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重难点 04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系综合训练
中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类：
一、垂径定理及其应用
二、圆周角定理
三、圆内接四边形
四、三角形的外接圆与外心
五、直线与圆的位置关系
六、切线的性质与判定
七、三角形内切圆与内心
八、正多边形和圆
九、弧长与扇形面积的计算
十、圆锥的计算
中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通
常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本
都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。简答题部分，一般会把切线的判定和相
似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。
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考向一：垂径定理及其应用
【题型1 垂径定理及其推论】
1.圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点：
¿ ¿ ¿ ¿
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④AC=BC；⑤AD=BD
；
以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。
2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的
半径长为（ ）
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A．4 B．4√2 C．5 D．5√2
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，
线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m
3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，
交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61° B．63° C．65° D．67°
4．（2024·新疆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD=8，
OD=5，则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面
是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截
面的面积（ ）
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1 √3 1 √3 2 1 1
A． π− B． π− C． π−√3 D． π−
6 4 6 2 3 6 4
6．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦
DE⊥AB，将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．
当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
8．（2023·青海·中考真题）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理
吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
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(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一
次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=120°.此
时中心轨迹最高点是C（即B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计
算C到BD的距离d .
1
(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次
（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=90°.此时
中心轨迹最高点是C（即B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算
C到BD的距离d （结果保留根号）.
2
(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次
（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是B´D，圆心角∠BAD= ______.此时中心轨迹最高点是
C（即B´D的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C到BD的距离d =
3
______（结果保留根号）.
(4)归纳推理：比较d ，d ，d 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中
1 2 3
心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.
(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时
中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d=______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所
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以，将车轮设计成圆形.
考向二：圆周角定理
【题型2 圆周角定理及其推论】
圆中模型“知1得4”
由图可得以下5点：
¿ ¿
① AB=CD ； ② AB=CD； ③ OM=ON ； ④ ∠E=∠F； ⑤
∠AOB=∠COD；
以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用
1．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则
AD的长为（ ）
A．2 B．2√2 C．2√3 D．4
2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA=3，A´B=C´D，
∠DBC=25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（ ）
5 5 5 5
A． π B． π C． π D． π
4 8 2 12
3．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且A´B=B´C=C´D，点P在
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C´D上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105° B．100° C．90° D．70°
4．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连
接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半
1
径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在
2
∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB=50°，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若
∠AOD=50°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．55° C．50° D．75°
7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，
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则n= ．
8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若
∠BCD=20°，则∠ABD= °．
考向三：圆内接四边形
【题型3 圆内接四边形的性质及其推论】
1、性质：圆内接四边形对角互补；
2、推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角；
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，
F．若∠E=54°41′，∠F=43°19′，则∠A的度数为（ ）
A．42° B．41°20′ C．41° D．40°20′
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若
∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（ ）
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A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若
∠BEC=50°，则∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若
∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（ ）
A．56° B．60° C．68° D．70°
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，
连接BD．若AB=10，BD=2√5，则BC的长为 ．
6．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=
．
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7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，
过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则
∠ADC的度数为 ．
8．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至
点E，使AE=AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE=∠ADC．
(1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
(2)求证：①EF∥BC；②EF=BD．
考向四：三角形的外接圆与外心
【题型4 外心的确定及其性质】
1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点；
实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！
2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；
常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段
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1
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在△ABC中，已知BC=4√2，cosA= ，D是BC的中点，点O是
3
△ABC的外接圆圆心，则OD=（ ）
√2
A．2 B．√2 C．1 D．
2
2．（2024·山东淄博·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于点D，且AD=4，则△ABC
面积的最小值为 ．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AB=AC，∠A=70°，则
∠ABD−∠CBD= °．
4．（2024·江苏徐州·二模）如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足
∠APC=150°，则线段PB长度的最小值为 ．
5．（2024·陕西西安·一模）如图，在三角形ABC中，∠A=50°，用尺规作图，在三角形内作点D，使得
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∠BDC=100°．（保留作图痕迹，不写作法）．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，
△AOB∽△DOC，求证：△AOD∽△BOC．
【理解运用】（2）如图2，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一点，
DA=DE，∠ADE=90°，AE与BC相交于点F，过点D作DQ⊥AE于点P，交AC于点Q，若
AB=3CE=6，求CQ的长．
√3
【迁移拓展】（3）如图3，在△ABC中，BC=√3，∠BAC=30°，点D是AC上一点，CD= AB，
2
直接写出线段BD的最小值．
考向五：直线与圆的位置关系
【题型5 直线与圆的位置关系的确定】
直线与圆的位置关系主要有三种:相交、相切和相离。
①相交:直线和圆有两个公共点，这时直线叫做圆的割线。
②相切:直线和圆只有一个公共点，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
③相离:直线和圆没有公共点
1．（2023·湖北孝感·一模）已知⊙O的半径是一元二次方程x2−3x−4=0的一个根，圆心O到直线l的
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距离d=6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，以点A为圆心，以4cm长为
半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．外离
3．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=16，BC=AD+6，
如果以CD为直径的圆与梯形ABCD各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长的取值范围
是（ ）
A．5<AD<16 B．5≤AD<8 C．5≤AD≤8 D．0<AD<5
4．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆
和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．包含
5．（2024·青海西宁·二模）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线l与
⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．1或2 D．0或1
考向六：切线的性质与判定
【题型6 切线的性质】
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1、切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线；
延伸：经过切点的直径也垂直于圆的这条切线
常用辅助线及规律：见切点，连半径，得垂直！
2、切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等；
1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，
且C为A´B的中点，则∠ACM等于（ ）
A．18° B．30° C．36° D．72°
2．（21-22九年级上·北京东城·期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C为⊙O上一点，
若∠ACB=70°，则∠P的度数为（ ）
A．70° B．50° C．20° D．40°
3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，
若∠C=20°，则∠CAD= °．
4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于
点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，
3
cos∠ABC= ，则半径OC的长为 ．
5
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5．（2024·浙江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知
∠ACB=50°，则∠B的度数为
【题型7 切线的判定】
切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径；
1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且
1
∠BCD= ∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
2
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
3
(2)若sinB= ,⊙O的半径为3，求AC的长．
5
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2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，
过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．
(1)求证：EA与⊙O相切；
(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．
3．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D（点D
与点A不重合），交BC于点E，过点E作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)如图1，若CF=1，BE=3；求⊙O的半径；
(3)如图2，连接AE，OD，交点为H，当AH=EH=m时，求线段EG的长．
4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过
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点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED, CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O
于点F．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PC=3, PF=1，求AB的长．
5．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O
与边AB相切于点D，AC=AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
3
(2)若BC=6，cosB= ，求⊙O的半径；．
5
6．（2024·广西玉林·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交
AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE、OE．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)已知BD=10，CD=8，求OE．
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7．（2024·云南昆明·三模）如图，在△ABC中，CO是∠ACB的平分线，交AB于点O，以点O为圆心，
OB为半径的⊙O与边BC相切，与边AB相交于点D，连接CD．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠A=30°时，⊙O的半径为3，求CD的长．
8．（2024·广西桂林·一模）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO
的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，连接PA，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
(1)求证PA为⊙O的切线；
1
(2)若BC=6,tanF= ，求AC的长．
2
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9．（2024·广东中山·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，连接CD、
AD，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，AB平分∠CAE．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若∠ACB=30°，⊙O的半径为6，求BE的长．
考向七：三角形的内切圆与内心
【题型8 内心的确定及其性质】
1、三角形的内心：三角形条角平分线的交点；
实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！
2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；
常做辅助线：作内心到三边的垂线段
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=5，AB=7，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，
过O作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，则DE的长为（ ）
4√6
A．2√6 B．4 C．5 D．
3
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=8，
4
tan∠ABC= ，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则
3
△ADE的周长为（ ）
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A．9 B．12 C．15 D．18
3．（2024·山东济宁·二模）如图，四边形ABCD接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=129°，点E
在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，点P是
Rt△ABC的内心．点P到边AB的距离为 ；
5．（2023·湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别
相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
6．（2024·江苏泰州·一模）已知，△ABC是半径为5的⊙O的内接三角形，点D是△ABC的内心，射线
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AD分别交BC、⊙O于点E、F．
(1)如图1，连接BF，求证：△AEC∽△ABF；
(2)如图2，∠BAC=90°；
①若AB=8，求AF的长；
AF
②若∠ABC=30°，求 的值；
DF
(3)如图3，∠BAC=60°，射线BD、CD分别交⊙O于点G、H，点A在直线BC上方的圆弧上运动，
无论点A如何移动，线段DF、DG、DH中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
7．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC
的外接圆相交于点D．
(1)求证：S :S =AB:AC；
△ABF △ACF
(2)求证：AB:AC=BF:CF；
(3)求证：AF2=AB⋅AC−BF⋅CF；
(4)猜想：线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
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考向八：正多边形与圆
【题型9 几个必记正多边形】
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
1．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于⊙O，连接OA, OB，则∠AOB的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
2．（2020·河北石家庄·模拟预测）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧BC上一点(点P不与
点C重合)，则∠CPD=（ ）
A．45° B．36° C．35° D．30°
3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于
点M，则∠AMF的度数为（ ）
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A．26° B．27° C．28° D．30°
4．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（ ）
1
A．2 B．√3 C．1 D．
2
5．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方
形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方
形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕
按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内
一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中
∠DAP存在最大值．若PE=8，PF=5，当∠DAP最大时，求AD的长；
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（4）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
AC+CD=5，BC+CE=8，求AE+BD的最小值．
考向九：弧长与扇形面积的计算
【题型10 弧长及扇形面积的公式及其计算】
nπr nπr2 1
L = ；S = = Lr；
弧长 180 扇形 360 2
公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径
1．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图
（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m，点C，D分别为OA，OB
的中点，则花窗的面积为 m2．
2．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如
图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A，D．OA=1m，OB=10m，
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∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
考向十：圆锥的计算
【题型11 圆锥的公式及其计算】
S =πrl ；S =πrl +πr2
圆锥侧面积 母线长 圆锥全面积 母线长 ；
1．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，
O′ A、O′B分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为8π，OA=2√13，小圆柱的
体积为6π，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．√37π B．√37π C．√7π D．√7π
2．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图
中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．2√2 B．√2 C．√10 D．1.5
3．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积为
cm2．
4．（2024·山东日照·模拟预测）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几
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何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO 为√2，则其侧面展开图的面积为
1
．
4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为√3km，母线长为4√3km，欲从A
处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线PA的中点处），那么这条盘山公路的长度是 km．
5．（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
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(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）
（建议用时：35分钟）
1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的
解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交A´B于
点C，测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
2．（2024·湖南·中考真题）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A=45°，则∠BOC
的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．135°
3．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，
点D 是⊙P上的一动点．当点 D 到弦OB的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
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A．(9，3) B．(9，6) C．(10，3) D．(10，6)
4．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8，
⊙P是△ABC的内切圆．则OP的长为（ ）
12
A．2 B．3 C．√5 D．
5
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6,BE=1，则弦AC
的长为 ．
6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则
∠ADC的度数是 ．
7．（2024·上海青浦·二模）在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,AC与BD相交于点O．⊙A经过点B，如
果⊙O与⊙A有公共点，且与边CD没有公共点，那么⊙O的半径长r的取值范围是 ．
8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，O是AC上一点，以O为圆心，OC长为半
径的圆与AB相切，切点为D，与BC相交于点E．若AD=3，BD=6，则BE的长为 ．
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9．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与弦AB相交于点C，OB⊥OP，若
OB=3，OC=1，则PA的长为 ．
10．（2024·湖北·模拟预测）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知
∠CAB=29°，则∠P的大小是 ．
11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，与
AB相切于点A．作CD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠CBD=∠DCO．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB=5，BC=13，求⊙O的半径．
12．（2024·山东滨州·三模）如图，⊙O是以等腰△ABC的腰AB为直径所作的圆，点D是⊙O与底边AC
的交点，自D点作DE⊥BC，垂足为点E，过点B作⊙O的切线BF，交AC于F
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(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，DE=3，求此时DF的长．
13．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制
作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个r=10cm，l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，
绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
30
