4.5函数的零点（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_指数函数与对数函数矢量版PDF

4.5 函数的零点
目录
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：函数的零点....................................................................................... 2
考点二：函数零点的判定................................................................................2
考点三：零点个数的判断方法........................................................................ 3
考点四：判断函数零点所在区间.................................................................... 3
考点五：已知函数零点个数，求参数取值范围的方法.................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求函数的零点....................................................................................3
题型二：函数零点的个数................................................................................4
题型三：判断零点所在的区间........................................................................ 5
题型四：根据零点求函数解析式的参数.........................................................7
题型五：根据零点所在区间求参数范围.........................................................8
题型六：已知零点个数求参数范围.................................................................9
题型七：一次函数零点分布求参数范围.........................................................9
题型八：二次函数零点分布求参数范围....................................................... 10
题型九：指对幂函数零点分布求参数范围................................................... 10
题型十：比较零点大小..................................................................................12
题型十一：求零点的和..................................................................................13
模块三：综合巩固...............................................................................................14
4.5 函数的零点
模块一：基础知识
考点一：函数的零点
（1）一般地，如果函数
( )
y
f x

在实数处的值等于零，即
( )
0
f 
，则a 叫做这个函数的零点.
知识点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数
( )
y
f x

的图象与x 轴交点的横坐标；
③函数
( )
y
f x

的零点就是方程
( )
0
f x 
的实数根．
归纳：方程
( )
0
f x 
有实数根函数
( )
y
f x

的图象与x 轴有交点函数
( )
y
f x

有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数
2
y
ax
bx
c



的零点个数，方程
2
0
ax
bx
c



的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点
0

两个不相等的实根
两个零点
0

两个相等的实根
一个二重零点
0

无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
考点二：函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数
( )
y
f x

在一个区间

a
b
，
上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即


0
f a f b 
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点


0x
a
b

，
，使


0
0
f x

，这个
0x 也就是方程
( )
0
f x 
的根.
知识点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一
个；若不单调，则个数不确定．
②若函数
( )
f x 在区间

,a b 上有
( )
( )
0
f a
f b


，( )
f x 在( , )
a b 内也可能有零点，例如
2
( )
f x
x

在

1,1

上，
2
( )
2
3
f x
x
x



在区间

2,4

上就是这样的．故
( )
f x 在

,a b 内有零点，不一定有
( )
( )
0
f a
f b


．
③若函数
( )
f x 在区间

,a b 上的图象不是连续不断的曲线，
( )
f x 在

,a b 内也可能是有零点，例如函
数
1
( )
1
f x 
在

2,2

上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程
( )
0
f x 
，方程
( )
0
f x 
无实根则函数无零点，方程
( )
0
f x 
有实根
则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x


的零点就是方程
( )
( )
f x
g x

的实数根，也就是函数
( )
y
f x

的图象与
( )
y
g x

的图象交点的横坐标．
【方法技巧与总结】
1、函数

f x 在区间

,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，


0
f a
f b


，且

f x 具有单调性，
则函数

f x 在区间

.a b 内只有一个零点.
2、函数

f x 在区间

,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数

f x 在区间

.a b 内有零点，且函数

f x 具有单调性，则


0
f a
f b


考点三：零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令

0
f x 
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间

,a b 上是连续不断的曲线，且


0
f a
f b


，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数

f x 的图象，函数

f x 的图象与x 轴交点的个数
就是函数

f x 的零点个数；
②两个函数图象：将函数

f x 拆成两个函数
h x 和

g x 的差，根据



0
f x
h x
g x



，则函
数

f x 的零点个数就是函数

y
h x

和

y
g x

的图象的交点个数.
考点四：判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连
续，则函数在该区间内至少一个零点。
考点五：已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
模块二：题型分类
题型一：求函数的零点
1.函数
2
6
1
y
x
x


的零点是（
）
A．1
1
,0 ,
,0
3
2










B．1
1
,0 ,
,0
3
2









C．1
1
,
3
2

D．
1 1
,
3 2

2.函数



1 lg 3
2
x
f x 

的零点为（
）
A．
3
log 8
B．2
C．
3
log 7
D．
2
log 5
3.若,
是二次函数
2
3
6
y
x
x



的两个零点，则
2
3



的值是（
）
A．3
B．15
C．3

D．15

4.函数




2
1
4
f
x
x
x



的零点为（
）
A．12
，
B．2, 1,2


C．2,1,2

D．无零点
5.函数
e
1
( )
e
x
x
x
f x
x




的零点为（
）
A．0
B．1
C．

0,0
D．

1,0
6.已知二次函数


2
0
y
ax
bx
c a




图象如图所示，那么二次函数
2
y
ax
bx
c


的零点是
．
7.设
1
2
,
x x 是函数
2
6
2
y
x
x



的两个零点，则
1
2
1
1

x
x 的值为（
）
A．2
B．2

C．1
2
D．
1
2

8.若
( )
f x 是奇函数，且
0x 是函数
( )
ex
y
f x 
＝
的一个零点，则
0x

一定是下列哪个函数的零点（
）
A．
(
)e
1
x
y
f
x




B．
( )e x
y
f x


1
C．
( )e
1
x
y
f x


D．
( )e
1
x
y
f x


题型二：函数零点的个数
1.方程
ln
3
x
x


解的个数为
.
2.函数
( ) | 2
1| 3
x
x
f x 


的零点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.讨论方程
2
2
log
x
x

的解的个数与分布情况．
4.设
( )
f x 是定义在R 上的周期为5 的奇函数，
(3)
0
f

，则
( )
f x 在[0,10]内的零点个数最少是（
）
A．4
B．6
C．7
D．9
5.函数

2
2
3,
0
2
ln ,
0
x
x
x
f x
x x







的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6.设函数
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x 
时，
( )
2
3
x
f x
x



，则
( )
f x 的零点个数为
.
7.已知

f
x 是定义在

4,4

上的偶函数，且

f
x 在

4,0

上的图象如图所示.
(1)在答题卡中作出

f
x 在

0,4 上的图象；
(2)求函数

2
log 5
g x
f
x


的零点的个数.
8.已知函数



lg
1,
0
1
1,
0
2
x
x
x
f x
x













，则函数


2
3
2
y
f
x
f x



的零点个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
题型三：判断零点所在的区间
1.函数

4
2x
f x
x


的零点所在区间是（
）
A．

0,1
B．

1,2
C．

2,3
D．

3,4
2.
2
( )
log
5
f x
x
x



的零点所在区间为（
）
A．

1,2
B．

2,3
C．

3,4
D．

4,5
3.函数

3
6
x
f x
x



的零点所在的区间是（
）
A．

0,1
B．

1,2
C．

2,3
D．

3,4
4.函数
2
1
( )
log
f x
x
x


的零点所在区间是（
）
A．
1
0, 2






B．
1 ,1
2






C．(1,2)
D．(2,3)
5.设函数
( )
2
3
x
x
f x 

的零点为
0x ，则
0x 所在的区间是（
）
A．( 4, 2)


B．( 2, 1)


C．(1,2)
D．(2,4)
6.函数
( )
e
2



x
f x
x
零点所在的区间是（
）
A．(1,2)
B．( 1,0)

C．

3, 2


D．( 2, 1)


7.函数
1
3
y
x
x


的一个零点在

0,1 内，另一个零点在（
）内.
A．

4,5
B．

3,4
C．

2,3
D．

1,2
8.方程
1
3
1
2
x
x






的根所在区间是（
）
A．2 ,1
3






B．1 2
,
2 3






C．1 1
,
3 2






D．
1
0, 3






9.方程
3
log
2
x
x


的根所在区间是（
）
A．

0,1
B．

1,2
C．

2,3
D．

3,4
10.(多选)已知函数

f
x 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x
1

1
3
5
7

f
x
24
13
5

1
5

则一定包含

f
x 的零点的区间是（
）
A．

1,1

B．

1,3
C．

3,5
D．

5,7
11.(多选)若函数

f
x 图象是连续不断的，且

0
0
f

，


1
2
4
0
f
f
f



，则下列命题不正确的是（
）
A．函数

f
x 在区间(0,1)内有零点
B．函数

f
x 在区间(1,2) 内有零点
C．函数

f
x 在区间(0,2) 内有零点
D．函数

f
x 在区间(0, 4) 内有零点
题型四：根据零点求函数解析式的参数
1.关于x 的函数
2
2
2
8
(
0)
y
x
ax
a
a




的两个零点为
1
2
,
x x ，且
2
1
15
x
x


，则a ＝（
）
A．5
2
B．7
2
C．15
4
D．15
2
2.函数
2
6
1
y
mx
x


有且只有一个零点，则实数m 的值为（
）
A．9
B．12
C．0 或9
D．0 或12
3.若函数
( )
(
0)
f x
ax
b a



的零点为2，则函数
2
( )
g x
bx
ax
=
-
的零点是（
）
A．0，
1
2

B．0，
1
2
C．0，2
D．2，
1
2

4.已知2 是函数
( )
8
n
f x
x

（n 为常数）的零点，且
( )
56
f m 
，则m 的值为（
）
A．3

B．4

C．4
D．3
5.若实数，满足
e
2



，
ln
2


，则（
）
A．e
B．1
C．1
2
D．2
题型五：根据零点所在区间求参数范围
1.函数
2
( )
2 x
f x
a
x



的一个零点在区间(1,2) 内，则实数a 的取值范围是（
）
A．0 <
< 3
a
B．1
3
a


C．1
2
a


D．
2
a 
2.若函数

2
2x
f
x
a
x



存在1 个零点位于

1,2 内，则a 的取值范围是（
）
A．

0,3
B．

3,3

C．

3,3

D．

3,0

3.函数

1
3
2
x
f x
a
x










的一个零点在区间

1,2 内，则实数a 的取值范围是（
）
A．

1,
B．
5 ,1
2







C．


5
,
1,
2












D．
5
2







,
4.已知函数




2
1,
1
2
,
1
x
x
f x
x
a
x
a
x









，若

f
x 恰有两个零点，则正数a 的取值范围是（
）
A．
1
0 2






，
B．1 ,2
2





C．1 ,1
2





D．

1,2
5.已知函数12
lg
f x
x
x


在区间

,
1
n n 
上有唯一零点，则正整数n （
）
A．8
B．9
C．10
D．11
6.函数




2
2
1
1
1
f
x
k
x
k
x




只有一个零点，则k 的取值集合为
7.已知函数

,
0
2
3 ,
0
x x
f x
x
x






，

1
2
g x
f x
x
a



，若
g x 存在3 个零点，则实数a 的取值范围
为
．
题型六：已知零点个数求参数范围
1.已知函数



2
1
1,
0
2
2,
0
x
x
x
f x
x









，若函数

g x
f x
a


有两个零点，则实数a 的取值范围是
.
2.若函数

2
2
1
f x
ax
x


在区间

0,1 上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是
．
3.已知函数



2
lg
1 ,
1
6
5,
0
x
x
f
x
x
x
x









，若函数
2
( )
[ ( )]
( )
5
g x
f x
bf x


有7 个零点，则实数b 的取值范围
是
．
4.函数
2
( )
2
f x
x
x
a



有两个不同零点，则实数a 的取值范围是
.
5.函数




2
2
1
1
1
f
x
k
x
k
x




只有一个零点，则k 的取值集合为
6.已知函数

e ,
0
ln ,
0
x x
f x
x x





，

g x
f x
x
a



.若
g x 有且只有1 个零点，则a 的取值范围是
.
7.若二次函数
2
2
y
x
x
m



在区间

1,有且仅有一个零点，则m 的取值范围为（
）
A．

,1

B．

,1

C．(1,
)

D．

1,
题型七：一次函数零点分布求参数范围
1.若函数
( )
y
f x

的表达式
( )
2
1
f x
ax
a


在( 1,1)

内有零点，则实数a 的取值范围
．
2.若方程3
0
x
m


的根在

1,0

内，则m 的取值范围是
．
3.若函数
( )
3
4
f x
mx


在[ 2,0]

上存在
0x ，使


0
0
f x

，则实数m 的取值范围是
.
4.若函数
( )
1
f x
ax

在区间(1,2) 上有零点，则实数a 的取值范围是.
题型八：二次函数零点分布求参数范围
1.已知函数



2
2
1
,
0,
,
0.
x
x
f
x
x
a
x








若关于x 的方程

1
2
f x 
恰有3 个实数解，则实数a 的取值范围为
.
2.设集合


2
1 0
|
A
x ax
x


，


,0
A


，则实数a 的取值范围是
.
3.已知函数
2
2 ,
0
( )
1 ,
0
x
x x
f x
x
x







，若关于x 的方程
( )
(
3)
f x
a x


有四个不同的实数根，则实数a 的取值
范围是
．
4.已知点
,
A B 的坐标分别为

1,0 ，

2,0 ，若二次函数


2
3
3
y
x
a
x




的图像与线段AB 有且只有一个
公共点，则实数a 的取值范围是
.
5.函数y＝x2＋x＋m 的两个零点都是负数，则m 的取值范围为
．
6.若函数



2
6
2
1
0
f x
ax
x
a




在

0,2 内有且只有一个零点，则a 的取值集合是
.
7.若方程
2
3
1
0
x
ax


的两根分别在区间( 1,0)

和(0,1)内，则实数a 的取值范围是
．
题型九：指对幂函数零点分布求参数范围
1.已知函数




2
2
log
,
0 ,
3
1
,
0
x x
f x
g x
f x
f x
x
x









，若方程
g x
a

有3 个不同的实根


1
2
3
1
2
3
,
,
x x x
x
x
x


，则
2
1
2
3
x x x 的取值范围为（
）
A．

, 4 6

B．

4 6, 
C．

,8


D．

,0


2.已知函数


2
lg
,
0,
( )
6
1,
0.
x
x
f x
x
x
x









若函数

g x
f x
a


有四个不同的零点
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x



，则下列结论中正确的是（
）
A．
2
1
1
10
x


B．1
0
a


C．
1
2
1
10
x x 
D．
3
4
3
x
x


3.已知函数



1
2
2
1,
2
log
2 ,
2
x
x
f x
x
x









若关于x 的方程


2
8
0
f
x
a
f x
a




有6个不同的实数根，则实
数a 的取值范围为（
）
A．
15
4,
4







B．
15,0
4






C．

4,0

D．
7
4,
2








4.函数

2
log
4
f x
x
x



的零点为
1
x ，函数




log
1
5
1
a
g x
x
x
a





的零点为
2
x ，若
2
1
1
x
x

，则
实数a 的取值范围是（
）
A．

1,
2
B．

1,2
C．

2,
D．

2,
5.函数
2
2
log
,0
4
( )
2
70
8
,
4
3
3
x
x
f x
x
x
x









，若a b c d
, ,
,
互不相同，且




f a
f b
f c
f d



，则abcd 的取值范
围是（
）
A．

32,34
B．

32,34
C．

32,35
D．

32,36
6.已知函数

2016
1
1
2
,0
1
2
log
,
1
x
x
f
x
x x









，若a ，b ，c互不相等，且



f a
f b
f c


，则a
b
c


的取值范
围是（
）
A．

1,2016
B．

1,2016
C．

2,2017
D．

2,2017
7.已知函数
2
1 ,
0
( )
log
,
0
x
x
f x
x x







，若方程



R
f x
a a


有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x



，
则

1
2
4
x
x
x

的取值范围是（
）
A．[ 4, 2)


B．[ 4, 2]


C．( 4, 2)


D．( 4, 2]


题型十：比较零点大小
1.已知：
( )
(
)(
)
2
f x
x
a x
b




的零点,
，那么a，b，,
大小关系可能是（
）
A．
a
b





B．a
b





C．a
b





D．
a
b





2.(多选)已知函数

10 (
1)
1
x
x
f
x
x
x




，
lg (
1)
1
x
g x
x x
x




的零点分别为
1
x ，
2
x ，则（
）
A．
1
2
lg
x
x

B．
1
2
1
1
1
x
x


C．
1
2
4
x
x


D．
1
2
10
200
x x


3.已知

1
2
2
x
f x
x









，
1
2
log
2
g x
x
x



，
3
2
h x
x
x



的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的
大小顺序是（
）
A．a
b
c


B．c
b
a


C．b
c
a


D．b
a
c


4.函数
1
2
( )
2
log
x
f x
x


，
1
2
1
log
2








x
g x
x ，
2
1
log
2
x
h x
x








的零点分别为a，b，c，则（
）
A．a
b
c


B．c
b
a


C．< <
c a b
D．b
a
c


5.设
2
1
log
3
a
a






，
1
3
2
log
b
b

，1
5
4
c






，则a 、b 、c 的大小关系是（
）
A．b
a
c


B．c
b
a


C．a
b
c


D．b<c<a
6.(多选)已知函数
1
ln
e
x
y
x








的两个零点分别为
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x

，则（
）
A．
1
1
2
1
1
x
x
x


B．
2
1
2
1
1
x
x
x


C．
2
1
2
1
1
x
x
x


D．
2
1
2
1
1
x
x
x


题型十一：求零点的和
1.函数



2
,
2
log
2 ,
2
x x
f x
x
x






，则函数



y
f
f x

的所有零点之和为（
）
A．0
B．3
C．10
D．13
2.已知定义域为R 的函数

f
x 满足




2
f
x
f
x



，且曲线

y
f x

与曲线
1
1
y
x

有且只有两个交
点，则函数

1
1
g x
f x
x


的零点之和是（
）
A．2
B．－2
C．4
D．－4
3.函数

f
x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x 
时，


1
2
1,0
2
1
2 ,
2
2
x
x
f x
f x
x










，则函数
1
g x
xf x

在

6,8

上的所有零点之和为（
）
A．32

B．32
C．16
D．8
4.(多选)已知函数


2
4
1
,
0
( )
log
,
0
x
x
f x
x x







，若
( )
f x
a

有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 且
1
2
3
4
x
x
x
x



，则
4
1
2
2
3
4
3
(
)
x
x
x
x x


可能的取值为（
）
A．
33
4

B．
29
4

C．
27
4

D．
31
4

5.(多选)设函数

2
ln ,
0
8 ,
0
x x
f x
x
x x






，若函数

g x
f
x
m


有四个零点分别为
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x



，则下列结论正确的是（
）
A．0
16
m


B．
1
2
4
x
x


C．
3
4
1
x
x


D．
16
3
4
16
1
2,e
e
x
x









6.已知函数

2
2
1 ,
0
log
,0
4
12
35,
4
x
x
f
x
x
x
x
x
x













，若互不相等的实数
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，
5x ，
6x 满足












1
2
3
4
5
6
f x
f x
f x
f x
f x
f x





，则
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x





的取值范围是
.
7.已知函数

2
2
log
,0
2
8
13,
2
x
x
f x
x
x
x








，若

f x
a

有四个解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，则
1
2
3
4
x
x
x
x



的取值范围
是
．
模块三：综合巩固
1．若二次函数
2
2
y
x
x
m



在区间

1,有且仅有一个零点，则m 的取值范围为（
）
A．

,1

B．

,1

C．(1,
)

D．

1,
2．已知函数
2
,
0
( )
1
,
0
x x
f x
x x
x








，
( )
( )
g x
f x
x
a



．若( )
g x 有2 个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．[ 1,0)

B．[0,
)

C．[ 1,
)


D．[1,
)

3．二次函数.


²
3
2
y
x
m
x
m




的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为
1
2
,
x x ，且
1
2
0
2
x
x



，如图
所示，则m 的取值范围是（
）
A．
0
m 
B．
1
2
m 
C．
1
0
2
m


或
5
m 
D．
1
0
2
m


4．函数

3
6
x
f x
x



的零点所在的区间是（
）
A．

0,1
B．

1,2
C．

2,3
D．

3,4
5．如果关于x 的方程
2
2
3
0
x
ax
a




至少有一个正根，那么实数a 的取值范围是（
）
A．2
2
a


B．3
2
a


C．
3
2
a



D．
3
2
a



6．设函数

2
2
f x
x
x
a



，若函数
[ ( )]
y
f f x

有且只有2 个不同的零点，则a 的取值范围是（
）
A．

1
5, 1
5


B．
1
5
1
5
,
2
2










C．

1
3, 1
3


D．
1
3
1
3
,
2
2










7．方程
2
2
0
x
ax
a



在区间

0,1 和

1,2 各有一个根的充要条件是（
）
A．


, 1
a



B．
4 , 1
3
a








C．
4 ,0
3
a







D．


2, 1
a 

8．（函数
1
2
( )
2
log
x
f x
x


，
1
2
1
log
2








x
g x
x ，
2
1
log
2
x
h x
x








的零点分别为a，b，c，则（
）
A．a
b
c


B．c
b
a


C．< <
c a b
D．b
a
c


9．(多选)设函数

1
1,
0
2
,
1
1,
0
1
x
x
f
x
x
x










则下列结论中正确的是（
）
A．函数

f
x 的定义域为R
B．函数

f
x 的值域为

1,

C．函数

f
x 的零点是0,2
D．若

0
f m 
，则m 的取值范围是

2,
10．(多选)已知一元二次方程
2
3
0
x
mx 


有两个实数根
1
x ，
2
x ，且
1
2
0
2
4
x
x




，则m 的可能值为
（
）
A．4

B．4.5

C．4.6

D．5

11．(多选)某同学用二分法求函数
( )
2
3
7
x
f x
x


的零点时，计算出如下结果：
(1.5)
0.33
f

，
(1.25)
0.87
f

，
(1.375)
0.28
f

，
(1.4375)
0.02
f

，
(1.40625)
0.13
f

.下列说法正确的有（
）
A．
( )
f x 的零点在区间(1.375,1.40625) 内B．
( )
f x 的零点在区间(1.40625,1.4375) 内
C．精确到0.1 的近似值为1.4
D．精确到0.1 的近似值为1.5
12．(多选)已知二次函数


2
4
3
2
0
y
ax
ax
a
a





有两个零点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x

，则（
）
A．
1
2
4
0
x
x



B．
1
2
3
0
x x 

C．
2
1
2 7
x
x


D．
1
2
1
9
2
2
x
x




13．若函数





2
2
5





f
x
x
m
x
m 有两个小于2 的不同零点，则实数m 的取值范围是
．
14．设
0x 为方程2
8
x
x


的解，若



+
0
,
1
x
n n
n


N
，则n 的值为
.
15．已知函数
2
2,
0,
( )
1 ln ,
0,
x
x
x
f x
x x







则函数
( )
f x 的零点为
16．已知函数

2
0.5
2
1,
0,
log
,
0,
x
x
x
f
x
x x








若方程

f x
a

有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x



，
则a 的最小值是
.
17．已知关于x 的方程
2
2
3
2
0
x
mx
m



.
(1)若方程有两个正根，求实数m 的取值范围.
(2)若方程有实数根，并且一个根大于1，一个根小于1，求实数m 的取值范围.
18．（1）已知函数
2
4
y
x
mx



的其中一个零点为1，求函数的另一个零点；
（2）当1
2
x


时，不等式
2
4
0
x
mx



恒成立，求m 的取值范围.
19．已知函数

2
f
x
x
ax
b


，若



1
1
f
f


，且函数

f
x 有一个零点为2．
(1)求实数,a b的值；
(2)若

g x
f
x
kx


在

0,3 上的最小值为－5，求实数k 的值．
20．已知

2
2
f
x
x
n


（n 为常数），且
1
4
f

.
(1)求

f
x 的解析式并证明

f
x 的奇偶性；
(2)关于x 的方程

f x
kx

有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.
21．已知函数


R
y
f x
x


是偶函数.当
0
x 
时，

2
4
f x
x
x


.
(1)若函数

f
x 在区间

,
3
a a 
上单调，求实数a 的取值范围；
(2)已知

h x
m
f x


，试讨论
h x 的零点个数，并求对应的m 的取值范围.
22．已知二次函数

2
2
3
f
x
x
x


.
(1)令

g x
f x
a


，若函数
g x 的图象与x 轴无交点，求实数a 的取值范围；
(2)设函数
25
h x
x
b
x



，若对任意的


1
1,4
x 
，总存在


2
1,5
x 
，使得



1
2
f x
h x

，求实数b 的取值
范围.
.