指数
模块一：基础知识
考点一：n 次方根、n 次根式
1．a 的n 次方根的定义
一般地，如果x
n＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N
*.
2．a 的n 次方根的表示
n 的奇偶性
a 的n 次方根的表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
n
a
a∈R
n 为偶数
±
n
a
[0，＋∞)
3.根式
式子
n
a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
考点二：根式的性质
1.
n
0＝0(n∈N
*，且n>1)．2．(
n
a)
n＝a(a≥0，n∈N
*，且n>1)．
3.
n
a
n＝a(n 为大于1 的奇数)．4.
n
a
n＝|a|＝
a，a≥0，
－a，a<0
(n 为大于1 的偶数)．
考点三：分数指数幂的意义
分数指数
幂
正分数指数幂
规定：
m
n
a ＝
n
a
m(a>0，m，n∈N
*，且n>1)
负分数指数幂
规定：
1
m
n
m
n
a
a
＝
1
n
a
m(a>0，m，n∈N
*，且n>1)
0 的分数指数
幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂
无意义
考点四：有理数指数幂的运算性质
(1)a
ra
s＝a
r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a
r)
s＝a
rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)
r＝a
rb
r(a>0，b>0，r∈
Q)．
考点五：无理数指数幂
一般地，无理数指数幂a
α(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质
同样适用于无理数指数幂．
考点六二实数指数幂的运算性质
1．a
ra
s＝a
r＋s(a>0，r，s∈R)．2．(a
r)
s＝a
rs(a>0，r，s∈R)．3．(ab)
r＝a
rb
r(a>0，b>0，r∈
R)．
模块二：题型分类
题型一：利用根式的性质化简或求值
1．化简算式
1
1
2
1
3
2
等于（
）
A．1
B．1
2 2
3
C．2 3
2
D．
3
2
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】原式
2
1
3
2
2
1
3
2
1
2 2
3
2
1
2
1
3
2
3
2
.
故选：B.
2．化简：
2
3
3
π
4
π
3
（
）
A．1
B．1
C．7
2
D．2
7
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.
【详解】
2
3
3
π
4
π
3
π
4
π
3
4
π
π
3
1
.
故选：A.
3．已知实数,a b 满足
2
2
(
1)(
1)
1
a
a
b
b
，则a
b
（
）
A．1
B．1
C．1
D．0
【分析】根据二次根式的运算求解.
【详解】设
2
1
m
a
a
，
2
1
n
b
b
，
2
2
1
1
1
1
a
a
m
a
a
，
2
2
1
1
1
1
b
b
n
b
b
，
2
2
1
1
1
2
m
a
a
a
a
a
m
，
2
2
1
1
1
2
n
b
b
b
b
b
n
.
1
1
,
2
2
m
n
m
n
a
b
.
又
1
m n
，
1
1
n
m
m
n
，
，
,
2
2
m
n
n
m
a
b
，
=0
2
2
m
n
n
m
a
b
.
故选：D
4．化简下列式子：
（1）
3
3
2
2
3
；（2）
4 2
2 6
；（3）
3
2
3
2
x
2x
1
x
3x
3x
1
【答案】（1）2 2
6
；（2）
4
4 18
2
；（3）
2
1
2
1
x x
x
.
【分析】由平方差公式、完全平方式，利用根式的化简即可求解.
【详解】(1)原式
2
2(3
3)
2(3
3)
2(3
3)
3
3
2
4
2 3
2
( 3
1)
2
2(3
3)
2(12
6 3)
2 2
6
6
(3
3)(3
3)
(2)
2
2
2
4
4
4
4
4
4
( 18
2)
( 18)
2 18
2
( 2)
2
4
4
18
2 18 2
2
3 2
2 6
2
4 2
2 6
0
∴由平方根的定义得：
4
4
4 2
2 6
18
2
(3)
3
3
3
2
3
3
3
1
1
1
x
x
x
x
x
，
2
1(
1)
2
1
1
1(
1)
x
x
x
x
x
x
x
2
3
3
2
2 (
1)
2
1
3
3
1
2(
1)
x x
x
x
x
x
x
x
.
5.（1）已知,a b 是方程
2
6
4
0
x
x
的两个根，且
0
a
b
，求
a
b
a
b
的值．
（2）已知
1
1
2
2
3
a
a
，求下列各式的值：
①
1
a
a
；
②
2
2
a
a
．
【答案】（1）
5
5
；（2）①
1
7
a
a
；②
2
2
47
a
a
．
【分析】（1）先得到两根之和，两根之积，再求解
a
b
a
b
的平方，进而求出
a
b
a
b
的值；（2）利用平
方法进行求解.
【详解】（1）因为,a b 是方程
2
6
4
0
x
x
的两个根，所以
6
4
a
b
ab
，
所以
2
2
6
2 4
2
1
10
5
2
6
2 4
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
ab
．
因为
0
a
b
，所以
a
b
．
所以
1
5
5
5
a
b
a
b
．
（2）①将
1
1
2
2
3
a
a
两边平方，得
1
2
9
a
a
．
即
1
7
a
a
．
②将
1
7
a
a
两边平方，得
2
2
2
49
a
a
，
即
2
2
47
a
a
．
6．(多选)下列各组函数中表示同一个函数的是（
）
A．
2
f x
x
，
3
g x
x
B．
1
f x
x
，
3
3
1
g x
x
C．
2x
f x
x
，
g x
x
D．
1
f x
x
，
2
1
g x
x
【分析】选项BD，两个函数的定义域和对应关系相同，两个函数是同一函数；选项AC，两个函数的定义
域不同，所以两个函数不是同一函数.
【详解】当两个函数的定义域和对应关系相同时，两个函数就是同一函数.
A.
2
f x
x
，
3
g x
x
，函数
( )
f x 的定义域为R ，函数( )
g x 的定义域为[0,
)
，所以两个函数的定
义域不同，所以两个函数不是同一函数；
B.
1
f x
x
，
3
3
1
g x
x
，两个函数的定义域都是R ，对应关系相同，所以两个函数是同一函数；
C.
2x
f x
x
，
g x
x
，函数
( )
f x 的定义域为{ |
0}
x x
，函数( )
g x 的定义域为R ，所以两个函数的定义
域不同，所以两个函数不是同一函数；
D.
1
f x
x
，
2
1
g x
x
，两个函数的定义域都是R ，对应关系相同，所以两个函数是同一函数.
故选：BD
7．若
2
0
3
5
x
x
，化简
2
2
25
30
9
(
2)
3
x
x
x
的结果为
．
【分析】先解分式不等式得x 范围，再根据范围化简式子即可.
【详解】由
2
0
3
5
x
x
可得
5
2
3
5
0
2
3
x
x
x
，所求式子变形为
2
3
5
2
3
5
3
2
3
4
x
x
x
x
x
.
故答案为：4x
8．求值：
(1)
0.5
2
3
2
0
27
49
2
(0.2)
(0.081)
8
9
25
；
(2)π0－
2
2
3
8
＋5 2 ×
1
2
5
4
.
【分析】（1）根据指数运算法则计算可得结果.
（2）根据指数运算法则计算可得结果.
【详解】（1）原式
2
3
8
49
2
4
7
8
25
1
1
27
9
25
9
3
9
；
（2）原式
2
1
4
3
2
4
3
5
5
1 2
2
2
1 2
2
13
.
题型二：指数幂的运算
1．已知
0
a
，化简
a
a a
（
）
A．a
B．
5
2
a
C．
5
4
a
D．
3
8
a
【分析】将根式转化为分数指数幂，然后利用幂的运算性质即可求解.
【详解】解：
1
3
5
2
4
4
a
a a
a
a
a
，
故选：C．
2．下列运算结果中正确的为
A．
2
3
6
a
a
a
B．
3
2
2
3
a
a
C．
0
1
1
a
D．
3
2
6
a
a
【分析】直接利用指数幂的运算法则逐一判断每一个选项，即可得到结论.
【详解】对于A 选项：
2
3
2 3
5
a
a
a
a
,所以A 选项错误;
对于B 选项：
3
2
6
a
a
,而
2
3
6
=
a
a
，所以B 选项错误；
对于C 选项：0 的0 次幂没有意义，当
1
a 时,
0
1
a
无意义, C 选项错误，故选D.
【点睛】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加
减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带
分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算
性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.
3．下列结论中，正确的是（
）
A．设
0,
a
则
4
3
3
4
a
a
a
B．若
8
2
m
，则m
8 2
C．若
1
3
a
a
，则
1
1
2
2
5
a
a
D．
4
4 2
2
【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误．
【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得
4
4
3
3
25
3
3
4
4
12
a
a
a
a
a
，选项A 错误；
对于B，
8
2
m
，故
8 2
m
，选项B 正确；
对于C，
1
3
a
a
，
1
1
2
1
2
2
(
)
2
3
2
5
a
a
a
a
，因为
0
a
，所以
1
1
2
2
5
a
a
，选项C 错误；
对于D，
4
4 2
2
2
，选项D 错误.
故选：B．
4．(多选)下列运算正确的是（
）
A．
7
1
7
7 (
0,
0)
m
m
n
m
n
n
B．
4
3
12
4
12 3
( 3)
3
C．
3
4
3
4
3
(
) (
0,
0)
x
y
x
y
x
y
D．
3
3
9
3
【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断．
【详解】
7
7
7
(
)
(
0,
0)
m
m
n
m
n
n
，故A 错；
4
3
12
4
12 3
( 3)
3
，故B 正确；
3
3
4 x
y
与
3
4
(
)
x
y
3
4 (
)
x
y
不同，故C 错；
2
1
3
2
3
3
3
1
3
2
9
3
(
)
3
3
3
，故D 正确.
故选：BD.
5．已知
1x 和
2x 是方程
2
9
3
3
0
x
x
的两根，则
1
2
1
2
9
9
x
x
x
x
.
【分析】由题知
1
2
3
3
9
x
x
，
1
2
3
3
3
x
x
，进而得
1
2
1
x
x
+
，再结合
1
2
1
2
1
2
2
9
9
3
3
2 3
3
x
x
x
x
x
x
求解即
可.
【详解】解：方程可化为
2
3
9 3
3
0
x
x
，由韦达定理得
1
2
3
3
9
x
x
，
1
2
3
3
3
x
x
，
所以
1
2
3
3
x
x
，得
1
2
1
x
x
+
.
又
1
2
1
2
1
2
2
9
9
3
3
2 3
3
81
6
75
x
x
x
x
x
x
，
所以
1
2
1
2
9
9
75
x
x
x
x
.
故答案为：75
6．计算化简：
(1)
1
1
2
3
2
3
27
7
0.027
2
125
9
；
(2)
2
2
3
1
1
3
1
3
2
a
b
a
b
b a
a
b
.
【分析】利用分数指数幂的运算法则进行计算即可得解.
【详解】（1）
1
1
1
1
3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
27
7
25
(0.027)
2
(0.3
3
)
125
9
5
9
1
1
2
2
2
5
5
0.3
0.09
0.09
3
3
5
5
3
3
.
（2）
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
1
3
2
3
2
3
3
3
2
2
a
b
a
b
a b
a b
a b
a
b
b a
a
b
a b
a
b
a
b
a b
1
1
5
6
2
1
2 1
1 1
2
3
2
3 3
6
2 3 3 3
a b
a
b
－.
7.化简（式中的字母均为正实数）：
(1)
1
1
3
4
a
a
；(2)
3
1
2
2
3
a b
ab
；(3)
1
3
3
1
2
15
25
a b c
abc
；(4)
1
8
2
6
4
9
a
b
；(5)
1
1
3
3
3
2
3
2
x
x
x
；
(6)
2
1
3
1
1
3
3
2
4
2
2
x
y
x y
x
y
；(7)
2
1
1
2
2
x
x
；(8)
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
x
y
x
y
．
【详解】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得
1
1 1
1
1
3
4 3
4
12
a
a
a
a
.
（2）解：根据指数幂的运算法则，可得
3
3
5
1
1
1 1
2
2
2
2
3
6
6
a b
ab
a
b
b
.
（3）解：根据指数幂的运算法则，可得
1
1
2
1
1
3
3
1
1
3 1
2
3
3
2
2
1
2
15
3
3
5
5
25
a b c
a
b
c
a
b c
abc
.
（4）解：根据指数幂的运算法则，可得
1
1
8
6
2
2
4
3
6
8
4
9
3
9
4
2
a
b
a b
b
a
.
（5）解：根据指数幂的运算法则，可得
1
1
1 3
1 1
11
2
3
3
3
3 2
3 3
6
3
2
3
2
6
3
6
3
x
x
x
x
x
x
x
.
（6）解：根据指数幂的运算法则，可得
2
1
2 1
3
1
1
3
1
1
7
1
2
3
3
3 3
2
4
2
2
4
2
4
2
2
2
x
y
x y
x
y
x
y
x
y
.
（7）解：根据指数幂的运算法则，可得
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
(
)
2
(
)
2
x
x x
x
x
x
x
x
.
（8）解：根据指数幂的运算法则，可得
1
1
1 1
2
1
1
1 1
3
3
3 3
3
2
2
2 2
2
2
4
4
x
y
x
y
x
y
x
y
.
题型三：分数指数幂与根式的互化
1．化简
8
4
4 16
0
0
x y
x
,y
得（
）
A．
2
2x y
B．2xy
C．
2
4x y
D．
2
2x y
【分析】结合指数函数的运算法则以及根式与指数幂的转换即可求出结果.
【详解】因为
0,
0
x
y
，所以
4
8
4
2
2
4
4
16
2
2
x y
x y
x y
，
故选：D.
2．若
3
3 ,
x
x
则x=（
）
A．
2
7
9
B．
2
7
3
C．
2
3
9
D．
2
3
3
【分析】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解.
【详解】由
3
3
x
x
，得
3
4
3
x
x
，即
7
4
3
x ，所以
4
2
7
7
3
9
x
.
故选：A
3．已知
0
a
,将
2
3
2
a
a
a
表示成分数指数幂,其结果是
A．
1
2
a
B．
3
4
a
C．
7
6
a
D．
3
2
a
【解析】由根式与分数指数幂的互化规则对所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出
正确选项.
【详解】因为
0
a
,所以
2
2
2
1
3
2
3
2
(
)
a
a
a
a
a a
2
2
6
1
1
7
2
5
6
3
a
a
a
a
a
a
.
4．(多选)下列命题正确的是（
）
A．
7
8 (
0)
a a a
a
a
B．函数
f x
x
与
3
3
( )
g t
t
表示同一个函数
C．若
2
log 3
a
，则
6
3
log 9
1
a
a
D．函数
3
2
( )
2
1
x
x
f x
x
在区间[
, ](
0)
a a a
上的最大值与最小值之和为4
【分析】对于A,利用指数幂运算性质计算即可；对于B ，根据函数相等的条件判断即可；对于C ,根据换
地公式及对数的运算性质计算即可；对于D ,函数
( )
f x 的解析式是奇函数加一个常数的形式，利用奇函数最
值的对称性求解即可.
【详解】对于A,
7
1
3
3
7
8
2
2
4
4
(
0),
a a a
a a a
a a
a a
a
a
a
故A 正确；
对于B ，函数
f x
x
定义域为R ,值域为R ,
3
3
( )
g t
t
t
，定义域为R ,值域为R ,
且二者的对应法则相同，故表示同一个函数，故B 正确；
对于C ,若
2
log 3
a
，则
2
2
6
2
2
log 9
2log 3
2
log 9
,
log 6
log 3 1
1
a
a
故C 错误；
对于D ，设
3
2
( )
1
x
x
g x
x
，则
3
3
2
2
(
)
(
)
(
)
( )
1 (
)
1
x
x
x
x
g
x
g x
x
x
，
故( )
g x 为奇函数，则
max
min
( )
( )
0
g x
g x
，
又
( )
( )
2
f x
g x
，
所以
max
min
max
min
( )
( )
( )
2
( )
2
4,
f x
f x
g x
g x
故D 正确.
故选：ABD.
5．已知
8
17
,
27
71
a
b
，则
2
1
1
2
1
3
3
3
3
3
4
1
3
3
3
3
3
3
3
27
a
a b
b
a
a
b
a
a b
．
【分析】根据指数幂运算法则化简原式，结合已知数据求值即可.
【详解】
2
2
1
1
1
1
2
1
1
3
3
3
3
2
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
4
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
27
3
a
a b
b
a
a b
b
a
a
b
a
b
a
a b
a
a
a
b
2
2
1
1
1
1
3
3
3
3
1
1
2
3
3
3
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
a
a b
b
a
b
a
a
a
a
b
a
a b
b
，
因为
8
27
a
，所以原式
2
2
3
3
3
8
2
9
27
3
4
故答案为：9
4
6．化简：
(1)
1
1
1
1
1
1
1
3
5
3
6
6
2
2
6
2
2
6
3
4
a b
a b
a b
a b
；
(2)
2
3
6
5
3
4
0,
0
xy
x
y
x
y
；
(3)
2
3
6
3
3
0,
0
y
x
y
x
y
x
y
x
．
【分析】利用指数幂的运算性质进行计算可得.
【详解】（1）
1
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
3
6
6
3
6
3
2
6
3
2
2
6
6
2
2
2
2
6
3
4
2
6
3
4
16
a b
a b
a b
a b
a
b
a
,
（2）
1
2
1 5
2 3
2
1
1
3
3
3
3 6
3 4
2
12
5
3
6
5
3
4
6
4
xy
x y
x
y
x
y
x
y
x y
,
（3）方法一（从外向里化
简）
2
3
6
3
3
y
x
y
x
y
x
3
2
1
1
1
2
2
2
3
6
2
6
3
3
3
3
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
1
1
2
1
1
1
2
2
3
6
1
3
12
2
3
6
2
4
3
3
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
3
3
3
5
4
4
4
3
4
4
1
2
2
1
4
1
1
4
1
2
y
x
y
x
y
y
x
y
x
x
y
．
方法二（从里向外化简）
1
2
3
6
2
3
2
3
3
2
3
6
3
3
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
1
2
2
2
y
x y
x
1
1
5
2
2
2
4
y
xy
y
x
．
7．化简3
3
2
1
3
8 3
15
3
1
a
a
a
a
a
a
的结果为（
）
A．
1
a
B．
2
a
C．1
D．a
【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.
【详解】
3
3
2
1
3
8 3
15
3
1
8
1
3
1
3
3
2
3
2
2
2
3
3
3
2
2
2
1
3
2
1
5
7
3
7
6
7
6
2
2
3
2
2
3
3
1
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
故选：C
8．已知a ､
R
b
，下列各式中总能成立的是（
）
A．
6
6
6
a
b
a
b
；
B．
2
2
2
2
n
n a
b
a
b
C．
4
4
4
4
a
b
a
b
；
D．
10
10 a
b
a
b
【答案】B
【分析】ACD 选项举出反例即可说明，B 选项结合根式与分数指数的互化即可求出结果.
【详解】A 若
6
6
2 ,
2
a
b
，则
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
1
3
2
2
2
2
2
2
2
a
b
，故A 错误；
B 因为
2
2
0
a
b
，所以
2
2
2
2
n
n a
b
a
b
，故B 正确；
C 若
2,
2
a
b
，则
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
a
b
，故C 错误；
D 若
2,
4
a
b
，则
10
10
10
10 2
4
2
2
4
a
b
，故D 错误.
故选：B.
题型四：指数幂的化简、求值
1．已知
1
1
2
2
3
a
a
，则
2
2
a
a
（
）
A．7
B．9
C．47
D．49
【分析】对
1
1
2
2
3
a
a
两边平方化简后，再平方化简可求得结果.
【详解】由
1
1
2
2
3
a
a
，得
2
1
1
2
2
9
a
a
，即
1
2
9
a
a
，
所以
1
7
a
a
，
所以
2
1
49
a
a
，即
2
2
2
49
a
a
，
所以
2
2
47
a
a
，
故选：C.
2．若
4
( )
4
2
x
x
f x
，则
1
2
1000
(
)
(
)
(
)
1001
1001
1001
f
f
f
（）
A．1000
B．600
C．550
D．500
【分析】由已知条件可得
1
1
f
x
f
x
，据此即可求解.
【详解】解：
1
1
4
4
4
4
4
4
4
1
4
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2 4
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
4
2
4
2
1
4
2
2
4
4
2
x
x
x
x
x
，
所以
1
2
1000
1001
1001
1001
f
f
f
1
1000
2
999
500
501
1001
1001
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f
f
f
500 1
500
.
故选：D.
3．计算
1 2
2
1
2
1
(2
)
( )
2
4
8
n
n
n
(n∈N*)的结果为（
）
A．
4
1
6
B．22n
＋5
C．2n2－2n＋6
D．1
( )
2
2n
－7
【分析】结合指数的运算公式化简即可求出结果.
【详解】原式
2
7
2
2
2
1
7 2
2
6
2
6
2
2
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
，
故选：D.
4．(多选)若实数x ，y 满足
1
2
2
1
x
y
，m
x
y
，
1
1
1
2
2
x
y
n
，则（
）
A．
0
x
且
1
y
B．m 的最小值为3
C．n的最小值为7
D．
2
2
m
n
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；
【详解】对于A：因为
1
2
2
1
x
y
，若
0
x
，则2
1
x ，又
1
2
0
y
，显然不成立，即
0
x
，
同理可得
1
0
y
，所以
1
y ，即
0
x
且
1
y ，故A 正确；
对于B：
1
1
1
1
2
2
2 2
2
2 2
x
y
x
y
x
y
，即
1
2
2
2
x
y
，所以
3
x
y
，
当且仅当
1
1
2
2
2
x
y
，即= 1
x ，=
2
y
时取等号，即m 的最大值为3
，故B 错误；
对于C：
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
x
y
x
y
x
y
x
y
n
1
1
1
1
4
4
5
5
2
9
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
x
y
x
y
，
当且仅当
1
1
4
2
2
2
2
y
x
x
y
，即
2
log 3
x
，
2
2
log
1
3
y
时取等号，故C 错误；
对于D：
1
1
1
1
1
2
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
m
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
n
，
因为
1
2
2
1
x
y
，所以
1
2 2
2
2
x
y
，即
1
2
2
2
2
x
y
，即
1
2
4 2
2
x
y
，
即
1
2
2
3 2
2
x
y
y
，因为3
0
2y
，所以
1
2
2
2
x
y
，即
2
2
m
n
，故D 正确；
故选：AD.
5．已知正实数x ，y 满足
1
16
3
2
3
8
y
x
x
y
，则
2
2
3
y
x
x
x
y
的最小值为
.
【分析】由已知等式可得
4 3
1
2
(4
3 )
2
(
1)
x
y
x
y
，构造函数
( )
2x
f x
x
，则
(4
3 )
(1
)
f
x
f
y
，再
由其单调性可得3
3
x
y
，则
2
2
3
2
(
3 )
y
x
x
y
x
y
x
x
y
y
x
3
2
x
y
y
x
，然后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题意可得
4 3
1
2
(4
3 )
(
1)
2
x
y
x
y
，
所以
4 3
1
2
(4
3 )
2
(
1)
x
y
x
y
，
令
( )
2x
f x
x
，
因为
2x
y
和y
x
均在R 上单调递增，
所以
( )
2x
f x
x
在R 上单调递增，
因为
4 3
1
2
(4
3 )
2
(
1)
x
y
x
y
等价于
(4
3 )
(1
)
f
x
f
y
，
所以4
3
1
x
y
，得3
3
x
y
，
因为x ，y 为正实数，
所以
2
2
3
2
(
3 )
y
x
x
y
x
y
x
x
y
y
x
3
2
3
2
2
2 6
x
y
x
y
y
x
y
x
，
当且仅当3
2
x
y
y
x
且3
3
x
y
，即
6
6
3 6
3
,
5
5
x
y
时取等号，
所以
2
2
3
y
x
x
x
y
的最小值为2 6 ，
故答案为：2 6 .
6．（1）求值：
2
1
2
6
1
3
2
3
4
9
8
125
16
25
27
；
（2）已知
0,
0
a
b
，化简：
1
1
2
5
3
3
3
3
6
4
5
4
2
a b
a b
a b
【分析】由指数幂的运算性质求解即可
【详解】（1）
2
1
2
6
1
3
2
3
4
9
8
125
16
25
27
2
1
2
6
2
3
1
3
2
3
4
3
4
3
2
5
2
5
3
2
1
3 2
6
3
2
5
5
3
2
3
5
2
8
2
3
5
3
；
（2）
1
1
2
5
3
3
3
3
6
4
5
4
2
a b
a b
a b
3 1 5
1
2 1
4 3 6
3 3
5
4
2
a
b
1
1
0
4
4
10
10
a
b
a
7.已知
1
4,(0
1)
x
x
x
，则
2
2
1
1
2
2
x
x
x
x
的值等于（
）
A．
6
B．6
C．4 2
D．8
【答案】C
【分析】先根据
2
1
1
1
1
2
2
2
2
x
x
x
x
展开求值，再根据
2
1
1
x
x
x
x
求解，原等式
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
代入求解即可.
【详解】
1
4,(0
1)
x
x
x
，则
1
x
x
，
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
2
6
x
x
x
x
x
x
，
2
2
1
1
1
4
2 3
x
x
x
x
x
x
，
则
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
4
2 3
4 2
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
故选：C.
8.化简求值：
(1)计算
4
0
1
3
3
2
1
1
4
0.25
2
2
；
(2)计算
2
1
1
5
1
0
3
3
3
6
6
2
2
6
3
8
2
a
b
ab
a b
a
b
b
（式中字母均是正数）
(3)已知
1
3
x
x
，求
1
3
3
2
x
x
x
x
的值.
【答案】(1) 3
(2) 4
4
a
b
(3)
5
16
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，逐个化简、计算，即可求解.
（2）根据指数幂的运算性质，逐个化简、计算，即可.
（3）根据
1
2
2
1
,
,
x
x
x
x
x
x
之间的关系，结合因式分解运算求解.
【详解】（1）
4
0
1
3
3
2
1
1
4
0.25
2
2
1
4
2
1
=
4 1
2
4
1
=
4 1
4
2
=
3
（2）
2
1
1
5
1
0
3
3
3
6
6
2
2
6
3
8
2
a
b
ab
a b
a
b
b
2
1
3
3
3
1
5
1
6
6
2
2
6
8
=
2
3
a
b
ab
b
b
a b
2
1
1
1
3
3
2
2
1
5
6
6
4
=
4
a b
a b
b
a b
=4
4
a
b
（3）因为
1
3
x
x
，则
2
1
2
2
2
9
x
x
x
x
，可得
2
2
7
x
x
，
则
2
1
2
2
2
5
x
x
x
x
，可得
1=
5
x
x
，
且
3
3
1
2
2
1 =3
7
1
18
x
x
x
x
x
x
，
所以
1
3
3
5
5
=
2
18
2
16
x
x
x
x
.
9.求下列各式的值.
(1)若3
2,3
5
a
b
，求
23 a b
；
(2)已知3
1
2
a
b
，求9
3
3
a
b
a
的值；
(3)若
1
3,
1
2
2
a
b
，求
1
2
2
3
2
a
b ab
a
；
(4)若
,
2.5
20
a
b
，求
1
1
12
1
3
3
4
2
3
3
8
2
1
3
1
3
12
4
4
2
a
a
b
a
b
b
a
b
.
【答案】(1) 4
5
(2)3
(3) 1
4
(4)4
【分析】（1）将
23 a b
可化成
2
3
3
a
b
的形式，代入数据即可求得结果为4
5 ；
（2）原式9
3
3
a
b
a
可表示为
3
2
3
a b
，代入3
1
2
a
b
即可求出答案为3；
（3）将
1
2
2
3
2
a
b ab
a
化简为
3
2
a b ，代入,a b 的值可计算出结果为1
4 ；
（4）化简后可得原式
2
3
b
a
，将,a b 的值可得结果是4.
【详解】（1）利用指数运算法则可知
2
2
2
3
3
3
3
3
a
a b
a
b
b
，
将3
2,3
5
a
b
代入可得
2
2
2
4
3
5
5
a b
.
（2）易知
3
3
2
2
1
1
2
2
2
2
3
3
3
9
3
3
3
3
3
3
3
3
a
a b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
a
，又3
1
2
a
b
，
所以
3
2
9
3
3
3
3
a
b
b
a
a
（3）化简得
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
2
3
1 1
3
2
2
2
2
2
2
2
a
b ab
a
a
b ab
a
a
b
a b
，
将
1
3,
1
2
2
a
b
代入可得
3
2
1
1
2
2
3
3
2
3
2
1
1
1
1
2
2
2
4
2
a
b ab
a
a b
（4）易知
1
1
12
1
3
3
4
2
3
1
1
3
8
2
8
1
3
1
1
3
1
3
1
4
3
1
2
2
2
6
9
2
2
3
2
2
4
3
3
9
12
2
4
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
b
b
a
b
又
,
2.5
20
a
b
，所以
3
4
2
2
2
3
1
1
12
1
3
3
4
2
3
8
2
1
3
3
3
3
1
12
2
4
20
8
4
2.5
a
a
b
a
b
b
a
b
a
b
题型五：分数指数幂运算的综合应用
1.用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中
0
a
，
0
b
）：
(1)
2
3
2
a
a
a
；(2)
3
5
2
a
b
；(3)
2
2
3
3
6
9
6
9
a
b
；(4)
1
1
1
3
4
4
2
1
3
2
4
3
6
a
a b
a
b
.
【答案】(1)1
(2)
3
2
5
5
a b
.
(3) ab
(4)
1
3
2ab
【分析】根据指数幂公式化简即可.
【详解】（1）
2
2
2
2
2
3
4
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
（2）
3
2
3
5
3
2
5
5
5
2
a
a b
a b
b
.
（3）
2
2
2
2
3
3
3
3
2
2
3
3
1
1
2
9
2
2
2
6
9
6
a
b
a
b
ab
a
b
.
（4）
1
1
1
3
4
4
1
1
1
3
2
3
2
2
1
1
3
3
2
2
4
3
12
2
6
6
a
a b
a b
ab
a
b
a
b
.
2.化简求值：
(1)
1
0.5
0
3
2
2
1
8
2
2
0.75
6
4
27
3
；
(2)若
1
3
x
x
，求下列各式的值：
①
2
2
x
x
②
1
1
2
2
x
x
【答案】(1)
1
48
(2)①7 ；②1
【分析】（1）根据分数指数幂、负数指数幂的运算性质求解即可；
（2）将已知、所求式平方结合指数幂的运算性质求解即可.
【详解】（1）原式
1
0.5
2
2
3
3
2
3
3
1
2
1
2
4
6
3
3
9
1
3
1
2
16
36
2
1
48
.
（2）①因为
1
3
x
x
，所以
2
1
2
2
2
9
x
x
x
x
，解得
2
2
7
x
x
；
②因为
2
1
1
1
2
2
2
1
x
x
x
x
，所以
1
1
2
2
1
x
x
.
3.已知
1
3
0
x
x
x
，求下列各式的值：
(1)
1
1
2
2
x
x
；
(2)
1
1
2
2
x
x
；
(3)
3
3
2
2
x
x
；
(4)
3
3
2
2
x
x
【答案】(1)
5
(2) 1
(3) 2 5
(4) 4 或4
【分析】根据有理指数幂的运算性质，结合完全平方式和立方和（差）的公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）因为
1
3
0
x
x
x
，
由
2
1
1
1
1
2
2 )
2
3
2
5
(x
x
x
x
，所以
1
1
2
2
5
x
x
.
（2）因为
1
3
0
x
x
x
，
由
2
1
1
1
1
2
2)
2
3
2
1
(x
x
x
x
，所以
1
1
2
2
1
x
x
.
（3）因为
1
3
x
x
，且
1
1
2
2
5
x
x
，
由
1
1
1
1
2
3
3
2
2
2
(
)(
1)
5
(3 1)
2 5
x
x
x
x
x
x
.
（4）因为
1
3
x
x
，且
1
1
2
2
1
x
x
，由
2
3
3
1
1
1
1
2
2
2
(
)(
1)
x
x
x
x
x
x
，
当
1
1
2
2
1
x
x
时，可得
3
3
2
2
1 (3 1)
4
x
x
；
当
1
1
2
2
1
x
x
时，可得
3
3
2
2
1 (3 1)
4
x
x
.
模块三：综合巩固
1.已知10
3
m
，10
4
n
，则
3
2
2
10
m
n
（
）
A．4
9
B．4
27
C．4 3
3
D．3 3
4
【答案】D
【分析】根据指数幂与根式的互化即可求解,
【详解】
3
3
2
2
2
10
27
3 3
10
16
4
10
m
m
n
n
，
故选：D.
2．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（
）
A．
1
3
3
x
x
（
0
x
）
B．
3
3
4
4
x
y
y
x
（
0
xy
）
C．
2
2
1
3
3
2
y
x
y
x
（
0,
0
x
y
）
D．
1
2
x
x
（
0
x
）
【答案】BC
【分析】根据指数幂和根式的的概念相互转化.
【详解】对于A，
1
3
3
1
x
x
（
0
x
），故A 错误；
对于B，
3
3
3
1
3
4
4
4
4
x
x
y
x
y
y
x
y
（
0
xy
），故B 正确；
对于C，
2
2
2
1
3
3
3
2
1
2
y
y
x
y
x
x
（
0,
0
x
y
），故C 正确；
对于D，
1
2
x
x
，而
1
2
0
x
x
无意义，故D 错误.
故选：BC
3.下列等式中正确的是（
）
A．
6
5
3 2
2
2
B．
3
3
9
3
C．
4
3
12
3
3
D．
1
a
a
a
【答案】ABD
【分析】根据指数幂与根式的互化即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,
1
5
1
6
5
3
3
6
2
2
2
2
2
2
2
,故A 正确，
对于B，
2
1
3
3
3
3
9
3
3
3
，故B 正确，
对于C，
1
4
4
12
4
3
12
3
12
3
3
3
3
3
，故C 错误，
对于D，由
1
a
有意义可得
1
0
a
，进而得a<0 ，所以
2
1
1
a
a
a
a
a
，故D 正确，
故选：ABD
4.已知a R ，n
N ，给出下列4 个式子：①
2
6 ( 3) n
；②5
2
a ；③
2
1
6 ( 5) n
；④9
2
a
，其中无意义
的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
【答案】A
【分析】根据题意，由根式的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】①中
2
3
0
n
，所以
2
6 ( 3) n
有意义；
②中5 为奇数，所以5
2
a 有意义；
③中
2
1
5
0
n
，因此无意义；
④9 为奇数，所以9
2
a
有意义．
故选：A．
5.若
3
2
1
x
x
x
，则
28
27
2
1
1
2
27
28
1
x
x
x
x
x
x
x
x
的值是（
）
A．2
B．0
C．1
D．1
【答案】D
【分析】由
3
2
1
x
x
x
，即
2
1
1
0
x
x
，求得= 1
x 代入求解.
【详解】解：由
3
2
1
x
x
x
，得
2
1
1
0
x
x
x
，
即
2
1
1
0
x
x
，解得= 1
x ．
∴
28
27
2
1
1
2
27
28
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
．
故选：D
6.计算
2
3
1
2
3
2
3
6
a b
a b
a b
的结果为（
）
A．
2
b
B．
2
b
C．1
D．2
b
【答案】B
【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，原式
3
1
3
2
1
3
1
6
2
2
a b
b
a b
b
.
故选：B
7.已知
0
a
，
0
b
，且
1
a
b
，a
b
¹ ，则下列不等式成立的是（
）
A．
1
1
2
2
2
a
b
a
b
B．
1
1
2
2
2
a
b
a
b
C．1
1
2
2
2
a
b
a
b
D．1
1
2
2
2
a
b
a
b
【答案】A
【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件.
【详解】
2
2
1
2
1
2
a
b
a
b
ab
ab
a
b
，
∵a
b
¹ ，∴等号不成立，故
2
a
b
；
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a b
，
∵a
b
¹ ，∴等号不成立，故1
1
2
2
2
a
b
，
综上，
1
1
2
2
2
a
b
a
b
.
故选：A.
8．（多选）若3a·9b＝1
3 ，则下列结论不正确的是（
）
A．a＋b＝－1
B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1
D．a＋2b＝1
【答案】ABD
【分析】根据指数幂运算公式计算即可.
【详解】3a·9b＝3a·32b＝3a
＋2b＝1
3 ＝3
－1，则a＋2b＝－1.
故选：ABD.
9.化简
3
2
3
2
3
2
3
2
.
【答案】1
【分析】利用指数幂的运算法则计算即可.
【详解】
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
.
故答案为：1
10.若
*
,
m nR ，且2
4
2
m
n
，则2
1
m
n
的最小值为
.
【答案】8
【分析】由2
4
2
m
n
可得
2
1
m
n
，
*
,
m nR
，再与2
1
m
n
相乘构建积定式,继而可用基本不等式求最小
值.
【详解】2
4
2
m
n
2
2
2
m
n
可得
2
1
m
n
，
*
,
m nR ，
2
1
2
1
4
4
2
2
2
2
4
8
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
（当
且仅当
1
4
,
,
2
1
2
1
4
n
m
m
m
n
m
n
n
时取等号）.
故答案为：8.
11.计算下列各式的值.
(1)
0
1
3
4
3
4
1
0.064
16
81
9
(2)
1
1
3
2
0
25
8
1
(π
e)
9
27
4
(3)
π
2
π
2 2
5
1
3
2
1
3
(4)
2
0.5
3
2
0
7
10
37
2
0.1
2
3π
9
27
48
；
(5)
4
2
3
3
6
3
8
0.
1
1
3
5
6
81
.
(6)计算：
4
0
1
1
3
0.75
3
3
2
7
0.064
2
16
0.01
8
；
(7)
3
1
1
2
1
2
3
3
2
4
1
4
0.1
ab
a b
（
0
a
，
0
b
）.
【答案】(1)
15
2
(2)2
(3)18
(4)100
(5)4
(6)143
80
(7) 4
25
【分析】根据指数幂的运算法则和根式运算法则计算出答案.
【详解】（1）
0
1
3
4
3
4
1
0.064
16
81
9
1
3
3
4
3
4
0.4
2
1 3
1
3
0.4
2
1 3
1
2
5
15
8 1 3
8 1 3
5
2
2
（2）
1
1
3
2
0
25
8
1
(π
e)
9
27
4
1
3
1
3
2
2
5
2
1
2
3
3
5
2
1
2
2
3
3
（3）
π
2
π
2 2
5
1
3
2
1
3
π
4
1
3
2
1
1 16 1
18
3
.
（4）
2
0.5
3
2
0
7
10
37
2
0.1
2
3π
9
27
48
0
2
3
1
2
2
25
64
37
9
48
1
3π
10
27
2
3
3
4
5
37
100
3
3
4
3
8
2
5
37
100
3
3
4
3
8
4
5
100
3
9
16
3
37
48
100
.
（5）
2
3
3
8
0.5
3
6
4
1
16
81
3
3
6
4
1
4
2
3
2
3
3
2
3
3
1
2
2
3
2
3
3
2
3
2
2
3
3
2
3
8
4
8
8
4
4
3
（6）
4
0
1
1
3
0.75
3
3
2
7
0.064
2
16
0.01
8
1
1
0.75
4
3
4
2
3
2
0.4
1
2
2
0.1
5
1
1
1
0.1
2
16
8
143
80 .
（7）
3
1
1
2
1
2
3
3
2
4
1
4
0.1
ab
a b
1
3
3
3
2
2
2
2
3
3
2
2
2
4
4
16
4
100
25
10
a b
a
b
.
