5.6 正切函数的图象与性质
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：正切函数的性质与图象 .....................................................2
考点二：三点两线法作正切曲线的简图 .............................................2
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：正切函数的定义域 ...........................................................3
题型二：正切函数的值域 ..............................................................4
题型三：求正切函数的单调区间 .....................................................6
题型四：正切函数单调性的应用 .....................................................7
题型五：正切函数图象的对称性 .....................................................9
题型六：正切函数的周期性与奇偶性 ..............................................11
题型七：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题 .........................12
题型八：正切函数图象与性质的综合应用 ........................................14
模块三：综合巩固 .......................................................................17
5.6 正切函数的图象与性质
模块一：基础知识
考点一：正切函数的性质与图象
定义域
周期性
由诱导公式
可知，正切函数是周期
函数，周期是π.
奇偶性
由诱导公式
可知，正切函数是奇
函数.
图象
单调性
正切函数在每一个区间
上都单调递增
值域
正切函数的值域是实数集R
对称中心
考点二：三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-
,-1),(0,0),(
,1);“两线”是指直线x=-
和x=
.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区
间(-
,
)上的简图.
模块二：题型分类
题型一：正切函数的定义域
1.函数
( )
3tan(4
)
2
π
1
f x
x
的定义域为
.
2.函数
π
1
tan
4
y
x
的定义域为
．
3.函数
sin
cos
tan
x
x
y
x
的定义域为
．
4.函数
π
π
tan 6
3
y
x
的定义域是
．
题型二：正切函数的值域
1.函数
tan
,
,
6 3
6
y
x
x
的值域为
.
2.函数
2
tan
4tan
1
y
x
x
的值域为
3.函数
π
tan
6
y
x
，
π 5π
,
6 12
x
的值域为（ ）
A．
3,1
B．
3
1, 3
C．
1, 3
D．
3 ,1
3
4.函数
2
2tan
5tan
2
f x
x
x
，
,
4 4
x
的值域为
．
5.函数
2
tan
tan
2,
,
4 4
y
x
x
x
的值域为
.
6.函数
π
π
1
3 tan
4
3
y
x
x
的值域为
．
题型三：求正切函数的单调区间
1.函数
tan
3
6
y
x
的单调区间是（ ）
A．
π
π
π
, π
(
)
3
3
k
k
k
Z
B．
2
,
(
)
9
9
k
k
k
Z
C．
2
,
(
)
3
9
3
9
k
k
k
Z
D．
2
,
(
)
3
9
3
9
k
k
k
Z
2.
π
3tan 6
4
x
y
的单调递减区间为
.
3.若函数
tan(
)
y
x
在
,
4 4
上为严格减函数，则实数的取值范围是
．
4.函数
π
tan
3
4
y
x
的单调递减区间为
．
题型四：正切函数单调性的应用
1.已知函数
tan
y
x
在
,
2 2
内是减函数，则的取值范围为（ ）
A．
2,0
B．
1,0
C．
0,1
D．
1,2
2.已知函数
π
( )
tan(
)(
0)
3
f x
A
x
，若f x
（）在区间π
π
2
，
内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．
1
0 6
，
B．1 7
( , )
3 6
C．
1
1 7
(0, ]
[ , ]
6
3 6
D．
1
1 7
(0, )
( , )
6
3 6
3.已知函数
tan
y
x
在
,
2 2
上是严格减函数，则实数的取值范围是
．
4.若函数
tan
f x
x
在区间
π
π
,
3
2
a
a
上是增函数，则实数a 的取值范围是
．
题型五：正切函数图象的对称性
1.函数
1
π
( )
3tan 2
3
f x
x
的图象的对称中心为
.
2.函数
π
tan 2
7
f x
x
图象的对称中心可能是( )
A．π ,0
7
B．
π ,0
7
C．
π ,0
14
D．
π ,0
14
3.以点
π ,0 (
)
2
k
k
Z 为对称中心的函数是（ ）．
A．
sin
y
x
B．
cos
y
x
C．
tan
y
x
D．
| tan
|
y
x
4.已知函数
sin
0,0
π
f x
x
的最小正周期为2 π
3
，其图像的一个对称中心的坐标为
π ,0
4
，则曲线
tan
g x
x
的对称中心坐标为（ ）
A．
π
π ,0
3
12
k
，k Z
B．
π
π ,0
6
12
k
，k Z
C．
π
π ,0
3
12
k
，k Z
D．
π
π ,0
6
12
k
，k Z
5.（多选）下列坐标所表示的点是函数
π
tan 2
6
y
x
的图像的对称中心的是（ ）
A．
π ,0
12
B．π ,0
6
C．
5π ,0
12
D．π ,0
3
6.（多选）已知函数
π
tan
4
f x
x
，则下列叙述中，正确的是（ ）
A．函数
f x 的图象关于点
0
π
4 ,
对称
B．函数
f x 在
π π
,
4 4
上单调递增
C．函数
f x 的图象关于直线
π
2
x
对称
D．函数
y
f x
是偶函数
题型六：正切函数的周期性与奇偶性
1.函数
π
tan 5
3
x
y
的最小正周期为
．
2.函数
π
2tan 3
4
y
x
的最小正周期是（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．π
3.已知
( )
tan
sin
4
2
x
f x
a
b
x
（其中a
b
、为常数且
0
ab
），如果
3
5
f
，则
2010
(
)
3
f
的值为
（ ）
A．3
B．3
C．5
D．5
4.已知函数
5
tan
3
f x
x
x
，且
2
f
m
，则
f m （ ）
A．4
B．1
C．1
D．4
5.已知
2023sin
2024tan
1
f x
x
x
，
2
1
0
1
2
f
f
f
f
f
.
题型七：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题
1.函数
2
tan
2tan ,
,
6 4
y
x
x x
的值域为
．
2.若函数
π
tan 2
3
y
x
k
，
π
0, 6
x
的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为
.
3.函数
2
( )
tan
tan
2,
,
4 4
f x
x
x
x
的值域是
4.若函数
tan
4
y
x
在
,
3 3
上单调递减，且在
,
3 3
上的最大值为3 ，则
.
题型八：正切函数图象与性质的综合应用
1.画出函数
| tan
|
y
x
的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式| tan
| 1
x 的解集．
2.已知函数
π
tan
3
f x
x
，其中
0
.
(1)若
2
，求函数
f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；
(2)若
f x 在闭区间
0,π 上是严格增函数，求正实数的取值范围.
3.设函数
π
tan 2
3
x
f x
(1)求函数
( )
f x 的定义域、最小正周期．
(2)求不等式1
( )
3
f x
的解集．
4.已知函数
π
( )
tan
3
f x
x
，
0
．
(1)若
2
，求
f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若
f x 在
0,π 上是严格增函数，求的取值范围；
(3)若方程
3
f x
在
,a b 上至少存在2022 个根，且b－a 的最小值不小于2022，求的取值范围．
5.已知函数
3 tan
0
x
f x
．
（1）当
4
ω=
时，求
f x 的最小正周期及单调区间；
（2）若
3
f x 在
,
3 4
x
上恒成立，求的取值范围．
模块三：综合巩固
1.函数
π
tan 2
3
y
x
的定义域是（ ）
A．
5π
π ,
Z
12
2
k
x x
k
B．
5π
π,
Z
12
x x
k
k
C．
π
π ,
Z
3
2
k
x x
k
D．
π
π,
Z
3
x x
k
k
2.函数
π
tan 2
x
f x
的最小正周期是（ ）
A．2π
B．4π
C．2
D．4
3.函数
π
π
( )
tan 2
3
f x
x
的单调区间是（ ）
A．
5
1
2 ,
2
(
Z)
3
3
k
k
k
B．
5
1
2 ,
2
(
Z)
3
3
k
k
k
C．
5
1
4 ,
4
(
Z)
3
3
k
k
k
D．
5
1
4 ,
4
(
Z)
3
3
k
k
k
4.下列各式中正确的是（ ）
A．tan1
tan 2
B．tan 735
tan800
C．
5π
4π
tan
tan
7
7
D．
9π
π
tan
tan
8
7
5.函数
tan
sin
tan
sin
f x
x
x
x
x
|在区间（π
2 ，3π
2 ）内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.已知函数
f x 对任意xR 都有
2
f
x
f
x
，且函数
1
f x
的图象关于
1,0
对称，当
1,1
x
时，
tan
f x
x .则下列结论正确的是（ ）
A．函数
y
f x
的图象关于点
,0
k
k Z 对称
B．函数
y
f x
的图象关于直线
2
x
k k
Z 对称
C．函数
y
f x
的最小正周期为2
D．当
2,3
x
时，
tan
2
f x
x
7.函数
π
tan
0,
2
f x
x
的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π ，则
2023π
3
f
（ ）
A．
3
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
8.函数
π
3 tan 2
6
f x
x
m
在
π ,
12 n
上的最大值为3 ，最小值为1
，则mn （ ）
A．π
6
B．π
3
C．
π
6
D．
π
3
9.（多选）已知函数
π
tan 2
6
f x
x
，则（ ）
A．
π
3
2
3
f
B．
f x 的最小正周期为π
C．把
f x 向左平移π
6 可以得到函数
tan 2
g x
x
D．
f x 在
π ,0
6
上单调递增
10.（多选）已知函数
π
π
tan 2
3
f x
x
，则下列描述中正确的是（ ）．
A．函数
f x 的图象关于点
1 ,0
3
成中心对称
B．函数
f x 的最小正周期为2
C．函数
f x 的单调增区间为
5
1
4 ,
4
3
3
k
k
，k Z
D．函数
f x 的图象没有对称轴
11.已知
π
tan
3
4
，请写出一个满足条件的角
．
12.
tan
sin
1
f x
x
x
，若
2
2
f
，则
2
f
．
13．画出函数
1
π
2tan 2
4
y
x
在
[0,2π]
x
上的简图．
14．已知函数
π
2tan
0
8
f x
x
的最小正周期为π
2 ，
(1)求
f x 图象的对称中心；
(2)求不等式
2
f x 在
5π 3π
,
16 16
上的解集．
15．已知
( )
tan 2
3
f x
x
.
（1）求
( )
f x 的最小正周期；
（2）若
(
)
f x
是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足|
|
2
的值.
