10.4 概率的基本性质
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：概率的基本性质............................................................. 2
考点二：互斥事件的概率加法公式..................................................2
考点三：对立事件的概率............................................................. 2
考点四：概率的一般加法公式....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：概率的基本性质............................................................. 2
题型二：互斥事件概率加法公式的应用............................................4
题型三：对立事件概率公式的应用..................................................7
题型四：概率的一般加法公式的应用.............................................12
题型五：游戏公平性问题........................................................... 14
题型六：概率的基本性质综合应用................................................16
题型七：古典概型与统计综合应用................................................21
模块三：综合巩固....................................................................... 27
10.4 概率的基本性质
模块一：基础知识
考点一：概率的基本性质
性质1：对任意的事件A ，都有
( )
0
P A
；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
( )
1
P
，
(
)
0
P
；
性质5：如果A
B
，那么
( )
( )
P A
P B
，由该性质可得，对于任意事件A ，因为
A
，所以
0
( )
1
P A
.
考点二：互斥事件的概率加法公式
性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
；
注意：只有事件A 与事件B 互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
考点三：对立事件的概率
性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么
( )
1
( )
P B
P A
，
( )
1
( )
P A
P B
；
考点四：概率的一般加法公式
性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
模块二：题型分类
题型一：概率的基本性质
1.已知
0.5
P A
，
0.3
P B
.（1）如果B
A
，那么
P A
B
，
P AB
，（2）如果A，
B 互斥，那么
P A
B
，
P AB
.
【答案】
0.5
0.3
0.2
0.8
0
0.5
【解析】（1）如果B
A
，那么A
B
A
，A
B
B
，所以
(
)
( )
0.5
P A
B
P A
，
(
)
( )
0.3
P AB
P B
，
（2）如果A，B 互斥，那么A
B
，则
(
)
( )
( )
0.5
0.3
0.8
P A
B
P A
P B
，
(
)
0
P AB
，
故答案为：0.5；0.3；；0.8；0；
2.已知在一次随机试验E 中，定义两个随机事件A ，B ，且
( )
0.4
P A
，
( )
0.3
P B
，
0.3
P A
B
，则
(
)=
P A
B
.
【答案】0.4/ 2
5
【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.
【详解】由题意
(
)=
( )
(
)
0.4
0.3
0.3
0.4
( )
P A
B
P B
P A
B
P A
.
故答案为：0.4.
3.（多选）设
,
A B 为两个随机事件，以下命题错误的为（
）
A．若
,
A B 是对立事件，且
1
5
P A
，则
4
25
P AB
B．若
,
A B 是对立事件，则
1
P A
B
C．若
,
A B 是互斥事件，
1
3
P A
，
1
2
P B
，则
1
6
P A
B
D．若
,
A B 是互斥事件，
1
1
,
4
3
P A
P B
，则
1
2
P A
B
【答案】AC
【解析】对于选项A，若
,
A B 是对立事件，则
0
P AB
，故A 项错误；
对于选项B，当
,
A B 是对立事件时，
(
)
( )
1
P A
B
P
，故B 项正确；
对于选项C，当
,
A B 是互斥事件，
1
( )
3
P A
，
1
( )
2
P B
，则
1
1
5
2
3
6
P A
B
P A
P B
，故C 项
错误；
对于选项D，若
,
A B 是互斥事件，
1
4
P A
，
1
3
P B
则
1
1
1
( )
( )
4
3
2
P A
B
P A
P B
，故D 项正
确.
故选：AC.
4.已知事件A，B 是互斥事件，
1
6
P A
，
2
3
P B
，则
P A
B
（
）
A．1
18
B．4
9
C．1
2
D．2
3
【答案】C
【解析】∵
1
P B
P B
，
2
3
P B
，∴
1
3
P B
，
∵事件A，B 是互斥事件，∴
P A
B
P A
1
1
1
6
3
2
P B
．故选：C
5.（多选）设
,
A B 为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（
）
A．若
1
3
P A
，
1
2
P B
，则当且仅当
5
6
P A
B
时，
,
A B 是互斥事件
B．若
1
3
P A
，
2
3
P B
，则A
B
是必然事件
C．若A ，B 是互斥事件
1
3
P A
，
1
2
P B
，则
1
6
P A
B
；
D．若A ，B 是对立事件，则
1
P A
B
；
【答案】AD
【解析】对于A，因为
1
1
5
3
2
6
P A
P B
P A
B
，所以
,
A B 是互斥事件，所以A 正确，
对于B，若事件A 为“抛骰子点数出现1 或2”，则
1
3
P A
，
若事件B 为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则
2
3
P B
，而此时A
B
不是必然事件，所以B 错误，
C 选项，由
,
A B 是互斥事件，则
1
1
5
3
2
6
P A
B
P A
P B
，故C 错误；
D 选项，由
,
A B 是对立事件，则A
B
为必然事件，即
1
P A
B
，故D 正确；故选：AD
6.（多选）下列说法中不正确的是（
）
A．若事件A 与事件B 是互斥事件，则
1
P A
P B
B．若事件A 与事件B 满足条件
1
P A
B
P A
P B
，则事件A 与事件B 是对立事件
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．从不包括大小王的52 张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事
件
【答案】ABC
【解析】对于A，事件A 与事件B 是互斥事件，但不一定是对立事件，故A 不正确；
对于B，若是在同一试验下，由
1
P A
B
P A
P B
，说明事件A 与事件B 一定是对立事件，但若
在不同试验下，虽然有
1
P A
B
P A
P B
，但事件A 与事件B 不一定对立，故B 不正确；
对于C，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生，
不是对立事件，故C 不正确；对于D，事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件，故D 正确．
故选：ABC.
题型二：互斥事件概率加法公式的应用
1.已知事件A 与B 互斥，它们都不发生的概率为1
5 ，且
3
P A
P B
，则
P B
.
【答案】4
5 /0.8
【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式求解即可.
【详解】因为事件A、B 互斥，
3
P A
P B
，所以
4
P A
B
P A
P B
P B
，
又它们都不发生的概率为1
5 ，
所以
1
1
1 4
5
A
P
P
B
B
，解得
1
5
P B
，
所以
1
4
1
1 5
5
P B
P B
.
故答案为：4
5 .
2.中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是3
7 ，乙夺得冠军的
概率是1
4 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
.
【答案】19
28
【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解.
【详解】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则
3
( )
7
P A
，
1
( )
4
P B
.∵A，B 是互斥事件，
∴
3
1
19
(
)
( )
( )
7
4
28
P A
B
P A
P B
.
3.有3 个两两互斥的事件A，B，C，已知事件A
B
C
是必然事件，事件A 发生的概率是事件B 发生的
概率的2 倍，事件C 发生的概率比事件B 发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C 发生的概率.
【答案】
0.4
P A
，
0.2
P B
，
0.4
P C
【分析】要求各事件的概率,只需根据题设条件,列出方程求解.
【详解】设
P B
x
，则
2
2
P A
P B
x
，
0.2
0.2
P C
P B
x
.
由题意知
(
)
( )
( )
( )
2
(
0.2)
4
0.2
1
P A
B
C
P A
P B
P C
x
x
x
x
，解得
0.2
x
.
所以
0.4
P A
，
0.2
P B
，
0.4
P C
.
【点睛】本题考查互斥事件的概率,灵活运用概率与函数的综合应用知识点进行解题,是本题的重点,属于基
础题.
4.设
,
A B 为两个互斥事件，且
( )
0
P A
，
( )
0
P B
，则下列各式一定正确的是（
）
A．
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
B．
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
C．
(
)
( )
( )
P AB
P A
P B
D．
(
)
( ) ( )
P A
B
P A P B
【答案】B
【详解】因为
,
A B 为两个互斥事件，
( )
0
P A
，
( )
0
P B
，
所以A
B
，即
(
)
0
P AB
，且
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B .
故选：B．
5.袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12 个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是1
3 ，
得到黑球或黄球的概率是5
12 ，得到黄球或绿球的概率也是5
12 ，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别
是
，
，
.
【答案】
1
4 /0.25
1
6
1
4 /0.25
【详解】设事件A，B，C，D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，
则事件A，B，C，D 两两互斥，
根据题意，得
1
3
5
12
5
12
1
P A
P B
P C
P C
P D
P A
P B
P C
P D
，
解得
1
( )
4
P B
，
1
( )
6
P C
，
1
( )
4
P D
，
故答案为：1
4 ，1
6 ，1
4
6.在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有1,2,3,4,5,6 字样）的试验中，事件A 表示“不大
于3 的奇数点出现”，事件
B 表示“小于4 的点数出现”，则事件A
B
的概率为
．
【答案】5
6
【详解】依题意，抛掷一颗骰子的试验有6 个不同的结果，它们等可能，其中事件A 有2 个结果，事件B
有3 结果，
于是有
2
1
( )
6
3
P A
，
3
1
( )
6
2
P B
，而事件A 和B 是互斥的，则
5
(
)
( )
( )
6
P A
B
P A
P B
，
所以事件A
B
的概率为5
6 .
故答案为：5
6
7.若事件A 和B 是互斥事件，且
0.1
P A
，则
P B 的取值范围是
．
【答案】
0,0.9
【详解】事件A 和B 是互斥事件，
故
(
)
( )
( )
0.1
( )
P A
B
P A
P B
P B
而
(
)
0,1
P A
B
且事件概率非负，
故
0,0.9
P B
，
故答案为：
0,0.9
8.假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.5，炸中其余两个军火库的概率
都为0.1．若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸．求军火库发生爆炸的概率．
【答案】0.7
【详解】设以A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，
于是
( )
0.5
P A
，
( )
( )
0.1
P B
P C
．
又设D 表示军火库爆炸这个事件，则有D
A
B
C
，其中A 、B 、C 彼此互斥．
∴
(
)
(
)
( )
( )
( )
0.5
0.1
0.1
0.7
P D
P A
B
C
P A
P B
P C
,
即军火库发生爆炸的概率0.7 ．
9.袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7 个，其中白球3 个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲
先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出
的机会是等可能的.
（1）求取球2 次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.
【答案】（1）
2
( )
7
P A
；（2）
22
35
P B
【分析】（1）第二次终止即：第一次摸到黑球第二次摸到白球；
（2）根据规则，甲取到白球必须可能是第1,3,5 次出现白球，且在摸到白球之前乙摸到黑球，结合树状图
求解.
【详解】（1）设事件A 为“取球2 次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出
相应事件的样本点数：
因此，
4 3
2
( )
7
6
7
P A
.
（2）设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件
1,2,3,4,5
i
，因为甲先取，所以甲只可能在第1
次，第3 次和第5 次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：
所以
1
3
1
3
5
( )
s
P B
P A
A
A
P A
P A
P A
3
4 3 3
4 3 2 1 3
7
7
6 5
7
6 5 4 3
3
6
1
22
7
35
35
35
.
【点睛】此题考查互斥事件的加法法则，关键在于准确将一个事件分拆成多个互斥的事件分别计算概率.
题型三：对立事件概率公式的应用
1.从不包括大小王的52 张扑克牌中随机抽取一张，取到红心的概率为1
4 ，则没有取到红心的概率为（
）
A．
1
2
B．1
4
C．3
4
D．1
【答案】C
【详解】设：取到红心为事件A，
1
4
P A
，则没有取到红心是A 的对立事件A ，
3
1
4
P A
P A
；
故选：C.
2.已知事件A，B 是互斥事件，��=
1
6，��=
2
3，则��∪�=（
）
A．
1
18
B．
4
9
C．
1
2
D．
2
3
【解题思路】
先计算出��=
�
�，利用互斥事件概率加法公式求出答案.
【解答过程】
∵��= �−��，��=
�
�，
∴��=
�
�，
∵事件A，B 是互斥事件，
∴��∪�= ��+ ��=
�
�+
�
�=
�
�．
故选：C.
3.已知随机事件�和�互斥，�和�对立，且��∪�= 0.5, ��= 0.2，则��=（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.6
D．0.5
【解题思路】
利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得��= �. �，再由对立事件性质可得��= �. �.
【解答过程】由随机事件�和�互斥可知���= �，
由��∪�= ��+ ��−���，
将��∪�= �. �, ��= �. �代入计算可得��= �. �，
又�和�对立，可得��+ ��= �，解得��= �. �.
故选：B.
4.已知事件�与事件�互斥，记事件�为事件�对立事件.若�(�) = 0.6，�(�) = 0.2，则�(�+ �ഥ) =（
）
A．0.6
B．0.8
C．0.2
D．0.48
【解题思路】根据题意可得�⊆�，从而�(�+ �ഥ) = �(�ഥ)，利用对立事件概率公式即可求解.
【解答过程】因为事件�与事件�互斥，所以�⊆�，
所以�(�+ �ഥ) = �(�ഥ) = �−�(�) = �. �.
故选：B.
5.已知随机事件A 和B 互斥，且
0.6
P A
B
，
0.4
P A
，则事件B 的对立事件的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
【答案】D
【详解】根据题意，因为
0.4
P A
，事件A 和B 互斥，
所以
0.6
P A
B
P A
P B
，
所以
0.6
0.4
0.2
P B
，
所以事件B 的对立事件发生的概率为1
0.2
0.8
.
故选：D.
6.已知两个事件A 和B 互斥，记事件B 是事件B 的对立事件，且
( )
0.3
P A
，
0
(
.
)
6
P B
，则
(
)
P A
B
．
【答案】0.7 .
【详解】
0.6
P B
得
0.4
P B
，且事件A 与B 互斥，则
0.7
P A
B
P A
P B
故答案为：0.7
7.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6 点向上的概率是（
）
A．1
18
B．11
36
C．25
36
D．1
36
【答案】B
【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6 点向上的概率为1
6 ，
所以先后抛掷2 次，没有一次6 点向上的概率为
2
1
25
(1
)
6
36
，
所以至少出现一次6 点向上的概率为
25
11
1
36
36
.
故选：B.
8.若事件�, �为两个互斥事件，且��> 0, ��> 0，有以下四个结论，其中正确的结论是（
）
①���= 0
②��ഥ�= 1 −����
③��ഥ∪�ഥ= 1
④��∪�= ��+ ��
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
【解题思路】
根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知�⊆�ഥ，从而判断②；根据概率的性质可判断③④．
【解答过程】
∵事件�, �为两个互斥事件，�∩�= ∅，∴�(��) = �，故①正确；
∵事件�, �为两个互斥事件，则�⊆�ഥ，∴��ഥ�= ��，故②错误；
�(�ഥ∪�ഥ) = �−�(��) = �−�= �，故③正确；
�(�∪�) = �(�) + �(�) −�(��) = �(�) + �(�)，故④正确，
综上，①③④正确，
故选：A．
9.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一
个球.若事件“两个球都是红球”的概率为2
15 ，“两个球都是白球”的概率为1
3 ，则“两个球颜色不同”的概率为
（
）
A．4
15
B．7
15
C．8
15
D．11
15
【答案】C
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则
2
15
P A
，
1
3
P B
，且C
A
B
.
因为A，B，C 两两互斥，
所以
2
1
8
1
1
1
1 15
3
15
P C
P C
P A
B
P A
P B
.
故选：C.
10.若A，B 互为对立事件，
1
P A
a
，
2
P B
b
，且
0
a
，
0
b
，则2a
b
的最小值是
.
【答案】8
【详解】因为A，B 互为对立事件，则
1
2
1
P A
P B
a
b
，且
0
a
，
0
b
，
可得
1
2
4
4
2
2
4
4
2
8
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当
4
b
a
a
b
，即
2
4
b
a
时，等号成立，
所以2a
b
的最小值是8.
故答案为：8.
11.已知A ，B ，C ，D 四个开关控制着1，2，3，4 号四盏灯，只要打开开关A 则1，4 号灯就会亮，只要
打开开关B 则2，3 号灯就会亮，只要打开开关C 则3，4 号灯就会亮，只要打开开关D 则2，4 号灯就会
亮.开始时，A ，B ，C ，D 四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关
中的两个不同的开关，则其中2 号灯灯亮的概率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
【答案】D
【详解】由题意，随意打开A，B，C，D 这四个开关中的两个不同的开关，共有
,
,
,
,
,
AB AC AD BC BD CD 种，
其中只有打开AC 开关时2 号灯不会亮，其余情况2 号灯均会亮，
所以2 号灯灯亮的概率为
1
5
1
6
6
.
故选：D.
12.已知随机事件A 和B 互斥,且
0.6
P A
B
,
0.3
P B
,则
P A 等于（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.2
【答案】B
【详解】因为A 和B 互斥,
所以
0.6
P A
B
P A
P B
,
又
0.3
P B
,
所以
0.3
P A
,
因为
1
P A
A
P A
P A
,
所以
1
1 0.3
0.7
P A
P A
.
故选:B.
13.同时抛掷两枚骰子，5 点，6 点都没有的概率为4
9 ，则至少掷出一个5 点或6 点的概率为
．
【答案】5
9
【详解】设“既没有5 点，也没有6 点”的事件为A，“至少掷出一个5 点或6 点”的事件为B，
则A 与B 是对立事件．所以
9
5
9
1
4
1
P B
P A
.
故答案为：5
9
14.某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随
机抽取一名学生，求以下事件的概率：
(1)只喜欢打羽毛球；
(2)至少喜欢以上一种运动；
(3)只喜欢以上一种运动；
(4)以上两种运动都不喜欢.
【答案】(1)0.15
(2)0.95
(3)0.65
(4)0.05
【分析】（1）首先表示出A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”，然后根据题意求得
( )
0.45
P A
( )
0.8
P B
(
)
0.3
P AB
，从而即可求解.
（2）根据和事件的计算公式即可求解.
（3）根据上一问求得
P A
B
，再利用事件的关系即可求解.
（4）利用对立事件的公式即可求解.
【详解】（1）设：A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”
( )
0.45
P A
( )
0.8
P B
(
)
0.3
P AB
只喜欢打羽毛球：
( )
(
)
0.45
0.3
0.15
P A
P AB
（2）至少喜欢以上一种运动：
(
)
P A
B
( )
( )
(
)
P A
P B
P AB
0.45
0.8
0.3
＝0.95
（3）只喜欢以上一种运动：
P A
B
P AB
＝0.45
0.8
0.3
0.3
0.65
（4）以上两种运动都不喜欢：
(
)
P A
B
1
(
)
P A
B
＝1
(0.45
0.8
0.3)
0.05
题型四：概率的一般加法公式的应用
1.某校校庆日为每年5 月4 日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹
南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（
）
A．6%
B．15%
C．30%
D．50%
【答案】B
【详解】记吹风为事件A，下雨为事件B,
因为
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
，
所以既吹南风又下雨的概率为：20%
30%
35%
15%
，
故选：B.
2.根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时
及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为
.
【答案】0.95/ 19
20
【详解】设A “小张语文成绩及格”，B “小张数学成绩及格”，
则AB “语文和数学同时及格”，A
B
“语文数学两科至少有一科及格”，
由已知得，
( )
0.8
P A
，
( )
0.9
P B
，
(
)
0.75
P AB
，
代入和事件概率公式
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
得，
(
)
0.8
0.9
0.75
0.95
P A
B
.
故答案为：0.95.
3.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔
断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？
【答案】0.96 .
【详解】设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔断”，则有
( )
0.85
P A
，
( )
0.74
P B
，
“甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件A
B
，有
(
)
0.63
P A
B
，“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件
A
B
，
于是得
(
)
( )
( )
(
)
0.85
0.74
0.63
0.96
P A
B
P A
P B
P A
B
，
所以甲、乙至少有一根熔断的概率是0.96 .
4.已知事件A 与事件B 互斥，如果
0.4
P A
，
0.3
P B
，那么
P A
B
.
【答案】0.3/ 3
10
【详解】事件A 与事件B 互斥，则
0
P AB
，
0.7
P A
B
P A
P B
P AB
，
故
1 0.7
0.3
P A
B
.
故答案为：0.3.
5.已知
0.5
P A
，
0.6
P B
，
0.9
P A
B
，则
P A
B
．
【答案】0.2
【详解】因为
P A
B
P A
P B
P A
B
，
所以
0.5
0.6
0.9
0.2
P A
B
P A
P B
P A
B
.
故答案为：0.2.
6.已知在一次随机试验E 中，定义两个随机事件A ，B ，且
( )
0.4
P A
，
( )
0.3
P B
，
0.3
P A
B
，则
(
)=
P A
B
.
【答案】0.4/ 2
5
【详解】由题意
(
)=
( )
(
)
0.4
0.3
0.3
0.4
( )
P A
B
P B
P A
B
P A
.
故答案为：0.4.
题型五：游戏公平性问题
1.用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面
算乙胜.这个游戏公平吗？
【解题思路】分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解.
【解答过程】解：这个游发是公平的，
理由：抛掷两枚硬币共有4 种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
所以甲、乙获胜的概率都是
�
�.
2.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，
你认为哪个游戏是公平的？
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1 个红球和1 个白球
2 个红球和2 个白球
3 个红球和1 个白球
取球规则
取1 个球
依次取出2 个球
依次取出2 个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
【解题思路】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等
判断游戏的公平性.
【解答过程】解：游戏1 中，甲获胜的概率为
�
�；游戏2 中，甲获胜的视率为
�
�=
�
�；游戏3 中，甲获胜的
概率为
�
�=
�
�，所以游戏1 和游戏3 是公平的.
3.已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增
数”（如135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6
组成的所有“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只抽取1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数
学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【解题思路】（1）根据定义一一列举出即可；
（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.
【解答过程】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数共有20 个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，
346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数”有20 个，记“甲参加数学竞赛”
为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，
156，236，246，256，346，356，456 共13 个.
由古典概型计算公式，得
�(�) =
事件�含有的基本事件的个数
试验所有基本事件的总数
=
��
��，
又A 与B 对立，所以�(�) = �−�(�) = �−
��
��=
�
��，
所以�(�) > �(�).故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
4.一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一
张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙
随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜
色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面
的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的
概率为
1
2，我赢的概率也是
1
2，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【解题思路】把卡片六个面的颜色记为��，��，��，��，��，��，其中，G 表示绿色，B 表示蓝色；��
和��是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.
【解答过程】解：把卡片六个面的颜色记为��，��，��，��，��，��，
其中，G 表示绿色，B 表示蓝色；��和��是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6 个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2 种，因此乙
赢的概率为
�
�=
�
�.
因此，这个游戏不公平.
5.甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为
1，2，3，4，5 的5 个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，
也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果
5
a
b
，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求
5
a
b
的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
【解析】（1）
摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，
3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），
（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25 种，
其中
5
a
b
的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4 种，故由古典概型的概率计算公式可得
4
5
25
P a
b
；
（2）这种游戏规则不公平，理由如下：
设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B 为对立事件，
由题意事件A 包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），
（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15 个，
由古典概型的概率计算公式可得
15
3
25
5
P A
，∴
2
1
5
P B
P A
，
∵
P A
P B
，故这种游戏规则不公平．
题型六：概率的基本性质综合应用
1．甲、乙二人用4 张不同的扑克牌（其中红桃3 张，方片1 张）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝
上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为
.
【答案】1
2 /0.5
【分析】由题意得到都抽到是红桃，然后利用古典概型的概率求解.
【详解】解：甲、乙二人抽到的花色相同的概率为
3 2
1
4 3
2
P
，
故答案为：
1
2
2．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5 个，黑
球m 个，从袋中随机摸出一个红球的概率是1
3 ，则m 的值为
．
【答案】10
【分析】由古典概型概率公式得方程
5
1
5
3
P
m
，求解即可.
【详解】根据题意，
从袋中随机摸出一个红球的概率是
5
1
5
3
P
m
，
所以
10
m
.
故答案为：10
3．一次考试，小明数学超过90 分的概率是0.8，物理超过90 分的概率是0.7，两门都超过90 分的概率是
0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90 分的概率是
．
【答案】0.9 / 9
10
【分析】利用概率加法公式直接求解即可.
【详解】因为一次考试中，小明数学超过90 分的概率是0.8，物理超过90 分的概率是0.7，两门都超过
90 分的概率是0.6，
所以他的数学和物理至少有一门超过90 的概率为
0.8
0.7
0.6
0.9
P
.
故答案为：0.9 .
4.一个袋中有4 个大小质地都相同的小球，其中红球1 个，白球2 个，黑球1 个，现从袋中有放回地取球，
每次随机取一个.
(1)求连续两次都取到白球的概率；
(2)若到红球记2 分，取到白球记1 分，取到黑球记0 分，求连续两次取球所得分数之和大于2 分的概率.
【解析】（1）连续取两次所包含的基本事件有：
（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），
（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），
所以基本事件的总数为16.
设事件A ：连续取两次都是白球，A 所包含的基本事件有：
（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4 个，
所以，
4
1
16
4
P A
.
（2）设事件B ：连续取两次分数之和为3 分，设事件C ：连续取两次分数之和为4 分，设事件D ：连续
取两次分数之和大于2 分，则D
B
C
，且事件B 与事件C 互斥，
因为事件B 所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以
4
16
P B
，
因为事件C 所包含的基本事件有：（红，红），所以
1
16
P C
，
故
5
16
P D
P B
P C
.
即连续两次取球所得分数之和大于2 分的概率为5
16 .
5.在一只袋子中装有7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：
(1)取得两个红球的概率；
(2)取得两个同颜色的球的概率；
(3)至少取得一个红球的概率．
【解析】（1）设取得两个红球为事件A ，取得两个绿球为事件B ，至少取得一个红球为事件C ，
易知A ，B 为互斥事件，B ，C 为对立事件；7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球，
从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有10 9
90
（个），
其中事件A 发生所包含的的基本事件有7
6
42
（个），
事件B 发生所包含的的基本事件有3 2
6
（个），
所以
42
7
90
15
P A
，
6
1
90
15
P B
所以取得两个红球的概率为：
7
15
P A
.
（2）取得两个同颜色的球的概率为：
7
1
8
15
15
15
P A
P B
.
（3）至少取得一个红球的概率为：
1
14
1
1 15
15
P C
P B
.
6．在一个盒子中有3 个红球（分别用1r ，2r ，3r 表示）和2 个黑球（分别用
1b ，
2b 表示），这5 个球除颜
色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
【答案】(1) 3
5
(2) 2
5
【分析】（1）根据古典概型求解即可；
（2）根据互斥事件的概率加法公式求解.
【详解】（1）两次取球的基本事件为
1
2
1
3
1
1
1
2
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
3
2
3
1
3
2
1
1
1
2
1
3
1
2
( ,
),( , ),( ,
),( ,
),( , ),( , ),( ,
),( ,
),( , ),( ,
),( ,
),( ,
),( , ),( ,
),( , ),( ,
)
r r
r r
r b
r b
r r
r r
r b
r b
r r
r r
r b
r b
b r
b r
b r
b b
，
2
1
2
2
2
3
2
1
(
, ),(
,
),(
, ),(
,
)
b r
b r
b r
b b ，共20 个，
所以第一次取到红球的概率
12
3
20
5
P
.
（2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件，
由（1）可知两次取到红球的概率
1
6
3
20
10
P
，
两次取到黑球的概率
2
2
1
20
10
P
，
所以两次取到的球颜色相同的概率
2
1
3
1
2
10
10
5
P
P
P
.
7.从1~30 这30 个整数中随机选择一个数，设事件M 表示选到的数能被2 整除，事件N 表示选到的数能被
3 整除．求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2 整除也能被3 整除；
(2)这个数能被2 整除或能被3 整除；
(3)这个数既不能被2 整除也不能被3 整除．
【答案】(1) 1
6
(2) 2
3
(3) 1
3
【分析】（1）求出既能被2 整除也能被3 整除的数的个数，再由古典概型求解即可；
（2）先由古典概型求出
,
P M
P N ，再由
P M
N
P M
P N
P MN
求解即可；
（3）由对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）1~30 这30 个整数中既能被2 整除也能被3 整除的有5 个，∴
5
1
30
6
P MN
；
（2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以
15
1
30
2
P M
，
10
1
30
3
P N
，
1
1
1
2
2
3
6
3
P M
N
P M
P N
P MN
；
（3）由于事件“这个数既不能被2 整除也不能被3 整除”与事件“这个数能被2 整除或能被3 整除”互为对
立事件，
则
2
1
1
1
3
3
P M N
P M
N
．
8.某商场有奖销售中，购满100 元商品得一张奖券，多购多得，每1000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖1
个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)
( ),
( ),
( )
P A P B P C ；
(2)抽取1 张奖券中奖概率；
(3)抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
【答案】(1)
1
1
1
( )
,
( )
,
( )
1000
100
20
P A
P B
P C
(2) 61
1000
(3) 989
1000
【分析】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（3）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为每1000 张奖券中设特等奖1 个，一等奖10 个，二等奖50 个，
所以
1
10
1
50
1
( )
,
( )
,
( )
1000
1000
100
1000
20
P A
P B
P C
.
（2）解：设“抽取1 张奖券中奖”为事件D，
则
1
1
1
61
(
)
( )
( )
( )
1000
100
20
1000
P D
P A
P B
P C
.
（3）解：设“抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则
1
1
989
( )
1
( )
( )
1 1000
100
1000
P E
P A
P B
.
9.某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3 0.2 0.1 0.4.
，，，
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘何种交通工具去？
【答案】(1)0.7
(2)0.8
(3)答案见解析
【分析】（1）由互斥事件的和事件的概率公式的计算可得结果；
（2）由对立事件的概率公式的计算可得结果；
（3）由互斥事件的和事件的概率公式和对立事件的概率公式的计算可判定结论.
【详解】（1）记“他乘火车去”为事件
1A ，“他乘轮船去”为事件
2
A ，“他乘汽车去”为事件
3
A ，“他乘飞机去”
为事件
4
A ，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥，
故
1
4
1
4
0.3
0.4
0.7
P A
A
P A
P A
，即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7 .
（2）设他不乘轮船去的概率为P，
则
2
1
1 0.2 0.8
P
P A
＝
.
（3）由于0.3 0.2 0.5 0.1 0.4 0.51
0.3 0.2
0.51
0.4 0.1
0.5
(
)
(
)
+
=
，+
=
，-
+
=
，-
+
=
，
故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
题型七：古典概型与统计综合应用
1.辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意
美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动．公益课堂共开设24 期，近200 名少年儿童受
益．从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50 名少年儿童进行问卷调查（满分100 分），将问卷调查结
果按68,72 ，72,76 ，76,80 ，80,84 ，84,88 ，88,92 ，92,96 ，96,100 分成八组，并绘制成频率
分布直方图，如图所示．
(1)求�的值，并估计被抽取的50 名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代
表）；
(2)若从样本中问卷调查结果在88,92 和96,100 内的少年儿童中随机抽取2 名少年儿童，求随机抽取的这
2 名少年儿童在同一组的概率．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为�得到方程求出�，再根据平均数计算公式
计算可得；
（2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【解答过程】（1）由题意得�× �. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���+ �+ �. ���= �，
解得�= �. ���.
估计被抽取的��名少年儿童问卷调查结果的平均数为�× (��× �. ���+ ��× �. ���
+��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ���) = ��. ��.
（2）依题意可得在��, ��内抽取的人数为�. ���× �× ��= �（人），
设所抽取的人为�, �, �, �，
在��, ���内抽取的人数为�. ���× �× ��= �（人），设所抽取的人为�, �，
则从中随机抽取2 名少年儿童有��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��
共15 种情况，
其中随机抽取的这2 名少年儿童在同一组的有��, ��, ��, ��, ��, ��, ��共7 种情况.
故随机抽取的这2 名少年儿童在同一组的概率�=
�
��.
2.根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
AQI
0,50
50,100
100,150
150,200
200,250
250,300
级别
一级
二级
三级
四级
五级（A）
五级（B）
现对某城市30 天的空气质量进行监测，获得30 个AQI 数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方
图如图所示．
(1)请由频率分布直方图来估计这30 天AQI 的平均数；
(2)若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2 个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰
均被选中的概率；
(3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为）的关系式为
0,0
100
4
400,100
300
S
．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S 不超
过600 元的概率．
【解析】（1）依题意，该城市这30 天AQI 的平均数为：
25 2
75 5 125 9 175 7
225 4
275 3
30
150
．
（2）一级有2 个数据，记为P、Q，五级（B）有3 个数据，记为C、D、E，
从中选取两个有PQ、PC、PD、PE、QC、QD、QE、CD、CE、DE，共10 种可能，
一级和五级（B）数据恰均被选中有PC、PD、PE、QC、QD、QE，共6 种可能．
记“一级和五级（B）数据恰均被选中”为事件M，则
6
3
10
5
P M
．
（3）设“在本月30 天中随机抽取一天，该天经济损失不超出600 元”为事件N，分两种情况：
当0
100
时，
0
S
，此时概率为2
5
7
30
30
；
当100
300
时，由
600
S
，得100
250
，
此时概率为9
7
4
20
2
30
30
3
．
综上，由互斥事件的概率公式可得
7
2
9
30
3
10
P N
．
所以估计这天的经济损失S 不超过600 元的概率为9
10 ．
3.某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机
抽取60 人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取�人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分
别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在70,80 的有10 个.
(1)求�和乙样本直方图中�的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩
的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在60,70 和70,80 的学生中抽取6 人，并从这6 人中任取2
人，求这两人分数都在70,80 中的概率.
【解题思路】（1）根据频率定义即可求出�，再根据小矩形面积和为1 即可求出�值；
（2）根据平均数和中位数定义计算即可；
（3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可.
【解答过程】（1）由直方图可知，乙样本中数据在��, ��的频率为�. ���× ��= �. ��，
则
��
�= �. ��，解得�= ��；
由乙样本数据直方图可知，�. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���+ �× ��= �，
解得�= �. ���；
（2）甲样本数据的平均值估计值为
��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ���× ��= ��. �，
乙样本数据直方图中前3 组的频率之和为�. ���+ �. ���+ �. ��× ��= �. ��< �. �，
前4 组的频率之和为�. ���+ �. ���+ �. ��+ �. ��× ��= �. ��> �. �，
所以乙样本数据的中位数在第4 组，设中位数为�，
�−��× �. ��+ �. ��= �. �，
解得�= ��，所以乙样本数据的中位数为82.
（3）由频率分布直方图可知从分数在��, ��和��, ��的学生中分别抽取2 人和4 人，
将从分数在��, ��中抽取的2 名学生分别记为��, ��，从分数在��, ��中抽取的4 名学生分别记为
��, ��, ��, ��，
则从这6 人中随机抽取2 人的基本事件有
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��,
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��，共15 个，
所抽取的两人分数都在��, ��中的基本事件有6 个，所以所求概率为
�
��=
�
�.
4.某校高二年级共有800 名学生参加2021 年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40 名
学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下:
分组
[0,30)
[30,60)
[60,90)
[90,120)
[120,150)
频数
5
7
13
10
5
(1)试估计该年级成绩不低于90 分的学生人数；
(2)成绩在区间
120150
,
上的5 名学生中有3 名男生，2 名女生，现从中随机选出2 名学生参加访谈，求恰
好选中一名男生和一名女生的概率.
【答案】(1)300
(2) 3
5
【分析】（1）根据条件，计算出样本中成绩不低于90 分的频率，即可求出结果；
（2）根据条件，列出样本空间中的样本点及事件A 包含的样本点，再利用古典概型概率公式，即可求出
结果.
【详解】（1）估计该年级成绩不低于90 分的学生人数为
10
5
800
20 15
300
40
.
（2）分别记男生为1，2，3 号，女生为4，5 号，从中随机选出2 名学生，对应的样本空间
{(1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (2,3), (2, 4), (2,5), (3, 4), (3,5), (4,5)}
，
共有10 个样本点，每个样本点发生的可能性相等.
设事件A “恰好选中一名男生和一名女生”，则事件A 包含的样本点有：(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) ，
共6 个，
所以
6
3
( )
10
5
P A
.
5.2023 年11 月10 日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博
会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本
届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务
的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100 分），并从评分结果中随机抽取
100 份进行统计，按照
50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 进行分组，得到如图所示的频率分布直方
图：
(1)求n 的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
(2)在这100 份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20 份，再从其中评分在
60,70 和
90,100 的评分
结果中随机抽取2 份，求这2 份评分结果均不低于90 分的概率．
【答案】(1)
0.020
n
，平均值为82.5
(2) 15
28
【分析】（1）利用频率和等于1即可求出n 的值；根据频率分布直方图得出各组的频率，再计算各组中间
值乘以频率的和即可解答.
（2）先根据分层抽样的特点得出评分在
60,70 和
90,100 的数量并进行编号；再根据古典概型的概率公
式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：
1
0.005 10
0.01 10
0.035 10
0.03 10
0.2
，
即评分在
70,80 的频率为0.2，
故
0.2
0.020
10
n
，
故各组频率依次为：0.05，0.1，0.2 ，0.35，0.3。
所以平均值为0.05 55
0.1 65
0.2 75
0.35 85
0.3 95
82.5
．
（2）由题可知：抽取的20 份评分结果中，评分在
60,70 的份数为0.1 20
2
，分别记为
,
A B ，
评分在
90,100 的份数为0.3 20
6
，分别记为1,2,3,4,5,6 .
则从这8 份评分结果中任取2 份，不同取法有：
, 1, 2
3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6,12,13,14,15,16,23
AB A A
A
A
A
A
B B
B
B
B
B
，
，
24,25,26,34,35,36,45,46,56，共28 种，
记“这2 份评分结果均不低于90 分”为事件M ，
则事件M 包含的基本事件有：
12,13,14,15,16,23,24,25，26,34,35,36,45,46,56 ，共15 种，
故所求概率
15
28
P M
．
6.亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023 年9 月第19 届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45 个国家和地区的1
万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，
赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚
运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的
方法抽取了600 名学生进行调查，成绩全部分布在40~100 分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率
分布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)估计这600 名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在
40,60 , 90,100 的学生中选取5 人，再从这5 人中任
意选取2 人，求这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的概率．
【答案】(1)
0.018
a
(2)80
(3) 9
10
【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a 的值；
（2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案；
（3）求出
40,60 , 90,100 内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5 人中任
意选取2 人的所有可能情况，再列举出这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的情况，根据古典概型的概
率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得
10
0.004
0.008
0.012
0.026
0.032
1
a
，
解得
0.018
a
；
（2）由频率分布直方图，得
10
0.004
0.008
0.012
0.24
0.5
，
10 (0.004
0.008
0.012
0.026)
0.5
，
则估计这600 名学生成绩的中位数为80；
（3）由题意得，成绩在
40,60 的频率为0.012 10
0.12
，
成绩在
90,100 的频率为0.018 10
0.18
，频率之比为2:3，
所以按分层抽样的方法从中选取5 人，成绩在
40,60 的学生有2 人，分别记为
1
2
,
a a ，
成绩在
90,100 的学生有3 人，分别记为
1
2
3
,
,
b b b ，
从这5 人中任意选取2 人，有
1
2
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
1 2
1 3
2 3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a a a b a b a b a b a b a b bb bb b b ，共10 种选法，
其中至少有1 人成绩不低于90 分的选法有
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
1 2
1 3
,
,
,
,
,
,
,
a b a b a b a b a b a b b b b b，
2 3
b b ，共9 种，
所以这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的概率
9
10
P
.
模块三：综合巩固
1.已知随机事件A 和B 互斥，且
0.6
P A
B
，
0.4
P A
，则事件B 的对立事件的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
【答案】D
【分析】借助互斥事件的概率公式及对立事件的定义计算即可得．
【详解】根据题意，因为
0.4
P A
，事件A 和B 互斥，
所以
0.6
P A
B
P A
P B
，
所以
0.6
0.4
0.2
P B
，
所以事件B 的对立事件发生的概率为1
0.2
0.8
.
故选：D.
2．2023 年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书
画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3 幅不同的美术
作品、3 幅不同的书法作品，若从这6 幅作品中随机挑选2 幅作品挂在同一面墙上，则选出的2 幅作品为
1 幅美术作品和1 幅书法作品的概率为（
）
A．2
5
B．3
5
C．2
3
D．
1
2
【答案】B
【分析】由题意，根据列举法，结合古典概型概率的计算公式即可求解.
【详解】记3 幅美术作品分别为
,
,
A B C ，3 幅书法作品分别为, ,
d e f ，
从中随机挑选2 幅作品，不同的选法有
AB ，
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
AC Ad Ae Af BC Bd Be Bf Cd Ce Cf de df ef ，共15 种，
其中选出的2 幅作品恰好为1 幅美术作品和1 幅书法作品的不同选法有
,
,
,
,
,
,
,
,
Ad Ae Af Bd Be Bf Cd Ce Cf ，共9 种，
故所求概率为9
3
15
5
．
故选：B
3.已知随机事件A 和B 互斥,且
0.6
P A
B
,
0.3
P B
,则
P A 等于（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.2
【答案】B
【分析】因为A 和B 互斥,由
0.6
P A
B
P A
P B
求出
P A ,再由
1
P A
A
P A
P A
即可
得到答案.
【详解】因为A 和B 互斥,
所以
0.6
P A
B
P A
P B
,
又
0.3
P B
,
所以
0.3
P A
,
因为
1
P A
A
P A
P A
,
所以
1
1 0.3
0.7
P A
P A
.
故选:B.
4．已知事件
, ,
A B C 两两互斥，若
1
5
P A
，
1
3
P C
，
8
15
P A
B
，则
P B
C
（
）．
A．8
15
B．2
3
C．7
15
D．1
3
【答案】B
【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】
, ,
A B C
两两互斥，
0
P AB
P BC
，
1
8
5
15
P A
B
P A
P B
P AB
P B
，
1
3
P B
，
1
1
2
3
3
3
P B
C
P B
P C
P BC
.
故选：B.
5.某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，
中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（
）
A．0.16
B．0.22
C．0.12
D．0.1
【答案】C
【分析】根据事件间的关系，利用概率公式，可得答案.
【详解】由于奖项一等奖、二等奖，幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的，
且构成事件为必然事件，故中一等奖的概率为1 0.3
0.2
0.38
0.12
．
故选：C.
6.已知
( )
0.6
P A
，
( )
0.3
P B
，如果A
B
，那么
(
)
P A
B
（
）
A．0.18
B．0.42
C．0.6
D．0.7
【答案】C
【分析】结合事件的包含关系以及概率的知识求得答案.
【详解】由于A
B
，所以
(
)
0.6
P A
B
P A
.
故选：C.
7.从装有2 个红色乒乓球和3 个白色乒乓球的口袋内任取3 个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个
事件是（
）
A．恰有1 个白色乒乓球与至少2 个白色乒乓球
B．至少2 个白色乒乓球与都是白色乒乓球
C．至少1 个白色乒乓球与至少1 个红色乒乓球
D．恰有1 个红色乒乓球与恰有1 个白色乒乓球
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】恰有1 个白色乒乓球与至少2 个白色乒乓球是对立事件，故A 错误；
至少2 个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B 错误；
至少1 个白色乒乓球与至少1 个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C 错误；
恰有1 个红色乒乓球与恰有1 个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D 正确.
故选：D.
8．在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染
的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示被感染，5，6，7，8，9，0
表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20 组随机数：
192
907
966
925
271
932
812
458
569
683
257
393
127
556
488
730
113
537
989
431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（
）.
A．0.25
B．0.4
C．0.6
D．0.75
【答案】D
【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4 中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可.
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989 共5 个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为5
0.25
20
，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1 0.25
0.75
.
故选：D
9.已知随机事件A 和B 互斥，且
0.8,
0.3
P A
B
P B
，则
P A 等于（
）
A．0.8
B．0.7
C．0.5
D．0.2
【答案】C
【分析】利用互斥事件加法公式和对立事件概率公式计算即可.
【详解】因为随机事件A 和B 互斥，且
0.8,
0.3
P A
B
P B
，
所以
0.8
0.3
0.5
P A
P A
B
P B
U
，所以
1
0.5
P A
P A
.
故选：C.
10.下列说法正确的是（
）
A．若A ，B 为两个事件，则“ A 与B 互斥”是“ A 与B 相互对立”的必要不充分条件
B．若A ，B 为两个事件，则
P A
B
P A
P B
C．若事件A ，B ，C 两两互斥，则
1
P A
P B
P C
D．若事件A ，B 满足
1
P A
P B
，则A 与B 相互对立
【答案】A
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D.
【详解】对于A，若事件A 与B 互斥，则A 与B 不一定相互对立，
但A 与B 相互对立，则A 与B 一定互斥，故“ A 与B 互斥”是“ A 与B 相互对立”的必要不充分条件，故A 正
确；
对于B，若A ，B 为两个事件，则
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
，故B 错误；
对于C，若事件A ，B ，C 两两互斥，则
1
P A
P B
P C
不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记A “向上的点数为1”，B “向上的点数为2”，C “向上的点数为3”，
事件A ，B ，C 两两互斥，但
1
1
1
1
( )
( )
( )
6
6
6
2
P A
P B
P C
.故C 错误；
对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是
1
2 ，
抛掷一枚硬币，正面向上的概率是1
2 ，满足
1
P A
P B
，但是A 与B 不对立，故D 错误.
故选：A.
11.掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件
A 的概率为
P A ，事件B 的概率为
P B ；则
1
P A
B
是下列哪个事件的概率（
）
A．两个点数都是偶数
B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数
D．至多有一个点数是奇数
【答案】D
【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.
【详解】由题意，事件A
B
为：两个点数都为奇数，
由概率
1
P A
B
指的是事件A
B
的对立事件的概率，
则事件A
B
的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
12.已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（
）
A．
0
P A
B
B．
P A
B
P A P B
C．
1
P A
P B
D．
1
P A
B
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A 与事件B 是互斥事件，则A
B
、
不一定是互斥事件，所以
P A
B
不一定为0，故选
项A 错误；
因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以A
B
，则
0
P A
B
，而
P A P B 不一定为0，故选项B
错误；
因为事件A 与事件B 是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C 错误；
因为事件A 与事件B 是互斥事件，A
B
是必然事件，所以
1
P A
B
，故选项D 正确.
故选：D.
13.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到
了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm 的正方形木板制作了一套七巧板，
如图所示，包括5 个等腰直角三角形，1 个正方形和1 个平行四边形．若该同学从5 个三角形中任取出2
个，则这2 个三角形的面积之和不小于另外3 个三角形面积之和的概率是（
）
A．
1
2
B．1
5
C．2
5
D．3
10
【答案】D
【详解】如图所示，ADO
△
，ABO
，GHO
△
，BEF
△
，MCF
△
的面积分别为
1
4 4
4
4
ADO
ABO
S
S
△
△
，
1
1
4 4
1
4
4
GHO
BEF
S
S
△
△
，
1
1
4
4
2
4
2
MCF
S
△
．
将
ADO
△
，ABO
，
GHO
△
，
BEF
△
，
MCF
△
分别记为
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S ，
5S ，从这5 个三角形中任取
出2 个，则样本空间
1
2
1
3
1
4
1
5
2
3
2
4
2
5
3
4
3
5
4
5
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
S S
，
共有10 个样本点．
记事件N 表示“从5 个三角形中任取出2 个，这2 个三角形的面积之和不小于另外3 个三角形面积之和”，
则事件N 包含的样本点为
1
2
,
S S
，
1
5
,
S S
，
2
5
,
S S
，共3 个，所以
3
10
P N
．
故选：D．
14.（多选）一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A 表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，
B 表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则（
）
A．
2
( )
3
P A
B．
1
( )
3
P B
C．
5
(
)
6
P A
B
D．
1
(
)
3
P A
B
【答案】ACD
【分析】由题意，根据事件的基本运算，结合古典概型的概率公式依次计算即可求解.
【详解】A：掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为{1,2,3,4,5,6}，共6 个样本点，
则
{3,4,5,6}
A
，共4 个样本点，所以
4
2
( )
6
3
P A
，故A 正确；
B：
{1,3,5}
B
，共3 个样本点，所以
3
1
( )
6
2
P B
，故B 错误；
C：由选项AB 知，
{1,3,4,5,6}
A
B
，共5 个样本点，所以
5
(
)
6
P A
B
，故C 正确；
D：由选项AB 知，
{3,5}
A
B
，共2 个样本点，所以
2
1
(
)
=
6
3
P A
B
，故D 正确.
故选：ACD
15.（多选）下列四个命题中，假命题有（
）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若
,
A B 为两个事件，则
P A
B
P A
P B
C．若事件
, ,
A B C 彼此互斥，则
1
P A
P B
P C
D．若事件
,
A B 满足
1
P A
P B
，则
,
A B 是对立事件
【答案】BCD
【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，
D,
【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A 正确；
对B，当且仅当A 与B 互斥时才有
P A
B
P A
P B
，
对于任意两个事件
,
A B ，满足
P A
B
P A
P B
P AB
-
，B 不正确；
对C，若事件
,
,
A B C 彼此互斥，不妨取
,
,
A B C 分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1 点”，“掷出2 点”，“掷
出3 点”，
则
1
2
P A
B
C
，所以C 不正确；
对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4 个球，
从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球），
满足
1
1
1
2
2
P A
P B
P A
P B
，
，
+
，
但事件A 与B 不互斥，也不对立，D 错误，
故选：BCD.
16.已知事件A 与事件B 互斥，如果
0.3
P A
，
0.5
P B
，那么
P A
B
．
【答案】0.2/ 1
5
【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．
【详解】由题意
(
)
1
(
)
1 [ ( )
( )]
1
(0.3
0.5)
0.2
P A
B
P A
B
P A
P B
．
故答案为：0.2.
17.已知事件A 与B 互斥，它们都不发生的概率为1
5 ，且
3
P A
P B
，则
P B
.
【答案】4
5 /0.8
【详解】因为事件A、B 互斥，
3
P A
P B
，所以
4
P A
B
P A
P B
P B
，
又它们都不发生的概率为1
5 ，
所以
1
1
1 4
5
A
P
P
B
B
，解得
1
5
P B
，
所以
1
4
1
1 5
5
P B
P B
.
故答案为：4
5 .
18.口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个形状相同的小球，从中取出2 球，事件A “取出的两球同色”，B “取
出的2 球中至少有一个黄球”，C “取出的2 球至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E “取出的
2 球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为
.
①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④
1
P C
E
；⑤
P B
P C
.
【答案】①④
【详解】口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个形状相同小球，从中取出2 球，
事件A “取出的两球同色”，B “取出的2 球中至少有一个黄球”，
C “取出的2 球至少有一个白球”，D = “取出的两球不同色”，E “取出的2 球中至多有一个
白球”，
①，由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故①正确；
②，B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故②错误；
③，C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；
④，P （C）
6
3
1
=
15
5
，P （E）
14
15
，
8
(
)
15
P CE
，
从而
(
)
P C
E
P
（C）P
（E）
(
)
1
P CE
，故④正确；
⑤，C
B
，从而P （B）
P
（C），故⑤错误．
故答案为：①④．
19.为了备战第33 届夏季奥林匹克运动会（2024 法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提
升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数
10 环
9 环
8 环
7 环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该选手射击一次：
(1)命中9 环或10 环的概率；
(2)至少命中8 环的概率；
(3)命中不足8 环的概率．
【答案】(1)0.60
(2)0.78
(3)0.22
【分析】（1）根据互斥事件概率加法得结果；
（2）根据互斥事件概率加法得结果；
（3）根据对立事件概率关系求结果.
【详解】（1）记“射击一次，射中9 环或10 环”为事件A，
由互斥事件的加法公式得
0.32
0.28
0.60
P A
.
（2）设“射击一次，至少命中8 环”的事件为B，
由互斥事件概率的加法公式得
0.18
0.28
0.32
0.78
P B
.
（3）由于事件“射击一次，命中不足8 环”是事件B：“射击一次，至少命中8 环”的对立事件，
即B 表示事件“射击一次，命中不足8 环”，根据对立事件的概率公式得
1
1 0.78
0.22
P B
P B
.
20.在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12 个，其中5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中任取1
个球.记事件A 为“取出的球为红球”，事件B 为“取出的球为黑球”，事件C 为“取出的球为白球”，事件D 为
“取出的球为绿球”.求:
(1)“取出的球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.
【答案】(1) 3
4 .
(2) 11
12 .
【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可.
（2）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可.
【详解】（1）由题意可知，
5
1
1
1
( )
, ( )
, ( )
, ( )
12
3
6
12
P A
P B
P C
P D
.
易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件，
故“取出的球为红球或黑球”的概率为
5
1
3
(
)
( )
( )
12
3
4
P A
B
P A
P B
.
（2）易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥，
故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为
5
1
1
11
(
)
( )
( )
( )
12
3
6
12
P A
B
C
P A
P B
P C
.
21．第24 届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随
机抽取50 人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在
76,84 的
游客人数为18．
(1)求频率分布直方图中,a b 的值；
(2)从抽取的50 名游客中满意度评分在
60,68 及
92,100 的游客中用分层抽样的方法抽取5 人，再从抽取
的5 人中随机抽取2 人，求2 人中恰有1 人的满意度评分在
60,68 的概率．
【答案】(1)
0.01
a
，
0.045
b
(2) 3
5 ．
【分析】（1）根据评分在
76,84 的游客人数为18 和总人数为50 得到
0.045
b
，利用频率之和为1 得到
方程，求出
0.01
a
；
（2）根据分层抽样的方法得到评分在
60,68 的人数为2，设为
1
2
,
x x ，满意度评分在
92,100 的人数为3，
设为
1
2
3
,
,
y y
y ，列举出所有情况和2 人中恰有1 人的满意度评分在
60,68 的情况，求出概率.
【详解】（1）由题知，
18
0.045
50 8
b
，
8
0.015
0.025
0.030
0.045
1
a
，解得
0.01
a
．
（2）由题知，抽取的50 名游客中满意度评分在
60,68 的人数为0.01 8 50
4
，
满意度评分在
92,100 的人数为0.015 8 50
6
，
抽取的5 人中，满意度评分在
60,68 的人数为2，设为
1
2
,
x x ，满意度评分在
92,100 的人数为3，设为
1
2
3
,
,
y y
y ，
从5 人中随机抽取2 人的不同取法为
1
2
1
1
,
,
,
x x
x y
，
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
1
2
1
3
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x y
x y
x
y
x
y
x
y
y y
y
y
y
y
，共有10 种不同取法，
设“2 人中恰有1 人的满意度评分在
60,68 ”为事件M ，
则事件M 包含的取法为
1
1
1
2
1
3
2
1
,
,
,
,
,
,
,
x y
x y
x y
x
y
，
2
2
2
3
,
,
,
x
y
x
y
，共有6 种不同取法．
6
3
10
5
P M
．
22．某校对2023 年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100 名学生，将分数
按照
30,50 ，
50,70 ，
70,90 ，
90,110 ，
110,130 ，
130,150 分成6 组，绘制成如图所示的频率分布
直方图：
(1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于
50,70 和
70,90 的两组中，用按比例分配的分层
随机抽样的方法抽取5 名学生，再从这5 名学生中随机抽取2 名学生进行问卷调查，求抽取的这2 名学生
至少有1 人成绩在
50,70 内的概率.
【答案】(1)
0.01
a
(2)97.5
(3) 7
10
【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1 计算即可；
（2）根据频率分布直方图和中位数的定义进行计算即可；
（3）根据题意列出样本空间，根据古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】（1）由0.005 20
2
0.0075 20
0.02
20
20
0.0025 20
1
a
，
可得
0.01
a
.
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩90 分以下的所占比例为0.1 0.1 0.15
0.35
，
110 分以下的所占比例为0.35
0.4
0.75
，
因此，中位数一定位于
90,110 内，由
0.5
0.35
90
97.5
0.02
，
可以估计样本数据的中位数约为97.5 分，
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为97.5 分.
（3）由题意
50,70 分数段的人数为100 0.1 10
，
70,90 分数段的人数为100
0.15
15
，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5 名学生，
则需在
50,70 分数段内抽取2 人，分别记为
1A ，
2
A ，
70,90 分数段内抽取3 人，分别记为
1
B ，
2
B ，
3
B .
设“从这5 名学生中任取2 人，至少有1 人成绩在[50,70 ）内”为事件A ，
则样本空间
1
2
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
1
2
1
3
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B
，共包含10 个样本点，
而事件A 包含7 个样本点，所以
7
10
P A
，
故抽取的这2 名学生至少有1 人成绩在
50,70 内的概率为7
10 .
23．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测
试分数进行划分，其中分数不小于70 的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100 件口罩进行检测，其
结果如表：
测试分数
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
数量
4
16
42
24
14
(1)根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；
(2)若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2 件，求这2 件口
罩全是合格品的概率.
【答案】(1) 1
5
(2) 3
5
【分析】（1）由题意知分数小于70 的产品为不合格品，故有20 件，一共有100件口罩，即可求出口罩的
不合格率.
（2）先利用分层抽样确定抽取的5件口罩中合格产品和不合格产品的数量分别为4 件和1件，再利用古典
概型把所有基本事件10种都列举出来，在判断2 件口罩全是合格品的事件有6种情况，即可得到答案.
【详解】（1）在抽取的100件产品中，不合格的口罩有4 16
20
（件），
所以口罩为不合格品的频率为20
1
100
5
，
根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为1
5 ．
（2）由题意所抽取的5件口罩中不合格的有1件，合格的有4 件．
设4 件合格口罩记为a b c d
, ,
,
，1件不合格口罩记为x ．
而从5件口罩中抽取2 件，共有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
ab ac ad ax bc bd bx cd cx dx 共10种情况，
这2 件口罩全是合格品的事件有
,
,
,
ab ac ad
,
bc bd ，cd 共6种情况，
故2 件口罩全是合格品的概率为6
3
10
5
．
24.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核
选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗
词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、1
3 、n ，已知三个社团他都能进入的概率为1
24 ，至少进入一个社
团的概率为3
4 ，且m
n
.
（1）求m 与n 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1 分，对进入“诗词”社的
同学增加校本选修学分2 分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3 分．求该新同学在社团方面获得
校本选修课学分分数不低于4 分的概率．
【答案】（1）
1
1
,
2
4
m
n
；（2）1
6 .
【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依
次为m 、1
3 、n ，已知三个社团都能进入的概率为1
24 ，至少进入一个社团的概率为3
4 ，且m
n
，利用相
关公式建立方程组，即可求得m 与n 的值；
（2）根据题意，可知不低于4 分包括了得分为4 分、5 分、6 分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得
结果.
【详解】（1）依题
1
1
3
24
1
3
1
1
1
1
3
4
mn
m
n
m
n
，解得
1
2
1
4
m
n
（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为
i
X ，
获得本选修课学分分数不低于4 分为事件A ，
则
4
1
2
1
1
2
3
4
12
P X
；
5
1
1
1
1
2
3
4
24
P X
；
6
1
1
1
1
2
3
4
24
P X
.
故
1
1
1
1
12
24
24
6
P A
.
25.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12 张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.
从中任取一张，不中奖的概率为1
2 ，中二等奖或三等奖的概率是5
12 .
（Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率；
（Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是1
4 ，求任取一张，中三等奖的概率.
【答案】(1) 1
12 ;(2) 1
4 .
【详解】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A ，B ，C ，D ，它们是互斥
事件.
由条件可得
1
2
P D
，
5
12
P B
C
P B
P C
，
（Ⅰ）由对立事件的概率公式知
5
1
1
1
1
1 12
2
12
P A
P B
C
D
P B
C
P D
，
所以任取一张，中一等奖的概率为1
12 ；
（Ⅱ）∵
1
4
P A
B
，而
P A
B
P A
P B
∴
1
1
1
4
12
6
P B
，
又
5
12
P B
C
P B
P C
，∴
1
4
P C
所以任取一张，中三等奖的概率为1
4 .
