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高二年级数学练习题
第I卷（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是特合题目要求的.
1. 复数 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】由题意得： ，
故选：C.
2. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦参数 ，根据焦点的位置确定准线方程．
【详解】由题意焦点在 轴正半轴， ， ，所以准线方程为 ．
故选：C．
3. 若函数 的最小正周期为 ，则 等于（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期公式计算.
【详解】由题意可知， ，得 .故选：B
4. 设集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定集合 中元素的个数，从而确定其子集的个数.
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以直线 与双曲线 无公共点.
即 ，故其子集个数为 .
故选：B
5. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】依题意， ， ，
所以 的大小关系是 .
故选：C
6. 函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由题意得函数 的图象过点 ，把问题转化为：函数 没有零点 函数
的图象与直线 无交点，数形结合可得解．
【详解】因为 时， ，可知函数 的图象过点 ，
所以函数 有且只有一个零点
函数 没有零点
函数 的图象与直线 无交点．
当 时， ，
由图可知，函数 的图象与直线 无交点 或 ．
结合选项只有 是 的真子集，
故 是函数 有且只有一个零点的充分不必要条件.
故选：D．
7. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ，则在椭圆上一点 处的切线
方程为 ，试运用该性质解决以下问题：椭圆 ， 为坐标原点，点 为 在
第一象限中的任意一点，过 作 的切线 ， 分别与 轴和 轴的正半轴交于 ， 两点，则 面
积的最小值为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线方程公式可得直线方程，进而求解 ， 两点的坐标，即可得面积的表达式，结合基本
不等式即可求解最值.
【详解】设 , ,
由题意可得 的方程为 ，
令 ， ，则 , ,
故 ，
由于 在 上，故 ，
由于 ，故 ，故 ，当且仅当 时
取等号，
故 ，即 的面积的最小值为 ，
故选：A
8. 随机投掷一枚质地均匀的骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件 “第一次的点数为奇数”，事件
“第二次的点数为奇数”，事件 “两次点数之和为奇数”，则不正确的是（ ）
A. B. 与 互斥
C. 与 相互独立 D.
【答案】D【解析】
【分析】利用古典概型概率公式来求解事件概率，再结合互斥事件和相互独立事件概念来判断即可．
【详解】由古典概型概率公式可得： ，故A正
确；
因为 “第一次的点数为奇数且第二次的点数为奇数”，
此时两次点数之和为偶数，所以 与 互斥，故B正确；
由 ，
因 ，则 与 相互独立，故C正确；
因为 “第一次的点数为奇数且第二次的点数为奇数”，此时和为偶数，
事件 “两次点数之和为奇数”，所以 不可能发生，即 ，
而 ，则 ，故D错误.
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求全部选对得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C. 若 是空间 的一个基底，对空间任意一点 ，若 ；则 ， ，
， 四点共面；
D. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
【答案】AD【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可
【详解】A：若 ， 不共线，则在空间中取与 ， 都垂直的非零向量 ，
则 可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，故 ，因此本选项说法正确；
B：当 时，
显然 ，
因此 ， ，但 ，所以本选项说法不正确；
C：因为 ，所以 ， ， ， 四点不共面，因此本选项说法不正确；
D：假设 共面，则由平面向量基本定理可知 共面，
与 是空间的一个基底矛盾，假设不成立，
所以 也是空间的一个基底，所以本选项说法正确.
故选：AD
10. 已知圆 ，点 ，则下列结论正确 的是（ ）
A. 直线 与圆 相交
B. 若点 为圆 上一点，则 的最小值为0
C. 圆 与圆 相离；
D. 过 点作圆 的切线，则切线长为 .
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆的性质、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系及切线长公式逐一来分析即可.【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆心为 到直线 的距离为 ，
故直线 与圆 相离，故A错误，
的几何意义是圆 上的点 与点 连线的斜率，
设 ，则 ，即 ，
当直线 与圆 相切时，有 ，解得 或 ，
故 的最小值为0，故B正确，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心之间的距离为 ，又 ，
即圆心之间的距离等于两圆的半径和，故两圆外切，故C错误，
，根据切线长公式 ，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，在等腰 中， ， ， ， 分别是线段 ， 上异于端点的动点，
且 ，现将 沿直线 折起至 ，使平面 平面 ，当 从 滑动到
的过程中，下列选项中正确的是（ ）A. 二面角 的平面角的大小为定值
B.
C. 三棱锥 的体积的最大值为
D. 与 所成的角先变小后变大
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用二面角的定义求解判断A；利用余弦定理求出 判断B；利用
锥体的体积公式求出最大值判断C；利用异面直线所成角的定义列出函数关系求解判断D.
【详解】翻折前， ， ，则 ，翻折后， ， ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 平面
，
对于A，过点 在平面 内作 的延长线于点 ，连接 ，
由 平面 ，得 ，而 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 ，
二面角 的平面角为 ，由 ， ，
得 ，二面角 的大小为定值，A正确；
对于B，由 平面 ，得 ，设 ，则 ， ，
， ，
由余弦定理得 ， ，B错误；
对于C， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，C正确；
对于D，由 ，得 ， ，
而 ， 平面 ，则 平面 ，
与 所成的角为 ，且 ，
而函数 先递增后递减，因此 与 所成的角先变小后变大，D正确.
.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题3个小题，每小题5分，共15分.
12. 棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______.
【答案】
【解析】
【分析】
棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．
【详解】∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
∴球的半径是 ，
∴球的表面积是4 .故答案为： .
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 在双曲线的右支上，
，则双曲线离心率的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件与双曲线的定义可得 ，再利用余弦定理得到
，求出 的范围，即可求出结果.
【详解】设 ，由 ，得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，又 ，
所以 .
故答案为： .
14. 已知等差数列 中， ，设函数 ，记，则数列 的前17项和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简 ，证得 的图象关于点 对称，再
利用等差数列的下标和性质即可求出.
【详解】
，
因为 ，所以 的图象关于点 对称，
因为数列 是等差数列，所以 ，
故 ，
故数列 的前17项和为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小遁，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）已知点 在边 上，且 ， ，且 的面积为 ，求边 的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理即可求出；（2）利用已知条件求出 的长，再利用面积公式求出 的长，最后在 中利用余弦定理即
可求出.
【小问1详解】
， ，则 ， ,
故上式化为 ，
根据二倍角公式，得 ，
根据正弦定理，得 ，
， ， ,
又 ， ， .
【小问2详解】
， 三角形 为直角三角形，又 ， 三角形 为等腰直角三角形，
，又 ， ，
又 的面积为 ，根据面积公式得 ，
解得 ，
在 中，根据余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
故边 的长为 .
16. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘
节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试估计消费金额的84%分位数.
（2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的
“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消
费金额不低于100元的概率.
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，
金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
【答案】（1）92 （2）
（3）方案二更优惠
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图估计百分位数.
（2）利用古典概型求对应事件的概率.
（3）分别求出两个方案的费用，进行比较，可得答案.
【小问1详解】
先计算各区间的频率：
：频率为 ； ：频率为 ；
：频率为 ； ：频率为 ；
：频率为 ； ：频率为 .
因为 ， .
所以消费金额的 分位数位于 之间.由 .
所以消费金额的 分位数为 .
【小问2详解】
5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为： （人），
从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有 种，
至少有1人消费不低于100元的抽法有： 种，
设事件 ：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则 .
【小问3详解】
游客按方案一，购买10千克水果，需花费： 元；
按方案二，购买10千克水果，需花费： 元.
所以游客应该选择方案二更优惠.
17. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 是以1为首项，2为公比的等比数列，数列 的前 项和为 .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）若 对 恒成立，求参数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）（ⅰ） （ⅱ）
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前 项和公式、通项公式进行求
解即可；
（2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可；
（ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
，
所以数列 的通项公式 .
【小问2详解】
（ⅰ）因为 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
，
，
两式相减，得
；
（ⅱ） ，
因为
所以 ，所以数列 是单调递增数列，
所以数列 的最小项为 ，要想 对 恒成立，
只需 ，
所以参数 的取值范围为 .
18. 如图，四棱锥 是正四棱锥，设平面 与平面 的交线为 ， 为 上异于点 的一
点.
（1）求证： ；
在
（2） 棱 上找一点 ，使得平面 平面 ，并给出证明；
（3）若正四棱锥 的所有棱长均相等， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）当 为 的中点时，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得 平面 ，再利用线面平行的性质定理即可得证；
（2）当 为 的中点时，平面 平面 ，利用面面垂直的判定定理即可得证；
（3）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量 ，利用向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】在正四棱锥 中，底面 为正方形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ；
【小问2详解】
当 为 的中点时，平面 平面 ，
证明如下：
在正四棱锥 中， ，又 为 中点，
所以 ，
在正方形 中， ，所以 ，
在
正方形 中， ，又 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
【小问3详解】
因为正四棱锥 的所有棱长均相等，所以 两两垂直，
以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示：
设正四棱锥 的棱长为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过
另一个焦点.若从椭圆 的左焦点 发出的光线，经过两次反射之后回到点 ，
光线经过的路程为8，其离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， ，过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 ， （异于 ， ），
直线 ， 的交点为 .
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线 ，相应产生了多个不同 点，他感觉这些 点在一条直线上.请你
对其感觉的正确性给出判断并证明；（ⅱ）设直线 ， 交点为 ，试问： 与 的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，说明理由.
【答案】（1） ；
（2）（ⅰ）在直线 上，证明见解析；（ⅱ）定值为 ，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用离心率和椭圆定义即可求解；
（2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，再利用交点坐标表示两条相交直线，通过方程组求出交点纵坐标，
再利用韦达定理来证明定值即可；
（ⅱ）把面积问题转化为两交点的横坐标问题，通过求解横坐标之积，就能证明两三角形面积之积为定值
的问题.
【小问1详解】
由题意可得： ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
【小问2详解】
（ⅰ）设直线 方程为 ，与椭圆 联立，消 得：
，又设交点 ，则 ，
所以有
则直线 方程为： ，直线 方程为： ，
两式消元 得： ，
代入 可得： ，
即交点为 的纵坐标为常数 ，即这些 点在一条直线 上；
（ⅱ）因为 与 的面积之积是 ,
由（ⅰ）可得交点为 的纵坐标为常数 ，代入直线 方程 可得：
， 即交点为 的横坐标为
又设直线 方程为： ，直线 方程为： ，
两式消元 得： ，代入 可得： ，
即交点为 的纵坐标也为常数 ，即 点也在这条直线 上，
把 代入直线 方程 可得：
，即交点为 的横坐标为 ，
由 ，
因为 ，所以 ，
即 与 的面积之积是 .
