设�
��
�
�, ��, �
��
�
�, ��,则����= �.
设直线��的方程为�= ��−�, �
��
�
�, ��, �
��
�
�, ��,
同理可得����= �.
直线��方程为�−��=
��−��
��
�
�−
��
�
�
�−
��
�
�,即�=
�
��+���+
����
��+��,
化简得��−��+ ���+ ����= �,
同理,直线��方程为��−��+ ���+ ����= �,.
因为−�, �在抛物线的对称轴上,由抛物线的对称性可知,交点�必在垂直于�轴的直线上,所以只需证�
的横坐标为定值即可.
由��−(��+ ��)�+ ����= �
��−(��+ ��)�+ ����= �消去�,
因为直线��与��相交,所以��+ ��≠��+ ��,
解得�=
������+��−������+��
���+��−��+��
,
= ������+ ������−������−������
���+ ��−��+ ��
=
���+���−���−���
���+��−��+��
=
�[(��+��)−(��+��)]
�[(��+��)−(��+��)]
= �,
所以点�的横坐标为2,即直线��与��的交点�在定直线�= �上.
6.已知抛物线C: x2 = 2py(p > 0)的焦点F 关于直线y =−2 的对称点为0, −5 .
(1)求C 的方程;
(2)若O 为坐标原点,过焦点F 且斜率为1 的直线l 交C 于A、B 两点,求AB ;
(3)过点M 4,1 的动直线l 交C 于不同的A, B 两点,N 为线段AB 上一点,且满足AM ⋅BN = AN ⋅BM ,
证明:点N 在某定直线上,并求出该定直线的方程.
【解题思路】(1)由焦点关于直线�= −2 的对称点为�, −�即可求得p 值,则抛物线方程可求;
(2)联立直线方程与抛物线方程,结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解;
(3)设直线�的方程为�−�= ��−�,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理化简��⋅��=
��⋅��,分析可得�=
��−�
��−�,则定直线方程可求.
【解答过程】(1)抛物线�: ��= ���(�> �)的焦点��,
�
�关于直线�= −2 的对称点为�, −�,于是
�
�
�
�−
�=−�,解得:�= �,
所以抛物线�的方程为��= ��.
(2)由(1)知��, �,直线�的方程为�= �+ �,设���, ��, ���, ��,
由��= ��
�= �+ �消去�得:��−��−�= �,Δ = ��> �,
则��+ ��= �, ����=−�,
所以��= ��+ �+ ��+ �= ��+ ��+ �= �.
(3)由题意可得直线�的斜率存在.设直线�的方程为�−�= ��−�,
代人抛物线方程,整理得��−���+ ���−�= �, �= ����−�(���−�) > �⇒�> �+
�或�< �−
�.
设���, ��, ���, ��, ���, ��,则��+ ��= ��, ����= ���−�,
由��⋅��= ��⋅��,
得
��−��+ ��−��
��−���+ ��−���=
��−��+ ��−��
��−���+ ��−���,
化简得��−�
��−��
=
��−�
��−��,
当��−�
��−��= ��−�
��−��时,因��≠��,化简得��= �,与直线�的斜率存在矛盾,不合题
意;
当��−�
��−��=−��−�
��−��时,
化简得���= �+ ��
��+ ��−�����.
即���= �+ ��× ��−����−�,
化简得���−�= ���−�,
又�=
��−�
��−�,所以���−�=
��−�
��−���−�,
化简得��= ���−�,
所以点�在直线��−�−�= �上.
题型八:圆锥曲线中定曲线问题
1.如图,线段AB 的两个端点,
A B 分别在x 轴、y 轴上滑动,|
| 5
AB
,点M 是AB 上一点,且
2
AM
,
点M 随线段AB 的运动而变化.
(1)求点M 的轨迹方程C ;
(2)动点P 在曲线C 外,且点P 到曲线C 的两条切线相互垂直,求证:点P 在定圆上.
【答案】(1)
2
2
1
9
4
x
y
;(2)证明见解析.
【解析】(1)由题设,令
( , ), ( ,0), (0, )
M x y
A a
B
b ,则
(
, ),
(
, )
AM
x
a y AB
a b
,
由|
| 5
AB
,点M 是AB 上一点,且
2
AM
,
所以
2
5
AM
AB
,故
2
5
2
5
x
a
a
y
b
,即
5
3
5
2
a
x
b
y
,则
2
2
2
2
25
25
25
9
4
a
b
x
y
,
所以
2
2
1
9
4
x
y
.
(2)令
( , )
P a b ,
若切线斜率存在且不为0,令切线为y
kx
m
,则m
b
ak
,
联立y
kx
m
与
2
2
1
9
4
x
y
,得
2
2
2
(4
9
)
18
9
36
0
k
x
kmx
m
,
所以
2
2
2
2
324
36(4
9
)(
4)
0
k m
k
m
,即
2
2
4
9
m
k
,
所以
2
2
(
)
4
9
b
ak
k
,则
2
2
2
(
9)
2
4
0
a
k
abk
b
,
又点P 到曲线C 的两条切线相互垂直,若两切线斜率分别为
1
2
,
k k ,
故
2
1
2
2
4
1
9
b
k k
a
,即
2
2
13
a
b
,
若切线斜率不存在或为0,则P 坐标为(3,2) 或(3, 2)
或( 3,2)
或( 3, 2)
,
它们都满足
2
2
13
a
b
,综上,点P 在定圆
2
2
13
x
y
上.
2.已知中心为坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆C 经过点
3,
2
M
,
6, 1
N
.
(1)求C 的方程;
(2)已知点
3,0
D
,直线
:
3,
0
l x
ty
n n
t
与C 交于,
A B 两点,且直线
,
DA DB 的斜率之和为1
t
,证明:
点
,t n 在一条定抛物线上.
【答案】(1)
2
2
1
9
3
x
y
;(2)证明见解析
【解析】(1)依题意设C 的方程为
2
2
1
px
qy
,
因为C 经过点
3,
2
M
,
6, 1
N
,
所以
3
2
1
6
1
p
q
p
q
,解得
1
9
1
3
p
q
,
故C 的方程为
2
2
1
9
3
x
y
.
(2)证明:设直线
,
DA DB 的斜率分别为
1k ,
2k ,
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
.
将x
ty
n
代入
2
2
1
9
3
x
y
,得
2
2
2
3
2
9
0
t
y
tny
n
.
由题设可知
2
2
12 3
9
0
t
n
,
1
2
2
2
3
tn
y
y
t
,
2
1
2
2
9
3
n
y y
t
,
所以
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
y
x
y
x
y ty
n
y
ty
n
y
y
k
k
x
x
x
x
ty
n
ty
n
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
3
1
(
3)
3
ty y
n
y
y
t
t y y
t n
y
y
n
,
所以
2
2
1
2
3
0
t y y
n
,
所以
2
2
2
2
2
2
9
3
3
3
3
0
3
3
n
n
t
n
n
t
n
t
t
.
因为
3
n
,
所以
2
2
3
3
0
3
n
t
n
t
,
所以
2
2
3
n
t
,
故点
,t n 在抛物线
2
2
3
y
x
上,即点
,t n 在一条定抛物线上.
3.已知点
2,1
A
,
2,1
B
在双曲线C :
2
2
1
2
x
y
上,过点
0, 3
D
作直线l 交双曲线于点E ,F (不与
点A ,B 重合).证明:
(1)记点
0,2
5
P
,当直线l 平行于x 轴,且与双曲线的右支交点为E 时,P ,A ,E 三点共线;
(2)直线AE 与直线BF 的交点在定圆上,并求出该圆的方程.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;
2
2
2
5
x
y
.
【解析】(1)由题意,当直线l 平行于x 轴时,l 方程为=
3
y
,
且与双曲线的右支交点为E ,则
2
2
3
1
(2 5, 3)
2
x
E
,
AE 的斜率
4
1
5
2
2
2 5
AE
k
,
AP 的斜率
1
5
1
5
2
2
AP
AE
k
k
,
所以P ,A ,E 三点共线.
(2)由题知直线EF 斜率存在,且过
0, 3
D
,
设
:
3
EF y
kx
,
1
1
2
2
,
,
,
E x y
F x
y
与双曲线
2
2
1
2
x
y
联立得:
2
2
1
2
12
20
0
k
x
kx
,
2
1 2
0
k
且
2
80
16
0
k
则
1
2
1
2
2
2
20
12
,
2
1
2
1
k
x x
x
x
k
k
,
设直线AE 与直线BF 的交点为G ,斜率分别为
1
2
,
k k ,
则
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
4
2
8
16
2
2
tan
1
1
1
1
2
4
4
12
1
2
2
y
y
k
x
x
x
k
k
x
x
BGA
y
y
k k
k
x x
k
x
x
x
x
x
2
1
2
2
1
2
8
48
16
8
1 2
2
4
24
8
4
1 2
k
k
x
k
k
k
x
k
,
2 5
tan
2
sin
5
BGA
BGA
,
在
BGA
△
中,
2 5
sin
5
BGA
,AB
4
,
由正弦定理得
BGA
△
外接圆半径
4
5
2sin
4 5
5
AB
R
BGA
,
所以G 在过,
A B 且半径为5 的圆上,设其圆心为H ,
因为
2,1
A
,
2,1
B
,H 在线段AB 的中垂线上,
所以H 在y 轴上,设
(0, ),
1
H
t t ,
则由
2
2
2
2
1
5
4
1
2
2
AB
R
t
t
t
或
0
t
(舍),
所以定圆方程为
2
2
2
5
x
y
.
模块三:综合巩固
1.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为e =
2
2 ,椭圆上的点P 与两个焦点F1、F2构成的三角形的
最大面积为1.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若点Q 为直线x + y −2 = 0 上的任意一点,过点Q 作椭圆C 的两条切线QD、QE(切点分别为D、E),
试证明动直线DE 恒过一定点,并求出该定点的坐标.
【解题思路】(1)根据条件得到关于�, �, �的方程组,即可求解;
(2)首先利用点�, �的坐标表示切线方程,并利用两点确定一条直线,确定直线��的方程,再根据含参
直线确定定点坐标.
【解答过程】(1)∵椭圆�:
��
��+
��
��= �(�> �> �)的离心率为�=
�
�,
椭圆上的点�与两个焦点��、��构成的三角形的最大面积为1,
∴
�
�=
�
�
��= �
��= ��+ ��
,
解得�=
�, �= �= �,
∴椭圆�的方程为
��
�+ ��= �.
(2)证明:设切点为���, ��, ���, ��,则切线方程为���+ ����= �, ���+ ����= �,
∵两条切线都过�+ �−�= �上任意一点��, �−�,
∴得到���+ ����−�= �, ���+ ����−�= �,
∴���, ��、���, ��都在直线��+ ��−��= �上,
又��−���+ ��−�= �, ��−��+ ��−
�
�= �,
由
�−��= �
�−
�
�= �,得
�= �
�=
�
�
,
即对任意的�,直线��+ ��−��= �始终经过定点�,
�
�.
∴动直线��恒过一定点�,
�
�.
2.已知双曲线C1:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的右焦点为F
6, 0 ,双曲线C1与抛物线C2: y2 = 2px 交于点
A 2,2 .
(1)求C1, C2的方程;
(2)作直线l 与C1的两支分别交于点M, N,使得AM ⊥AN,求证:直线MN 过定点.
【解题思路】(1)由双曲线的右焦点坐标和点�的坐标,联立方程组,求得�, �的值,求得双曲线的标准方
程;将点�的坐标代入抛物线方程,求得�的值,进而求得抛物线的标准方程;
(2)先设定直线�的方程,并与双曲线方程联立,由韦达定理形式表达��⊥��,化简表达式,进而证明
结论即可.
【解答过程】(1)双曲线��的焦点为�( �, �),过点(�, �),
则有
�
��−
�
��= �
��+ ��= �
,解得�= �
�=
�,则��:
��
�−
��
�= �,
由抛物线��也过(�, �),得�= ��,�= �,则��: ��= ��,
所以��, ��的方程分别为
��
�−
��
�= �,��= ��.
(2)由于点�, �在双曲线��左右两支上,则直线�的斜率存在,
设�的方程为:�= ��+ �, ���, ��, ���, ��,
由
��
�−
��
�= �
�= ��+ �
,消去y 得:(�−��)��−����−��−�= �,
�= �����−�(��−�)(��+ �) > �,即��+ �−���> �,
��+ ��=
���
�−��, ����=
−��−�
�−��,��+ ��= �(��+ ��) + ��=
��
�−��,
����= (���+ �)(���+ �) = ������+ ��(��+ ��) + ��
即����= ��⋅
−��−�
�−��+
�����
�−��+ ��=
���−���
�−��,
又�(�, �),故��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= (��−�, ��−�), ��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��−�, ��−�),
由��⊥��,得��Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �,
即��Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��−�)(��−�) + (��−�)(��−�) = ����+ ����−�(��+ ��) −�(��+ ��) + �,
��Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= −��−�
�−��
+ ���−���
�−��
−���
�−��−
��
�−��+ �= �
整理得:−����−���+ ��−��+ ��= �,即(��+ �−�)(��−�+ �) = �,
显然�(�, �)不在直线��上,即��+ �−�≠�,
于是��−�+ �= �,满足�> �,
因此直线��的方程为�= ��+ ��+ �,即�= �(�+ �) + �,
恒过定点�( −�, �),所以直线��过定点�( −�, �).
3.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的虚轴长为2 2,点P(3, −2)在C 上.设直线l 与C 交于A,B 两
点(异于点P),直线AP 与BP 的斜率之积为
1
3.
(1)求C 的方程;
(2)证明:直线l 的斜率存在,且直线l 过定点.
【解题思路】(1)借助虚轴定义得�=
�,将�(�, −�)的坐标代入方程得��= �,即可求解双曲线方程;
(2)设出直线方程,代入曲线中,可得与交点横坐标有关韦达定理,借助韦达定理计算斜率之积可得直
线l 中参数关系,即可得其定点.
【解答过程】(1)因为虚轴长为��= ��,所以�=
�,
将�(�, −�)的坐标代入方程
��
��−
��
��= �,得
�
��−
�
�= �,解得��= �,
故�的方程为
��
�−
��
�= �.
(2)设���, ��, ���, ��,直线AP 的斜率为��,直线BP 的斜率为��.
当直线�的斜率不存在时,设�: �= �,联立
��
�−
��
�= �
�= �
得�=±
���
�−�,
即��,
���
�−�, ��, −
���
�−�,
由����=
�
�,得
���
�−�+�
�−�
×
−
���
�−�+�
�−�
=
�
�,解得�=−�(舍去)或�= �(舍去),
所以直线�的斜率存在,设直线�的方程为�= ��+ �,
代入�的方程得�−�����−����−���−�= �,
则��+ ��=
���
�−���, ����=
−���−�
�−���,
由����=
��+�
��+�
��−�
��−�=
���+�+�
���+�+�
����−���+��+�
=
������+�(�+�) ��+��+(�+�)�
����−���+��+�
=
�
�,
可得��−
�
�����+ (��+ ��+ �) ��+ ��+ ��+ ��+ �= �,
即��−
�
�·
−���−�
�−���+ (��+ ��+ �)·
���
�−���+ ��+ ��+ �= �,
化简得���+ (��+ �)�−���−�= �,即(��−��+ �)(�+ ��+ �) = �,
所以�= �−
�
�或�=−��−�,
当�=−��−�时,直线�的方程为�= ��−��−�,直线�过点�(�, −�),
与条件矛盾,舍去;
当�= �−
�
�时,直线�的方程为�= ��+ �−
�
�,直线�过定点−�, −
�
�.
4.已知抛物线C: y2 = 2px p > 0 的焦点为F,O 为原点,第一象限内的点P 在C 上,PO = PF ,且△POF
的面积为2 2.
(1)求C 的方程;
(2)若M,N 是C 上与P 不重合的两动点,且PM ⊥PN,求证:直线MN 过定点.
【解题思路】(1)根据��= ��,可得�(
�
�,
�
��),由面积公式即可求出�,从而得到抛物线方程;
(2)设直线��的方程为:�= ��+ �,�(��, ��),�(��, ��),联立方程结合韦达定理可得��+ ��= ��,
����=−��,
由��⊥��,利用向量关系化简可得:(�−�)�−�(�+
�)�= �,从而得到�,�的关系,即可证明.
【解答过程】(1)由题可得�(
�
�, �),由��= ��,可得�的横坐标为
�
�,
因为点�在第一象限内,则�(
�
�,
�
��),
所以�△���=
�
�×
�
�×
��
�= ��,解得:�= �,
所以抛物线方程为��= ��
(2)由(1)可得:�(�, �),�(�, ��),
显然直线��的斜率不为0,设直线��的方程为:�= ��+ �,�(��, ��),�(��, ��),
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��−�, ��−��),��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��−�, ��−��)
联立方程
��= ��
�= ��+ �,可得:��−���−��= �,
所以�= ����+ ���> �,即���+ �> �,��+ ��= ��,����=−��,
因为��⊥��,所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��−�, ��−��) ⋅(��−�, ��−��) = �,
则����−(��+ ��) + �+ ����−����+ ��+ �= �,
化简得:
��
���
�
��−(���+ ���+ ��) −��−����+ �= �,
则��−���−�(��+ ���) + �= �,
所以(�−�)�−�(�+
�)�= �,
解得:�−�= ���+ �,或�−�=−���−�,
当�−�= ���+ �时,即�= ���+ �,且���+ �= ���+ ���+ �= ( ��+ �)�+ �> �,
所以�= ��+ �= ��+ ���+ �= �(�+ ��) + �,所以直线��过定点为(�, −��),
当�−�=−���−�时,即�=−���+ �,且���+ �= ���−���+ �= ( ��−�)�≥�,
所以�= ��+ �= ��−���+ �= �(�−��) + �,所以直线��过定点为(�, ��),即点�,不满足
题意,舍去;
综上:直线��过定点为(�, −��).
5.已知抛物线C:y2 = 2px p > 0 与椭圆E:
y2
a2 +
x2
b2 = 1 a > b > 0 的一个交点为A(1,2),且E 的离心率
e =
2
2 .
(1)求抛物线C 和椭圆E 的方程;
(2)过点A 作两条互相垂直的直线AP,AQ,与C 的另一交点分别为P,Q,求证:直线PQ 过定点.
【解题思路】(1)将点�(�, �)坐标代入抛物线方程可求出�,从而可求出抛物线的方程,再将点�(�, �)的
坐标代入椭圆方程,结合�=
�
�和��= ��+ ��,从而可求出椭圆方程;
(2)设直线��为�= ��+ �,�(��, ��), �(��, ��),将直线方程代入抛物线方程,化简利用根与系数的关
系,表示出���,���,由��⊥��,得���⋅���=−�,化简后可得�= ��+ �,代入�= ��+ �可求得
直线过的定点.
【解答过程】(1)因为点�(�, �)在抛物线C:��= ����> �上,
所以��= �,得�= �,所以抛物线方程为��= ��,
因为点�(�, �)在椭圆E:
��
��+
��
��= ��> �> �上,离心率�=
�
�,
所以
�
��+
�
��= �
�
�=
�
�
��= ��+ ��
,解得
�=
�
�=
�
�=
�
,
所以椭圆方程为
��
�+
��
�= �
(2)由题意可知直线��的斜率不为零,所以设直线��为�= ��+ �,�(��, ��), �(��, ��),
由
��= ��
�= ��+ �,得��−���−��= �,
由�= ����+ ���> �,得��+ �> �,则��+ ��= ��, ����=−��,
由题意可知直线��,��的斜率均存在且不为零,
所以���=
��−�
��−�=
��−�
��
�
�−�
=
�(��−�)
��
�−�=
�
��+�,���=
��−�
��−�=
��−�
��
�
�−�
=
�(��−�)
��
�−�=
�
��+�,
因为��⊥��,所以���⋅���=
�
��+�⋅
�
��+�=−�,
所以(��+ �)(��+ �) =−��,则����+ �(��+ ��) + ��= �,
所以−��+ ��+ ��= �,得�= ��+ �,所以直线��为�= ��+ ��+ �,
所以(�−�) = �(�+ �),所以直线��恒过定点(�, −�)
6.在平面直角坐标系xOy 中,动点M 到直线
4
x
的距离等于点M 到点
(1,0)
D
的距离的2 倍,记动点M 的轨
迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程;
(2)己知斜率为1
2 的直线l 与曲线C 交于A、B 两个不同点,若直线l 不过点
3
1, 2
P
,设直线PA
PB
、
的
斜率分别为
PA
PB
k
k
、
,求
PA
PB
k
k
的值;
(3)设点Q 为曲线C 的上顶点,点E、F 是C 上异于点Q 的任意两点,以EF 为直径的圆恰过Q 点,试判
断直线EF 是否经过定点?若经过定点,请求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.
【解析】(1)不妨设点M 的坐标为( , )
x y ,
由题意可知,
2
2
|
4| 2 (
1)
(
0)
x
x
y
,
化简可得,
2
2
1
4
3
x
y
,
故曲线C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
(2)不妨设直线l 的方程:
1
2
y
x
m
,
1
1
(
,
)
A x y
,
2
2
(
,
)
B x
y
,
因为直线l 不过点
3
1, 2
P
,易知
1
m ,
由
2
2
1
2
1
4
3
y
x
m
x
y
可得,
2
2
3
0
x
mx
m
,
由
2
2
Δ
4
3
0
m
m
且
1
m 可得,2
1
m
或1
2
m
,
由韦达定理可知,
1
2
x
x
m
,
2
1
2
3
x x
m
,
因为
1
1
3
2
1
PA
y
k
x
,
2
2
3
2
1
PB
y
k
x
,
1
1
1
2
y
x
m
,
2
2
1
2
y
x
m
,
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
(
2)(
)
2
3
2
2
1
1
(
)
1
PA
PB
y
y
x x
m
x
x
m
x
x
x
k
k
x
x
x
,
将
1
2
x
x
m
,
2
1
2
3
x x
m
代入上式得,
0
PA
PB
k
k
,
故
PA
PB
k
k
的值为0.
(3)由椭圆方程
2
2
1
4
3
x
y
可知,Q 点坐标为(0, 3),
因为以EF 为直径的圆恰过Q 点,所以QE
QF
,
结合椭圆特征可知,直线EF 的斜率存在,
不妨设直线EF 方程:y
kx
b
,且
3
b
,
3
3
(
,
)
E x
y
,
4
4
(
,
)
F x
y
,
由
2
2
1
4
3
y
kx
b
x
y
可得,
2
2
2
(4
3)
8
4
12
0
k
x
kbx
b
,
由
2
2
2
(8
)
4(4
3)(4
12)
0
kb
k
b
可得,
2
2
4
3
b
k
,
由韦达定理可知,
3
4
2
8
4
3
kb
x
x
k
,
2
3
4
2
4
12
4
3
b
x x
k
,
因为
3
3
(
,
3)
QE
x
y
,
4
4
(
,
3)
QF
x
y
,
3
3
y
kx
b
,
4
4
y
kx
b
,
所以
2
2
3
4
3
4
3
4
3
4
(
3)(
3)
(
1)
(
3)(
)
(
3)
0
QE QF
x x
y
y
k
x x
k b
x
x
b
,
将
3
4
2
8
4
3
kb
x
x
k
,
2
3
4
2
4
12
4
3
b
x x
k
代入上式并化简可得,
3
7
b
,
故直线EF 方程:
3
7
y
kx
,
易知直线EF 必过定点
3
(0,
)
7
,
从而直线EF 经过定点,定点坐标为
3
(0,
)
7
.
7.已知椭圆Γ:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的右焦点为F,过点F 作x 轴的垂线交椭圆Γ于点P(1,
3
2 ).过点P 作
椭圆Γ的切线,交x 轴于点Q.
(1)求点Q 的坐标;
(2)过点Q 的直线(非x 轴)交椭圆Γ于A、B 两点,过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D,求证:线
段AD 的中点在定直线上.
【解题思路】(1)根据给定条件,求出�, �, �,进而求出椭圆�的方程,再设出切线方程,并与椭圆方程联
立,由�= �求出切线方程即可得解.
(2)设直线��:�= ��+ �,�(��, ��), �(��, ��),联立直线��与�的方程,求出��的中点纵坐标,结合
韦达定理计算推理即得.
【解答过程】(1)依题意,点�(�, �),
��−��= �
�
��+
�
���= �,解得�= �, �=
�,椭圆�:
��
�+
��
�= �,
显然过点�的椭圆�的切线斜率存在,设其方程为�= �(�−�) +
�
�,
由��= ���−(��−�)
���+ ���= ��
消去�并整理得(���+ �)��−��(��−�)�+ (��−�)�−��= �,
�= ����(��−�)�−�(���+ �)[(��−�)�−��] = ��(���+ �) −��(��−�)�= �,
整理得���+ ��+ �= �,解得�=−
�
�,切线方程为�=−
�
��+ �,由�= �,得�= �,
所以点�的坐标是(�, �).
(2)设直线��的方程为�= ��+ �,�(��, ��), �(��, ��),线段��的中点�(��, ��),
由
�= ��+ �
���+ ���= ��消去�得(���+ �)��+ ����+ ��= �,
则�′ = �����−���(���+ �) > �⇔|�| > �,��+ ��=
−���
���+�, ����=
��
���+�,������=−�(��+ ��),
直线��的方程为�=
��−�
�
��−�(�−�) +
�
�,则点�(��,
(��−�
�)(��−�)
��−�
+
�
�),
于是��= ��,��=
(��−�
�)(��−�)
�(��−�)
+
�
�(��+
�
�) =
(��−�
�)(���+�)+(��+�
�)(���+�)
�(���+�)
=
������+�(��+��)+�
����−�
����
�(���+�)
=
�
����−�
����
�(���+�),
��+ �
���=
�
����−�
����
�(���+ �) + �
���=
�
����−�
����
�(���+ �) + �
����+ �=
�
����−�
����+ ���(���+ �)
�(���+ �)
+ �
=
����−����+����(���+�)
�(���+�)
+ �=
��(��+��)+�������
�(���+�)
+ �= �,因此点�(��, ��)在直线�=−
�
��+ �上,
所以线段��的中点在定直线�=−
�
��+ �上.
8.已知椭圆E:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的短轴长为2 3,左、右顶点分别为C, D,过右焦点F 1,0 的直线l
交椭圆E 于A, B 两点(不与C, D 重合),直线AC 与直线BD 交于点T.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)求证:点T 在定直线上.
【解题思路】(1)根据给定条件,求出�, �, �即可得解.
(2)设出直线��方程,与椭圆方程联立,再求出直线��与直线��的交点横坐标,并结合韦达定理计算
即得.
【解答过程】(1)依题意,�=
�,半焦距�= �,则�=
��+ ��= �,
所以椭圆�的方程为
��
�+
��
�= �.
(2)显然直线��不垂直于y 轴,设直线��: �= ��+ �,
由
�= ��+ �
���+ ���= ��消去x 并整理得���+ ���+ ���−�= �,
�= ����+ ��(���+ �) = ���(��+ �) > �,设���, ��, ���, ��,
则��+ ��=
−��
���+�, ����=
−�
���+�,且有�����=
�
���+ ��,
直线��: �=
��
��+�(�+ �),直线��: �=
��
��−�(�−�),
联立消去y 得
��
��+�(�+ �) =
��
��−�(�−�),即(
��
��−�−
��
��+�)�=
���
��+�+
���
��−�,
整理得[����+ �−����−�]�= �����−�+ �����+ �,
即[�����+ �−�����−�]�= ������−�+ ������+ �,
于是���+ ���= ������−���+ ���,而������=
�
���+ ��,
则���+ ���= ���+ ��−���+ ���,因此�=
���+��−���+���
���+��
=
����+���
���+��= �,
所以点�在定直线�= �上.
9.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y = 3 与C 的左、右两支分
别交于M,N 两点,四边形MF1F2N 为矩形,且面积为12.
(1)求四边形MF1F2N 的外接圆方程;
(2)设A,B 为C 的左、右顶点,直线l 过点( −3,0)与C 交于P,Q 两点(异于A,B),直线AP 与BQ 交
于点R,证明:点R 在定直线上.
【解题思路】(1)依题意可得���⊥����,且���= �,由
��
��−
��
��= �
�=−�
求出�点,再根据矩形面积及��=
��+ ��求出�、�、�,即可得到双曲线方程及�、��点坐标,再求出线段的中点及线段长,最后求出外接
圆的方程;
(2)设直线�为�= ��−�,���, ��,���, ��,联立消元、列出韦达定理,表示出��与��的方程,
联立求出�,即可得证.
【解答过程】(1)由双曲线�:
��
��−
��
��= �的左、右焦点分别为��−�, �,���, �,
直线�= �与�的左、右两支分别交于�,�两点,且四边形������为矩形,
所以���⊥����,且���= �,
由
��
��−
��
��= �
�=−�
,解得
�=−�
�=−
��
�
或
�=−�
�=
��
�
,
即�−�,
��
�,则
��
�= �,又��= ��+ ��,�������= �× ��= ��,
解得�= �,�= �,�=
�,
所以双曲线�的方程为��−
��
�= �,
所以��−�, �,���, �,�−�, �,��, �,
所以���的中点为��,
�
�,又���=
��+ ��= �,
所以矩形������的外接圆的方程为��+ �−
�
�
�
=
��
�.
(2)由(1)知�−�, �,��, �,
依题意知直线�的斜率不为零,设直线�为�= ��−�,���, ��,���, ��
��, ��≠�,
由��−
��
�= �
�= ��−�
,得���−���−����+ ��= �.
当���−�≠�且Δ = �����−�× �����−�= ����+ ��> �,
所以��+ ��=
���
���−�,����=
��
���−�,
所以
�
���+ ��= �����,
直线��的方程为�=
��
�1+1 �+ �,直线��的方程为�=
��
��−��−�,
联立两方程可得,所以
��
�1+1 �+ �=
��
��−��−�,
�+�
�−�=
��+�
��⋅
��
��−�=
���−���
�����−�=
�����−���
�����−���,
所以
�+�
�−�=
�
���+��−���
�
���+��−���=
�
���−�
���
−�
���+�
���=−
�
�,
解得�=−
�
�,
故点�在定直线�=−
�
�上.
10.已知抛物线C: y2 = 2px(p > 0)的焦点为F,过F 作互相垂直的直线l1, l2,分别与C 交于A, B 和D,E 两
点(A,D 在第一象限),当直线l1的倾斜角等于45°时,四边形ADBE 的面积为32.
(1)求C 的方程;
(2)设直线AD 与BE 交于点Q,证明:点Q 在定直线上.
【解题思路】
(1)由抛物线的对称性知��= ��,由四边形的面积求出��= �,又��的方程为�= �−
�
�,
联立直线与抛物线方程,利用韦达定理及焦点弦公式求出�,即可得解;
(2)设直线��的方程为�= ��−�
�≠�,则直线��的方程为�=−
�
��−�,设���, ��, ���, ��,
联立直线与抛物线方程,消元、列出韦达定理,表示出直线��、��的方程,联立解得�= −1,即可得证.
【解答过程】(1)当直线��的倾斜角等于��∘时,直线��的倾斜角等于���∘,
直线��的方程为�= �−
�
�,由抛物线的对称性知��= ��,
所以�����=
�
�����= ��,得��= �.
联立方程组�= �−
�
�
��= ���
,消去�得��−���+
��
�= �.
设�, �两点的横坐标分别为��, ��,则�= ���> �,��+ ��= ��.
又��= ��+ ��+ �= ��= �,所以�= �,所以�的方程为��= ��.
(2)由(1)知��, �,依题意,可设直线��的方程为�= ��−�
�≠�,
则直线��的方程为�=−
�
��−�.
联立方程组�= ��−�,
��= ��,
消去�得��−
�
��−�= �,显然�> �,
设���, ��, ���, ��,则��+ ��=
�
�, ����=−�.
设���, ��, ���, ��,同理可得��+ ��=−��, ����=−�,
所以���=
��−��
��−��=
��−��
��
�
�−
��
�
�
=
�
��+��,同理可得���=
�
��+��.
直线��的方程为�−��=
�
��+���−��,
即�=
�
��+���−
��
�
�
+ ��=
�
��+���+
����
��+��.
同理,直线��的方程为
�=
�
��+���+
����
��+��=
�
−�
��−�
��
�+
��
����
−�
��−�
��
=−
����
��+���−
�
��+��.
两直线方程联立得
�
��+���+
����
��+��=−
����
��+���−
�
��+��,解得�= −1,
即直线��与��的交点�在定直线�= −1 上.
11.已知抛物线C:y2 = 2px p > 0 的焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线交C 于A,B 两点,且AB = 4.
(1)求抛物线C 的方程,并写出焦点坐标;
(2)过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M,N 两点(异于A,B 两点),且M,A 位于x 轴同一侧,直线AM
与直线BN 相交于点G,证明:点G 在定直线上.
【解题思路】(1)求出焦点�的坐标,再联立直线��与抛物线方程求出�值即可得解.
(2)设出直线�的方程,与抛物线方程联立,再求出直线��, ��的方程,并联立求出交点�的横坐标即可.
【解答过程】(1)抛物线�:��= ���的焦点�(
�
�, �),则直线��: �=
�
�,由
�=
�
�
��= ���
得|�| = �,
依题意,|��| = ��= �,解得�= �,
所以抛物线�的方程为��= ��,焦点�(�, �).
(2)由抛物线对称性,不妨令点�在�上方,由(1)知,�(�, �), �(�, −�),
显然直线�不垂直于坐标轴,设其方程为�= ��+ �(�≠�),�(��, ��), �(��, ��),��< �< ��,
由�= ��+ �
��= ��消去�得:��−���−�= �,显然�> �,��+ ��= ��, ����=−�,
直线��的斜率为���=
��−�
��−�=
��−�
��
�
�−�
=
�
��+�,方程为�=
�
��+�(�−�) + �,
直线��的斜率为���=
��+�
��−�=
��+�
��
�
�−�
=
�
��−�,方程为�=
�
��−�(�−�) −�,
由
�=
�
��+�(�−�) + �
�=
�
��−�(�−�) −�
消去�得:(
�
��+�−
�
��−�)(�−�) =−�,
整理得�= �−
�
�
��+�−
�
��−�
= �−
(��+�)(��−�)
(��−�)−(��+�) = �−
����+���−���−�
��−��−�
= �−
���−���−�
��−��−�=−�,
因此点�的横坐标恒为−�,所以点�在定直线�=−�上.
12.已知抛物线C1:x2 = 2py(p > 0)和圆C2:x + 1 2 + y2 = 2,倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2
相切.
(1)求p 的值:
(2)点M 在C1的准线上,动点A 在C1上,C1在A 点处的切线l2交y 轴于点B,设MNԦ
ሬሬሬሬ= MAԦ
ሬሬሬሬ+ MBԦ
ሬሬሬሬ,求证:点
N 在定直线上,并求该定直线的方程.
【解题思路】
(1)设直线l1的方程为�= �+
�
�,再根据直线和圆相切求出�的值得解;
(2)依题意设�(�, −�),求出切线l2的方程和B 点坐标,求出��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��−��,�,��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��−� ,�,
即得证.
【解答过程】(1)
由题得抛物线��:��= ���的焦点坐标为(�,
�
�),
设直线l1的方程为�= �+
�
�,
由已知得圆��:�+ ��+ ��= �的圆心��( −�, �),半径�=
�,
因为直线l1与圆��相切,
所以圆心到直线��:�= �+
�
�的距离�=
−�+�
�
��+ −��=
�,
即
−�+�
�
�
=
�,解得�= �或�=−�(舍去).
所以�= �.
(2)
依题意设�(�, −�),由(1)知抛物线��方程为��= ���,
所以�=
��
��,所以�′ =
�
�,设A(��,��),则以A 为切点的切线l2的斜率为�=
��
�,
所以切线l2的方程为�=
�
����−��+ ��.
令�= �,�=−
�
���
�+ ��=−
�
�× ����+ ��=−��,即l2交y 轴于B 点坐标为(�, −��),
所以��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= (��−�,��+ �), ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= −�, −��+ �,
∴��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��−��,�,
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��−� ,�.
设N 点坐标为(x,y),则�= �,
所以点N 在定直线�= �上.