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第三章 函数及其应用章末检测
参考答案
1．C 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B
7．B 8．C 9．ABC 10．ACD 11．AC 12．ACD
13． 14．[-6，1） 15． 16．
17．解：（1）由题意得 ，所以 ，
因为对于任意 ，都有 ，即 恒成立，
故 ，解得 ， .所以 ；
（2） ，
则 的对称轴为 ，
当 ，即 , 函数在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 ；
当 ，即 时，函数在 上单调递减，
故 在 的最小值为 ；
当 ，即 时,
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 .
综上, .18．解：（1）释放的去污剂浓度为 ，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经 天，则浓度
，
，当且仅当 即 等号成立.所以 的最小值为 .
19．解：（1）由题意 ， ，则 ，
由 可整理得 ，则可得 或 ，
或 ；
（2）若 在 上恒成立，则 在 上恒成立，整理得 在
上恒成立，
令 ，由 ，则 ，
又令 ， ，所以 是 上的减函数，
所以 ，
故实数 的取值范围为 .
20．解：（1）因为 ，所以，
，
因为函数 为偶函数，则 ，即 ，
所以， ，解得 .
（2）由（1）可得
，
，
任取 、 ，且 ，则 ，
，
当 时， ，则 ，
所以， ，即 ，
当 时， ，则 ，
所以， ，即 ，
所以，函数 在 上递减，在 上递增，
令 ，问题转化为： ，即 ，再令 ，所以， 对 恒成立．
（i）当 时，左边 ，右边 ，不符合题意
（ii）当 时，
①当 时，则 ， ，
当 时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则 ，解得 ，此时 ；
②当 时，有 ，
所以， ，
当 ，则 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 在 上的最大值为 ，
所以， ，此时， ；
③当 时， 恒成立，符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ， 的取值范围是 ．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .21．解：（1）因为二次函数 经过原点，可设 ，又因为 为偶函数，所以对
任意实数 ，都有 ，即 ，所以 对任意实数 都成立，
故 ．所以 ， ，又因为导函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ．
所以 ．
（2）据题意， ，即
① 若 ，即 ，当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最小值为 ．
② 若 ，即 ，当 时， ，故 在 上单调递减；当
时， ，故 在 上单调递增，故 的最小值为 ．
③ 若 ，即 ，当 时， ，故 在 上单调递减，
在 上单调递增；当 时， ，故 在 上单调递增，
故 的最小值为 ．
综上所述，当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值为 ；当 时，的最小值为 ．
22．解：（1）因为 是奇函数，
所以 ，解得k＝1，
此时 符合题意．
（2）原问题即为 ， ，即 恒成立，
则 ，
设 ，∵ ，∴ ，
则 ，
∵ ，∴当 时， 取得最小值26，
要使不等式在 上恒成立，则 ，
即实数m的最大值为26．
（3） ，
则 ，
设 ，当x≥1时，函数 为增函数，则 ，
若 在 上有零点，
则函数 在 上有零点，
即 ，即 ，
∵ ，当且仅当 时取等号，∴ ，即λ的取值范围是 ．
