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2.5 对数运算及对数函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024 广东湛江）函数
（
且
）的图象所过的定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
（
且
），令
，解得
，则
，
所以
的图象所过的定点为
.故选：A.
2．（2024 广东江门）若函数
是函数
（
，且
）的反函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
（
且
）的反函数为
，即
，又
，所以
，所
以
，则
.选：A
3.（2025 春·湖南）已知
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，即
，即
，
又
，即
，故
，即
，
当
时，由
，无解，综上，实数a 的取值范围是
．故选:A．
4（2025 湖北）函数
的图象可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
得
即
，此有方程有两根，故
有两个零点，排除A 选项；
函数
有意义满足
解得
或
，
当
时函数无意义，排除B、C 选项；
对D 选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当
与及
时，函数
单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数
单调递增，故单调性也符合，所以
的图象可能是D；
故选：D
5（2025·安徽）“
”是“函数
在区间
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令
，
，
若
在
上单调递增，
因为
是
上的增函数，
则需使
是
上的增函数且
，
则
且
，解得
.
因为
⫋
，故
是
的必要不充分条件，
故选：C.
6．（2026 河北）若不等式
在
内恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，由
，可得
，则
，
又由
，此时不等式
不成立，不合题意；
当
时，函数
在
上单调递减，
此时函数
在
上单调递增，
又由
在
上单调递增，
要使得不等式
在
内恒成立，
可得
，解得
.
故选：A.
7（24-25 福建）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的值域为
，
当
时，
，即
，所以
时，
单调递增，
，此时
符合题意；
根据题意可得，
时，
单调递减，且
，显然符合题意，
故
，即
，当
时，也满足题意，
综上，
．
故选：A．
8．（2025·山东济宁·一模）曲线
与
和
分别交于
两点，设曲线
在
处的切线
斜率为
在
处的切线斜率为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
和
互为反函数，其图象关于直线
对称，
且反比例函数
的图象也关于直线
对称，
可知点
关于直线
对称，设
，则
，
设
，则
，
由题意可得：
，解得
或
（舍去），
可得
，则
，所以
.
故选：A.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 河南 ）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
无零点
D．
在
上单调递增
【答案】AB
【解析】由
，且定义域为
，
所以
的图象关于直线
对称，A 对；
当
时，
在
上单调递减，D 错；
当
时，
在
上单调递增，
又
，B 对；
显然
，C 错；
故选：AB
10．（24-25 江西）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若函数
的值域为
，则实数
B．若函数
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围是
C．若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是
D．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A，因为
的值域为
，所以
的最小值为
，
显然
，否则
没有最小值，由二次函数图象性质可知，
所以
，解得
，故A 正确；
对于B，因为函数
在区间
上为增函数，
当
时，
，定义域为
，不符合题意；
当
时，由复合函数单调性可知
在
单调递增，
则
，且
，
又
在
上恒成立，
联立
，解得
，故B 错误.
对于C，因为
的定义域为
，所以
恒成立，
当
时，由
有意义，可得
，显然不满足题意；
当
时，则
，解得
，故C 正确；
对于D，因为
的值域为R，当
时显然满足题意；
当
时，则
解得
，
∴
．故 D 错误.
故选：AC.
11．（24-25 湖南）函数
．则下列结论正确的是（ ）
A．在其定义域内
的值域为
B．
的单调递增区间为
C．对定义域内任意
，
恒成立
D．
的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点
【答案】ACD
【解析】由
可得
或
，则函数
的定义域为
或
，
设
，则当
或
时
的值域是
，
而
的值域是
，所以定义域内
的值域为
，A 正确；
单调递减，
在
上递减，
所以
的单调递增区间为
，同理
的单调递减区间为
，B 不正确；
当
时
；当
时或
，因为
的图象关于
对称，
所以对定义域内任意
，
，
所以对定义域内任意
，
恒成立，即
恒成立，C 正确；
的单调递增区间为
，
，
所以
时，
有唯一零点在
内，且
在第三象限，
在第二象限；
因为
的单调递减区间为
，
，
所以
时，
有唯一零点在
内，且
在第四象限，
在第一象限；
综上，
的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点，D 正确.
故选：ACD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）
与时间（单位：
）间的关系为
，若在前
消除了
的污染物，当污染物减少
时，所需时间
约为
（精确到
，参考数据：
，
，
）．
【答案】33
【解析】由题意可知，当
时，
，
所以当污染物减少
时，
，
解得
.
故答案为：33
13．（2025·江西宜春·一模）已知函数
在
上的最小值是1，则
.
【答案】
/
【解析】若
，则
，
在
上单调递增，最小值为
，不符合题意；
若
，则
的定义域为
，
且由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，不符合题意；
若
，则
的定义域为
，
由题意可得
，则
，
此时由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，符合题意；
综上，
.
故答案为：
14（2025·山西）已知函数
，若
，则
．
【答案】﹣3
【解析】根据题意，函数
，
则
，
则
，
若
，则
，
故答案为：﹣3．
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·全国·高三专题练习）化简求值：
（1）
．
（2）
；
（3）
.
（4）
（5）
．
【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）
.
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
16．（24-25 湖南）设
且
，已知函数
.
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数
，解关于
的不等式
.
【答案】(1)偶函数，理由见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）
是偶函数.
证明：
，
且
，即定义域为
，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）
为偶函数，
令
.
当
时，
在
上单调递增，
在区间
上单调递减，
由
，得
且
解得
.
当
时，
在
上单调递减，
在区间
上单调递增，
由
，得
且
解得
.
综上所述：当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
.
17．（24-25 云南曲靖·期中）2024 年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的
32 岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2 小时41 分03 秒，马拉松比赛的标准长度是42.195 千米，可测算黄雪梅
在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7 千米／时.
长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以
分钟／千米
来表示，例如：当某位跑步者的配速为5 分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长
为5 分钟，换算后相应的时速为
（千米／时），配速越小速度越快.
(1)计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为
千米／时对应的配速
分钟／千米的解析式；
(2)经统计，业余长跑爱好者不同的配速
（分钟／千米）与血氧饱和度
有如下关系：
，（
，
为常数），且配速为5 分钟／千米时的血氧饱和度为
，配速为4 分钟／千米时的血氧饱和度为
，
求
和
的值；
(3)业余长跑者在血氧饱和度低于
时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要
求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字）
（参考数值：
，
）
【答案】(1)3.82（分钟／千米），
.
(2)
.
(3)3.11 分钟／千米.
【解析】（1）由题意，黄雪梅的平均配速为
（分钟／千米）
时速为千米／时，配速
.
（2）因为
，代入数值可得
，解得
.
（3）由（2）得
.令
，则有
，
可得
，所以
.因此
，
即配速的最小值为3.11 分钟／千米.
18．（2024 安徽合肥）已知函数
是偶函数.
(1)求
的值;
(2)设
，
，若对任意的
，存在
，使得
，求
的
取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
是偶函数，
所以
，
即
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，即
.
（2）
，
因为对任意的
，存在
，使得
，
所以
在
上的最小值不小于
在
上的最小值，
因为
在
上单调递增，
所以
，
因为
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
19．（24-25 河北）已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的值域；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，求实数
的取值范围；
(3)请问是否存在实数
，
，使得函数
在区间
上的值域为
？若存在，求出实数
，
的
值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【解析】（1）设
，因为
，所以
，
所以
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
的值域为
.
（2）设
，
，若函数
有两个零点
，则函数
有两个零点，
由
，则
，
令
，可得
是方程
的两个不等的根，
则
，
，
所以
，
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（3）由函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，
由复合函数的单调性可得
的减区间为
，增区间为
，
由
，必有
，可得
，
由函数
的减区间为
，则
，
可得
是方程
在区间
上的两个不相等的实数根，
方程
，即
，
可化为
，又
，有
，
，
方程
可化为
，即
，
又由函数
和函数
单调递增，
结合图象可知，方程
在区间
上的两个不相等的实数根，
又由
和
满足方程，故方程
的根为
，即
，
，
故存在
，
满足题意.
