文档文本内容
8.4 单调性（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 性质法
【例1-1】（2021·辽宁大连·高三学业考试）下列函数在R上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 在 上单调递减，在 上单调递增，故选项A错误；
在R上为增函数，选项B正确；
在 上单调递减，故选项C错误；
在 单调递减，在 单调递减，故选项D错误.故选：B.
【例1-2】（2021·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））函数 的单调递减区间为
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】在函数 中，由 得 或 ，则 的定义域为
，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 在 上单调递增，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 .故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，解得 ，
令 ，则 ，
∵函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数 的单调递增区间是 故选：C
2（2022江西）.下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】A:因为 为减函数，所以 为增函数；
B: 对称轴为 ，图象开口向上，所以在 上为增函数；
C:因为 在定义域上为减函数，所以 在定义域上为增函数；
D:当 时， 为减函数，当 时， 为减函数，且 ，
所以 在定义域上为减函数.故选:D.
3（2022山东）函数 的单调递增区间是________
【答案】
【解析】
当 时， 单调递减，而 也单调递减，所以
单调递增，故答案为：
考点二 图像法
【例2-1】（2021·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和C． 和 D． 和
【答案】B
【解析】
如图所示：
函数的单调递增区间是 和 ．
故选：B.
【例2-2】（2020·全国·高三专题练习）函数 的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 直接通过解析式，结合二次函数图象得： 递增，在
递减，故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）下列关于函数 的结论，正确的是（ ）
A．f(x)在(0，+∞)上单调递增 B．f(x)在(0，+∞)上单调递减
C．f(x)在(-∞，0]上单调递增 D．f(x)在(-∞，0]上单调递减
【答案】D【解析】由题意可得，
作出函数f(x)的图像如图所示，
由图可知，函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增故选：D.
2．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（理））函数 的单调递增区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， 的单调递增区间是 .故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是
【答案】D
【解析】因为函数 ，作出函数 的图象，
如图所示：由图可知，递增区间是 ，递减区间是 和 ．故选：D．
考点三 导数法
【例3】（2022·全国课时练习）求下列函数的单调区间.
（1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋ .（3） 3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2.
【答案】（1）增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)；
（2）增区间为(－∞，- )和( ，＋∞)，减区间为(－ ，0)和(0， ).
（3）单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；
（4）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
【解析】（1） ＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令 >0，得x>1，或x<－1.令 <0，得－1<x<1.
∴f(x)的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1).
（2） ＝1－ ＝ ，
由 >0，解得x<－ ，或x> .由 <0，解得－ <x< ，(x≠0).
∴函数的增区间为(－∞，－ )和( ，＋∞)，减区间为(－ ，0)和(0， ).
（3）函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)．
(4) 函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为 .y′＝ ＋2x＝ ＝ .
令y′＞0，解得－ ＜x＜－1或x＞－ .所以函数的单调递增区间为 ， .
令y′＜0，解得－1＜x＜－ ，所以函数的单调递减区间为 .
【一隅三反】
（2021·全国）求下列函数的单调区间（1）f(x)＝ ；（2）y＝ x2－ln x．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；（4）f(x)＝sin x－
x(0<x<π)．
（5） ；（6） ．
【答案】（1）单调递增区间是(－∞，1－ )和(1＋ ，＋∞)；单调递减区间是(1－ ，1)和(1，1
＋ ) ；（2）单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1) ．
（3）增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ；
（4）单调递减区间为(0，π) ．
（5）函数的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ；
（6）单调递增区间为 （ ），单调递减区间 （ ）.
【解析】（1）f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
f′(x)＝ ＝ ＝ ．
令f′(x)>0，解得x>1＋ 或x<1－ ；令f′(x)<0，解得1－ <x<1或1<x<1＋ ．
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1－ )和(1＋ ，＋∞)；单调递减区间是(1－ ，1)和(1，1＋
)．
（2）函数y＝ x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝ ．
若y′>0，即 解得x>1；若y′<0，即 解得0<x<1．
故函数y＝ x2－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．
（3） ＝6x2＋6x－36．由 >0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由 <0解得 －3<x<2．故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)．
（4） ＝cos x－1．因为0<x<π，所以cos x－1<0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)，
无增区间．
（5）由题得函数的定义域为 . ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 或 ，
故所求函数的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ．
（6）由题得函数的定义域为 .
令 ，得 ，即 （ ），
令 ，得 ，即 （ ），
故 的单调递增区间为 （ ），单调递减区间 （ ）．
考点四 已知单调性求参数
【例4-1】（2022·河南濮阳·一模（理））“ ”是“函数 是在
上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意，函数 是在 上的单调函数，
由于 在 上递增，所以 在 上递增，所以 且 ，即 .
所以“ ”是“函数 是在 上的单调函数”的必要不充分条件.故
选:B
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知函数 ，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若 是 上的增函数，则应满足 ，解得 ，即
.故选：C
2．（2022·河北·高三阶段练习）函数 的最大值为2，且在 上单调递增，则a的范
围是______， 的最小值为______.
【答案】 2
【解析】注意到 是减函数，
∴ 在 上单调递减，而 的递减区间是 ，
∴ ， .
∵ 的最大值为2，
∴ 的最小值为 ，
即 ， ，
令 ， ， ，
∴ 在 处取得最小值2.
故答案为： ，2
3．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数 在区间 上为增函数，则实数a的
取值范围是________．
【答案】
【解析】 ，因为函数在区间 上为增函数，所以 ，
解得： .故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为
____________．
【答案】(－∞，0]
【解析】函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x
轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．
故答案为：(－∞，0].
5．（2020·全国·高三专题练习（理））函数 在 上单调递减，则实数 的取
值范围是________.
【答案】
【解析】① 时， 在R上单调递减
∴ 满足条件；
② 时，
对称轴为 ， 解得 .
由①②得 ，故 的取值范围是 .
故答案为： .
