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2.2 函数的单调性、奇偶性（精讲）
考向一 具体函数的单调性
【例1-1】（2024 湖北）函数
的单调增区间是（ ）.
A．
B．
C．
D．
，
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
又
的图象是由
向右平移
个单位而来，
的单调递增区间为
，
，
所以
的单调递增区间为
，
.
故选：D
【例1-2】（2025 甘肃）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
是减函数，根据复合函数的单调性，可得
的单调递减区间为
．
故选：D.
【例1-3】（2025·云南）函数
的单调递增区间为____________．
【答案】
/
【解析】由题得函数定义域为
，
所以
在
上单调递增，又
，所以当
时，
，
故
的单调递增区间为
（或
）．故答案为：
【例1-4】（2025 广西）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是
B．递减区间是
C．递增区间是
D．递增区间是
【答案】D
【解析】因为函数
，作出函数
的图象，
如图所示：
由图可知，递增区间是
，递减区间是
和
．
故选：D．
【例1-5】（2024 安徽）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
的单调递增区间是
.故选：B.
【一隅三反】
1.（2023 云南）下列函数在R 上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
在
上单调递减，在
上单调递增，故选项A 错误；
在R 上为增函数，选项B 正确；
在
上单调递减，故选项C 错误；
在
单调递减，在
单调递减，故选项D 错误.故选：B.
2（2025 湖南）函数
的单调递增区间是
【答案】
【解析】由题意
，令
，
解得
，即函数
的单调递增区间是
.
3.（2024 江西）函数
的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，则
，
令
，解得
，故函数
的单调递增区间为
.故答案为：
.
4（2025 北京）函数
的单调递增区间是
【答案】
和
【解析】
如图所示：
函数的单调递增区间是
和
．故选：B.
5.（2025 福建）函数
的单调递增区间是
【答案】
和
【解析】因为
，
作出
的图象，如图所示，
由图象可知：函数
的单调递增区间是
和
.
考向二 已知单调性求参数
【例2-1】（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
或
，
即函数
的定义域为
，
又因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，由复合函数的单调性可知
在区间
上单调递增，
.故选：D.
【例2-2】（2024·广东韶关·一模）已知函数
在
上是单调函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
时，
是单调减函数，
又因为
在
上单调，所以，故
时，
单调递诚，
则只需满足
，解得
，故选：B.
【例2-3】（2024·海南·模拟预测）已知
且
，若函数
与
在
上
的单调性相同，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知
在
上只能是单调递增，
所以
在
上单调递增，所以
得
.
又
单调递增，所以
.综上得
.故选：C
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，易知函数
是增函数，
因为
在区间
上单调递减，
所以由复合函数单调性可知，
在
上单调递减.
因为函数
在
上单调递减，
所以
，即
.
故选：D.
2.（2024 浙江）设
，则“
”是“函数
在
为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由题意可得
为减函数，则
，解得
.
因为
推不出
，
，所以“
”是“函数
在
为减函数”的必要不充分
条件，
故选：B
3（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
是
上的单调函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，当
时，
，可得
在
上递增，
要使得函数
是
上的单调函数，
则满足
，且
，解可得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：B.
4.（2025·黑龙江）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，
，变形得
，因为
，所以
，
所以当
，即
时，
，所以
.
故选：A．
5.（2025 广西）已知函数
在区间
上单调递增，求实数a 的取值范围 ．
【答案】
【解析】∵当
时，
在区间
上单调递减，故
，
此时
，
反比例函数
在
上单调递减，则函数
在
上单调递减，
而函数
在区间
上单调递增，
必有
，即
，则实数a 的取值范围为
.
考向三 函数奇偶性的判断
【例3-1】（2024 高三·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性．
(1)
； (2)
； (3)
；
(4)
，
； (5)
； (6)
．
【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)非奇非偶函数(4)非奇非偶函数(5)非奇非偶函数(6)非奇非偶函数
【解析】（1）定义域：
∵对于任意
且
∴
为奇函数.
（2）定义域：
∵对于任意
且
∴
为偶函数.
（3）定义域：
，即
，∴
为非奇非偶函数.
（4）定义域：
∴
为非奇非偶函数.
（5）定义域：
，解得
，∴
为非奇非偶函数.
（6）定义域：
，即
，∴
为非奇非偶函数.
【例3-2】（2025 高三·全国·专题练习）（多选）设函数
，则下列函数中不是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得
，
，定义域为
，
且
，所以
不是奇函数；
，定义域为
，
且
，所以
是奇函数；
，定义域为
，不关于原点对称，不是奇函数；
，定义域为
，不关于原点对称，不是奇函数．
故选：ACD．
【一隅三反】
1.（2025·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，函数
在
上单调递减，A 不是；
对于B，函数
的定义域为
，不具奇偶性，B 不是；
对于C，函数
定义域为R，
，不是偶函数，C 不是；
对于D，函数
定义域为
，
，是偶函数；
当
时，
，函数
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，D 是.
故选：D
2.（2025·贵州铜仁·模拟预测）下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，函数
定义域为
，
且
，则函数
为奇函数，
但函数
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，函数
定义域为
，
且
，则函数
为奇函数，
但函数
在
和
上单调递增，
在
和
上单调递减，故B 错误；
对于C，函数
定义域为
，
且
，则函数
为奇函数，
而
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，函数
定义域为
，
且
，则函数
为奇函数，
但函数
的单调递增区间是
，故D 错误.
故选：C.
3.（2025 高三下·全国·专题练习）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故A
错误；
对B，设
，函数定义域为
，且
，则
为偶函数，
故B 正确；
对C，设
，函数定义域为
，不关于原点对称，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，因为
，则
为奇函数，
不是偶函数，故D 错误.
故选：B
4（24-25 高三上·北京东城·期末）下列函数中，使
既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
，
由于
，所以
是偶函数，不合题意，故A 错误；
对于B，
，既是奇函数，又是增函数，符合题意，故B 正确；
对于C，
，
当
时，
，所以
不是奇函数，不合题意，故C 错误；
对于D，
，
该函数是奇函数，但不单调，不符合题意，故D 错误.
故选：B.
5.（2025 高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
.
【答案】(1)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)奇函数.
【解析】（1）由
得
，解得
，即函数
的定义域为
，从而
.
因此
且
，
函数
既是奇函数又是偶函数.
（2）由
得定义域为
，关于原点对称.
，
，
.
又
，
函数
为奇函数.
（3）显然函数
的定义域为
，关于原点对称.
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
综上可知：对于定义域内的任意
，总有
，
函数
为奇函数.
（4）显然函数
的定义域为
，
，故
为奇函数.
考向四 已知奇偶性求参数
【例4-1】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【解析】由题意可得
，即
，
整理得
，恒成立，即
，易得：
，故选：D.
【例4-2】（2025·安徽蚌埠·二模）“
”是“函数
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若函数
为奇函数，则
，即
，
整理得
，即
，解得
，
当
时，函数
的定义域为
；当
时，函数
的定义域为
，都符合题意，
所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
【例4-3】（2024 长沙市）函数
是定义在
上的奇函数．若
，
则
的值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【解析】函数
是定义在
上的奇函数，则
，解得
．又
，则
，所以
．故选：A
【一隅三反】
1（2025·四川宜宾·二模）若
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题，可得
，即
，
，
，即
因
不恒为0，故
.
故选：B.
2．（24-25 高三下·河北·开学考试）“
”是“函数
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，则
，则
，故充分性成立，
当函数
为奇函数，则
，
所以
恒成立，则
，则必要性不成立，
故
是“函数
为奇函数”的充分不必要条件．
故选：A
3.（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
为偶函数，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
且
，则
.故选：A.
考向五 奇偶性的应用---求解析式
【例5-1】（24-25 辽宁）已知函数
是定义域为
的偶函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，则
，
∵函数
是定义域为
的偶函数，∴
，∴
.故选：A.
【例5-2】（2025 河北沧州·阶段练习）已知函数
是奇函数，且当
时，
，那么当
时，
的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，则
，所以
，
又因为函数
是奇函数，所以
，
所以当
时
．
故选：B
【一隅三反】
1．（2025 河南·阶段练习）已知
为奇函数，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为奇函数，所以
，即
．
当
时，
，
．
故选：C
2.（2025 河北）设
为奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，因为函数
为奇函数，且当
时，
，
，即：
.故选：D
3.（2024 黑龙江哈尔滨）已知
为奇函数，
为偶函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知，
为奇函数，
为偶函数，则
，
所以
，即
，解得
.故选：B
考向六 奇偶性的应用---求函数值
【例6-1】（2025·四川）若函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】A
【解析】因为
为奇函数，所以
.故选：A
【例6-2】（2025 高三下·全国·专题练习）已知
，
.求
.
【解析】令
，则
的定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，
从而
，即
，
因为
，所以
.
答案：
.
【例6-3】（24-25 广西玉林·期末）若函数
在区间
上的最大值为M，最小值为m，
则
．
【答案】4
【解析】因为
，
令
，则
，
又因为
，所以函数
为奇函数，
所以
，所以
．
故答案为：4．
【一隅三反】
1．（2025 广东深圳·期末）已知函数
为偶函数，则
【答案】2
【解析】
函数
为偶函数，
当
时，
，
，
，即
，又
，
故
2.（2024 高三·全国·专题练习）函数
在
上的最大值和最小值分别为
，则
．
【答案】2
【解析】
，
令
，
,
为奇函数，所以
关于
对称,
所以
关于
对称，
所以
．
故答案为：2.
3.（2025 湖北）已知函数
，
，若
的最大值为
，最小值
为
，则
.
【答案】
【解析】由题意可得
，
令
，则
，
因为
所以
为奇函数，
所以
在
最大值与最小值之和为0，所以
.故答案为：8
考向七 单调性与奇偶性的应用---解不等式
【例7-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数
的定义域为
，且在
上单调递增，
∵
，∴
，解得
或
.故选：C.
【例7-2】（24-25 江苏苏州·期末）已知函数
，且
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以函数
的定义域为
，
则定义域关于原点对称，且
，所以
为偶函数，
又
时，
是单调递增函数，而
是单调递减函数，
所以
是单调递减函数，
根据对称性知
时，所以
是单调递增函数，
函数
中，
，
由
得
，解得
或
.
故选：D.
【例7-3】（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数
，对任意
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
，定义域为R，
函数
，所以函数是奇函数；
对任意
，都有
恒成立，
则
，
所以
，
化简得
所以
或
，
所以
或
令
，
单调递减，
单调递增，
当
时，
；
当
时，
，当
时，
；
所以
，
对任意
，
所以
.
故选：C.
【一隅三反】
1.（2025 四川）函数f（x）在R 上单调递减，关于x 的不等式f（x2）＜f（2）的解集是（ ）
A．{x|x
}
B．{x|x
}
C．{x|x
或x
}
D．{x|
x
}
【答案】C
【解析】函数
在R 上单调递减,故
有
或
.故选：C
2.（23-24 北京）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
的定义域为
，
因为
，
，
由
可得
，即
的图象在
图象的上方，
画出
的图象，如下图，
由图可知：不等式
的解集是
.
故选：D.
3.（2025 安徽铜陵·期末）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，∴函数
在
上单调递减，
∵
，∴
，∴
，或
，解得
，或
，
∴原不等式的解集是
，故选：A．
4.（2025·湖南邵阳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，定义域为
，
，为奇函数，
又
，所以
在
上单调递增，所以
即
，即
的取值范围是
.故选：C
5.（24-25 河北）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，则
，所以
为偶函数，
当
时，
，函数
单调递减，函数
单调递减，
则函数
单调递减，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则由不等式
，得
，
则
，化简得
，
解得
，则不等式
的解集为
.故选：A.
考向八 单调性与奇偶性的应用---比较大小
【例8-1】（2025·山西·一模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
上是减函数，
，所以
，
又
，所以
.
故选：
.
【例8-2】（2024·北京·模拟预测）函数
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】注意到
定义域为全体实数，且
，
所以
是
上的偶函数，从而
，
因为
在
上单调递增，所以
关于
在
上单调递减，
而
，所以
.选：B
【一隅三反】
1.（2024·天津·一模）已知实数a，b，c 满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，得到
，又
，函数
是减函数，
所以
，又
，得到
，所以
，故选：A.
2．（2025 陕西）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于函数
在R 上均为增函数，
故
在R 上单调递增，
由于
，
故
，故
，即
，
故选：D
3.（24-25 贵州）已知函数
，设
，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
在
上为增函数，且
，所以
，
因为
在
上递增，且
，所以
，即
，
所以
，
因为
和
在
上均为增函数，所以
在
上为增函数，
所以
，所以
.故选：C
4.（2025 广东）已知函数
，若
，
，
，则
，
，的大小
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，函数
，其导数函数
，
因为
，所以
在
上恒成立，
则
在
上为增函数；
，
所以
为奇函数，所以
，
又由
，则
；故选：D．
考向九 抽象函数的单调性与奇偶性
【例9】（2025 高三·全国·专题练习）设函数
的定义域为
，且满足
，
，
又当
时，
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)证明
在
上是增函数；
(3)解不等式
．
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）令
，得
，
．
令
，则
，
即
，
，
即函数
是奇函数；
（2）设
，
，
，
在
上是增函数；
（3）
，
，
，
由单调性得
，解得
．故不等式解集为
【一隅三反】
1．（24-25 江西宜春·阶段练习）已知函数
满足任意的实数
，
，都有
，
且当
时，
.
(1)求
的值，并证明：
是奇函数；
(2)判断
在
上的单调性并证明；
(3)若关于
的不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
，证明见解析
(2)在
上单调递增，证明见解析
(3)
【解析】（1）因为函数
满足任意的实数
，
，都有
，
令
，则
，所以
.
令
，则
，
所以
，所以
是奇函数.
（2）
在
上单调递增.
证明：设
，
且
，所以
，
又
，所以
，所以
，所以
，即
，所以
在
上单调递增.
（3）关于
的不等式
对任意的
恒成立，即关于
的不等式
对任意的
恒成立，
由（2）可知
在
上单调递增，
令
，
，所以
，
，
令
，
，
当
，即
时，
在
上单调递增，
所以
，解得
，
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，不符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，
所以
，解得
，与
矛盾，不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
2．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数
在
上有意义，且任意
，满足
．
(1)求
的值，判断
的奇偶性并证明你的结论；
(2)若
时，
，判断
在
上的单调性，并说明理由．
【答案】(1)
，奇函数，证明见解析
(2)单调递减，理由见解析
【解析】（1）令
，则
，解得
，
令
，则
，则
，
又因为
定义域为
，关于原点对称，所以
为奇函数．
（2）
在
上单调递减，理由如下：
，设
，令
，
则
，
即
，
因为
，所以
，
，
所以
，所以
，
因为
时，
，所以
，故
，
所以
，所以
在
上单调递减．
3．（24-25 山东）定义在
上的函数
满足：
，当
时，
.
(1)求
的值，判断函数
的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用定义证明；
(3)若
，解关于
的不等式
.
【答案】(1)
，函数
为偶函数，理由见解析；
(2)函数
在
上单调递减，证明见解析；
(3)
或
【解析】（1）由题意知，函数
满足：
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
函数
为偶函数，理由如下：
由题意，函数
的定义域为
，
令
，则
，即
，
所以函数
为偶函数.
（2）函数
在
上单调递减，证明如下：
任取
，令
，
，
则
，即
，
因为
，则
，由题意知
，
所以
，即
，
所以函数
在
上单调递减.
（3）由
，得
；
令
，则
，所以
，
因为函数
为偶函数，所以
，
当
时，因为函数
在
上单调递减，
所以由
，得
，即
，解得
；
因为函数
为偶函数，且函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，
当
时，由
，得
，
所以
，解得
；
综上所述，不等式
的解集为
或
.
