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第 03 讲 指数函数与对数函数
1． （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
解： .
故选：D
2、已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，
所以 .
故选：C
3、已知 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以 .
故选：C
4．已知函数 ，则函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当 时， ，故排除A、D选项；当 时， ，则 ，排除B选
项．
故选：C．
5． ， ， ,则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
,当 时 成立；
当 时，解得 ．所以
又 ,
∴a的取值范围是 ．
故答案为：
6．已知 ，则 的值等于__．
【答案】320
【解析】
∵ ，
∴ ，则
∴
故答案为：320．
7．函数 的大致图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
当 时， ，可排除B、C选项；又 ，排除A选项.
故选：D.
8． 已知函数 ，则 ________，函数 的零点有________个．
【答案】 4 2
【解析】
由题意知 ；当 时令 则 ，当 时令
则 所以函数 的零点有2个.
故答案为：4；29． 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，因为 ， ，故函数 的零点所在的区间
为
故选：C
10． 已知函数 是偶函数.
(1)当 ，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）解： 是偶函数， ，即 对任意 恒成立，
， ．即 ，因为当 ，
函数 有零点，即方程 有实数根．令 ，则函数
与直线 有交点， ，又 ，
，所以 的取值范围是 ．（2）解：因为 ，又函数 与
的图象只有一个公共点，则关于 的方程 只有一个解，所以
，令 ，得 ，①当 ，即 时，此方程的解为
，不满足题意，②当 ，即 时，此时 ，又
， ，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当 ，即 时，由
方程 只有一正根，则需 ，解得 ，综合①②③得，实
数 的取值范围为： ．
11．设 为实数，函数 在 上有零点，则实数 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
因为 在 单调递增，且有零点，
所以 ，解得 ，
故答案为：1、设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解： ，
；
， ， ， ；
， ， ， ，
综上， ．
故选： ．
2、已知函数 ，若函数 只有两个零点，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意， 即 或 .因为 ，易得 无解.故
只有两个零点.
当 时， 或 ，解得 或 有两个零点.故 无解.因为 ， ，故 ，解得
故选：D
3． 已知 ，不等式 恒成立，实数 取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
， ，
，即 ，
令 ，
若 ， ，等价于 ，
令 ， ， ，
若 ， ，即 ，
①当 ，即 时，
不等式 在 上恒成立；
②当 ，即 或 时，
要使不等式 在 上恒成立，
则有 ，解得 ， ，综上所述，实数 取值范围是 .
故选：A.
4．已知函数 ，若方程 有5个不同的实数解，则实数a的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
函数 的大致图象如图所示，对于方程 有5个不同的实数解，
令 ，则 在 ， 上各有一个实数解或 的一个解为-1，另一
个解在 内或 的一个解为-2，另一个解在 内.
当 在 ， 上各有一个实数解时，设 ，则
解得 ；
当 的一个解为-1时， ，此时方程的另一个解为-3，不在 内，不满足题意；
当 的一个解为-2时， ，此时方程的另一个解为 ，在 内，满足题意.
综上可知，实数a的取值范围为 .故选：D.
5、根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 约为
已知 ，则下列各数中与 最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ，而 ，
所以 ，
所以 ，
从而 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以与 最接近的是 .
故选：D
6．已知函数 ，若方程 恰有 个不同的实根，则实数 的取
值范围是_________.【答案】
【解析】
作出函数 的图象，如图所示， 在 时，有4个不同的实根，
令 ，则方程 化为 ，原方程有8个不同的实根，则方程
在 上有两个不等的实根，
记 ，
由 ，解得 ．
故答案为： ．
7．已知 （ 且 ， 且 ），则函数 与 的图像可能
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，即为 ，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，
函数 与 均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数 与 均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
故选：B．
8、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯
函数”：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，例如：， ，已知 ，则函数 的值域为______．
【答案】
【解析】
∵ ， ，
∴令 ，则
故函数 的值域为 ，
故答案为：
（多选）9．已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 是增函数
C． 不是周期函数 D． 的最小值为
【答案】AD
【解析】
选项A，由 得 ，函数定义域是 ，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是 ， ，即 是奇函数，易知 是R上的增函
数，函数值域为R， ，所以存在 ，值得 ，从而 ，于是， ，但 ，所以 不是增函数，B错；
选项C， 定义域是R， ，因此 是函数的一个周期，C错；
选项D，由上推理知 是奇函数， 时， ，
时， ，易知函数为增函数，所以 ，综上
函数最小值是1，D正确．
故选：AD．
10．已知函数 ， 有意义时 的取值范围为 ，其中 为实
数．
(1)求 的值；
(2)写出函数 的单调区间，并求函数 的最大值．
【答案】(1)
(2)增区间为 ，减区间为 ，最大值为
【解析】
（1）因为 有意义时 的取值范围为 ，所以 的解集为 ，所以
和 是方程 的两根． 由韦达定理可得 ，解得 ．
（2）由（1）知， ，令 ，因为 为增函数，且
在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，所以当 时 ， 取得最大值11、已知集合 ，集合 ．记集合 中最小元素为 ，集合 中最大元素为
．
(1)求 及 ， 的值；
(2)证明：函数 在 上单调递增；并用上述结论比较 与 的大小．
【答案】(1) ， ， ；
(2)证明见解析，
【解析】
（1）因为 ，所以 ， ，即 ．因为
，所以 ， ．
（2）设 为 上任意两个实数，且 ，则 ， ，
，即 ，所以
在 上单调递增．所以 ，所以 ．
1．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
2．（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数在
上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当 时， ，所以 在 上递减，
是偶函数，所以 在 上递增.
注意到 ，
所以B选项符合.
故选：B
3．（2017·全国·高考真题（理））某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了
2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折
线图，下列结论错误的是（ ）A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】
对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；
对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，
故D正确.
故选：A
4．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
由 ，当 时， ，则 .
故选：C.
5．（2013·浙江·高考真题（理））已知x，y为正实数，则（ ）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
【答案】D
【解析】
因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），
所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，
故选D．
6．（2010·浙江·高考真题（文））已知 是函数 的一个零点，若 ，
则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
因为 是函数 的一个零点，则 是函数 与 的交点的横坐标，画出函数图像，
如图所示，则当 时， 在 下方，即 ；
当 时， 在 上方，即 ，
故选：B
7．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根
据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其
中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】
，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C.
8．（2022·天津·高考真题）已知函数 ，若 至少有 个零点，则 的
取值范围是______.
【答案】
【解析】
设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
9．（2022·天津·高考真题）化简 ____________
【答案】2
【解析】
原式
，
故答案为：2.
10．（2014·广东·高考真题（理））若等比数列 的各项均为正数，且 ，则
.
【答案】 .
【解析】
由 得 ，
所以
11．（2019·江苏·高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为
2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在区间
上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.【答案】 .
【解析】
当 时， 即
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要使 在
上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.
当 时，函数 与 的图象有 个交点；
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当
与 图象相切时，圆心 到直线 的距离为 ，即 ，得 ，函数 与
的图象有 个交点；当 过点 时，函数 与 的图象有 个交点，此时 ，
得 .
综上可知，满足 在 上有 个实根的 的取值范围为 .
12．（2015·山东·高考真题）已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值是16，
（1）求实数 的值；（2）假设函数 的定义域是 ，求不等式 的实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【解析】
（1）当 时，函数 在区间 上是减函数，
因此当 时，函数 取得最大值16，即 ，
因此 ．
当 时，函数 在区间 上是增函数，
当 时，函数 取得最大值16，即 ，
因此 ．
（2）因为 的定义域是 ，
即 恒成立．
则方程 的判别式 ，即 ，
解得 ，
又因为 或 ，因此 ．
代入不等式得 ，即 ，
解得 ，
因此实数 的取值范围是 ．
13．（2019·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有
桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:
线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【答案】（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+ （百米）.
【解析】
解法一：
（1）过A作 ，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形， .
因为PB⊥AB，
所以 .
所以 .
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半
径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知 ，
从而 ，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半
径，点P符合规划要求.
设 为l上一点，且 ，由（1）知， ，
此时 ；
当∠OBP>90°时，在 中， .
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，
.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ= 时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+ .
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+ （百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为 .
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为 ，
直线PB的方程为 .
所以P（−13，9）， .
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD： .
在线段AD上取点M（3， ），因为 ，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半
径，点P符合规划要求.
设 为l上一点，且 ，由（1）知， ，此时 ；当∠OBP>90°时，在 中， .
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由 ，
得a= ，所以Q（ ，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（ ，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 （百米）.
