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专题 08 圆的有关计算与证明大题题型总结（6 大类型）
题型解读｜模型构建｜通关试 练
在中考数学中，圆的基本性质与计算在大题中通常考察垂径定理的有关计算、圆周角定理、圆内接四
边形等基础考点，难度一般在中档及以下，并且圆的性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合
出题，难度中等或偏上.在整个中考中通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中
档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能
在后续的结合问题中更好的举一反三.
1、垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
2、圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为
优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知
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一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图
形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
3、圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一
半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同
一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一
条弧所对的圆周角和圆心角．
4、圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
模型01 垂径定理的有关计算与证明
考｜向｜预｜测
垂径定理的计算与证明问题，在圆的有关解答题中会考查到，垂径定理的计算问题经常涉及平行线的判定、
勾股定理、直角三角形、三角形中位线性质、全等三角形、相似三角形的判定和性质等内容，此部分计算
难度不大，分值一般在5-8分左右
答｜题｜技｜巧
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用
勾股定理进行计算.在弦长.弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个.
（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弧BC的中点，
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过D作DF⊥AB于点E，交圆O于点F，交弦BC于点G，连接CD、BF．
(1)求证：△BFG≌△DCG；
(2)若AB=20，BE=5，求BF的长
1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=√3，以
边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B，点P为弧AB的中点．
(1)求⊙O的半径；
(2)连接PC，求tan∠PCB的值．
2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连结AC，BC，作
∠CAB的角平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，连结OD交BC于点F．
(1)求证：AC∥OD．
(2)若BC=12，AB=13，求EF的长．
3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，交AB于点
E，点F是⊙O上一点，连接DF交AB于点G，连接BF且∠BFD=60°，连接AD，CF．
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(1)求证：FD平分∠BFC；
(2)若⊙O的半径长为1，当DE=EG时，求CF的长．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F为弦CD上一点，且
∠DAF=∠C，射线AF与射线DB相交与点P．
(1)求证：F为AP的中点．
3 CF
(2)①若sin∠DAF= ，求 的值．
5 FD
6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是A´C上一点，
AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．
(1)求证：AD2=AG⋅AF；
(2)已知CD=16，BE=4，
①求⊙O的半径长．
②若点G是AF的中点，求△CDG与△ADG的面积之比．
模型02 垂径定理的有关综合应用
考｜向｜预｜测
垂径定理的应用很广泛，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距
等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一
定要掌握．
答｜题｜技｜巧
掌握垂径定理常见的辅助线：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
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（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）金华境内峰峦叠嶂，公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管
片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交
于圆心，
(1)如图1，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB=0.6m，AD=3m，BC=4m，求OB的长．
(2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接
触点L为M´P的中点，若丙组测得MN=PQ=0.5m，NL=LQ=2m，求该混凝土管片的外圆弧半径．
1．（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是
水位线，CD∥AB，AB=20米，∠BAD=15°．
(1)求CD的长．
(2)一艘船要经过该桥洞，矩形MNPQ是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽NP为10米，高PQ为2
米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由．
2．（2025·河北保定·一模）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而
盛于唐．距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．如图，“筒车”盛水筒的运行
轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，圆被水面截得的弦为AB，水而下盛水筒的最大深
度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离），∠OAB=60°．
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(1)求弦AB的长；
(2)求劣弧AB的长；
(3)由于水面上涨，当盛水筒内水面高度变为(2+√3)米时，求弦AB的宽度．
3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）综合与实践【主题】足球最佳射门位置．
【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段PQ表示球门，∠PAQ、∠PBQ为射门张
角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，∠PAQ_____∠PBQ.（用“>”、“<”或“
=”填空）
【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段PQ为弦
作⊙O，恰与直线l相切，切点为A．若点M是l上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处
时，射门张角最大，即∠PAQ>∠PMQ．
【迁移应用】如图3，点P(2,0)，点Q(6,0)，点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出
点A的坐标．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径
的半圆O，AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减少了多少？
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的
圆心，点P为A´B上一动点，连接AB，MP，AB与MP相交于点Q，若AB=4√14，BM=9，求PQ的
最大值；
【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池⊙O，AB、AD是水池上的两座长度相等的小桥，且
∠BAD=60°，现规划人员计划再修建两座小桥BC和CD，桥的入口C在水池边上（即点C在⊙O上），
为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大，已知AB=AD=60m，修建小桥的成
本为100元/m，当四边形ABCD的面积最大时，求修建BC和CD两座小桥的总成本．
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6．（24-25九年级上·河南周口·期中）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环
保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的
情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O，如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当
t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求筒车水面AC的宽度；
(3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据√2≈1.414，√3≈1.732
）
模型03 圆周角与圆心角有关计算及证明问题
考｜向｜预｜测
本部分内容常考的是圆周角和圆心角的转化，可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和
底角的关系进行转化.圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
答｜题｜技｜巧
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运
用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化
2.圆中出现直径，我们可以构建直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，可利用在直角三角形
中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明
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（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC与BD交于点E，点
F在AE上，DF=AE,∠DFC=∠BDC．
(1)求证：CF=AB．
(2)如图2，若点B为AB´C的中点，求证：BE2=CE⋅CB．
(3)在（2）的条件下，AF=1,△≝¿的面积为2，求CE的长．
1．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在扇形AOB中，点C、D在A´B上，A´D=C´B，点F、E分别
在半径OA、OB上，OF=OE，连接DE、CF．
(1)求证：DE=CF；
(2)设点P为C´D的中点，连接CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，求
证：四边形MNED是矩形．
2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别交于点
D，E，AF与过E点的切线EF垂直，垂足为F．
(1)求证：AC平分∠BAF；
(2)当BC=AC时，求证：CD=CE．
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3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知⊙O的半径为2，弦CD⊥直径AB，垂足为点E，点F
在A´C上（不与点A，点C重合），连接AF，AC，AD，FC．
(1)求证：AC=AD．
5
(2)若∠AFC= ∠ACD．
3
①求∠ACD的度数．
②当FC∥AD时，求A´F的长．
4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦BD交于点E，且
OD⊥AC，垂足为点F，若AC=BD．
(1)求∠AOD的度数；
(2)若AB=8，求DF的值；
(3)在（2）的基础上求CE的值．
5．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在▱ABCD中，AD>AB，过点A、B、D作圆，取圆
上一点E，连接CE交圆于点F．连接ED，EB，EA，使∠CED=∠BEA，连接FD．
(1)若∠CED=15°，∠EDF=10°，求∠EAD的度数；
(2)①求证：∠ECD=∠EAD；②求证：AE为圆的直径．
6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在⊙O中，AC为直径，AB=BC，点D在⊙O上．
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(1)如图1，求证：DB平分∠ADC；
(2)如图2，过点B作BH⊥AD于点H，求证：AH=CD+DH；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点C作CG⊥BC于点C且与BD的延长线交于点G，连接OH并延长，分
别与BC、BG交于点E、F，连接AE并延长，与BG交于点T，若CD=DH，EF:CG=1:√10，
AB=3√5，求△ADT的面积．
模型04 圆周角与圆内接四边形综合问题
考｜向｜预｜测
圆内接四边形的考查经常与圆周角、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等内容在一起考查，
难度不大，解决这类问题主要是灵活应用圆内接四边形相等
答｜题｜技｜巧
四边形的外接圆国到这个四边形的各个顶点的距离相等且等于外接圆的半径；反过来，如果四边形的各个
顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点在同一个圈上
(四点共园).
（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，锐角△ABC内接于⊙O,AB=AC，射线BE经过圆心O并交
⊙O于点D，连接AD、CD，BC与AD的延长线交于点F．
(1)求证：DF平分∠CDE．
(2)①比较大小：∠ABD_________∠F（填“＞，=，＜”）．
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1
②若tan∠ABD= ,⊙O的半径为√5，则DF的长为____________．
2
(3)若∠ACD=30°，CD=1，则AB的长为____________．
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，AC为⊙O的直径，∠ADC的平分线交⊙O于点B，PA
为⊙O的切线，PA⋅CB=AB⋅AC，连接PB．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求证：PB+BC=PC；
DB
(3)若DB=2√2DA，求 的值．
DC
2．（2025·浙江·一模）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB=AC，∠BAC=α，点D是∠BAC所
对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转α，交⊙O于点E，连结BD、DC、CE．
(1)求证：CE=BD．
(2)如图2，若CE∥AD，
①求α的值．
②当B´D的度数与D´C的度数之比为3时，求BD:DC的值．
3．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，
割线AD⊥CD于点D且交⊙O于点E，连接CE，AC，CB．
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(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)求证：CB⋅CE=DE⋅AB．
4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，满足A´B=2C´D，连接AC，BD，
长BC，AD于点E．
(1)若∠CAD=35°，求∠E的度数；
(2)求证：△ABE∽△CDE；
(3)若∠ABC=60°，AD=1，BD=3，求AB的长．
5．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，
连接CI并延长交⊙O于点D，E是B´C上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作AE∥CB交CD的延长
线于E，AD=DE．
(1)求证：∠BAD=∠EAD；
(2)连接AC，若D是优弧AC´B的中点，CE=4CD=4，直接写出AC的长．
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模型05 圆与相似问题
考｜向｜预｜测
圆与相似问题，在中考圆的内容在经常涉及到，难度在中等左右，部分学生解答此类会存在一定的
困难。此部分的内容考到的知识点比较多，主要是考查切线的证明、线段的计算问题，常与全等三角形、
等腰三角形、相似三角形在一起考查。
答｜题｜技｜巧
在利用相似三角形解决圆的问题是，重点是找到对应的角相等。圆中证明角相等的常见思路主要有：
（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
（2）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等
弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
（2025·安徽淮北·一模）如图，⊙O经过△ABC的顶点B，与边BA，BC分别交于点E，F，与边AC相切
于点D，连接DE，DF，BD，且DE=DF．
(1)如图1，求证：AD2=AE·AB；
(2)如图2，连接EF，若BD经过圆心O，且AD=6，AE=4，求EF的长．
1．（2025·山东济南·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的
延长线于点F，过点A作AD⊥CF，交直线CF于点D，交⊙O于点E．
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(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)若CD=2,AD=4，求线段AF的长．
2．（2023·河南洛阳·二模）如图，在△ABC中，AC=BC，以AC中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，
交AB于点D，交BC于点E．
(1)①请用无刻度的直尺和圆规过点A作⊙O的切线l，连接OD并延长交l于点F；（要求：不写作法，保
留作图痕迹）
②证明：∠ACB=2∠BAF．
(2)若CE=4，AC=6，求AF的长．
3．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交
CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
(1)求证：DH是圆O的切线；
(2)若EA=EF=2，求圆O的半径．
4．（2025·广东清远·一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC交⊙O于点D，
点E是弧BD的中点，AE与BC交于点F．
(1)当∠B=40°时，∠CAD=_______；
(2)求证：∠C=2∠EAB；
(3)已知CD=9，CA=15，求DF的长．
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5．（2024·广东佛山·一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC=∠ABC．
(1)如图1，求证：AC为⊙O的直径；
(2)如图2，过点C作CD的垂线交AB于点E，G为BC上一点，连接EG，并延长交DC延长线于点F，若
EG=GC，AE=2FG，求证：AD=DF；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线，在切线上取一点L，使LA=AC，连接LC，在⊙O
上取一点Q，连接AQ并延长交LC于点P，使PC=2PL，连接LQ和QC，点N和点M分别在AD和DC
边上，若AN=CM，AM和CN相交于点K，且∠AKC+∠LQP=180°，DM=5，△AMC的面积是
325
，求CF的长．
2
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知等腰△ABC的底边BC长为8,⊙O是等腰△ABC的外接圆，弦
AD与BC交于点E，M为BD´C上的动点（不与B，C重合），AM交BC于点N．
√3
(1)若AE=5√3，ED= ，求AB的长；
3
(2)求AN⋅NM的最大值；
(3)在（1）的条件下，若F是CB延长线上一点，FA交⊙O于点G，当AG=8时，求tan∠AFB的值．
模型06 圆与三角函数问题
考｜向｜预｜测
圆与三角函数的问题，在中考圆的内容在经常涉及到，难度在中等左右，部分学生解答此类会存在
一定的困难。此部分的内容考到的知识点比较多，主要是利用圆的基本性质、切线的有关计算与证明来解
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答圆的有关线段的计算、角度的计算或数量关系、切线的证明，尤其在利用锐角三角函数求线段的长、求
一个角的三角函数值，会在角的转化方面存在问题.
答｜题｜技｜巧
在利用锐角三角函数解决圆的问题时，重点是在直角三角形找到对应的角相等，直角三角形中证明角相等
的常见思路主要有：
（1）利用平行线的性质进行推导：两直线平行，同位角相等、内错角相等
（2）利用同角或等角的余角（补角）相等
（3）直角三角形的两锐角互余
（4）等腰三角形的两底角相等
（2025·陕西榆林·一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点D，E分别是BC，AC的中点，
连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF．
(1)求证：AF与⊙O相切；
3
(2)若tan∠BAC= ，BC=12，求⊙O的半径．
4
1．（2025·陕西西安·三模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O经过A，B两点，与斜边 AC交于点
E，连接BO 并延长交AC于点H，交⊙O于点D，连接AD，过点E的切线EF与BC交于点F，且
EF∥BD．
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(1)求证： AB=BC；
1
(2)若 AH=3√2，tan∠ABD= ，求OH的长．
3
2．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D,E为AC
的中点，连接CD,DE,OE．
(1)求证：DE是⊙O的切线（提示：利用DE是直角三角形斜边的中线进行证明）
(2)若BD=8,CD=6，求∠EOC的正切值．
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在三角形ABC中，O为AB边上一点，AC是⊙O的切线，延长CO
至点D，连接BD，∠D=90°，且∠BOD与∠BCO互余．
(1)求证：BC是⊙O的切线
(2)若OA=8,AC=16，求cos∠CBA的值
4．（2025·江苏镇江·一模）如图，在等腰△ABC中，AH为底边BC上的高，∠ACB的角平分线交AH于
点D，⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上．
(1)请画出⊙O(尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)求证：AH与⊙O相切；
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1
(3)当AB=12，cosB= 时，求⊙O的半径．
3
5．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O
于点D，交BC于点H，过点D的直线EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F．
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
3 10
(2)若sin∠ABC= ，BE= ，求BC和AH的长．
5 3
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知等腰△ABC的底边BC长为8,⊙O是等腰△ABC的外接圆，弦
AD与BC交于点E，M为BD´C上的动点（不与B，C重合），AM交BC于点N．
√3
(1)若AE=5√3，ED= ，求AB的长；
3
(2)求AN⋅NM的最大值；
(3)在（1）的条件下，若F是CB延长线上一点，FA交⊙O于点G，当AG=8时，求tan∠AFB的值．
一、解答题
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，以AB为直径的⊙O经过点D，点P
是边AC上一点（不与点A,C重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
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(1)过点A作一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分；
(2)在边AB上找一点P′，使得BP′=CP．
2．（2024·安徽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB
于点E，交⊙O于另一点F，FA=FE．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点
F，连接AE，AC，BC．
(1)求证：∠BAC=∠E；
(2)若AB=8，DC=2，CE=3√10，求CF的长．
4．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，
∠BAC=∠ADB．
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(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
5．（2023·湖南·中考真题）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，
∠ABD=45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G．且满足∠CFE=45°．
(1)求证：直线l⊥直线CE；
(2)若AB=DG；
①求证：△ABC≌△GDE；
3
②若R=1，CE= ，求四边形ABCD的周长．
2
6．（2023·安徽·中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3，求弦BC的长．
7．（2022·贵州六盘水·中考真题）牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月
亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，
下图是月亮洞的截面示意图．
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(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径
可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
(2)若∠COD=162°，点M在C´D上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在
洞顶C´D上巡视时总能看清洞口CD的情况．
8．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点
F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
(1)求证：FB2=FE⋅FG；
(2)若AB=6．求FB和EG的长．
9．（2022·广东·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB=√2，AD=1，求CD的长度．
10．（2022·湖北宜昌·中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥
距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的
主桥拱是圆弧形，表示为A´B．桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m，设A´B所在圆的圆心为O，半径
OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m．连接OB．
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(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
11．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装
了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM=AN，DM=DN．求证：∠AMD=∠∧¿．
【模型应用】
（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：
①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证
明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，AC为⊙O的直径，A´B=B´C，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．
求证：AE=2CD．
一、解答题
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1．（2025·安徽阜阳·一模）如图，△ABC内接于⊙O，点D为BC弧的中点，AD交BC于E，DF⊥AC
于F，AB=AE，连接CD．
(1)求证：∠CAD=2∠CDF；
(2)若AB=2，AC=3，求CF的长．
⏜ ⏜
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，AB是半圆O的直径，C是
AB
上一点，点D是
BC
的中点，连
接AD．
(1)求证：AC∥OD；
(2)若AB=10,AC=8，求AD的长．
3．（2025·河南·一模）如图，点A，B，C在⊙O上，点E在AB的延长线上，连接CA，CB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠CBE的平分线交B´C于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，连接AD，CD，求证：△ACD是等腰三角形．
4．（2024·河北·一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB为直角，AC=3√2，D在AB的延长线
上，且AB=BD，DE⊥AD于点D，过B，C，D三点的⊙O交DE于点F，连结CF．
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(1)求⊙O的半径．
(2)探究：其他条件不变，将点C在圆上移动至点G，使AG=BG，求AG的长度．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边△ABC与以BC为直径的半圆O交于D，E两点，点F在D´E上，
连接BE，BF，DF，点G在AC的延长线上，连接FG，OG，BG，若∠BGC=45°，
∠ABF+∠OGB=∠COG．
(1)求证：∠CBG=15°；
(2)求证：∠ADF=3∠ABF；
OG
(3)连接FG，求 的值．
FG
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知Rt△ABC中∠BAC=90°，设Rt△ABC的外接圆为⊙O，
∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，点E在AC的延长线上且AB=CE，连接DC，DE．
(1)尺规作图：作Rt△ABC的外接圆为⊙O的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：AD=ED．
7．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，
使得CD=CE，交AD的延长线于点E．
(1)求证：AB=AE．
(2)若AD=DE=2，求CD的长．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，
弦AB的弦心距为OF．
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（1）若AF=OF，则∠ADB的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长为 ．
9．（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=70°，则∠CBD的度数为______；
问题探究
⏜
（2）如图②，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P是
AB
上的一点，过点P作PQ⊥AB于点
Q，求线段PQ长的最大值；
问题解决
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形ABCD是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，
其中AB=50m，AD=100m，∠A=60°，∠C=150°，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区
域的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．
10．（2024·湖南长沙·模拟预测）根据以下实践活动项目提供的材料，完成相关任务．
【活动主题】怎样确定隧道口车辆通过限行高度？
【活动过程】素材1：长沙附近有一条两车道隧道，隧道口有4.5m限高标志，如图1，表示车辆顶部最高处
到地面的距离不超过4.5m，否则禁止通行．
素材2：李明通过实地测量和查阅有关资料，获得以下信息，如图2：
①隧道口上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的长和半圆的直径相等
②矩形的长为10m，高为2m，车道两侧各有1m人行道；
③设计部门要求车辆顶部（约定为平顶）与隧道圆拱内部在竖直方向至少有hm的距离．
【问题解决】
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(1)试求隧道口上半圆中点E到路面AB的距离EF；
(2)求h的最小值．
【答案】(1)7m；
11．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．
如图，大棚跨度AB=8m，拱高CD=2m．
同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作OC⊥AB于点D交圆弧于点C．连接OA．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐
标系．
(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即AE=BF=1m．在大棚内需搭建2m高的
植物攀爬竿，即GM=HN=2m，GM⊥AB于点P，HN⊥AB于点Q，GH与OC交于点K．请问哪种设
计的种植宽度(MN)要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形GMNH是矩形）
12．（2025·河北·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=√5，以点B为圆心，以√2
为半径作圆．
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(1)设点P为⊙B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，DB，PB，
如图2，求证：AD=BP；
(2)在（1）的条件下，若∠CPB=135°，求BD的长；
(3)在（1）的条件下，当∠PBC=______°时，BD有最大值，且最大值为______；当∠PBC=______°时，
BD有最小值，且最小值为______．
27
