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专题 24 相似三角形及其应用【二十大题型】
【题型1 选择或添加条件使两个三角形相似】.....................................................................................................4
【题型2 利用相似的性质求值】..............................................................................................................................5
【题型3 利用相似的性质求点的坐标】..................................................................................................................6
【题型4 相似三角形在网格中的运用】..................................................................................................................7
【题型5 与相似三角形有关的证明】......................................................................................................................9
【题型6 利用相似三角形的性质求解决折叠问题】...........................................................................................12
【题型7 利用相似三角形的性质判断函数图象】...............................................................................................13
【题型8 尺规作图与相似三角形综合应用】.......................................................................................................15
【题型9 三角板与相似三角形综合应用】...........................................................................................................16
【题型10 平移与相似三角形综合应用】................................................................................................................18
【题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值】.......................................................................................19
【题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值】...............................................................................................20
【题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】...................................................................................22
【题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】...............................................................................23
【题型15 相似三角形的常见模型之（双）A字模型】........................................................................................25
【题型16 相似三角形的常见模型之（双）8字模型】.........................................................................................26
【题型17 相似三角形的常见模型之K字模型】...................................................................................................28
【题型18 相似三角形的常见模型之母子型】.......................................................................................................30
【题型19 相似三角形的常见模型之旋转相似模型】...........................................................................................32
【题型20 相似三角形的实际应用】......................................................................................................................33
【知识点 相似三角形及其应用】
1.相似三角形的性质与判定
相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号
“∽”，读作“相似于”.
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
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③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
2.相似三角形的常见模型
模型 图形 结论 证明过程（思路）
A字
正A字模型 反A字模型
①△ADE∽△ABC 1)已知DE∥BC 则
模型 ∠ADE=∠ABC
A A AD AE DE
② = =
AB AC BC 而∠A=∠A 所以
△ADE∽△ABC
2) 已知∠1=∠2 ∠A=∠A
D E E 2
D 所以△ADE∽△ABC
1
B C B C
已知：DE∥BC 已知：∠1=∠2
共边反A字模型 证明过程参照按照2）
共边反A字模型 剪刀反A字模型
A A ①△ABC∽△ACD ②
AB AC BC
= =
AC AD CD
E C ③AC2=AB•AD
D
1 2 剪刀反A字模型
2
1 B D ①△ABC∽△ADE ②
B C 已知：∠1=∠2 AB AC BC
= =
AD AE DE
已知：∠1=∠2
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8字 正8字模型 3)已知AB∥DC 则∠A=∠C
模型 正8字模型 反8字模型 B
①△AOB∽△COD ② 而∠AOB=∠DOC 所以
A B A 1 AO BO AB △AOB∽△COD
= =
CO DO CD
4) 已知∠1=∠2 ∠AOB=∠DOC
O O
反8字模型
所以△AOB∽△DOC
2 C ①△AOB∽△DOC ②
AO BO AB
= =
D C D DO CO CD
已知：AB∥CD 已知：∠1=∠2
一线 A A ①△ABC∽△CDE 5)∵∠B=∠D=∠ACE=90°
三垂 1 1 4 AB BC AC ∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°
直 ② = =
E E CD DE CE 则∠1=∠3 由此可得△ABC∽△CDE
③当点C为BD中点时， 6)∵ △ABC∽△CDE
2 3 2 3
B C D B C D △ABC∽△CDE∽△ACE AB = AC
∴ 而点C为BD中点
已知：∠B=∠D=∠ACE=90° CD CE
AB AC
=
则 又
BC CE
∵∠B=∠ACE=90°
∴△ABC∽△ACE 则
△ABC∽△CDE∽△ACE
三角 ①△ABC∽△ADG 7)∵四边形DEFG为矩形
形内
A AD AG DG AM ∴DG∥BC 而AN⊥BC
接矩 ② = = =
形 AB AC BC AN ∴△ABC∽△ADG
D M G ③若四边形DEFG为正方形 ∠AMG=∠ANC=90°
AD AG DG AM
即
DG
=
AM
若假设DG=x
∴
AB
=
AC
=
BC
=
AN
BC AN
x AN−x
B
E N F
C
则 = 若已知
BC AN
已知：四边形DEFG为矩形，AN⊥BC BC、AN长，即可求出x的值
旋转 A ①△ABD∽△ACE ∵△ADE∽△ABC
相似
AD AE
模型 1 2 ∴∠BAC=∠DAE =
AB AC
E
而∠1+∠DAC=∠BAC，
∠2+∠DAC=∠DAE
D
∴∠1=∠2
B C ∴△ABD∽△ACE
已知：∆ADE~∆ABC
3.相似三角形的应用
（1）.利用影长测量物体的高度．
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相
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等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）.利用相似测量河的宽度（测量距离）．
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．
必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【题型1 选择或添加条件使两个三角形相似】
【例1】（2023·吉林长春·统考模拟预测）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，
使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在
AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
AC DE BC AD
A．∠CAB=∠D B． = C．AD∥BC D． =
BC AE AC AE
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【变式1-2】（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点D为 ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，
DE＝5，BE＝4，要使 BDE∽△ACE，且点B，D的对应点△为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
△
【变式1-3】（2023·山东潍坊·校考一模）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接
AD、DE,AE与BD相交于点C，若添加一个条件使△ADC与△ABD相似，则可添加下列条件中的（
）
A．D´E=B´E B．AD=DE C．AB//DE D．AD2=BC⋅CD
【题型2 利用相似的性质求值】
【例2】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=5，点D，E分别在边
BC,AC上，且BD=4．若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为（ ）
10 13 13 10 12 5
A． B． C． 或 D． 或
3 5 5 3 5 3
【变式2-1】（2023·重庆大渡口·统考一模）如图，△ABC∽△ACP，若∠A=75°，∠APC=65°，则
∠B的大小为 ．
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【变式2-2】（2023·四川泸州·统考一模）如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和
△A'B'C'的高，若AD=2，A'D'=3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（ ）
A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
【变式2-3】（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，
4
tan∠BAD= ，点O为对角线AC，BD交点，点E为CD延长线上一动点，连接OE交AD于点F，当
3
△AOD∽△OFD时，求DE的长度为（ ）
40 33 30 44
A． B． C． D．
33 40 44 30
【题型3 利用相似的性质求点的坐标】
【例3】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A(1,0)，B(2,0)，C(0,1)，在坐
标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．
【变式3-1】（2013·浙江宁波·中考真题）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，
3
AC=BC=2√2，反比例函数y= （x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连接DE，当△BDE∽△BCA
x
时，点E的坐标为 ．
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【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考一模）如图，直径为13的⊙E，经过原点
O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA＞OB)的长分别是方程x2+kx+60＝0的两根．
(1)OA：OB＝ ；
(2)若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为 ．
【变式3-3】（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在
x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为(8，6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足
△PBE∽△CBO，当 APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
△
【题型4 相似三角形在网格中的运用】
【例4】（2023·上海杨浦·统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶
点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角
形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（2023·贵州遵义·统考一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，其中，B、C、
D、E四点都在网格的格点上，则△ABC的面积为（ ）
25
A．7.5 B．8 C． D．8.5
3
【变式4-2】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小
正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
1
A．CE≠ BD B．△ABC≌△CBD C．AC=CD D．∠ABC=∠CBD
2
【变式4-3】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫
做格点，正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，
画图过程用虚线表示．
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(1)在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使
∠GBE=45°；
(2)在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接
MH，使∠BHM=∠MBD．
【题型5 与相似三角形有关的证明】
【例5】（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩
形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中
∠ACB=∠≝=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为
点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新
的问题．
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①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点
M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若
BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【变式5-1】（2023·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其
中一种是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
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(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，
标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
【变式5-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD，分别交
CA、CE于点F、G．
(1)当α=60°时，求∠CBD的大小；
(2)当α≠60°时，试写出线段BG与CE满足的数量关系，并证明；
(3)若F为线段CA的中点，求DG的长．
【变式5-3】（2023·贵州遵义·校考一模）（1）【问题发现】如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，
B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为______；∠BEC=______°；
（2）【类比探究】
如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，B、
D、E三点共线，线段BE、AC交于点F．此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程
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并求出∠BEC的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点
A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长．
【题型6 利用相似三角形的性质求解决折叠问题】
【例6】（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考三模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，
点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边
BC于点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，，当GH=2HN时，MD的长为 ．
【变式6-1】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边AC上，AD=BD，
将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC'交AC于点P，连接AC'．若AP=4，AC=9，则AC'的长为
．
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【变式6-2】（2023·浙江杭州·校考三模）如图，在菱形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，DE，将
CF
△ABE沿直线AE折叠，使点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则 的值为 ．
FD
【变式6-3】（2023·吉林松原·校联考三模）小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点
A的对应点A'落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为 ．
【题型7 利用相似三角形的性质判断函数图象】
【例7】（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的
一个动点（点P与点B,C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF
的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE= y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
（ ）
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A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·广东潮州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC（为定值），点P
为AB的中点．点D沿AB从点A运动到点B，过点D作DE⊥AB交AC于E，设A，D两点间的距离为
x，DE+DP= y，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，
CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF= y，假设x、y能组成
函数，则y与x的函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AF∥BC，点
D在线段AC上运动，DE⊥AC交射线AF于点E，连接BD，CE，设线段BD的长为x，线段CE的长为y，
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则下列图象能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 尺规作图与相似三角形综合应用】
【例8】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，在△ABC中，用尺规按①到③的步骤作图：
①以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；
1
②分别以F、E为圆心，大于 FE为半径画弧，两弧相交于点G；
2
③作射线AG，交BC于点D；
结论Ⅰ：线段AD上必有一点M，使得S +S >S ；
△ABM △ACM △BCM
AB BD
结论Ⅱ： = ；
AC CD
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是( )
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A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对 B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对
C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对 D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对
【变式8-1】（2023·湖南邵阳·校联考三模）已知 ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其
将 ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的△是（ ）
△
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，
∠BAC=∠BCD=90°，请用尺规在AC边上找一点E，使得△CDE∽△BCA．（保留作图痕迹，不写作
法）
【变式8-3】（2023·广东广州·统考一模）如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB
为△BCD外接圆的切线．
（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；
（2）求∠A的度数；
AD
（3）求 的值．
DC
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【题型9 三角板与相似三角形综合应用】
【例9】（2023·浙江丽水·统考中考真题）一副三角板按图1放置，O是边BC(DF)的中点，BC=12cm．
如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．
【变式9-1】（2023·江苏无锡·无锡市江南中学校考二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角
板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．
（1）若点O到BC的距离为√6，则点O到EF的距离为 ；
（2）若BC=3AD，则 OCD外接圆的半径为 ．
【变式9-2】（2023·辽
△
宁抚顺·统考三模）如图，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角
线AC上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与射线BC相交于点F．
(1)试猜想线段DE、EF之间的数量关系为__________；
(2)试猜想图中此时线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；
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(3)作射线DF交直线AC于点G，若AB=4，CF=1，请直接写出EG的长．
【变式9-3】（2023·陕西咸阳·统考二模）【计算与推理】
（1）如图1，AB∥CF，AC与DF交于点E，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD的长为
___________；
（2）数学课上张老师拿了两块相似比为2:1的大三角板ABC和小三角板EDC，按如图2所示位置放置，
使60°角的顶点C重合．试判断BD:AE的值是否变化？并加以证明；
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（
△CEF）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含60°角的直角三角板ABC和ADE按如图3所示位置放置，使60°角的顶点A
重合，分别延长DE、BC交于点P，连接BD，得到△BDP；
第二步：取BD的中点F，分别连接EF、CF，CE，得到△CEF．
请问，按上述操作，裁得的△CEF部件是否符合要求？请说明理由．
【题型10 平移与相似三角形综合应用】
【例10】（2023·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐
标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式10-1】（2023·浙江温州·校联考三模）如图在矩形ABCD中，AB=2√7，AD=8，E是AD上一
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点，连结BE，过C作CF⊥BE于点F．将△ABE向右下方向平移到△IHC的位置，I在BC上，四边形
CDEF向左下方向平移到四边形HIBG的位置．若重新组成的矩形CFGH与矩形ABCD全等，则DE的长
为 ．△ABE内有一点O，平移后对应点为点O'，若O'是矩形CFGH的中心，则点O到AD的距离
为 ．
【变式10-2】（2023·山西晋城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD
是BC边上的中线．将△ABC沿AD方向平移得到△A'B'C'．A'C'与BC相交于点E，连接BA'并延长，与
边AC相交于点F．当点E为A'C'的中点时，A'F的长为 ．
【变式10-3】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在等边三角形ABC中，AC=4，E为AB的中点，在
CB延长线上截取BD=BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC重
1
叠部分的面积是△DEG面积的 时，△DEB平移的距离为 ．
4
【题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值】
【例11】（2023·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边
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上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
(1)若AE=2BE，求证：AF=2CF；
BE
(2)如图②，若AB=√2，DE⊥BC，求 的值．
AE
【变式11-1】（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝
2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2
【变式11-2】（2023·江苏连云港·统考一模）如图，点E、F分别在平行四边形的边BC、AD上，
BE=DF，点P在线段AB上，AP:PB=2:3，过点P作BC的平行线交边CD于点M，将△ABE分成S 和
1
S +S
S 两部分，将△CDF分成S 和S 两部分，则 1 3= ．
2 3 4 S +S
2 4
【变式11-3】（2023·吉林四平·校联考三模）在△ABC中，D，E分别为AB，AC上一点，BE，CD交于
点F．
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(1)设△ABE的面积为S ，△ACD的面积为S ，且S =S ．
1 2 1 2
①如图①，连接DE．若∠A=90°，求证：DE∥BC；
EF
②如图②，若∠FBC=45°，∠FCB=30°，求 的值．
DF
(2)如图③，若∠A=90°，CE=kAB，BD=kAE，DC=2BE，直接写出k的值．
【题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值】
【例12】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P为CD边上动点，连接
3
AP，过P作PM⊥AP，在AP上截取PM= PN，过P作PH⊥MN于H，连接DH，则DH的最小值
4
为 ．
2 2
【变式12-1】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，抛物线y=− x2+ x+4与坐标轴分别交于A，B，
3 3
C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
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(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接AP，交线段BC于点D，
PD
①当CP与x轴平行时，求 的值；
DA
PD
②当CP与x轴不平行时，求 的最大值；
DA
(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【变式12-2】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对
AP
角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时， 的值是 ．
PC
【变式12-3】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在
边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．
连接DG，交PC于点H．
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(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
CH
(4)求 的最大值．
CE
【题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】
【例13】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边
AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；
同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶
点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的
路径长是 ．
【变式13-1】（2023·四川达州·统考二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，O是BC边的中点，点E是正
方形内一动点，OE=√5，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．
(1)求证：AE=CF；
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(2)若A，E，O三点共线，如图2，连接OF，求线段OF的长．
(3)求线段OF长的最小值．
【变式13-2】（2023·重庆·校联考模拟预测）如图，面积为15的菱形ABCD，AB=5，点E从点B出发沿
折线B−C−D向终点D运动，过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在
EF的右侧作矩形EFGH．
(1)如图1，点G在AC上，求证：FA=FG；
(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长；
(3)已知FG=4，设点E的运动路程为S，当S满足什么条件时，以G、C、H为顶点的三角形与△BEF相
似（不包括全等）？请直接写出答案．
【变式13-3】（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D
为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不
与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A'，连结A'D、A'A．设点P的运动时间为t
秒．
（1）线段AD的长为 ．
（2）用含t的代数式表示线段BP的长．
（3）当点A'在△ABC内部时，求t的取值范围．
（4）当∠A A'D与∠B相等时，直接写出t的值．
【题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】
【例14】（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+8过点B(4,8)和点C(8,4)，与y轴交
于点A．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AB,BC，点D在线段AB上（与点A,B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作
DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△≝¿面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
(3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H(m,0)是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与
点O,B不重合），使得∠GBP=∠HGP=∠BOH，求m的取值范围．
【变式14-1】（2023·山东青岛·校考模拟预测）附加题：
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方
向匀速运动，速度为2 cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1 cm/s，运动过
程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为
ts (00)，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC
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S
于点E，连接CD．设S =S ,S =S ，求 2 的取值范围．
△DCE 2 △ABC 1 S
1
【变式15-2】（2023·江苏·三模）在△ABC中，AB=m(m>0)，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC
S
于点E，连接CD．设S =S ,S =S ，求 2 的取值范围．
△DCE 2 △ABC 1 S
1
【变式15-3】（2023·福建泉州·一模）如图，正方形ABCD边长为3，点E是AD上一点，且AE=1，连接
BE，过C作CF⊥BE，垂足为F，CF交对角线BD于G，将△BCG沿CG翻折得到△HCG，CH交对角
线BD于M，则S = ．
△HGM
【题型16 相似三角形的常见模型之（双）8字模型】
【例16】（2023·辽宁鞍山·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA
上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在
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直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
【变式16-1】（2023·上海奉贤·模拟预测）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上
截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【变式16-2】（2023上·河南郑州·二模）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC的值．
【变式16-3】（2023·湖南常德·一模）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，
DE=DC，点F是DE与AC的交点．
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（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F
是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出S :S 的值．
ΔABC ΔDEC
【题型17 相似三角形的常见模型之K字模型】
【例17】（2023·陕西西安·一模）（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂
线，垂足分别为E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，
∠EMF=90°，AM=2，当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，
3
∠CEF=α且tanα= ，若BF=8，求BE的长度．
4
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【变式17-1】（2023·江苏苏州·三模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、
C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交DC于点E，已知AD=3，AC=5．设AP的长为x．
PE
(1)AB=___________；当x=1时，求 的值；
PB
PE
(2)试探究： 是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
PB
(3)当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值．
【变式17-2】（2023·河南开封·一模）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有
关知识后，在等腰△ABC中，其中AB=AC，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
1
第二步，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
2
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
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(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
AD
②当AB=AC=6,BC=2时，连接DG，请直接写出 =___；
AG
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当
∠CPM=∠B时，求AM的长．
【变式17-3】（2023·辽宁·统考一模）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，
E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜
想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和
位置关系（用含α的式子表示）．
【题型18 相似三角形的常见模型之母子型】
【例18】（2023·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，❑∠BAC=120°，以CA为边在
∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为边BC（不含端点）上的任意一点，在射线CM上截取
CE=BD，连接AD，❑DE，❑AE． 设AC与DE交于点F，则线段CF的最大值为 ．
【变式18-1】（2023·山东滨州·一模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB
交⊙O于点E、D，连接EC、CD．
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（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：BC2=BD⋅BE；
1
（3）若tanE= ，⊙O的半径为3，求OA的长．
2
【变式18-2】（2023·福建三明·二模）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对
角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③AH⋅AC＝√2AE2；
④DG⊥AC．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式18-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，
则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2√2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想
点”，并说明理由；
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(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【题型19 相似三角形的常见模型之旋转相似模型】
【例19】（2023·河南周口·模拟预测）观察猜想
(1)如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边
△AMN，连接CN，则∠ABC与∠ACN的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）
中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为
边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连按CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理
由．
【变式19-1】（2023·四川成都·二模）如图，正方形ABCD的边长为8，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，
且CE=3，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan∠ECB=
．
【变式19-2】（2023·河南周口·二模）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重
合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.
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(1)观察猜想
BD
如图①，当α=60°时， 的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
CP
(2)类比探究
BD
如图②，当α=90°时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说
CP
明理由．
【变式19-3】（2023·河南郑州·统考一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，
E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE
的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最
大值．
【题型20 相似三角形的实际应用】
【例20】（2023·浙江温州·统考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拱桥形状？
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问
图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似． 为了定量的确定拱
题
桥形状，九年（8）班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次
背
活动．
景
素 小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距
96
材 离（记为x），进而确定形状． 经过测量，数学组绘制了图，并 6m的地方测得d= mm
7
一 得到水面宽AB为16m，拱顶离水面的距离CD为4m．
科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测
距法测量x． 其测量流程如下：
1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜（焦距
f =20cm），并在一侧的同一高度放置一枚激光笔．另一端盖上
瓶盖（半径r=12cm）；
素
2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大
材
镜光心（即圆心），再在瓶盖上形成一个光斑（记为点E）；
二
fr
3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离d，根据公式x= 计算得到x
d
的值．
注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置与水面的间距和激光
发射点到放大镜边缘的距离．
问题解决
任
务 若拱桥呈圆形，且小晨测得x=2m，求他到点D的距离．
一
任
务 请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理．
二
任 96
若小豪在距离点D，6m的地方测得d= mm，请在图中建立平面直角坐标系，通过计算判断拱桥
务 7
三 是否呈抛物线形．
项目复盘
科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结合生活经验及相关
科学知识，写出一条可能造成误差的原因．
【变式20-1】（2023·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问
题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、
CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，
EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的
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高度为 米．
【变式20-2】（2023·四川绵阳·统考中考真题）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面
镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子
刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离
是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置
A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【变式20-3】（2023·上海·统考中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆
AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点
的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2
米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此
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时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
37
