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专题 31 圆的基本性质【二十个题型】
【题型1 圆的周长与面积相关计算】......................................................................................................................1
【题型2 圆中的角度、线段长度计算】..................................................................................................................3
【题型3 求一点到圆上一点的距离最值】..............................................................................................................5
【题型4 利用垂径定理结合全等、相似综合求解】.............................................................................................6
【题型5 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】.................................................................................................7
【题型6 垂径定理在格点中的应用】......................................................................................................................8
【题型7 垂径定理的实际应用】............................................................................................................................10
【题型8 利用垂径定理求取值范围】....................................................................................................................12
【题型9 利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】...........................................13
【题型10 利用弧、弦、圆心角关系比较大小】...................................................................................................14
【题型11 利用弧、弦、圆心角关系求最值】........................................................................................................15
【题型12 利用弧、弦、圆心角关系证明】...........................................................................................................16
【题型13 利用圆周角定理求解】............................................................................................................................18
【题型14 利用圆内接四边形求角度】....................................................................................................................19
【题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题】.......................................................................................................21
【题型16 利用圆的有关性质解决最值问题】.......................................................................................................22
【题型17 利用圆的有关性质求取值范围】...........................................................................................................24
【题型18 利用圆的有关性质解决多结论问题】...................................................................................................25
【题型19 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距】...............................................................................27
【题型20 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角】.......................................28
【知识点 圆的基本性质】
1.圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定
的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
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2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
3.弧.弦.圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其
余各组量也分别相等
4.圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型1 圆的周长与面积相关计算】
【例1】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的
仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那
么周围圆环面积约为（ ）
A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π
【变式1-1】（2023·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知
圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A'B'C'D'，若A'B':AB=2:1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
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【变式1-2】（2023·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知
圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A'B'C'D'，若A'B':AB=2:1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
【变式1-3】（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径
为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为
（ ）
22+16√3 20+16√3 22+14√3 20+14√3
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
【题型2 圆中的角度、线段长度计算】
【例2】（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，
射线DE交AB于F，连接CE，若CE⊥DF，则DE=（ ）．
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4 6 8
A．2 B． √5 C． √5 D． √5
5 5 5
【变式2-1】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在⊙O中，C是A´B上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD
交OB于E，若OA=DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（ ）
1 1 2
A．∠C= ∠AOC B．∠C= ∠AOC C．∠C= ∠AOC D．
3 2 3
3
∠C= ∠AOC
4
【变式2-2】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD
为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段
BC的长为（ ）
40 24
A． B．8 C． D．6
3 5
1
【变式2-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是⊙O外一点，分别以O、P为圆心，大于 OP长
2
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为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN交OP于点C，再以点C为圆心，以OC长为半径作圆弧，
交⊙O于点A，连接PA交MN于点B，连接OA、OB．若∠P=26°，则∠AOB的大小为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
【题型3 求一点到圆上一点的距离最值】
【例3】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【变式3-1】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，E为AC边上的任意一点，
把△BCE沿BE折叠，得到△BFE，连接AF．若BC=6,AC=8，则AF的最小值为 ．
【变式3-2】（2023·湖南永州·校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫
做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到
这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，
最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)到以原点为圆
心，以1为半径的圆的最短距离为 ．最长距离为 ．
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【变式3-3】（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，正方形
CDEF的边长为1，将正方形CDEF绕点C旋转一周，点G为EF的中点，连接AG，则线段AG的取值范
围是 ．
【题型4 利用垂径定理结合全等、相似综合求解】
【例4】（2023·广东湛江·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交
AB于点D，连接CD，∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，交⊙O于点P．
AE CF
(1)求证： = ；
AF BF
4
(2)若tan∠CAB= ，求sin∠CAP的值；
3
(3)连接PC、PB，若∠ABC=30°，AB=2 √3，求△PCF的面积．
【变式4-1】（2023·江苏泰州·二模）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知A´B=C´D．
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(1)求证：BE=DE；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．
【变式4-2】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O
上，∠1=∠C．
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直径．
【变式4-3】（2023·云南德宏·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一
点，且A´C=C´F，连接FB，FD，FD交AB于点N．
(1)若AE=1，CD=6，求⊙O的半径；
(2)连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：
ON⋅OP=OE⋅OM．
【题型5 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】
【例5】（2023·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分
别交点为B，C，圆心M的坐标是(4,5)，则弦BC的长度为 ．
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3
【变式5-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+3与x轴交于
4
点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B两点．
(1)求⊙M的半径；
(2)点C为弧OA上的一点，且满足∠COA=∠CBO，求C点坐标．
(3)直线y=x与⊙M交于点O、N两点，求线段ON的长．
【变式5-2】（2023·湖北黄冈·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a) (a>3)，
半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4√2，则a的值是 ．
【变式5-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半
径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．
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(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说
明理由．
【题型6 垂径定理在格点中的应用】
【例6】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，
点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接AM并延长交圆于点C，连接AD．
（1）AM= ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AP，使AP平分∠CAD，且点P在圆上，并简要
说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式6-1】（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的
顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在B´M上找出一点P，使P´M=A´M，并简要说明画图方
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法（不要求证明）
【变式6-2】（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧
经过格点A，B，C，CE的延长线经过格点D，则弧A´E的长为（ ）
3π π 5π √13
A． B． C． D． π
4 2 8 4
【变式6-3】（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为
格点，且点A，B在圆上．
（1）线段AC的长等于 ；
（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明
点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【题型7 垂径定理的实际应用】
【例7】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况
下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当
t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考
数据，√2≈1.414，√3≈1.732）
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问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）
【变式7-1】（2023·北京西城·统考一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，
某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径 m.
【变式7-2】（2023·宁夏中卫·统考二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监
测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标O(0，0)，A(0，10)，B(20，0)，由三个监测点确定
的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里）
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(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东45°，同时在监测点O测得C位于南偏东
60°，求监测点O到C船的距离．（结果精确到整数，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，√5≈2.2）
(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
【变式7-3】（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，
便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河
北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古
代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中AB´C），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的
半径是______m；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求
桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
【题型8 利用垂径定理求取值范围】
【例8】（2023·浙江宁波·一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=AE=2，F为B´D上
一点，CF与AB交于点G，若FG>CG，则BF的长的范围为( )
A．4b D．a，b大小无法比较
⏜ ⏜ ⏜
【变式10-1】（2023·甘肃平凉·三模）如图，在⊙O中， AB=BC=CD ，连接AC，CD，则AC与CD的
关系是（ ）．
A．AC=2CD B．AC<2CD
C．AC>2CD D．无法比较
【变式10-2】（2023·甘肃平凉·二模）如图所示，在⊙O中，A´B=2C´D，那么（ ）
A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．无法比较
【变式10-3】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是A´B上两点，
过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF=DE，连接CF并延长交OB于G点．
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(1)求证：△OCF≌△DOE；
(2)若C、D是AB的三等分点，OA=2√3：
①求∠OGC；
②请比较GE和BE的大小．
【题型11 利用弧、弦、圆心角关系求最值】
【例11】（2023·江苏泰州·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为A´B的三等分点（更靠近A点），
点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2 B．√7 C．2√3 D．√3+1
【变式11-1】（2023·江苏泰州·一模）如图，CD是⊙O的直径，CD=8，∠ACD=20°，点B为弧AD的
中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
【变式11-2】（2023·河南焦作·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D是B´C的中点，点
E，F分别为半径OC，OB上的动点．若OB＝2，则△DEF周长的最小值为 ．
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【变式11-3】（2023·河南·三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图
形．
(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B、C三点的圆．若∠AOB=70°，则
∠ACB=______．
(2)已知，如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．点P为AC边的中点，将AC
沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和
∠BEA的大小．
(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足
∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，
若不存在，说明理由．
【题型12 利用弧、弦、圆心角关系证明】
【例12】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图1，圆O中，AB为弦，C为弧AB中点，连接OC交
AB于D．
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(1)求证：OC⊥AB；
(2)如图2，弦EF∥弦GH，连接EG、FH，求证：EG=FH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC、F G，若FG平分∠EFH,OD=3,GH=√10，BC=2√5，求
EF长．
．
【变式12-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，C及AB的中点D，且D
是A´C的中点．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若⊙O的半径为1，求AB2:BC的值．
【变式12-2】（2023·广东江门·统考二模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线
BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM=MD，连接OD，交AC于点N．
(1)证明：OD⊥AC；
(2)试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明．
【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图1，AB为⊙O直径，点E是弦AC中点，连接OE
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并延长交⊙O于点D，
(1)求证：A´D=C´D；
(2)如图2，连接BD交AC于点F，求证：DE2=EF⋅EC；
(3)如图3，在（2）条件下，延长BA至点G，连接GF，若∠DFG=45°，AG=√2CF=4，求⊙O的周
长.
【题型13 利用圆周角定理求解】
【例13】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，BC是⊙O的直径，D为⊙O上一点，A为CB´D的中点，
AE⊥BC于H并交⊙O于点E，若CD=3DF，AC=4，则⊙O的半径长为（ ）
5 8 4 4
A． B． √13 C． √13 D． √3
2 13 13 3
【变式13-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在⊙O中，直径AB=4，弦CD=2，连接AD，BC相交于
点E，则∠AEC的度数是 ．
【变式13-2】（2023·天津滨海新·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径
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BD的延长线相交于点E．
(1)如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；
(2)如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．
【变式13-3】（2023·广东河源·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A(3,0)．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，
B，C为顺时针顺序），求OC的最大值；
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的
左侧作等边△BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为 ．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，
且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC=4√3，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边
△ABD，请直接写出AC的最值．
【题型14 利用圆内接四边形求角度】
【例14】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，若∠AOB=70°，则∠APB的度数为（ ）
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A．110° B．145° C．135° D．160°
【变式14-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，
连接AE，OD，若AE∥OD，且AE=OD，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【变式14-2】（2023·江西九江·校考二模）如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上
一点，且∠BCD=125°，则∠A的度数是 ．
【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，
BC=CD=AD，则∠C的大小为 ．
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【题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题】
【例15】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将B´C沿BC翻
折交AB于点D．再将B´D沿AB翻折交BC于点E．若B´E=D´E，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°
C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°
【变式15-1】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦
AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA=
．
【变式15-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不
与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆
劣弧EG上一点，则∠EOG＝ °．
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【变式15-3】（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将A´C沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=2√3，则⊙O的半径为 ；
(2)如图②，将B´C沿弦BC翻折，交AB于D，把B´D沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的B´D的中点，则∠B的度数为 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．
【题型16 利用圆的有关性质解决最值问题】
【例16】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，
AB=2√13cm，AC=6cm．D是B´C上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点
D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．√13−2 B．√13 C．√3 D．2
【变式16-1】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：
如图，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分别是AC，AB边上的动点，DE=52，
以DE为直径的⊙O交BC于点P，Q两点，求线段PQ的最大值．
嘉嘉：当点D，E分别在AC，AB上移动时，点О到点A的距离为定值；
淇淇：当PQ为圆О的直径时，线段PQ的长最大．
关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（ ）
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A．两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52
B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48
C．淇淇的说法有问题，当DE∥BC时，线段PQ的长度最大
D．这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值
【变式16-2】（2023·浙江湖州·统考中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形
的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，
BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的
长的最大值是（ ）
A．4√2 B．6 C．2√10 D．3√5
【变式16-3】（2023·浙江宁波·统考一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，－1），以M（－
1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连结BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，
5
长为 的线段PQ∥x轴（点Q在点P右侧），连结AQ．
3
（1）求⊙M的半径长和点B的坐标；
（2）如图2，连结AC，交线段PQ于点N，
①求AC所在直线的解析式；
②当PN=QN时，求点Q的坐标；
（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值．
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【题型17 利用圆的有关性质求取值范围】
【例17】（2023·湖北武汉·校考一模）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC=105°，B´C=4D´E，
延长EC至点A，连接DA，设∠A=α，则α所在范围可能是（ ）
A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22°
【变式17-1】（2023·浙江杭州·三模）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与
A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是
．
【变式17-2】（2023·江苏南京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上的动点，AC=6，
BC=8，经过C、D的⊙O交AC边于点M，交BC边于点N，且点M、N不与点C重合．
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(1)若点D运动到AB的中点．
①如图①，当点M与点A重合时，求线段MN的长；
②如图②，连接MN，若MN∥AB，求线段MN的长；
(2)如图③，点D在运动过程中，⊙O半径r的范围为 ．
【变式17-3】（2023·浙江宁波·一模）如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于
C、D两点，P点为劣弧B´C上一个动点，连接PA，PC，且A(−1,0)，E(1,0)．
（1）如图1，求点C的坐标和∠P的度数；
（2）如图2，若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求
出其值，若发生变化，求出变化的范围；
PC+PD
（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求 的值．
PA
【题型18 利用圆的有关性质解决多结论问题】
【例18】（2023·湖北襄阳·二模）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧B´C的中点，点D是优弧B´C
√3
上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6√3cm；③弦BC与⊙O直径的比为 ；
2
④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ）
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A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【变式18-1】（2023·山东济南·统考一模）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D
√3
是优弧BC上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6√3cm；③sin∠AOB＝ ；④四
2
边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
1
【变式18-2】（2023·河北廊坊·校考一模）如图，等边三角形OAB的边长为 ，半圆O的直径为1，连接
2
AD，BC相交于点P，将等边三角形OAB从OA与OC重合的位置开始，绕点O顺时针旋转α（
0°≤α≤120°）．下列结论正确的是（ ）
结论Ⅰ：A´C的长与B´D的长之和为定值；结论Ⅱ：使得∠CPD=120°的α值有两个；
2√3
结论Ⅲ：点P运动的路径长为 π．
9
A．Ⅰ对Ⅱ对 B．Ⅱ错Ⅲ对 C．Ⅰ对Ⅲ错 D．Ⅰ错Ⅲ对
【变式18-3】（2023·福建三明·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点M为⊙O内一个定点，
1
∠MAB=30°，OM= OA，经过点M的弦PQ交AB于点C，连接PA，PB，QA，QB．在下列结论
2
中：
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①△AOM为直角三角形；
②△MOC与△BPC相似；
③若AM平分∠PAB，则四边形APBQ为矩形；
④若∠BPQ=2∠APQ，则AQ=2OM．
其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
【题型19 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距】
【例19】（2023·福建·模拟预测）如图，△ABC内接于半径是4的圆，AC=6，优弧A´B是劣弧A´C的2倍，
则AB的长为（ ）
A．3√7 B．8 C．5√3 D．5√2
【变式19-1】（2023·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=4经过点C
且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（ ）
A．3 B．2√3 C．2√2 D．√6
【变式19-2】（2023·陕西·统考二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC，若∠BAC＝
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45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是（ ）
3
A．AB＝2CD B．AB=√3CD C．AB= CD D．AB=√2CD
2
【变式19-3】（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，⊙P与x轴交于点A(−5,0)，B(1,0)，与y轴的正半
轴交于点C．若∠ACB=60°，则tan∠CAB的值为 ．
【题型20 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角】
【例20】（2023·江苏泰州·一模）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于
D，OI⊥AD于I，若CD=4，则AC为（ ）
12√5 16√5
A． B． C．2√5 D．5
5 5
【变式20-1】（2023·浙江杭州·校考三模）如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于
点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，
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（1）⊙O的半径为 ；
（2）tan∠OEC的值为 ．
【变式20-2】（2023·广东深圳·深圳实验学校校考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负
半轴于点A、B，点C为⊙O外y轴正半轴上一点，CB交⊙O于点H，D为第四象限内⊙O上一点，
CE⊥DB交DB延长线于点E，已知∠ACB=∠BCE，CE=15，ED=24，则tan∠BAD的值为
.
【变式20-3】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上
方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，
BP．
(1)求证：∠BDC+∠BCN=90°；
4
(2)若tanP= ，⊙O半径为5，求CD的长．
3
30
