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第三章 函数的概念与性质
1.一般函数定义域的求法
列出是函数有意义的自变量的不等式（组），求解即可得到函数的定义域．常涉及的依据有：
（1） 为整式时，定义域为R；
（2） 为分式时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
（3）如果 为0次幂或负指数幂型函数，那么定义域为使得幂底数不等于零的全体实数；
（4） 为二次根式（偶次根式）时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；
（5）如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么他的定义域是各基本函数定义域的交
集；
（6）由实际问题建立的函数，其定义域还要符合实际意义．
2．复合函数定义域的求法
（1）函数 的定义域是指 的取值范围所组成的集合；
（2）函数 的定义域还是指 的取值范围，而不是 的取值范围；
（3）已知 的定义域是A，求 的定义域，其实质是已知 中的 的取值范围为
A，求出 的取值范围；
（4）已知 的定义域为B，求 的定义域，其实质是已知 中 的取值范围为B，求
出 的取值范围（值域），此范围就是 的定义域；（5）同在对应关系“ ”下的范围相同，即 三个函数中的 的范围相
同．
3．求函数值域常用的方法
（1）直接法； （2）换元法； （3）配方法； （4）判别式法；
（5）分离常数法； （6）图象法； （7）不等式法； （8）函数单调性法．
4．函数解析式的求法
（1）已知函数类型，求函数解析式可以用待定系数法来求解，先设函数解析式，然后根据已知条件
求解相关参数；
（2）已知 求 或已知 求 ，一般采用换元法或配凑法；
（3）消去法：已知 与 满足的关系式，要求 时，可用 代替两边的所有的 ，得
到关于 及 的方程组，解得 ；
（4）赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．
5．函数单调性的判定方法
（1）定义法，步骤：取值、作差、定号、判断；
（2）图象法，根据函数图象的升降情况进行判断；
（3）直接法，运用已知的结论，直接得到函数的单调性．
6．求复合函数 单调性的步骤
（1）将复合函数分解成 ， ；
（2）分别确定这两个函数的定义域和单调区间；
（3）若两个函数在对应的区间上单调性同增或同减，则 为增函数；若一増一减，则
为减函数．
7．函数奇偶性的判定方法
（1）定义法：用定义判定（证明）函数奇偶性的一般步骤：首先确定函数的定义域，验证函数定义域是否关于原点对称．若否，函数 是非奇非偶函数，若是，继续判断 之一是
否成立．若 则 为偶函数，若 则 为奇函数，若
都不成立，则函数 是非奇非偶函数，若 都成立，则函数 既是奇函数，又
是偶函数．也可以利用等价命题判断，即 （或 ） 是
奇函数； （或 ） 是偶函数．
（2）图象法：图像关于原点对称 是奇函数；图像关于y轴对称 是偶函数．
（3）性质法：在定义域的公共部分内，两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是
偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之
积（商）为奇函数（注：取商时应使分母不为0）．
8．复合函数 的奇偶性
对于复合函数 ，若 为偶函数， 为偶函数，则 为偶函数；若 为奇函
数， 为奇函数，则 为奇函数；若 为奇函数， 为偶函数，则 为偶函数；若
为偶函数， 为奇函数，则 为偶函数．
9．奇、偶函数的几个重要结论
（1）在保证定义域关于原点对称的前提下，函数 、 与 的奇偶性
相同．
（2）若 是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称的区间上单调性是相同（反）
的，简称“奇同偶异”．（3） 的定义域关于原点对称，则 是偶函数， 是奇函
数．
（ 4 ） 若 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则 可 以 表 示 成 如 下 形 式 ：
，这个式子的特点是：右边是一个偶函数与一个奇函数
的和．所以任意一个定义域关于原点对称对称的函数都可以写成一个偶函数与一个奇函数的和．
10.幂函数的定义域和值域
（1） 时， 的定义域为 ，值域为 ；
（2） 为正整数时， 的定义域为 , 为偶数时，值域为 ； 为奇数时，值域为 ；
（3） 为负整数时， 的定义域为 ， 为偶数时，值域为 ； 为奇数时，值域
为 ；
（4）当 为正分数 时，化为 ，根据 ， 的奇偶性求解；
（5）当 为负分数 时，化为 ，根据 ， 的奇偶性求解.
11.判断幂函数奇偶性的方法
令 （其中 ， 互质， ， ）.
（1）若 是奇数，则 的奇偶性取决于 是奇数还是偶数.当 是奇数时， 是奇函数；当
是偶数时， 是偶函数.
（2）若 是偶数，则 必是奇数，此时 既不是奇函数，也不是偶函数.类型一：函数的概念及性质
例1．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于 ，
且 ，则有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，所以 ，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只
有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、
函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪
个性质，就利用该性质来分析解决问题．
例2．设函数 的定义域为 ，若所有点 构成一个正
方形区域，则 的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于 x 的不等式 ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x ，x]（x ＜x ），且
1 2 1 2
， ， 的 最 大 值 是
．依题意，当s∈[x，x]的取值一定时， 取遍 中的每一个组，
1 2
相应的图形是一条线段；当s取遍[x ，x]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将
1 2
前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有 ， ．又a＜
0，因此a=－4，选B项．
例3．设函数 ．
（1）画出函数 的图象；（2）若不等式 的解集非空，求a的取值范围．
【答案】（1）右图；（2） ．
【解析】 （1）由于 ，则函数 的图象如图所示．
（2）由函数 与函数y=ax的图象可知，当且仅当 或a＜―2时，函数 与函数
y=ax的图象有交点．故不等式 的解集非空时，a的取值范围为 ．
例4． 已知函数 （x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）对 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取
2≤x＜x 则有 恒成立，即可得 的取值范围．
1 2，
【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）（－∞，16]．
【 解 析 】 （ 1 ） 当 a=0 时 ， ， 对 任 意 x∈ （ － ∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） ，
，∴ 为偶函数．
当a≠0时， （a≠0，x≠0），
取x=±1，得 ，
∴ ， ，
∴函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设2≤x＜x，
1 2
，要使函数 在x∈[2，+∞）上为增函数，必须 恒成立．
∵x－x＜0，x x ＞4，即a＜x x (x + x)恒成立．
1 2 1 2 1 2 1 2
又∵x+ x＞4，∴xx2(x+ x)＞16．
1 2 1 1 2
∴a的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时， ，显然在[2，+∞）上为增函数．
当a＜0时，反比例函数 在[2，+∞）上为增函数，
∴ 在[2，+∞）上为增函数．
当a＞0时，同解法一．
【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函
数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
类型二：函数的综合问题
例5．（1）已知函数 在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数 ，x∈[－1，1]，求函数 的最小值．
【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a＞0，a＜0三种情况分析；
第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．
【答案】（1）－3或 ；（2）略
【解析】
（1） ．
①当a=0时，函数 在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当a＞0时，函数 在区间[－1，2]上是增函数，最大值为 ， ；
③当a＜0时，函数 在区间[―1，2]上是减函数，最大值为 ，a=―3．
综上，a的值为－3或 ．
（2） ，对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所
示：当a≥1时，函数 在区间[―1，1]上是减函数，最小值为 ；
当―1＜a＜1时，函数 在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为 ；
当a≤―1时，函数 在区间[―1，1]上是增函数，最小值为 ．
【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知
闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、
动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，
即可得到函数的最值．
．
类型三：函数的实际应用
例6．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，
造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当
时，车流速度 是车流密度 的一次函数．
（Ⅰ）当 时，求函数 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度 与车流速度 之间的函数关系，然后再转化为
求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数
最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当 ；当
再由已知得
故函数 的表达式为（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
x 20
当 为增函数，故当 时，其最大值为60×20=1200；
当 ，
所以，当 时， 在区间[20，200]上取得最大值
综上，当 时， 在区间[0，200]上取得最大值 ．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
