5.10 导数中比大小问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：同构法比较大小常用八个函数............................................2
考点二：常见不等式放缩............................................................. 3
考点三：泰勒展开......................................................................4
题型四：帕德逼近......................................................................4
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：同构法比较大小............................................................. 5
题型二：放缩比大小................................................................. 10
题型三：取对数后比大小........................................................... 14
题型四：构造其它函数比大小......................................................16
题型五：反比例构造lnx＜
2(x−1)
x+1 型................................................19
题型六：零点构造法................................................................. 20
题型七：切、弦、指、对混合构造................................................22
题型八：泰勒展开公式比大小......................................................25
题型九：帕德逼近.................................................................... 25
题型十：一题多解.................................................................... 27
模块三：综合巩固....................................................................... 30
5.10 导数中比大小问题
模块一：基础知识
考点一：同构法比较大小常用八个函数
我们由,
,ln
x
x e
x 三个基本初等函数进行加减乘除组合，可以得到常用八个函数。对任一函数先求导，求
出函数单调区间与极值点，再描点画图，注意图形的渐近线.
函数
x
y
xe
x
x
y
e
图像
函数
ex
y
x
1
x
y
e
x
图像
函数
ln
y
x
x
ln x
y
x
图像
函数
ln
x
y
x
ln
1
y
x
x
图像
在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．)，则
可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式
恒成立问题、证明不等式等．
①指对各一边，参数是关键；
②常用八个“母函数”：
x
f x
x e
，
x
f x
e
x
……；
③凑同构，凑常数、x 、参数；
④复合函数比大小，利用单调性求参数范围．
八大函数中一些函数的证明或记忆方法：
1．
1
x
y
e
x
，对应不等式
1
xe
x
x
R
证明：设
( )
1
x
f x
e
x
，则
( )
1
x
f
x
e
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
1
(0)
0
x
f x
e
x
f
，即
1
xe
x
，当且仅当
0
x
时取等号，得证.
图形表示：如下1 图，
x
y
e
在(0,1)处的切线方程为
1
y
x
.
2．
ln
1
y
x
x
，对应不等式
ln
1
0
x
x
x
证明：设
( )
ln
1
f x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
f
x
x
x
，当0
1
x
时，
( )
0
f
x
，当
1
x 时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
(1)
0
f x
f
，即ln
1
x
x
，当且仅当
1
x 时取等号，得证．
图形表示：如上2 图，
ln
y
x
在(1,0) 处的切线方程为
1
y
x
．
考点二：常见不等式放缩
1.常见的指数放缩：
1(
0)
xe
x
x
；
1 ,
1
1
xe
x
x
，；
(
1)
xe
ex x
证明1：设
1
x
e
x
f
x
，所以
1
xe
x
f
，所以当
0,
x
时，
0
x
f
，所以
x
f
为减函
数，当当
,0
x
时，
0
x
f
，所以
x
f
为增函数，所以当
0
x
时，
x
f
取得最小值为
0
0
f
，
所以
0
x
f
，即
1
x
ex
证明2：对于
1
xe
x
，该不等式在R 上恒成立，若令x
x
，则有
1
1
1
x
x
e
x
x
e
，当
1
x
时，不等式两边同乘
1
xe
x
，则有
1
1
x
e
x
，
最后得出
1
1
,
1
1
x
x
e
x
x
，
2.常见的对数放缩：
)
(
ln
);
1
(1
ln
1
1
e
x
e
x
x
x
x
x
x
证明3：
1
ln
x
x
x
对于
1
ln
x
x
，令
1
x
x
，则有1
1
1
1
ln
ln
x
x
x
x
x
，可得
1
ln
x
x
x
.
3.常见三角函数的放缩：
x
x
x
x
tan
sin
,
2
,0
考点三：泰勒展开
2
(0)
(0)
( )
(0)
(0)
2!
!
n
f
f
f x
f
f
x
x
n
附：常用公式
（1）
2
3
1
1
1
x
x
x
x
（2）
2
3
1
1
1
x
x
x
x
（3）
2
3
1
1
2
1
6
xe
x
x
x
（4）
2
3
1
1
ln(1
)
2
3
x
x
x
x
（5）
3
tan
3
x
x
x
（6）
2
4
cos
1
2
24
x
x
x
（7）
3
sin
6
x
x
x
题型四：帕德逼近
2
2
6
12 ,( 2
2)
6
12
x
x
x
e
x
x
x
2
2
3
6
ln(1
)
,( 1
1)
6
6
x
x
x
x
x
x
2
2
3
3
ln( )
,(0
2)
4
1
x
x
x
x
x
2
1
1
1
1
1
1
,(
)
2
8
2
2
x
x
x
x
模块二：题型分类
题型一：同构法比较大小
1.已知
ln 2
2
a
，
1
e
b
，
ln5
5
c
，则以下不等式正确的是（
）
A．c
b
a
B．a
b
c
C．b
a
c
D．b
c
a
【答案】C
【分析】由于
1
ln e
e
e
b
，所以构造函数
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单
调性比较大小即可
【详解】
ln 2
2
a
，
1
ln e
e
e
b
，
ln5
5
c
，
令
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，则
2
1 ln
( )
x
f
x
x
，
当0
e
x
时，
( )
0
f
x
，当
e
x时，
( )
0
f
x
，
所以
( )
f x 在(0,e) 上递增，在(e
)
，
上递减，
因为2
e
5
，
所以
(2)
(e)
f
f
，
(e)
(5)
f
f
，
因为
ln 2
ln5
5ln 2
2ln5
ln32
ln 25
(2)
(5)
0
2
5
10
10
f
f
，
所以
(2)
(5)
f
f
，所以b
a
c
2.设
2
2(2 ln2)
a
e
，
ln2
2
b
，
1
c
e
，则（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．a
c
b
D．b
c
a
【答案】B
【分析】b 是函数
ln x
f
x
x
的结构，而c 可以变为
1
ln
( )
e
c
f e
e
e
，易知
ln 2
ln 4
(4)
2
4
b
f
，
故b
c
，而
2
2
2
2
2(2
ln 2)
ln
ln 2
2
2
e
e
a
f
e
e
，则故选B
3.
2
3(2
ln3)
1
ln3
,
,
3
a
b
c
e
e
，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．a
b
c
D．b
a
c
【答案】A
【分析】构造函数
ln
( )
x
f x
x
，应用导数研究其单调性，进而比较
2
(
)
3
e
a
f
，
( )
b
f e
，
(3)
c
f
的大小，
若
ln x
t
x
有两个解
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x
e
x
，
1
(0, )
t
e
，构造
2(
1)
( )
ln
(
1)
1
x
g x
x
x
x
，利用导数确定
( )
0
g x
，
进而得到
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，即可判断a、c 的大小，即可知正确选项.
【详解】令
ln
( )
x
f x
x
，则
2
2
2
ln 3
(
)
3
3
e
e
a
f
e
，
ln
( )
e
b
f e
e
，
ln3
(3)
3
c
f
，
而
2
1 ln
( )
x
f
x
x
且
0
x
，即0
x
e
时
( )
f x 单调增，x
e
时
( )
f x 单调减，又
2
1
3
3
e
e
，∴b
c
，b
a
.
若
ln x
t
x
有两个解
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x
e
x
，
1
(0, )
t
e
，即
2
1
2
1
ln
ln
x
x
t
x
x
，
1
2
1
2
ln x x
x
x
t
，
令
2(
1)
( )
ln
(
1)
1
x
g x
x
x
x
，则
2
2
(
1)
( )
0
(
1)
x
g x
x x
，即( )
g x 在(1,
)
上递增，
∴( )
(1)
0
g x
g
，即在(1,
)
上，
2(
1)
ln
1
x
x
x
，若
2
1
x
x
x
即
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，故
1
2
2
ln
t
t
x x
，有
2
1
2
x x
e
，
∴当
2
3
x
时，
2
1
3
e
e
x
，故
2
1
(
)
( )
(3)
3
e
f
f x
f
4.设
1
2
a
e
，
ln 2
b
，
2
4
ln 4
c
e
，则(
)
A. a
b
c
B. a
c
b
C. a
c
b
D.b
c
a
【答案】A
【解析】
法一：观察到
1
ln2
ln 2
ln2
2
2
b
，则考虑构造函数
ln
( )
x
f x
x
，
则
)
1 ln
1
ln
ln
2
2
2
(
f
e
e
e
a
e
e
e
e
e
，
2
4
2
2
2
2
2
2
ln
4
ln 4
ln
ln 4
2 ln
2 ln 2
2
(
)
2
2
e
e
e
e
c
f
e
e
e
e
故a
b
c
法二：令
ln
( )
2
x
f x
x
，则
( )
a
f e
，
(4)
b
f
，
4
4
e
c
f
，故
4
4
4
e
e
1
1
1
2
ln
2
ln
'( )
4
4
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
，故
( )
f x 在
2
0,e
上递增，即a
b
，
而
(4)
(16)
b
f
f
，故
4
4
e
c
f
b
5.设
ln 2
8
a
，
2
1
e
b
，
ln 6
12
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】B
【分析】根据a、b、c 算式特征构建函数
2
ln x
f x
x
，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c 的大小
关系.
【详解】令
2
ln x
f x
x
，则
4
2 ln
0
e
x
x
x
x
x
f
x
，
因此
2
ln x
f x
x
在[ e,
)
上单调递减，
又因为
ln 2
ln 4
(4)
8
16
a
f
，
2
2
ln e
1 =
(e)
e
e
b
f
，
ln 6
ln
6
( 6)
12
6
c
f
，
因为4
e
6
e
，所以a
b
c
．
6.设
ln1.01
a
，
1.01
b
，
0.01
e
c
，其中e 为自然对数的底数，则（
）
A．a
c
b
B．b
c
a
C．b
a
c
D． c
b
a
【答案】D
【分析】构造函数
( )
e
(
1)
x
f x
x
，利用导数讨论其单调性比较b，c；构造函数
( )
ln
g x
x
x
，利用导
数讨论其单调性比较a，b 即得.
【详解】令
( )
e
(
1)
x
f x
x
，则
( )
e
1
x
f
x
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增，
因此
0.01
(0.01)
e
1.01
(0)
0
f
f
，即
0.01
e
1.01
，
令( )
ln
g x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
g x
x
x
，当
1
x 时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递减，
因此
(1.01)
ln1.01 1.01
(1)
1
0
g
g
，即ln1.01
1.01
所以 c
b
a
.
故选：D
7．已知
1
2
2
a
，
1
3
3
b
，
1
ee
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c<a<b
D．a
c
b
【答案】A
【分析】先利用指数的运算与幂函数的性质判断得a
b
，再构造函数
ln x
f
x
x
，利用导数判断得b
c
，
从而得解.
【详解】因为
1
2
2
a
，
1
3
3
b
，所以
6
6
8
9
a
b
，则a
b
，
因为
ln 3
ln
3
b
，
1
ln e
ln
e
e
c
，
令
ln x
f
x
x
，则
2
1
ln x
f
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，得
0,e
x
；令
0
f
x
，得
e,
x
，
所以
f x 在
0,e 上单调递增，在
e,上单调递减，
所以
e
3
f
f
，则ln
ln
b
c
，所以b
c
，则a
b
c
．
故选：A.
8．已知, ,
(1,
)
a b c
，且e
9 ln11,e
10 ln10,e
11 ln 9
a
b
c
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．b
c
a
D．c
b
a
【答案】D
【分析】构造函数
e ,
1,
x
f
x
x
x
，利用导数讨论其单调性，将问题转化为比较
,
,
f a
f b
f c ，
再转化为比较9ln11,10ln10,11ln 9 ，构造函数
20
ln
g x
x
x
，利用导数讨论其单调性，利用单调性即
可得答案.
【详解】由题知，e
e
e
9ln11,
10ln10,
11ln 9
a
b
c
a
b
c
，
记
e ,
1,
x
f
x
x
x
，则
2
1 ex
x
f
x
x
，
当
1,
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
故比较, ,
a b c 的大小关系，只需比较
,
,
f a
f b
f c 的大小关系，
即比较9ln11,10ln10,11ln 9 的大小关系，
记
20
ln ,
1
g x
x
x x
，则
20
ln
1
g
x
x
x
，
记
20
ln
1
h x
x
x
，则
2
1
20
0
h x
x
x
，
所以
h x 在
1,上单调递减，
又
2
20
3
3
8
ln8
1
ln8
ln e
0
8
2
2
h
，
所以，当
8,
x
时，
0
h x
，
g x 单调递减，
所以
11
10
9
g
g
g
，即9ln11
10ln10
11ln 9
，
所以
f a
f b
f c
，所以a
b
c
.
故选：D
【点睛】本题难点在于构造函数
e ,
1,
x
f
x
x
x
，将问题转化成比较
,
,
f a
f b
f c 的大小关系后，
需要再次构造函数
20
ln ,
1
g x
x
x x
，对学生观察问题和分析问题的能力有很高的要求，属于难题.
9．已知
2e
ln 3
a
，
e 1
e
b
，
3e
2ln 2
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．< <
b c a
【答案】C
【分析】函数
1
e
,
1
ln
x
f
x
x
x
，则
3 ,
e ,
4
a
f
b
f
c
f
，确定函数
f x 的单调性，通过单调性可
确定大小.
【详解】把a，b，c 变形得
3 1
e
ln 3
a
，
e 1
e
ln e
b
，
4 1
e
ln 4
c
，
所以构造函数
1
e
,
1
ln
x
f
x
x
x
，则
3 ,
e ,
4
a
f
b
f
c
f
.
1
1
1
2
2
1
1
e
ln
e
ln
e
,
1
ln
ln
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
，
令
1
ln
g x
x
x
，则
2
1
1
0
g
x
x
x
在
1,上恒成立，
所以
g x 在区间
1,上单调递增，因为
1
1
e
lne
1
0
e
e
g
，
所以
( )
0
f
x
¢
>
在
e,上恒成立，
所以函数
1
e
ln
x
f
x
x
在
e,上单调递增，
所以
e
3
4
f
f
f
，即b
a
c
.
故选：C.
10．已知
5
ln 6
x
，
24
4
ln
25
5
y
，
1
6
z
，则（
）
A．y
x
z
B．y
z
x
C．z
x
y
D．x
y
z
【答案】A
【分析】设函数
ln
f
x
x
x
，利用函数单调性，比较x ，y 的大小，再结合ln
1
x
x
，比较x ，z 的大
小.
【详解】设
ln
f
x
x
x
（
0
x
），则
ln
1
0
f
x
x
1
e
x
，所以函数
f x 在1 ,
e
上为增函数.
又1
4
5
e
5
6
所以
4
5
5
6
f
f
即24
4
5
ln
ln
25
5
6
x
y
；
设
ln
1
g x
x
x
，则
1
1
1
0
x
g
x
x
x
0
1
x
，故
g x 在
0,1 上递增，在
1,上递减.
所以
1
0
g x
g
，故ln
1
0
x
x
ln
1
x
x
（当
1
x 时取“ ”）
所以
5
5
1
ln
1
6
6
6
，即x
z
.
故选：A
【点睛】构造函数
ln
f
x
x
x
，利用单调性毕大小，和
ln
1
g x
x
x
的值域的应用是难点.
11.设
15ln13
a
，
14ln14
b
，
13ln15
c
，则（
）
A．a
c
b
B．c
b
a
C．b
a
c
D．a
b
c
【答案】D
【分析】构造函数
14
ln 14
f x
x
x
，利用函数
f
x 的导数讨论函数
f
x 的单调性.
【详解】令
14
ln 14
f x
x
x
，
11
x，，
则
14
13
=ln 14
ln15
0
14
15
x
f
x
x
x
，
所以
14
ln 14
f x
x
x
在
11
，上单调递增，
所以
1
0
1
f
f
f
，即13ln15 14ln14
15ln13
，
所以，a
b
c
故选：D
12.已知
1
, ,
,
e
a b c
，且ln5
5lna
a
，ln3
3lnb
b
，ln2
2lnc
c
，则（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】A
【分析】构造函数
( )
ln
f x
x
x
，根据单调性即可确定, ,
a b c 的大小.
【详解】设函数
( )
ln
f x
x
x
，
( )
1 ln
f
x
x
，当
1 ,
,
( )
0
e
x
f
x
，此时
( )
f x 单调递增，当
1
0,
,
( )
0
e
x
f
x
，此时
( )
f x 单调递减，由题ln5
5lna
a
，ln3
3lnb
b
，ln2
2lnc
c
，得
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
ln
, ln
ln
, ln
ln
ln
5
5
3
3
2
2
4
4
a
a
b
b
c
c
，因为1
1
1
1
5
4
3
e
，所以1
1
1
1
1
1
ln
ln
ln
5
5
4
4
3
3
，则
ln
ln
ln
a
a
c
c
b
b
，且
1
, ,
,
e
a b c
，所以a
c
b
.
题型二：放缩比大小
1. 已知
0.2
1,
ln1.2,
tan 0.2
e
a
b
c
，其中e
2.71828
为自然对数的底数，则（
）
A. c
a
b
B. a
c
b
C. b
a
c
D. a
b
c
【答案】B
结合不等式
1
tan
ln
1
x
e
x
x
x
，
(0,1)
x
观察
0.2
1,
ln1.2,
tan 0.2
e
a
b
c
，发现都含有0.2 ，把0.2 换成x ，
自变量在(0,1)内，可以得出, ,
a b c 的大小，故a
c
b
.
2.已知
6 ln1.2
5
a
，
0.2
0.2 e
b
，
1
3
c
，则（
）
A. a
b
c
B. c
b
a
C. c
a
b
D. a
c
b
【答案】A
6
6
1
6
ln1.2
5
5
5
25
a
，
0.2
1
6
6
5
5
e
5
0.2
2
b
3.已知
0.05
a
e
，
ln1.1
1
2
b
，
1.1
c
则(
)
.
> >
A a
b
c
>
.
>
B c b a
.
C b
a
c
>
.
>
D a
c
b
【答案】D
ln1.1
1
1
ln1.1 1
1.05
2
2
b
，
0.05
1 0.05 1.05
a
e
，故
>
a
b
2
0.1
1.1
a
e
，
2
1.1
c
，故
>
>
a
c
b
观察
0.2
1,
ln1.2,
tan 0.2
e
a
b
c
，发现都含有0.2 ，把0.2 换成x ，
自变量在(0,1)内，可以得出, ,
a b c 的大小，故a
c
b
.
4.设
1
5
a
，
1
1
2ln sin
cos
10
10
b
，
6
6
ln
5
5
c
则a，b，c 的大小关系是_________.
思路一：放缩
由
6
6
6 1
6
1
ln(
1)
ln
1
5
5
5 5
5
5
x
x
c
x
，故a
c
，
对于b
a
法一：∵sin
cos
sin
1
1
x
x
x
x
x
e
∴
1
10
1
1
2ln sin
cos
2ln
10
10
5
b
e
法二：
2
1
1
1
1
1
1
1
2ln sin
cos
ln sin
cos
ln 1
sin
ln 1
10
10
10
10
5
5
5
b
5.设
ln 1.1
a
，
0.1 1
b
e
，
tan 0.1
c
，
0.4
d
，则(
)
A．a＜b＜c＜d
B．a＜c＜b＜d
C．a＜b＜d＜c
D．a＜c＜d＜b
【答案】B
思路一：放缩
由不等式
1
tan
ln
1
x
e
x
x
x
，
(0,1)
x
可得a＜c＜b
而
1
1
x
x
e
x
e
x
，即
1
1
,
1
1
x
x
e
x
e
x
，即
1
1
x
x
e
x
当x=0.1 时，
0.1
0.1
1
1
10
1
0.9
9
xe
e
e
x
，
.
1
4
0
1.12
9
0
0.4
3.15
，故a＜c＜b＜d
【补充】——当x<1 时，有
1
1
xe
x
，故
1
tan
ln
1
1
x
x
e
x
x
x
x
思路二：泰勒展开
2
0.1
0.005
0.995
1
ln(1
)
2
x
x
x
2
1
1
1
20
1
2
0
xe
x
x
3
1
tan
1
3
3000
x
x
x
0.4
0.4
1.27
3.15
d
故a＜c＜b＜d
6.已知
1
1
1
1013
1013
2ln sin
cos
,
,
ln
2024
2024
1012
1012
1012
a
b
c
，则下列正确的是（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．c
b
a
D．b
a
c
【答案】C
【分析】构建
1 ln ,
0
f x
x
x x
，
sin ,
0
g x
x
x x
，利用导数判断其单调性，进而可得
sin
ln 1 sin
,
0,1
x
x
x
x
，
1
ln
, 0
1
1
x
x
x
，赋值即可代入判断即可.
【详解】因为
2
1
1
1
ln sin
cos
ln 1
sin
2024
2024
1012
a
，
构建
1 ln ,
0
f x
x
x x
，则
1
1
1
,
0
x
f
x
x
x
x
，
令
( )
0
f x
，解得
1
x
；令
0
f
x
，解得0
1
x
；
则
f x 在
0,1 上单调递减，在
1,上单调递增，可得
1
0
f x
f
，
所以
1
ln ,
0,
x
x x
，当且仅当
1
x
时，等号成立，
可得
ln
1 ,
1,
x
x
x
，当且仅当
0
x
时是，等号成立，
令
sin ,
0
g x
x
x x
，则
1 cos
0
g x
x
在
0,
上恒成立，
则
g x 在
0,
上单调递增，可得
0
0
g x
g
，
所以
sin ,
0,
x
x x
，
可得：当
0,1
x
时，则
sin
x
x
，且
sin
0,1
x
，
所以
sin
ln 1 sin
,
0,1
x
x
x
x
，
令
1
1012
x
，则
1
1
ln 1 sin
1012
1012
，即b
a
；
又因为
1
ln ,
0,1
x
x x
，则
1
1
1 ln
ln ,
1,
x x
x
x
，
可得
1
ln
1
,
1,
x
x
x
，则
1
ln
, 0
1
1
x
x
x
，
令
1
1013
x
，则
1013
1
ln 1012
1013
，可得1013
1013
1
ln
1012
1012
1012
，即c
b
；
综上所述：c
b
a
7.已知
0.05
a
e
，
ln1.1
1
2
b
，
1.1
c
则(
)
.
> >
A a
b
c
>
.
>
B c b a
.
C b
a
c
>
.
>
D a
c
b
【答案】D
ln1.1
1
1
ln1.1 1
1.05
2
2
b
，
0.05
1 0.05 1.05
a
e
，故
>
a
b
2
0.1
1.1
a
e
，
2
1.1
c
，故
>
>
a
c
b
8.设
ln 1.1
a
，
0.1 1
b
e
，
tan 0.1
c
，
0.4
d
，则(
)
A．a＜b＜c＜d
B．a＜c＜b＜d
C．a＜b＜d＜c
D．a＜c＜d＜b
【答案】B
【分析】
由不等式
1
tan
ln
1
x
e
x
x
x
，
(0,1)
x
可得a＜c＜b
而
1
1
x
x
e
x
e
x
，即
1
1
,
1
1
x
x
e
x
e
x
，即
1
1
x
x
e
x
当x=0.1 时，
0.1
0.1
1
1
10
1
0.9
9
xe
e
e
x
，
.
1
4
0
1.12
9
0
0.4
3.15
，故a＜c＜b＜d
9.已知
sin1 1
e
,
sin1,
cos1
a
b
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．c
b
a
D．c<a<b
【答案】C
【分析】构造函数
e
1
x
f x
x
，利用导数证明e
1
0
x
x
，进而比较
,
a b 大小，再根据正余弦函数性
质比较b
c
大小即可得答案.
【详解】解：当
5
,
,sin
cos
4
4
x
x
x
，又
5
1
,
4 4
，所以sin1
cos1
，故b
c
记
e
1
x
f x
x
，所以
e
1
x
f
x
，
令
0
f
x
，得
0
x
，令
( )
0
f x
，得
0
x
，
所以
f x 在
,0
单调递减，在
0,
单调递增.
所以
0
0
f x
f
，即e
1
0
x
x
，当
0
x
时取等号.
所以
sin1 1
e
sin1 1
1
sin1
a
b
，所以c
b
a
.
题型三：取对数后比大小
1.若
1
1
3
5
3
,
5
,
2
a
b
c
，则（
）
A．c
b
a
B．c
a
b
C．b
c
a
D．a
b
c
【答案】C
【分析】对a、b、c 同时取自然对数可得
ln3
ln5
ln 4
ln
ln
ln
3
5
4
a
b
c
，
，
，构造函数
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，利
用导数研究函数的单调性，结合对数函数
ln
y
x
的单调性即可求解.
【详解】对a、b、c 同时取自然对数，
得
1
1
1
3
5
4
ln
ln3
ln
ln5
ln
ln2
ln4
a
b
c
，
，
，
即
ln3
ln5
ln 4
ln
ln
ln
3
5
4
a
b
c
，
，
，
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
构造函数
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，则
1
ln
1
2
ln
2
( )
2
x
x
x
f
x
x
x
x
，
当
2
0
e
x
时，
( )
0
f
x
，则
( )
f
x 在
2
0,e
上单调递增，
所以
(3)
(4)
(5)
f
f
f
，即ln3
ln 4
ln5
3
4
5
，
所以ln
ln
ln
a
c
b
，又函数
ln
y
x
在(0,
)
上单调递增，
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
故a
c
b
2.已知
8
7
6
6 ,
7 ,
8
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A. b
c
a
B. c
b
a
C. a
c
b
D. a
b
c
【答案】D
【分析】根据式子结构构造函数
14
ln
f
x
x
x
，利用导数判断出
f
x 在
6,上单调递减，得
到8ln6
7ln7
6ln8
，进而得到
8
7
6
6
7
8
，即可得到答案.
【详解】令
14
ln
f
x
x
x
,则
14
ln
1
f
x
x
x
.
因为
ln
y
x
在
0,
上单调递减，
14
1
y
x
在
0,
上单调递减，
所以
14
ln
1
f
x
x
x
在
0,
上单调递减.
而
14
14
5
ln5
1
0,
6
ln6
1
0,
5
6
f
f
所以在
6,上有
0
f
x
.
所以
14
ln
f x
x
x
在
6,上单调递减.
所以
6
7
8
f
f
f
，即8ln6
7ln7
6ln8
故
8
7
6
6
7
8
.故a
b
c
.
3.已知实数
, ,
0,
a b c
e
，且
3
3a
a
，
4
4b
b
，
5
5c
c
，则（
）
A．c
b
a
B．b
c
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】A
【分析】将已知的等式两边取对数可得ln3
ln
3
a
a
，ln 4
ln
4
b
b
，ln5
ln
5
c
c
.设函数
ln x
f x
x
，求导，分
析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．
【详解】由
3
3a
a
，
4
4b
b
，
5
5c
c
得ln3
3ln
a
a
，ln4
4ln
b
b
，ln5
5ln
c
c
，因此ln3
ln
3
a
a
，ln 4
ln
4
b
b
，
ln5
ln
5
c
c
.
设函数
ln x
f x
x
，则
3
f
f a
，
4
f
f b
，
5
f
f c
，
2
1 ln x
f
x
x
，令
0
f
x
，得x
e
，所以
f x 在
0,e 上单调递增，在
,e 上单调递减，
所以
3
4
5
f
f
f
，即
f
a
f b
f c
，又
, ,
0,
a b c
e
，
所以a
b
c
4.已知
ln7
2
a
，
ln6
3
b
，
ln5
4
c
，则（
）
A．b
c
a
B．a
b
c
C．b
a
c
D．a
c
b
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
【答案】B
【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数
ln
ln 9
f x
x
x
(2
4
x
)，借助导数
判断单调性即可作答.
【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln
ln2 ln7
a
，ln
ln3 ln6
b
，ln
ln4 ln5
c
，
令
ln
ln 9
f x
x
x
(2
4
x
)，
ln 9
x
f
x
x
9
ln 9
ln
ln
9
9
x
x
x
x
x
x
x
x
，
令( )
ln ,
1
g x
x
x x
，
( )
ln
1
0
g x
x
，即( )
ln
g x
x
x
在(1,
)
上单调递增，
由2
4
x
得，9
5
1
x
x
，于是得
9
ln 9
ln
x
x
x
x
，又
9
0
x
x
，
因此，
0
f
x
，即
f x 在
2,4 上单调递增，从而得
2
3
4
f
f
f
，
即ln2ln7
ln3ln6
ln4ln5
，ln
ln
ln
a
b
c
，所以a
b
c
.
5.已知
10
11
9
10
9
11
a
b
c
，
，
，则, ,
a b c的大小关系为（
）
A．c
a
b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．c
b
a
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
【答案】A
【分析】先构造函数
( )
20
ln
9
f x
x
x x
，求导确定函数单调性，即可判断, ,
a b c 的大小.
【详解】令
( )
20
ln
9
f x
x
x x
，则
1
20
( )
ln
20
ln
1
f
x
x
x
x
x
x
，
显然当
9
x
时，
( )
f
x 是减函数且
20
(9)
ln9
1
0
9
f
，故
( )
f x 是减函数，
(9)
(10)
(11)
f
f
f
，即
11
10
9
11ln9
10ln10
9ln11,ln9
ln10
ln11
，
可得
11
10
9
9
10
11
，即c
a
b
.
6.已知
10
8
a
，
99
b
，
8
10
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】D
【分析】构造函数
18
ln
f x
x
x
，
8
x
，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.
【详解】构造
18
ln
f x
x
x
，
8
x
，
18
ln
1
f
x
x
x
，
18
ln
1
f
x
x
x
在
8,时为减函数，且
2
9
5
5
5
8
ln8
1
ln8
lne
2
0
4
4
4
4
f
，
所以
18
ln
1
0
f
x
x
x
在
8,恒成立，故
18
ln
f x
x
x
在
8,上单调递减，
所以
8
9
10
f
f
f
，即10ln8
9ln9
8ln10
，所以
10
9
8
8
9
10
，即a
b
c
.
题型四：构造其它函数比大小
1.设正实数a，b，c，满足
2
ln
2
a
c
e
b
b
ce
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
a
c
【答案】B
【分析】
通过构造函数
( )
(
0)
x
f x
xe x
，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得
c
b
e
，得,b c
的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.
【详解】
设
( )
(
0)
x
f x
xe x
，
0
x
时，
1
0
x
f
x
x
e
恒成立，
( )
f x 在(0,
)
单调递增，
1 ,1
2
x
时，
( )
,
2
e
f x
e
，而
2
2
e
，所以
1,1
2
c
，
ln
ln
ln
b
c
b
b
b e
ce
，故lnb
c
，即
(
, )
c
b
e
e e
，而
ln2
1
2
2
a
，所以a
c
b
．故选：B
2.若
2
4
2
log
4
2log
a
b
a
b
，则（
）
A．
2
a
b
B．
2
a
b
C．
2
a
b
D．
2
a
b
【答案】B
【分析】设
2
( )
2
log
x
f
x
x
，利用作差法结合
( )
f
x 的单调性即可得到答案.
【详解】设
2
( )
2
log
x
f
x
x
，则
( )
f
x 为增函数，因为
2
2
4
2
2
log
4
2log
2
log
a
b
b
a
b
b
所以
( )
(2 )
f a
f
b
2
2
2
2
log
(2
log 2 )
a
b
a
b
2
2
2
2
2
log
(2
log 2 )
b
b
b
b
2
1
log
1 0
2
，
所以
( )
(2 )
f a
f
b
，所以
2
a
b
.
2
( )
( )
f a
f b
2
2
2
2
2
log
(2
log
)
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
log
(2
log
)
b
b
b
b
2
2
2
2
2
log
b
b
b
，
当
1
b
时，
2
( )
(
)
2
0
f a
f b
，此时
2
( )
(
)
f a
f b
，有
2
a
b
当
2
b
时，
2
( )
(
)
1 0
f a
f b
，此时
2
( )
(
)
f a
f b
，有
2
a
b
，所以C、D 错误.
3.已知9
10,
10
11,
8
9
m
m
m
a
b
，则（
）
A．
0
a
b
B．
0
a
b
C．
0
b
a
D．
0
b
a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
9
log 10 1
m
，再利用基本不等式，换底公
式可得
lg 11
m
，
8
log 9
m
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由9
10
m
可得
9
lg10
log 10
1
lg9
m
，而
2
2
2
lg 9
lg11
lg 99
lg 9 lg11
1
lg10
2
2
，所以lg10
lg11
lg9
lg10
，
即
lg 11
m
，所以
lg11
10
11
10
11
0
m
a
.
又
2
2
2
lg 8
lg10
lg 80
lg 8 lg10
lg 9
2
2
，所以lg9
lg10
lg8
lg9
，即
8
log 9
m
，
所以
8
log 9
8
9
8
9
0
m
b
.综上，
0
a
b
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9
10
m
，可得
9
log 10 (1,1.5)
m
．
根据
,
a b 的形式构造函数( )
1(
1)
m
f x
x
x
x
，则
1
( )
1
m
f x
mx
，
令
( )
0
f
x
，解得
1
1
0
m
x
m
，由
9
log 10 (1,1.5)
m
知
0
(0,1)
x
.
( )
f
x
在(1,
)
上单调递增，所以
(10)
(8)
f
f
，即a
b
，
又因为
9
log 10
(9)
9
10
0
f
，所以
0
a
b
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
,
a b 的形式构造函数( )
1(
1)
m
f x
x
x
x
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是
该题的最优解．
4.设
2ln1.01
a
，
ln1.02
b
，
1.04
1
c
．则（
）
A．a
b
c
B．b<c<a
C．b
a
c
D．c<a<b
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，
将0.01 换成x,分别构造函数
2ln 1
1
4
1
f
x
x
x
,
ln 1
2
1
4
1
g x
x
x
，利用导数分析其
在0 的右侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
2ln1.01
a
2
ln 1.01
2
ln 1
0.01
2
ln 1
2
0.01
0.01
ln1.02
b
，
所以b
a
；
下面比较c与
,
a b 的大小关系.
记
2ln 1
1
4
1
f
x
x
x
，则
0
0
f
，
2
1
4
1
2
2
1
1
4
1
1
4
x
x
f
x
x
x
x
x
，
由于
2
2
1
4
1
2
2
x
x
x
x
x
x
所以当0<x<2 时，
2
1
4
1
0
x
x
，即
1
4
1
x
x
，
( ) 0
f
x
¢
>
，
所以
f x 在
0,2 上单调递增，
所以
0.01
0
0
f
f
，即2ln1.01
1.04 1
，即a c
；
令
ln 1
2
1
4
1
g x
x
x
，则
0
0
g
，
2
1 4
1 2
2
2
1 2
1 4
1
1 4
x
x
g x
x
x
x
x
，
由于
2
2
1
4
1
2
4
x
x
x
，在x>0 时，
2
1
4
1
2
0
x
x
，
所以
0
g
x
，即函数
g x 在[0，+∞)上单调递减，所以
0.01
0
0
g
g
，即ln1.02
1.04 1
，即b<c；
综上，b<c<a，
故选：B.
[方法二]：
令
2 1
ln
1(
1)
2
x
f x
x
x
2
2
1
-
0
1
x
f
x
x
，即函数
( )
f
x 在（1，+∞)上单调递减
1 0.04
1
0,
f
f
b
c
令
2
3
2ln
1(1
3)
4
x
g x
x
x
2
1 3
0
3
x
x
g
x
x
，即函数
( )
g x 在（1，3)上单调递增
1
0.04
1
0,
g
g
a
c
综上，b<c<a
题型五：反比例构造���＜
�(�−�)
�+�型
1.设
1.1
e
2 7
a
，
1.4 1
b
，
2ln1.1
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a 利用基本不等式判断b 的范围，构造新函数并利用
导数讨论函数的单调性求出c 的范围，进而得出结果.
【详解】由
3e
28
，得
3e
28
，即
3
2
e
2 7
，所以
3
1.1
1.5
2
e
<e
e
，
所以
1.1
e <2 7 ，则
1.1
e
2 7
0
，即
0
a
；由
1.4
1.2
1.4
1.2
1.4
1
1.2
1
1
0.184
1.2
2
，即
0.184
b
；设
2(
1)
( )
ln
(
0)
1
x
f x
x
x
x
，则
2
2
2
1
4
(
1)
( )
0
(
1)
(
1)
x
f
x
x
x
x x
，所以
( )
f x 在(0,
)
上单调递增，且
(1)
0
f
，
所以当
(1,
)
x
时
( )
0
f x
，即
2(
1)
ln
1
x
x
x
，当
(0,1)
x
时
( )
0
f x
，即
2(
1)
ln
1
x
x
x
，
又1.1 1
，则
2 1.1 1
ln1.1
0.095
1.1 1
，所以
2ln1.1
0.19
c
，即
0.19
c
，
综上，a
b
c
.故选：A
2.若
0.2
e
a
，
1.2
b
，
ln 3.2
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
b
a
【答案】B
【分析】构造函数
e
1
0
x
f x
x
x
，利用导数可得
0.2
e
1.2
b
a
，进而可得
1.2
e
3.2
，可得a
c
，
再利用函数
2
1
ln
1
x
g x
x
x
，可得ln3.2
1.1
，即得.
【详解】令
e
1
0
x
f x
x
x
，则
e
1
0
x
f
x
，
∴
f x 在
0,
上单调递增，
∴
0.2
0.2 1 1.2
1.2
e
a
b
，
0.2
1.2
1.
e
ln
2
e
a
，
ln 3.2
c
，
∵
6
5
5
1.2
6
2.7
387.4, 3.2
335.5
e
e
，
∴
1.2
e
3.2
，故a
c
，
设
2
1
ln
1
x
g x
x
x
，则
2
2
2
2
1
2
1
1
0
1
1
x
x
x
g
x
x
x
x x
，
所以函数在
0,
上单调递增，
由1
0
g
，所以
1
x 时，
0
g x
，即
2
1
ln
1
x
x
x
，
∴
2 2 1
2 1.6 1
5
5
ln3.2
ln 2
ln1.6
1
1
1.1
2 1
1.6 1
39
50
，
又1
1.2
1.21,1
1.2
1.1
b
，∴
1.1
c
b
，故a
c
b
.
故选：B.
3.设
2
4(2
ln 4)
e
a
，
1
e
b
，
ln 4
4
c
，则a ，b ，c的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．a
b
c
D．b
a
c
【答案】A
【分析】根据a、b、c 的结构，构造函数
ln x
f x
x
，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c 的大小，
得到正确答案.
【详解】因为
2
2
2
ln
4(2
ln 4)
4
e
4
e
a
e
，
1
lne
b
e
e
，
ln 4
4
c
构造函数
ln x
f x
x
，
则
2
1 ln x
f
x
x
，
2
4
e
a
f
，
( )
b
f e
，
4
c
f
，
( )
f x 在(0, )e 上递增，在( ,
)
e 上递减.则有
( )
b
f e
最大，即a
b
，c
b
.若
ln x
t
x
有两个解，则
1
2
1
1
,
0,
x
e
x t
e
，所以
1
1
2
2
ln
,ln
,
x
tx
x
tx
所以
1
2
1
2
ln
ln
,
x
x
tx
tx
1
2
1
2
ln
ln
,
x
x
tx
tx
即
2
1
2
1
ln
ln
x
x
t
x
x
,
1
2
1
2
ln
,
x x
t x
x
令
2
1
ln
1
1
x
g x
x
x
x
，则
2
1
0
1
x
x x
x
g
，故
g x 在
1,上单增,所以
1
0
g x
g
，
即在
1,上，
2
1
ln
1
x
x
x
.若
2
1
x
x
x
，则有
2
1
2
2
1
1
2
1
ln
1
x
x
x
x
x
x
，即
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
.
故
1
2
2
ln
t
t
x x
，所以
2
1
2
x x
e
.当
2
4
x
时，有
2
1
4
e
x
e
，故
2
1
4
4
e
f
f
x
f
所以a
c
.综上所述：a
c
b
.
故选：A
题型六：零点构造法
1.设
ln1.1
a
，
0.1
e
1
b
，
tan0.1
c
，
0.4
d
，则（
）
A．a
b
c
d
B．a
c
b
d
C．a
b
d
c
D．a
c
d
b
【答案】B
【分析】观察4 个数易得均与0.1 有关，故考虑
ln
1
a x
x
，
e
1
x
b x
，
tan
c x
x
，
4
d x
x
在
0.1
x
时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0 的大小关系即可.
【详解】设
ln
1
a x
x
，
e
1
x
b x
，
tan
c x
x
，
4
d x
x
，易得
0
0
0
0
a
b
c
d
.
设
4
e
1
x
y
d x
b x
x
，则令
0
e
4
x
y
有
4
ln
x
，故
y
d x
b x
在
4
,ln
上单调递增.
①因为
10
10
10
5
5
5
4
4
5
25
24
3
e
3.2
4
16
16
2
，即
10
4
e
，故
4
10ln
1
，即
4
ln
0.1
，故
0.1
0.1
0
0
0
d
b
d
b
，即d
b
.
②设
e
1 tan
x
y
b x
c
x
x
，则
2
2
2
e
1
cos
1
c
e
os
cos
x
x
y
x
x
x
，设
2
cos
e
1
x
f x
x
，则
2
2
cos
2si
e
e
n
sin
2sin
1
x
x
x
x
f
x
x
x
.
设
sin
g x
x
x
，则
1 cos
0
g x
x
，故
sin
g x
x
x
为增函数，故
0
0
g x
g
，即
sin
x
x
.
故
2
2
2
1
e
e
1
2
x
x
x
x
x
f
x
，当
0,0.1
x
时
0
f
x
，
2
cos
e
1
x
f x
x
为增函数，故
0
2
cos 0 1
e
0
f x
，故当
0,0.1
x
时
y
b x
c x
为增函数，故
0.1
0.1
0
0
0
b
c
b
c
，故
b
c
.
③设
tan
ln
1
y
c x
a x
x
x
，
2
2
2
1
sin
cos
co
1
1
1
s
x
x
y
x
x
x
x
，易得当
0,0.1
x
时
0
y
，故
0.1
0.1
0
0
0
c
a
c
a
，即c
a
.
综上d
b
c
a
故选：B
2.已知
1x ＝
1
ln 2
，
2x ＝
1
2
e
，
3x 满足
3
3
ln
x
e
x
，则下列各选项正确的是
A．
1
3
2
x
x
x
B．
1
2
3
x
x
x
C．
2
1
3
x
x
x
D．
3
1
2
x
x
x
【答案】B
【详解】因为函数
ln
y
x
在
0,
上单调递增，所以
1
1
ln
ln1
0
2
x
；
1
2
2
1
2
1
1
0
1
e
x
e
e
e
e
；因为
3x 满足
3
3
ln
x
e
x
，即
3x 是方程1
ln
0
x
x
e
的实数根，所以
3x 是
函数
1
ln
x
f x
x
e
的零点，函数f(x)在定义域内是减函数，因为
1
1
f
e
，
1
1
0
e
f e
e
，所
以函数有唯一零点，即
3
1,
x
e
.所以
1
2
3
x
x
x
.
题型七：切、弦、指、对混合构造
1.已知
0.2
1,
ln1.2,
tan0.2
e
a
b
c
，其中e
2.71828
为自然对数的底数，则（
）
A．c
a
b
B．a
c
b
C．b
a
c
D．a
b
c
【答案】B
【分析】观察
0.2
1,
ln1.2,
tan0.2
e
a
b
c
，发现都含有0.2 ，把0.2 换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围
内构造函数，利用导数证明其单调性，比较, ,
a b c 的大小.
【详解】令
cos
cos
sin
( )
1 tan
cos
e
e
x
x
x
x
x
f x
x
x
，0
4
x
，
令( )
cos
cos
sin
ex
g x
x
x
x
，
( )
( sin
cos )
sin
cos
(
1) (cos
sin )
e
e
x
x
g x
x
x
x
x
x
x
，
当0
4
x
时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递增，
又(0)
1 1
0
g
，所以
( )
0
g x
，又cos
0
x
，
所以
( )
0
f x
，在(0,
)
4
成立，所以
(0.2)
0
f
即a
c
，
令( )
ln(
1)
h x
x
x
，
1
( )
1
1
1
x
h x
x
x
，( )
h x 在
(0,
)
2
x
为减函数，所以( )
(0)
0
h x
h
，即ln(
1)
x
x
，
令
( )
tan
m x
x
x
，
2
1
( )
1
cos
m x
x
，
( )
m x 在
(0,
)
2
x
为减函数，所以
( )
(0)
0
m x
m
，即
tan
x
x
，
所以ln(
1)
tan
x
x
x
，
(0,
)
2
x
成立，
令
0.2
x
，则上式变为ln(0.2 1)
0.2
tan0.2
，所以
0.2
b
c
所以b
c
，
所以b
c
a
.
故答案为：B.
2.设
0.02
e
1
a
，
0.01
2 e
1
b
，
sin0.01 tan0.01
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
c
a
【答案】A
【详解】因为
2
0.02
0.01
0.01
e
2e
1
e
1
0
a
b
，所以a
b
．
设
( )
2 e
1
sin
tan
x
f x
x
x
，则
( )
f
x
2
1
2e
cos
cos
x
x
x
，令( )
( )
g x
f x
，则
3
2sin
( )
2e
sin
cos
x
x
g x
x
x
．
当
π
0, 6
x
时，2e
2
x
，sin
0
x ，
3
3
π
2sin
2sin
8 3
6
2
π
cos
9
cos 6
x
x
，所以
( )
0
g x
，所以当
π
0, 6
x
时，
( )
(0)
0
f
x
f
，
所以
f x 在
π
0, 6
x
上单调递
3.已知0
π
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（
）
A．
co
co
s
0
s x
y
B．cos
cos
0
x
y
C．cos
sin
x
y
D．sin
sin
x
y
【答案】B
【分析】构造
sin
ex
x
f x
，0
π
x
，求导研究其单调性，判断出D 选项，利用同角三角函数关系得到
AB 选项，构造差函数，得到
π
2
x
y
，从而判断出C 选项.
【详解】构造
sin
ex
x
f x
，0
π
x
，则
sin
0
ex
x
f x
恒成立，则
cos
sin
ex
x
x
f
x
，
当
π
0
4
x
时，cos
sin
x
x
，
cos
sin
0
ex
x
x
f
x
，
当π
π
4
x
时，cos
sin
x
x
，
cos
sin
0
ex
x
x
f
x
所以
sin
ex
x
f x
在
π
0, 4
单调递增，在π ,π
4
单调递减，因为0
π
x
y
，所以
π
0
π
4
x
y
，
0
e
e
x
y
，
又sin
sin
0
e
e
x
y
x
y
，所以0
sin
sin
x
y
，D 错误，
因为
π
0
π
4
x
y
，所以
2
cos
1 sin
0
x
x
，
2
cos
1 sin
y
y
，
所以cos
cos
x
y
，所以cos
cos
0
x
y
，A 错误，B 正确.
令
π
2
g x
f
x
f
x
，则
π
0
4
g
，
π
2
π
π
2
2
sin
cos
e
e
π
cos
sin
sin
cos
2
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
f
x
f
x
当0
π
x
时，
0
g x
恒成立，所以
π
2
g x
f
x
f
x
在
0,π 上单调递增，
当
π
0, 4
x
时，
π
0
2
g x
f
x
f
x
，即
π
2
f
x
f
x
，因为
f x
f y
，
所以
π
2
f
y
f
x
。因为
π
0
π
4
x
y
，所以π
π
2
4
x
，因为
f x 在在π ,π
4
单调递减，
所以
π
2
y
x
，即
π
2
x
y
因为
cos
x
x
在
0,π 上单调递减，
所以
π
cos
cos
sin
2
x
y
y
，C 错误
故选：B
4.设
1
50
a
，
1
1
2ln sin
cos
100
100
b
，
6
51
ln
5
50
c
，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
c
a
D．b
a
c
【答案】D
【分析】由于
1
0.02
50
ln e
ln e
a
，
2
1
1
ln sin
cos
100
100
b
，
6
5
51
ln 50
c
，所以只要比较
6
2
5
0.02
1
1
1
51
e
,
sin
cos
1 sin
1 sin0.02,
100
100
50
50
x
y
z
的大小即可，然后分别构造函数
( )
e
(1 sin )(
0)
x
f x
x x
，
1.2
( )
(1
)
ex
g x
x
，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可
【详解】因为
1
0.02
50
ln e
ln e
a
，
2
1
1
ln sin
cos
100
100
b
，
6
5
51
ln 50
c
，
所以只要比较
6
2
5
0.02
1.2
1
1
1
51
e
,
sin
cos
1 sin
1 sin0.02,
(1 0.02)
100
100
50
50
x
y
z
的大小即可，
令
( )
e
(1 sin )(
0)
x
f x
x x
，则
( )
e
cos
0
x
f
x
x
，所以
( )
f x 在(0,
)
上递增，
所以
( )
(0)
f x
f
，所以e
1 sin
x
x
，
所以
0.02
e
1
sin 0.02
，即
1
x
y
，
令
1.2
( )
(1
)
ex
g x
x
，则
0.2
( )
1.2(1
)
ex
g x
x
，
0.8
( )
0.24(1
)
ex
g x
x
因为
( )
g
x
在(0.
)
上为减函数，且
(0)
0.24 1
0
g
，
所以当
0
x
时，
( )
0
g x
，
所以
( )
g x
在(0.
)
上为减函数，
因为
(0)
1.2
1
0
g
，
0.2
0.2
1.2
0.2
(0.2)
1.2 1.2
e
1.2
e
g
，
要比较
1.2
1.2
与
0.2
e
的大小，只要比较
1.2
ln1.2
1.2ln1.2
与
0.2
lne
0.2
的大小，
令( )
(1
)ln(1
)
(
0)
h x
x
x
x x
，则
( )
ln(1
) 1 1
ln(1
)
0
h x
x
x
，
所以( )
h x 在上递增，所以( )
(0)
0
h x
h
，
所以当
,
(
)
0
x
时，(1
)ln(1
)
x
x
x
，所以1.2ln1.2
0.2
，
所以
1.2
1.2
0.2
e
，所以
0.2
0.2
1.2
0.2
(0.2)
1.2 1.2
e
1.2
e
0
g
，
所以当
(0,0.2)
x
时，
( )
0
g x
，
所以( )
g x 在(0,0.2) 上递增，
所以
( )
(0)
0
g x
g
，所以
1.2
(1
)
ex
x
，
所以
1.2
0.02
(1 0.02)
e
，所以z
x
，所以z
x
y
，
所以c
a
b
，故选：D
题型八：泰勒展开公式比大小
1.设
0.1
1
0.1e ,
ln0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
c
b
【答案】C
【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小
设
2
3
0.1
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
a=0.1e
f( )
xe
a f(0.1).
f( )
x[1+x+
(
)]
(
)
2!
2
1
10
b
( )
b
(0.1),
( )
10[1
(
)]
10 10
10
(
)
9
1 x
x
x
c
ln
h
x =-ln(1-x),c=h
0.1
h
x =-[-x-
(
)
2
x
x
x
x
x
x
g x
g
g x
x
x
x
x
x
x
x
x
对应
，=
泰勒展开
设
，
，
泰勒展开
设=- 0.9，（）
（
）,泰勒展开得（）
2
2
(
)
2
x
当x=0.1 时，显然
(0.1)
f(0.1)
(0.1),
b
g
a
c
h
b
a
c
2.设
2ln1.01
a
，
ln1.02
b
，
1.04
1
c
．则（
）
A．a
b
c
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】B
【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小
【详解】因为1.012>1.02，所以b<a，只比较a 与c 的大小关系。
2
2
2
2
2
2
2
2
( )
2ln 1
(0.01)
( )
1
4
1
(0.01)
0
( )
2[
(
)]
2
(
),
2!
1 1
(
1
4
1
2 2
( )
1
(4 )
(
) 1
2 - 2
(
)
2
2!
( )
( ),
(0.01)
(0.01),
f x
x
a
f
g x
x
b
g
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
f x
g x
f
g
a
c
设
（
），
，
，
，所以在
处展开泰勒
）（
）
题型九：帕德逼近
1.设
0.1
1
0.1e ,
ln0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
c
b
【答案】C
【分析】利用帕德逼近来近似计算.
【详解】
0
2
1
2
.
00.1
6 0.1 12
0.1
0.1105
1
0.1e
0.1
6 0.
12
a
2
2
3 0.9
3
ln0.9
0.1.53
0.9
4 0.9 1
c
..
1
0.1111
9
b
所以c
a
b
2.已知
1.3
2 7,
4 1.1
4,
2ln1.1,
a
e
b
c
则
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
c
b
【答案】D
【分析】利用帕德逼近来近似计算.
【详解】
2
1.3
2
2
2
2
1.3
6*1.3 12
2 7
2 7
3.6486
2 7
0
1.3
6*1.3 12
1
1
4 1.1
4
4( 1 0.1 1)
4(1
*0.1
*0.1
1)
0.195
2
2
3*1.1
3
0.63
2ln1.1
2
2*
0.1906
1.1
4*1.1 1
6.61
a
e
b
c
a
c
b
3.设a＝
1
1.01 ，b＝ln1.01，c＝
0.01
e
1
，则（
）
A．abc B．bca
C．bac
D．cab
【答案】B
【分析】帕德逼近近似计算.
【详解】设
1.01
x
，所以
1
1
1
,
ln ,
e
1
x
a
b
x c
x
，
2
2
2
0.01
2
1
0.9900
1.01
3 1.01
3
ln1.01
0.00995
1.01
4 1.01 1
0.01
6 0.01 12
12.06.1
1
1
1
0.01005
0.01
6 0.01 12
11.9401
a
b
c
e
b
c
a
4.设
2ln1.01
a
，
ln1.02
b
，
1.04
1
c
．则（
）
A．a
b
c
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】B
【分析】利用帕德逼近可计算
【详解】
2
2
3 1.01
3
2ln1.01
2
0.01990
1.01
4 1.01 1
a
2
2
3 1.02
3
0.1204
ln1.02
2
0.01967
1.02
4 1.02 1
6.1204
b
2
1
1
1.04
1
1 0.04
1
1
0.04
0.04
1
0.0198
2
8
c
b
c
a
题型十：一题多解
1.已知
7
5
8
log 5
a
，
3
7
8ln 5
b
，
6
5
7
log 5
c
，则
,
,
a b c 的大小关系为（
）
A. b
c
a
B. b
a
c
C. a
c
b
D. a
b
c
【答案】B
【分析】法一：a，c 结构为
loga a
m
，对于这样的结构，可以用减1 后再比大小
7
7
7
5
5
5
8
7
8
1
log
log
log
5
5
7
a
，
6
6
6
5
5
5
7
6
7
1
log
log
log
5
5
6
c
结合图像可得a
c
比较b 的大小时，结合换底公式：
7
5
8
ln
8
5
log
7
5
ln 5
a
，
3
8
7
ln 5
b
，
6
ln 5
7
ln 5
c
考虑到a，b 分母相同，所以优先比较a，b 的大小
∵ln
1
ln
1
5
5
5
x
x
x
∴猜想a>b
接下来证明
8
3
ln 5
8
，
法一：构造函数
令
( )
ln
1
f x
x
x
，
(1)
0
f
，
2
2
1
1
1
'( )
x
f
x
x
x
x
，
故
( )
f x 在
1,，则
8
( )
(1)
0
5
f
f
法二：放缩
当
1
x
时，由ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
x
x
x
x
x
x
x
x
故
8
5
3
ln
1
5
8
8
2.已知
31
1
1
,
cos ,
4sin
32
4
4
a
b
c
，则（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．a
b
c
D．a
c
b
【答案】A
【分析】由
1
4tan 4
c
b
结合三角函数的性质可得c
b
;构造函数
2
1
cos
1,
0,
2
f
x
x
x
x
,利用导数可
得b
a
,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
π
0,
,
tan
2
x
x
x
故
1
4tan
1
4
c
b
，故
1
c
b ，所以c
b
；
设
2
1
( )
cos
1,
(0,
)
2
f x
x
x
x
，
( )
sin
0
f
x
x
x
，所以
( )
f
x 在(0,
)
单调递增，
故
1
(0)=0
4
f
f
，所以
1
31
cos
0
4
32
，
所以b
a
，所以c
b
a
，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当
π
0,
,sin
2
x
x
x
，
取
1
8
x=
得：
2
2
1
1
1
31
cos
1 2sin
1 2
4
8
8
32
，故b
a
1
1
1
4sin
cos
17 sin
4
4
4
，其中
0, 2
，且
1
4
sin
,cos
17
17
当
1
1
4sin
cos
17
4
4
时，1
4
2
，及
1
2
4
此时
1
4
sin
cos
4
17
，
1
1
cos
sin
4
17
故
1
1
cos 4
17
4
1
1
sin
4sin
4
4
17
，故b
c
所以b
a
，所以c
b
a
，故选A
[方法三]：泰勒展开
设
0.25
x
，则
2
31
0.25
1
32
2
a
，
2
4
1
0.25
0.25
cos
1
4
2
4!
b
，
2
4
1
sin
1
0.25
0.25
4
4sin
1
1
4
3!
5!
4
c
，计算得c
b
a
，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
1
4tan 4
c
b
，因为当
π
0,
,sin
tan
2
x
x
x
x
，所以
1
1
tan 4
4
, 即
1
c
b
，所以c
b
；设
2
1
( )
cos
1,
(0,
)
2
f x
x
x
x
，
( )
sin
0
f
x
x
x
，所以
( )
f
x 在(0,
)
单调递增，则
1
(0)=0
4
f
f
,
所以
1
31
cos
0
4
32
，所以b
a
,所以c
b
a
，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为
1
4tan 4
c
b
，因为当
π
0,
,sin
tan
2
x
x
x
x
，所以
1
1
tan 4
4
, 即
1
c
b ，所以c
b
；因为当
π
0,
,sin
2
x
x
x
，取
1
8
x=
得
2
2
1
1
1
31
cos
1 2sin
1 2
4
8
8
32
，故b
a
，所以c
b
a
．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式
π
0,
,sin
tan
2
x
x
x
x
放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3.设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c<a<b
D．a
c
b
【答案】C
【分析】构造函数
( )
ln(1
)
f
x
x
x
，导数判断其单调性，由此确定, ,
a b c 的大小.
【详解】方法一：构造法
设
( )
ln(1
)
(
1)
f
x
x
x x
，因为
1
( )
1
1
1
x
f
x
x
x
，
当
( 1,0)
x
时，
( )
0
f
x
，当
,
(
)
0
x
时
( )
0
f
x
，
所以函数
( )
ln(1
)
f
x
x
x
在(0,
)
单调递减，在( 1, 0)
上单调递增，
所以
1
(
)
(0)
0
9
f
f
，所以
10
1
ln
0
9
9
，故1
10
ln
ln 0.9
9
9
，即b
c
，
所以
1
(
)
(0)
0
10
f
f
，所以
9
1
ln
+
0
10 10
，故
1
10
9
e
10
，所以
1
10
1
1
e
10
9
，
故a
b
，
设( )
e
ln(1
)(0
1)
x
g x
x
x
x
，则
2
1 e
1
1
( )
+1 e
1
1
x
x
x
g x
x
x
x
,
令
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
，
2
( )
e (
2
1)
x
h x
x
x
，
当0
2
1
x
时，
( )
0
h x
，函数
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
单调递减，
当2 1
1
x
时，
( )
0
h
x
，函数
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
单调递增，
又(0)
0
h
，
所以当0
2
1
x
时，( )
0
h x
，
所以当0
2
1
x
时，
( )
0
g
x
，函数( )
e
ln(1
)
x
g x
x
x
单调递增，
所以
(0.1)
(0)
0
g
g
，即
0.1
0.1e
ln 0.9
，所以a c
故选：C.
方法二：比较法
解：
0.1
0.1
a
e
，
0.1
1
0.1
b
，
ln(1
0.1)
c
，
①
ln
ln
0.1
ln(1
0.1)
a
b
，
令
( )
ln(1
),
(0,0.1],
f x
x
x
x
则
1
( )
1
0
1
1
x
f
x
x
x
，
故
( )
f
x
在
(0, 0.1] 上单调递减，
可得
(0.1)
(0)
0
f
f
，即ln
ln
0
a
b
，所以a
b
；
②
0.1
0.1
ln(1
0.1)
a
c
e
，
令
( )
ln(1
),
(0, 0.1],
x
g x
xe
x
x
则
1
1
1
1
'
1
1
x
x
x
x
x e
g
x
xe
e
x
x
，
令
( )
(1
)(1
)
1
x
k x
x
x e
，所以
2
( )
(1
2 )
0
x
k
x
x
x e
，
所以
(
)
k x
在
(0, 0.1] 上单调递增，可得
( )
(0)
0
k x
k
，即
( )
0
g
x
，
所以
( )
g x
在
(0, 0.1] 上单调递增，可得
(0.1)
(0)
0
g
g
，即
0
a
c
，所以
.
a c
故
.
c
a
b
模块三：综合巩固
1．设
2
e
2
2
e
,
,
ln e
2
ln 2
4
ln 4
a
b
c
，其中e是自然对数的底数，则（
）
A．c
b
a
B．b<c<a
C．a
c
b
D．c
a
b
【答案】A
【分析】变形得
2
2
2
e
2
4
e
2
,
e
ln 2
ln 4
4
ln 4
ln 2
b
c
，构造函数
ln
x
f
x
x
，利用导数讨论其单调性，利用单
调性即可得答案.
【详解】记
ln
x
f
x
x
，则
2
ln
1
ln
x
f
x
x
，
当
e
x时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
又
2
2
2
e
2
4
e
2
,
e
ln 2
ln 4
4
ln 4
ln 2
b
c
，且
2e
e
4
e
2
2
，
所以
2e
4
e
2
2
f
f
f
，即c
b
a
.
故选：A
2．设
10
1
11
e
,
,
ln
11
10
a
b
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
c
a
D．c
b
a
【答案】A
【分析】对于,a b 结合不等式的性质，易判断大小；对于,b c可构造函数
ln 1
1
x
f
x
x
x
，利用导数
的单调性、最值即可判断.
【详解】对于
10
10
1
1
e
,
e
11
a
b
，显然
10
e
11
0
，
10
1
1
0
e
11
，所以a
b
；
对于
1
1
11
1
10
,
ln
ln 1
1
11
10
10
1 10
b
c
，
可构造函数
ln 1
1
x
f
x
x
x
，且
1
x ，
所以
2
2
1
1
1
1
1
x
f
x
x
x
x
，
当
0
x
时
( )
0
f
x
¢
>
，所以
f x 在
0,
单调递增，
当1
0
x
时
0
f
x
，所以
f x 在
1,0
单调递减，
所以
min
0
0
ln 1
0
0
0
1
f
x
f
，所以
0
f x ，
所以
1
0
10
f
，即
1
1
11
1
10
ln 1
ln
0
1
10
10
11
1 10
，故
11
1
ln 10
11
，所以b
c
.
综上：a
b
c
.
故选:A.
3．已知
0.2
0.2
1.2
ln 1.2e ,
e
,
e
a
b
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】C
【分析】构造
e
ln
1
1,
1
x
f x
x
x
，根据导函数得出函数
( )
f x 在
0,
上单调递增，即可得出
(0.2)
0
f
，所以c
a
；构造
e
1 ,
0
x
g x
x
x
，根据导函数得出函数
g x 在
0,
上单调递增，
可判断
1
c ，再根据对数函数的运算性质得到c
a
.
【详解】令
e
ln
1
1,
0
x
f
x
x
x
，则
1
e
1
x
f
x
x
.
当
0
x
时，有
1
e
1,
1
1
x
x
，所以
1
1
1
x
，
所以，
( )
0
f
x
在
0,
上恒成立，
所以，
( )
f x 在
0,
上单调递增，
所以，
( )
(0)
1 1
0
f x
f
，
所以，
(0.2)
0
f
，即
0.2
e
ln1.2
1
0
，所以a
b
.
令
e
1 ,
0
x
g x
x
x
，则
e
1
x
g x
在
0
x
时恒大于零，故
g x 为增函数，
所以
1
1,
0
ex
x
x
，而
ln 1.2e
1
ln1.2
1
a
，所以c
a
，
所以c<a<b ，
故选：C
4．若
2
2
1
ln lnπ ,
ln
,
3
3
e
a
b
c
，则（
）
A．c
a
b
B．b
c
a
C．c
b
a
D．b
a
c
【答案】C
【分析】先判断,a b 的符号，再构造函数
ln
f
x
x
x
并利用导数判断单调性，从而得到答案.
【详解】因为
ln
y
x
在
0,
上增函数，所以
2
2
2
ln lnπ
ln lne
0,
ln
ln1
0
ln π
ln e
3
=1,
3
3
a
b
，
即
0,
0
a
b
.
造函数
ln
f
x
x
x
，则
ln
1
f
x
x
，令ln
1
0
x
，解得
1
e
x
，
当
1
0, e
x
时，
0
f
x
，则
f x 为单调递减；
当
1 ,
e
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，则
f x 为单调递增.
所以函数
f x 在
1
e
x
处取得最小值，即
1
1
1
1
ln
e
e
e
e
f x
f
，
所以
2
1
3
e
f
f
，即2
2
1
ln
3
3
e
，b
c
.
综上所述，c
b
a
.
故选：C.
5．设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c<a<b
D．a
c
b
【答案】C
【分析】构造函数
( )
ln(1
)
f x
x
x
，导数判断其单调性，由此确定, ,
a b c 的大小.
【详解】方法一：构造法
设
( )
ln(1
)
(
1)
f x
x
x x
，因为
1
( )
1
1
1
x
f
x
x
x
，
当
( 1,0)
x
时，
( )
0
f
x
，当
,
(
)
0
x
时
( )
0
f
x
，
所以函数
( )
ln(1
)
f x
x
x
在(0,
)
单调递减，在( 1,0)
上单调递增，
所以
1
( )
(0)
0
9
f
f
，所以
10
1
ln
0
9
9
，故1
10
ln
ln 0.9
9
9
，即b
c
，
所以
1
(
)
(0)
0
10
f
f
，所以
9
1
ln
+
0
10
10
，故
1
10
9
e
10
，所以
1
10
1
1
e
10
9
，
故a
b
，
设
( )
e
ln(1
)(0
1)
x
g x
x
x
x
，则
2
1 e
1
1
( )
+1 e
1
1
x
x
x
g x
x
x
x
,
令
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
，
2
( )
e (
2
1)
x
h x
x
x
，
当0
2
1
x
时，
( )
0
h x
，函数
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
单调递减，
当2 1
1
x
时，
( )
0
h x
，函数
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
单调递增，
又(0)
0
h
，
所以当0
2
1
x
时，( )
0
h x
，
所以当0
2
1
x
时，
( )
0
g x
，函数( )
e
ln(1
)
x
g x
x
x
单调递增，
所以
(0.1)
(0)
0
g
g
，即
0.1
0.1e
ln 0.9
，所以a
c
故选：C.
方法二：比较法
解：
0.1
0.1
a
e
，
0.1
1
0.1
b
，
ln(1
0.1)
c
，
①
ln
ln
0.1
ln(1
0.1)
a
b
，
令
( )
ln(1
),
(0,0.1],
f x
x
x
x
则
1
( )
1
0
1
1
x
f
x
x
x
，
故
( )
f x
在
(0,0.1] 上单调递减，
可得
(0.1)
(0)
0
f
f
，即ln
ln
0
a
b
，所以a
b
；
②
0.1
0.1
ln(1
0.1)
a
c
e
，
令
( )
ln(1
),
(0,0.1],
x
g x
xe
x
x
则
1
1
1
1
'
1
1
x
x
x
x
x e
g
x
xe
e
x
x
，
令
( )
(1
)(1
)
1
x
k x
x
x e
，所以
2
( )
(1
2 )
0
x
k x
x
x e
，
所以
( )
k x
在
(0,0.1] 上单调递增，可得
( )
(0)
0
k x
k
，即
( )
0
g x
，
所以
( )
g x
在
(0,0.1] 上单调递增，可得
(0.1)
(0)
0
g
g
，即
0
a
c
，所以
.
a
c
故
.
c
a
b
6.已知
ln 3
2
a
，
1
e 1
b
，
ln 4
3
c
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．b
a
c
B．b
c
a
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】A
【分析】根据给定条件构造函数
ln
( )
(
e)
1
x
f x
x
x
，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.
【详解】令函数
ln
( )
(
e)
1
x
f x
x
x
，求导得
2
1
1
ln
( )
1
x
x
f
x
x
，令
1
1 ln
g x
x
x
，则
2
1
0,(
e)
x
g x
x
x
，故
1
1 ln
g x
x
x
，(
e)
x
单调递减，又
1
1
1 ln1
0
1
g
，故
0,(
e)
g x
x
，
即
( )
0, (
e)
f
x
x
，而e
3
4
，则
(e)
(3)
(4)
f
f
f
，即1
ln3
ln4
e 1
2
3
，所以b
a
c
7.
2
3(2 ln3)
1
ln3
,
,
3
a
b
c
e
e
，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．c<a<b
C．a
b
c
D．b
a
c
【答案】A
【分析】构造函数
ln
( )
x
f x
x
，应用导数研究其单调性，进而比较
2
(
)
3
e
a
f
，
( )
b
f e
，
(3)
c
f
的大小，
若
ln x
t
x
有两个解
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x
e
x
，
1
(0, )
t
e
，构造
2(
1)
( )
ln
(
1)
1
x
g x
x
x
x
，利用导数确定
( )
0
g x
，
进而得到
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，即可判断a、c 的大小，即可知正确选项.
【详解】令
ln
( )
x
f x
x
，则
2
2
2
ln 3
(
)
3
3
e
e
a
f
e
，
ln
( )
e
b
f e
e
，
ln3
(3)
3
c
f
，
而
2
1
ln
( )
x
f
x
x
且
0
x
，即0
x
e 时
( )
f
x 单调增，
x e时
( )
f
x 单调减，又
2
1
3
3
e
e
，
∴b
c
，b
a
.
若
ln x
t
x
有两个解
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x
e
x
，
1
(0, )
t
e
，
即
2
1
2
1
ln
ln
x
x
t
x
x
，
1 2
1
2
lnx x
x
x
t
，
令
2(
1)
( )
ln
(
1)
1
x
g x
x
x
x
，则
2
2
(
1)
( )
0
(
1)
x
g x
x x
，即
( )
g x 在(1,
)
上递增，
∴
( )
(1)
0
g x
g
，即在(1,
)
上，
2(
1)
ln
1
x
x
x
，若
2
1
x
x
x
即
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，故
1
2
2
ln
t
t
x x
，有
2
1 2
x x
e
∴当
2
3
x
时，
2
1
3
e
e
x
，故
2
1
(
)
( )
(3)
3
e
f
f x
f
，
综上：b
c
a
.
8.已知
1
, ,
,
e
a b c
，且ln5
5lna
a
，ln3
3lnb
b
，ln2
2lnc
c
，则（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】A
【分析】构造函数
( )
ln
f x
x
x
，根据单调性即可确定, ,
a b c 的大小.
【详解】设函数
( )
ln
f x
x
x
，
( )
1 ln
f
x
x
，当
1 ,
,
( )
0
e
x
f
x
，此时
( )
f x 单调递增，当
1
0,
,
( )
0
e
x
f
x
，此时
( )
f x 单调递减，由题ln5
5lna
a
，ln3
3lnb
b
，ln2
2lnc
c
，得
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
ln
, ln
ln
, ln
ln
ln
5
5
3
3
2
2
4
4
a
a
b
b
c
c
，因为1
1
1
1
5
4
3
e
，所以1
1
1
1
1
1
ln
ln
ln
5
5
4
4
3
3
，则
ln
ln
ln
a
a
c
c
b
b
，且
1
, ,
,
e
a b c
，所以a
c
b
.
9.已知
eπ
π
e
e ,
π ,
2
a
b
c
，则这三个数的大小关系为（
）
A．c
b
a
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】A
【分析】构造函数
ln
,
0
x
f
x
x
x
，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系
中作出
2
x
y
与y
x
的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c，即可求解
【详解】令
ln
,
0
x
f
x
x
x
，则
2
1 ln
,
0
x
f
x
x
x
，
由
( )
0
f
x
¢
>
，解得0
e
x
，由
0
f
x
，解得
e
x，
所以
ln
,
0
x
f
x
x
x
在
0,e 上单调递增，在
e,+上单调递减；
因为π
e
，
所以
π
e
f
f
，即ln π
ln e
π
e
，
所以eln π
πln e
，所以
e
π
ln π
ln e
，
又
ln
y
x
递增，
所以
e
π
π
e
，即b
a
；
e
eπ
π
2
=
2
，
在同一坐标系中作出
2
x
y
与y
x
的图象，如图：
由图象可知在
2,4 中恒有
2
x
x
，
又2
π
4
，所以
π
π
2
，
又
e
y
x
在
0,
上单调递增，且
π
π
2
所以
e
π
eπ
e
π
2
=
2
，即b
c
；
综上可知：c
b
a
，
故选：A
10.已知
8ln 6
a
，
7ln 7
b
，
6ln8
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】D
【分析】根据题意，构造出函数
14
ln
f x
x
x
，对函数进行求导判断其单调性，进而比较大小.
【详解】令
14
ln
f x
x
x
，则
14
ln
1
f
x
x
x
.
因为
ln
y
x
在
0,
上单调递减，
14
1
y
x
在
0,
上单调递减，
所以
14
ln
1
f
x
x
x
在
0,
上单调递减.
而
14
5
ln 5
1
0
5
f
，
14
6
ln 6
1
0
6
f
，
所以在
6,上有
0
f
x
.
所以
14
ln
f x
x
x
在
6,上单调递减.
所以
6
7
8
f
f
f
，即8ln 6
7ln 7
6ln8
.故a
b
c
.
故选：D.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题
从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调
性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用
的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是
一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
11.已知
10
8
a
，
99
b
，
8
10
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】D
【分析】构造函数
18
ln
f x
x
x
，
8
x
，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.
【详解】构造
18
ln
f x
x
x
，
8
x
，
18
ln
1
f
x
x
x
，
18
ln
1
f
x
x
x
在
8,时为减函数，且
2
9
5
5
5
8
ln8
1
ln8
ln e
2
0
4
4
4
4
f
，
所以
18
ln
1
0
f
x
x
x
在
8,恒成立，
故
18
ln
f x
x
x
在
8,上单调递减，
所以
8
9
10
f
f
f
，
即10ln8
9ln9
8ln10
，所以
10
9
8
8
9
10
，即a
b
c
.
故选：D
【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可
能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大
小.
12.已知
ln2
2
a
，
ln 3
e
b
，
2
2
e
c
，则（参考数据：ln 2
0.7
）（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】B
【分析】由
ln 2
2ln 2
ln 4
2
4
4
a
，
2
2
lne
e
c
考虑构造函数
ln x
f
x
x
，利用导数研究函数的单调性，利用
单调性比较大小即可.
【详解】因为
ln 2
2ln 2
ln 4
2
4
4
a
，
2
2
lne
e
c
，
考虑构造函数
ln x
f
x
x
，则
2
1
ln x
f
x
x
，
当0
e
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f x 在
0,e 上单调递增，
当
e
x时，
0
f
x
，函数
f x 在
e,+上单调递减，
因为ln 2
0.7
，所以
0.7
e
2
，即
2
2
0.7
e
> e
4
，
所以
2
3<4<e
，
所以
2
2
ln3
ln4
lne
3
4
e
，即
2
2
ln3
ln2
lne
3
2
e
，
又ln3
ln3
3
e
，
所以
2
2
ln3
ln2
lne
e
2
e
，故b
a
c
，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的
单调性比较大小.
13. (多选)已知0
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（
）
A．sin
sin
x
y
B．sin
sin
x
y
C．cos
cos
0
x
y
D．
co
co
s
0
s x
y
【答案】AC
【分析】构造函数
sin
ex
x
f x
，求导，计算出其单调性即可判断.
【详解】构造函数
sin
ex
x
f x
，
'
2 cos
cos
sin
4
e
e
x
x
x
x
x
f
x
，
当
4
x
时，
( )
'
0
f
x =
，0
4
x
时，
'
0
f
x
，4
x
时，
'
0
f
x
，
在
4
x
处取最大值，
0,
x
，
sin
0,
0
x
f x
，
函数图像如下：
,e
e
x
y
x
y
，
sin
sin
x
y
，A 正确；B 错误；
0
4
x
，
2
2
cos
1 sin
0, cos
1 sin
,
cos
cos
x
x
y
y
x
y
，
cos
cos
0
x
y
，C 正确，D 错误；
故选：AC.
14. (多选)已知
1
2
0
1
x
x
<
<
< ，下列不等式恒成立的是（
）
A．
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x
B．
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x
C．
1
1
2
2
ln
ln
x
x
x
x
D．
1
2
2
1
ln
e
l
e
n
x
x
x
x
【答案】AB
【分析】A 选项，构造函数
,
0,1
ex
x
f x
x
，通过求导研究其单调性得到证明；B 选项，构造
ln ,
0,1
x
g x
x
x
，通过求导研究其单调性，进行求解；C 选项，构造
ln ,
0,1
h x
x x x
，通过求导研
究其单调性，进行求解；D 选项，利用中间值比大小.
【详解】令
1
,
0,1 ,
,
e
e
0
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
在
0,1
x
内单调递增.
1
2
0
1
x
x
时，
1
2
1
2
e
e
x
x
x
x
，即
2
1
1
2
e
e ,
x
x
x
x
A 选项正确；
令
2
ln
1 ln
,
0,1 ,
0,
x
x
g x
x
g
x
g x
x
x
在
0,1
x
内单调递增，
1
2
1
2
1
2
ln
ln
0
1,
x
x
x
x
x
x
，即
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x
，B 选项正确；
令
ln ,
0,1 ,
ln
1,
0,1
h x
x x x
h x
x
x
，当
1
0, e
x
时，
0,
h
x
h x
单调递减，当
1 ,1
e
x
时，
0,
h x
h x
单调递增，
1
h x
与
2
h x
大小不确定，C 错误；
当
1
2
0
1
x
x
<
<
< 时，
2
1
1
2
ln
ln
0
0
e
e
x
x
x
x
，D 错误
故选：AB
