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第三章 函数及其应用章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数和指数函数的性质分别解得集合 ，再由交集定义写出 .
【详解】解 ，得 ，所以 ，
解 ，得 ，所以 ,
所以 .
故选：C.
2．已知函数 ，在下列区间中包含 零点的区间是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．( 3，4)
【答案】C
【解析】可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点.【详解】 为 上增函数
由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点.
故选：C
3．下列函数在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数 在 上为增函数，所以函数 在上为减函数，
因此选项A不正确；
因为 在 上为减函数，
所以选项B不正确；
因为 在 上为减函数，
所以选项C不正确；
当 时， ，显然函数在 上为增函数，
所以选项D正确，
故选：D
4．已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别利用函数单调性判断出a、b、c的范围，即可得到答案.
【详解】∵ ，
∴ ．
故选：A．5．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.
详解：由 可得 ，设 ,
因为函数 在 上递减， 递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，故选C.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合
考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两
个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减
增，增减 减，减增 减）.
6．函数 （ ）的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性判断 对称性，结合 大小确定函数图像.
【详解】由题设知 ，且定义域关于原点对称，所以函数 是奇函数，排除A、C，
由于 ，即 ，排除D.
故选：B
7．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数研究函数单调性，由 ，可得 ，再由 ，
再作商法 ，得 ，从而得解.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，故 ，
因为 ，又因为 ，
故 ，从而有 ，综上所述： .
故选：B.
8．已知函数 的定义域均为 ，且 .若 的图象关于直线 对称，且 ，现有四个结论：① ；②4为 的周期；③ 的图象关于点
对称；④ .其中结论正确的编号为（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【分析】对 中的 合理的赋值，消去 到得
，从而得到 的周期；根据 的图象关于直线 对称及平移得 的图
象关于直线 ， 对称；由 及对称性求得 .
【详解】由 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，
可得 ，所以4为 的周期，
因为 的图象关于直线 对称，由 ，
可知 的图象关于直线 对称， ，
则 的图象关于直线 对称，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 .
故结论正确的编号为①②④.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对含有 混合关系的抽象函数，要探求 性质首先要消去一个函
数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对 进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再
考查剩余函数的性质.如在本题中 ，将 中的 代换为 可得 ，与 联立消去 可得 ，再进一
步推断 的性质.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知 则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由题意可知 ， ，根据对数函数的单调性可知D错误； ，可知A正确；
利用基本不等式可知 ，化简整理可知B正确；在根据 ，利用不等式的性质，
即可判断C正确.
【详解】由题可知 ， ，又 ，所以 ，D错误；
因为 ，有 ．所以A正确；
由基本不等式得 ，所以 ，当且仅当 时，取等号；
又因为 ， ，所以 ，故 ，B正确；
由于 ， ，所以 ，C正确.
故选：ABC．
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．幂函数 的图像过点 ，则B．函数 的定义域为 ，则 的定义域为
C． ， 是奇函数， 是偶函数，则
D．关于 的方程 与 的根分别为 ， ，则
【答案】ACD
【分析】对于A，用待定系数法求解即可；对于B，根据复合函数定义域的求法求解即可；对于C，利用
奇偶性推出周期，根据周期求解即可；对于D，利用 、 、 的图象的对称性即可.
【详解】对于A，设 ，则 ，得 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为函数 的定义域为 ，即 ，所以 ，
由 ，得 ，即 的定义域为 ，故B不正确；
对于C，因为 是奇函数，所以 ，因为 是偶函数，所以 ，所以
，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，则 的一个周期为 ，
所以 ，故C正确；
对于D，依题意得 ， ，
所以 分别为函数 、 的图象与函数 的图象的交点 的横坐标，
又因为 、 的图象都关于直线 对称， 自身关于直线 对称，
所以函数 、 的图象与函数 的图象的交点 也关于 对称，联立 ，得 ，得 ，
因为 的中点为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD
11．已知函数 若函数 有4个零点，则 的取值可
能是（ ）
A． B．-1 C．0 D．2
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数 的图像，寻找 与 有两个交点的 的取值范围，即可解答.
【详解】令 ，即 ，解得 或 .
当 时， .由 ，得 ，由 ，得 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，且 .画出 的图象，如图所示.由图可知
有2个不同的实根，则 有4个零点等价于 有2个不同的实根，且 ，故
.故选：AC
12．已知函数 和 都是偶函数，当 时， ，则下列正确的结论是
（ ）
A．当 时，
B．若函数 在区间 上有两个零点 、 ，则有
C．函数 在 上的最小值为
D．
【答案】ACD
【分析】推导出函数 是周期为 的周期函数，求出函数 在 上的解析式，可判断A选项；
利用指数函数的单调性结合作差法可判断B选项；利用函数的最值与函数单调性的关系可判断C选项；利
用函数 的周期性和 在 上的单调性可判断D选项.
【详解】因为函数 和 都是偶函数，则 ， ，
所以， ，即 ，
因此 是周期为 的周期函数．
对于A，当 时， ，则 ，当 时，则 ，则 ，
综上所述，当 时， ，A对；
对于B选项，当 时， ，则 ，
不妨设 ，因为函数 在 上单调递减，则 ，
由 可得 ，
所以， ，
即 ，则 ，B错；
对于C，因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由于函数 是周期为 的周期函数，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
而函数 在 上单调递增，所以， ，则 ，
所以，当 时， ，
所以，函数 在 上的最小值为 ，C对；
对于D选项， ，
，，
又函数 在 上单调递减， ，D对.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 图象关于原点对称，则实数 的值为__________．
【答案】
【分析】由题意可知 是奇函数，从而有 ，由 的任意性即可求得实数 的值.
【详解】依题意，可知 是其定义域内的奇函数，则 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
由 的任意性可得 ，即 ，
故 ，则 .
经检验： 满足题意，故 .
故答案为： .
14．若函数f（x）= 是在R上的减函数，则a的取值范围是______．
【答案】[-6，1）
【分析】根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
【详解】由题意得： ，
解得：-6≤a＜1，
故答案为[-6，1）．【点睛】本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．
15．已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则满足 的x的取值范围
是______________．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为 ，利用函数的单调性建
立条件关系即可
【详解】由函数性质知 ，
，
∴ ，
即 ，解得 ，∴ ，
故答案为： .
16．已知 为偶函数， 为奇函数，且满足： ．若对任意的 都有不等式
成立，则实数 的最大值为__________．
【答案】 /
【分析】由 为偶函数， 为奇函数，构造方程组，分别解出 和 的解析式，代入不等式
中，利用换元法求出函数的最值，可得实数 的范围．
【详解】 为偶函数， 为奇函数， ，即
又 ，解得 ，时， 等价于 ，
化简得 ， ，
令 ，则 ，在 上单调递增，
当 时，
则实数 的最大值为
故答案为：
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知二次函数 的图像过点 和原点，对于任意 ，都有 ．
(1)求函数 的表达式；
(2)设 ，求函数 在区间 上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得 ，得 ，从而 恒成立，得，即可求解；
（2）依题意可得 ，即可得到对称轴，再对对称轴所在位置分类讨论，即
可求出函数的最小值.
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
因为对于任意 ，都有 ，即 恒成立，
故 ，解得 ， .
所以 ；
（2） ，
则 的对称轴为 ，
当 ，即 , 函数在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 ；
当 ，即 时，函数在 上单调递减，
故 在 的最小值为 ；
当 ，即 时,
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 .
综上, .
18．在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度 （单位：
毫克/立方米）随着时间 （单位：天）变化的函数关系式近似为 ，若多次喷洒，则某
一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污
剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持
续有效去污，求 的最小值.
【答案】(1)7天
(2)
【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可
（2）根据题意，列出空气中去污剂的浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，并解出不等式
即可
【详解】（1）释放的去污剂浓度为 ，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经 天，则浓度
，，当且仅当 即 等号成立.
所以 的最小值为 .
19．已知函数 ．
(1)若 ，解关于 的方程 .
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据 代入求出 的值，即可得到函数解析式，再解方程即可；
（2）依题意可得 在 上恒成立，参变分离可得 在 上恒成立，再
利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意 ， ，则 ，
由 可整理得 ，则可得 或 ，
或 ；
（2）若 在 上恒成立，则 在 上恒成立，整理得 在
上恒成立，
令 ，由 ，则 ，
又令 ， ，所以 是 上的减函数，
所以 ，
故实数 的取值范围为 .
20．已知函数 是偶函数．(1)求 的值；
(2)若 ， ， ，不等式 对任意 恒成立，求 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义结合对数运算可求得实数 的值；
（2）分析函数 在 上的单调性，令 ， ，则 对 恒成立，
对实数 的取值进行分类讨论，验证 对 能否恒成立，综合可得出 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
所以，
，
因为函数 为偶函数，则 ，即 ，
所以， ，解得 .
（2）由（1）可得
，
，任取 、 ，且 ，则 ，
，
当 时， ，则 ，
所以， ，即 ，
当 时， ，则 ，
所以， ，即 ，
所以，函数 在 上递减，在 上递增，
令 ，问题转化为： ，即 ，
再令 ，所以， 对 恒成立．
（i）当 时，左边 ，右边 ，不符合题意
（ii）当 时，
①当 时，则 ， ，
当 时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则 ，解得 ，此时 ；
②当 时，有 ，
所以， ，
当 ，则 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 在 上的最大值为 ，
所以， ，此时， ；
③当 时， 恒成立，符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ， 的取值范围是 ．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
21．已知二次函数 为偶函数且图象经过原点，其导函数 的图象过点 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，其中m为常数，求函数 的最小值．
【答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法依题意可设 ，根据该函数为偶函数可得
，根据导函数 的图象过点 ，可得 ；（2）由（1）可得：根据二次函数的性质分为 ， 和 三种情形判断其单调性得
其最值.
试题解析：（1）因为二次函数 经过原点，可设 ，又因为 为偶函数，所以
对任意实数 ，都有 ，即 ，所以 对任意实数 都成立，
故 ．所以 ， ，又因为导函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ．
所以 ．
（2）据题意， ，即
① 若 ，即 ，当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最小值为 ．
② 若 ，即 ，当 时， ，故 在 上单调递减；当
时， ，故 在 上单调递增，故 的最小值为 ．
③ 若 ，即 ，当 时， ，故 在 上单调递减，
在 上单调递增；当 时， ，故 在 上单调递增，故 的最小值为 ．
综上所述，当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值为 ；当 时，
的最小值为 ．
22．已知函数 （x∈R）为奇函数.
(1)求实数k的值；
(2)若对 [-2，-1]，不等式 ≤6恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数 -5在[1，+∞]上有零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由奇函数的性质 求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；
（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；
（3）用换元法，设 ，由函数单调性求得 的范围，问题转化为关于 的函数有零点，分离参数
后求函数值域即得．
【详解】（1）因为 是奇函数，
所以 ，解得k＝1，
此时 符合题意．
（2）原问题即为 ， ，即 恒成立，
则 ，
设 ，∵ ，∴ ，则 ，
∵ ，∴当 时， 取得最小值26，
要使不等式在 上恒成立，则 ，
即实数m的最大值为26．
（3） ，
则 ，
设 ，当x≥1时，函数 为增函数，则 ，
若 在 上有零点，
则函数 在 上有零点，
即 ，即 ，
∵ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，即λ的取值范围是 ．
