4.3 等差数列的前n 项和公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等差数列的前n 项和公式.................................................2
考点二：等差数列前n项和公式的函数特征.......................................2
考点三：等差数列前n 项和性质....................................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：等差数列前n 项和的基本量计算........................................ 3
题型二：利用等差数列前n 项和公式判断........................................ 4
题型三：等差数列片段和性质....................................................... 5
题型四：两个等差数列前n 项和之比的问题..................................... 5
题型五：等差数列前n 项和的最值问题........................................... 6
题型六：有限制条件的最值问题.................................................... 7
题型七：求数列{|an|}的前n 项和问题............................................ 8
题型八：等差数列奇数项偶数项和..................................................9
题型九：根据等差数列前n 项的最值求参数................................... 10
题型十：数列求和基础：倒序相加法.............................................11
题型十一：数列求和基础：裂项相消法..........................................11
模块三：综合巩固....................................................................... 13
4.3 等差数列的前n 项和公式
模块一：基础知识
考点一：等差数列的前n 项和公式
1、首项为
1a ，末项为
n
a 的等差数列的前n 项和公式
1
(
)
2
n
n
n a
a
S
2、首项为
1a ，公差为d 的等差数列的前n 项和公式
1
(
1)
2
n
n n
S
na
d
考点二：等差数列前n 项和公式的函数特征
等差数列前n 项和公式可变形为
2
1
(
)
2
2
n
d
d
S
n
a
n
.当
0
d
时，它是关于n 的二次函数，表示为
2
n
S
An
Bn
( A ，B 为常数)．
考点三：等差数列前n 项和性质
(1)若数列{
}
na
是公差为d 的等差数列,则数列{
}
n
S
n
也是等差数列,且公差为2
d
(2)设等差数列{
}
na
的公差为d ,
n
S 为其前n 项和,则
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公差
为
2
m d 的等差数列
(3)在等差数列{
}
n
a
，{ }
nb
中，它们的前n 项和分别记为
,
n
n
S T 则
2
1
2
1
n
n
n
n
a
S
b
T
(4)若等差数列{
}
n
a
的项数为2n ,则
2
1
(
)
n
n
n
S
n a
a
=
S
S
nd
奇
偶
，
1
=
n
n
S
a
S
a
偶
奇
。
(5)若等差数列{
}
n
a
的项数为2
1
n ,则
(
1)
n
S
n
a
偶
，
=
n
S
na
奇
，
=
n
S
S
a
奇
偶
，
=
1
S
n
S
n
奇
偶
模块二：题型分类
题型一：等差数列前n 项和的基本量计算
1.已知数列
na
均为等差数列．
(1)设
1
50
a
，
8
15
a
，求
8S ；
(2)设
1
0.7
a
，
2
1.5
a
，求
7
S ；
(3)设
4
7
a
，求
7
S ．
2．已知等差数列
na
的前n项和为
n
S ，且
3
24
S
，
4
5
6
168
a
a
a
，则
7a （
）
A．81
B．86
C．88
D．192
3.已知数列
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，求解下列问题：
(1)若
2
5
19
a
a
，
5
40
S
，求
1a ；
(2)若
12
84
S
，
20
640
S
，求
28
S ；
(3)若
10
30
a
，
20
50
a
，
242
n
S
，求n．
4.等差数列
na
中，
10
20
30,
50
a
a
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若
242
n
S
，求n.
5.一个物体第1s 下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．
(1)如果它从山顶下落，经过5s 到达地面，那么这山的高度是多少米？
(2)如果它从1960m 的高空下落到地面，要经过多长时间？
6.已知数列
na
是等差数列．
(1)若
1
7
a
，
50
101
a
，求
50
S ；
(2)若
1
2
a
，
2
5
2
a
，求
10
S ；
(3)若
1
1
2
a
，
1
6
d
，
5
n
S ，求n．
题型二：利用等差数列前n 项和公式判断
1.已知数列
na
的前n 项和
2
25
2
n
n
n
S
.
（1）求证：
na
是等差数列；
2.已知数列
na
的前n 项和
2
*
3
4
.
n
S
n
n n
N
1 求数列
na
的通项公式
na ；
2 求证：数列
na
是等差数列．
3.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，点
,
N
n
S
n
n
n
均在函数
2
3
y
x
的图象上，则数列
na
的通项公式
na
．
4.已知一个数列
na
的前n 项和
2
25
2
n
S
n
n
r
．
(1)当
0
r
时，求证：该数列
na
是等差数列；
(2)若数列
na
是等差数列，求r 满足条件．
题型三：等差数列片段和性质
1．等差数列
na
中，
3
6
3,
9
S
S
，则
9S （
）
A．12
B．18
C．24
D．30
2．设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
14
7
7
S
S
，则
21
14
S
S
（
）
A．18
7
B．3
2
C．11
7
D．11
6
3.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
S
，
8
20
S
，则
9
10
11
12
a
a
a
a
等于（
）
A．12
B．8
C．20
D．16
4.等差数列
na
的前n 项和
n
S ，若
3
1,
5
n
n
n
S
S
S
，则
4n
S
（
）
A．10
B．20
C．30
D．15
5.在等差数列
na
中，已知
6
10
S
，
12
30
S
，则
18
S
（
）
A．90
B．40
C．50
D．60
6.等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
3
16
S
，
6
8
S
，则
12
S
（
）
A．50
B．60
C．70
D．80
7.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
30
m
S
，
2
100
m
S
，则
3m
S
.
题型四：两个等差数列前n 项和之比的问题
1.等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别是
n
S 与
nT ，且
*
3
1,
1
n
n
S
n
n
T
n
N
，则
6
6
a
b
；
9
7
a
b
.
2.等差数列
,
n
n
a
b
的前n 项和分别是
n
S 与
nT ，且
*
3
1,
1
n
n
S
n
n
T
n
N
，则
6
6
a
b
.
3.设等差数列
na
、
nb
的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，若对任意的
*
N
n
，都有
2
3
4
3
n
n
S
n
T
n
，则
2
14
3
13
5
11
a
a
b
b
b
b
．
4.已知等差数列{
}
na
和{ }
nb
的前n 项和为分别为
n
S 和
nT ，若
5
2
3
1
n
n
S
n
T
n
，则
11
20
a
b
的值为（
）
A．103
64
B．103
118
C．193
64
D．193
118
5.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
A ，等差数列
nb
的前n 项和为
n
B ，且
2
3
3
2
n
n
A
n
B
n
，求
8
8
a
b
.
6.已知等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，且
3
5
4
6
n
n
S
n
T
n
，则
7
8
a
b （
）
A．2
3
B．3
4
C．10
13
D．13
19
题型五：等差数列前n 项和的最值问题
1.记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
5
a ，
3
5
3
0
a
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
n
S 以及
n
S 的最小值．
2.记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，已知
2
27
a
，
7
17
a
.
(1)求等差数列{
}
na
的通项公式；
(2)求
n
S 的最小值及对应的n 值．
3.等差数列
na
中，已知
1
0
a
，前n 项和为
n
S ，且
7
17
S
S
，则
n
S 最小时n 的值为（
）
A．11
B．11 或12
C．12
D．12 或13
4.（多选）设数列
na
是公差为d 的等差数列，
n
S 是其前n 项和，
1
0
a
且
6
9
S
S
，则（
）
A．
0
d
B．
8
0
a
C．
7
S 或
8S 为
n
S 的最大值
D．
5
8
S
S
5.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S .若
1
4
8
,
10
2
a
S
，则
n
S 的最大值为
.
6.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
5
9
2
a
a
，
3=57
S
.
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)求
n
S 的最大值.
题型六：有限制条件的最值问题
1.（多选）设等差数列
na
的公差为d，前n 项和为
n
S ，若
3
12
13
12,
0,
0
a
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
5
60
S
C．
24 , 3
7
d
D．数列
n
S
中最大项为第6 项
2.设等差数列{
na }的前n 项和为
n
S ，若
19
7
14
0,
0
S
a
a
，则当
n
S 取得最大值时，n ＝（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
3.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2023
2024
0,
0
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
1013
1012
a
a
C．当
n
S 取得最大值时，
1013
n
D．
1013
1010
S
S
4.已知等差数列
na
的前n项和为
n
S 有最小值，且
9
10
1
0
a
a
，则使
0
n
S
成立的正整数n的最小值为（
）
A．9
B．10
C．17
D．18
5.（多选）设
na
是公差为d 的等差数列，
n
S 是其前n 项的和，且
1
0
a
，
1999
2023
S
S
，则（
）
A．
0
d
B．
2011
0
a
C．
4022
0
S
D．
2012
n
S
S
6.（多选）设
na
是等差数列，
n
S 是其前n 项和，且
5
6
S
S
，
6
7
8
S
S
S
，则下列结论正确的是（
）.
A．
0
d
B．
7
0
a
C．
9
5
S
S
D．
6
S 与
7
S 均为
n
S 的最大值
题型七：求数列{|an|}的前n 项和问题
1．已知数列
na
的前n项和
2
14
1
n
S
n
n
，若
1
2
3
n
n
T
a
a
a
a
，则
30
T
（
）
A．578
B．579
C．580
D．581
2.若等差数列
na
的首项
1
13
a
，
4
d ，记
1
2
n
n
T
a
a
a
，则
nT
．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
15
2
2
n
S
n
n
.
(1)求
na
的通项公式
(2)若
n
n
c
a
，求
nc
的前n 项和
nT .
4.从①
10
5
5
10
5
S
S
，②
8
4
8
S
S
，③
5
1
a 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
9
S
，且__________，求数列
na
的前100项和
100
T
．
5.在公差为d 的等差数列
na
中，已知
1
10
a
，且
2
3
1
2
5
2
2
a
a
a
.
(1)求,
n
d a ；
(2)若
0
d
，求
1
2
3
15
a
a
a
a
.
6.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
5
3
a ，
5
35
S
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
7.已知数列
na
满足
2
2024
na
n
，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
题型八：等差数列奇数项偶数项和
【注意参照公式，自己总结技巧】
1.已知等差数列
na
共有
*
2n n
N
项，若数列
na
中奇数项的和为190，偶数项的和为210 ，
1
1
a ，则
公差d 的值为（
）
A．2
B．4
C．5
4
D．5
2
2.一个等差数列共100 项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（
）
A．1
4
B．2
C．1
3
D．2
5
3.已知等差数列
na
中，前m（m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且
1
18
m
a
a
，求通项
公式．
4.已知等差数列
na
的前30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且
45
B
A
，2
615
A
B
，则
na
（
）
A．3
2
n
B．3
1
n
C．3
1
n
D．3
2
n
5.已知等差数列
na
共有2
1
n + 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则
1
na 的值为（
）．
A．30
B．29
C．28
D．27
6.已知等差数列
na
的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则
5a （
）
A．8
B．9
C．10
D．11
题型九：根据等差数列前n 项的最值求参数
1.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
23
24
0,
0
S
S
，则下列结论正确的是（
）
A．数列
na
是递增数列
B．
13
0
a
C．当
n
S 取得最大值时，
13
n
D．
13
12
a
a
2．已知数列
na
是公差不为0 的无穷等差数列，
n
S 是其前n 项和，若
n
S 存在最大值，则（
）
A．在
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
中最大的数是
1S
B．在
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
中最大的数是
2023
2023
S
C．在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是
1S
D．在
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S S
S
中最大的数是
2023
S
题型十：数列求和基础：倒序相加法
【注意：针对这个知识点，在后面会有专题练习】
1.已知函数
( )
y
f x
满足
( )
(1
)
1
f x
f
x
，若数列
na
满足
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n
，
则数列
na
的前20 项和为（
）
A．100
B．105
C．110
D．115
2.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对1 2
3
100
L
的求和运算中，提
出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为
高斯算法.现有函数
4
( )
4
2
x
x
f x
，则
1
2
3
2018
(
)
(
)
(
)
(
)
2019
2019
2019
2019
f
f
f
f
等于（）
A．1008
B．1009
C．2018
D．2019
3.已知
2
2
1
x
f x
x
，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得
1
2
2022
2023
2023
2023
f
f
f
．
4.已知函数
R
1
2
2x
x
f x
x
，等差数列
na
满足
2022
0
a
，则
1
2
3
(
)
f a
f a
f a
4043
f a
．
题型十一：数列求和基础：裂项相消法
【注意：针对这个知识点，在后面会有专题练习】
1.数列
na
中，
1
1
na
n
n
，
9
n
S
，则n （
）
A．97
B．98
C．99
D．100
2.记
n
S 为等差数列
na
的前n 项和，已知
2
5
a
，
6
12
S
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.已知
*
2 ,
N
na
n n
，若数列
4
2
n
n
a
a
的前n 项和为
nT ，则
nT 的取值范围为
.
4.已知数列
na
的前n 项和为
1
,
1
n
S
a ，且当
2
n
时，
2
1
2
n
n
S
n
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足：
2
1
n
n
b
n
a
，求
nb
的前n 项和
nT .
5.记递增的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
5
85
S
，且
6
1
7
a
a
．
(1)求
na 和
n
S ；
(2)设
1
5
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
6.已知等差数列
na
的前n 项和为
*
2
4
,
3,
16,
n
S
a
S
n
N
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
模块三：综合巩固
1.已知等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
S
，
7
35
S
，则
5a （
）
A．3
B．5
C．7
D．9
2.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，
n
S 和d 求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九
个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该
问题中老人的长子的岁数为（
）
A．35
B．32
C．29
D．26
3.数列
na
的前n 项和
2
4
N
n
S
n
n
m n
，则
n
S 取最大值时n 的值为（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
4.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
3
9
12
a
a
，则
11
S
（
）
A．66
B．72
C．132
D．144
5.设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
20
S
，
20
10
S
，则
30
S
（
）
A．0
B．10
C．30
D．40
6．已知等差数列
na
，
1
1
a ，
1
d ，则数列
1
1
n
n
a a
的前100 项和（
）
A．100
101
B．99
101
C．99
100
D．101
100
7．已知数列
na
，
2 sin 2
n
n
a
n
，则数列
na
的前100 项和为（
）
A．5000
B．5000
C．5050
D．5050
8．在等差数列
na
中，
n
S 为其前n 项和.若
2020
0
S
，
2021
0
S
，则下列判断错误的是（
）
A．数列
na
递增B．
1010
0
a
C．数列
na
前2020 项和最小
D．
1011
0
a
9.已知等差数列
na
和等差数列
nb
的前n 项和分别为
n
S 和
nT ，且
5
63
3
n
n
S
n
T
n
，则使得
n
n
a
b 为整数的正整
数n 的个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
10.已知
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，
1
10
a
，公差
2
d ，则数列
na
的前10 项和为（
）
A．10
B．50
C．60
D．70
11.在数列
na
中，
1
2
1
1
1
n
n
a
n
n
n
n
N
，
1
1
n
n
n
b
a a
，则数列
nb
的前n 项和
10
S
（
）
A．10
11
B．20
11
C．30
11
D．40
11
12.(多选)公差为d 的等差数列
na
，其前n 项和为
11
12
,
0,
0
n
S
S
S
，下列说法正确的有（
）
A．
0
d
B．
7
0
a
C．
n
S
中
6
S 最大
D．
4
9
a
a
13.(多选)已知
na
为等差数列，前n 项和为
n
S ，
1
10
a
，公差d = −2 ，则（
）
A．
4
S =
7
S
B．当n = 6 或7 时，
n
S 取得最小值
C．数列
na
的前10 项和为50
D．当n≤2023 时，
na
与数列
3
10
m
（mN）共有671 项互为相反数．
14.已知等差数列
na
中，
1
10
a
，当且仅当
5
n
时，前n 项和
n
S 取得最小值，则公差d 的取值范围
是
.
15.数列
na
的通项为
1
1
n
n
a
n
，其前n 项和为
n
S ，若
9
n
S
，则项数n
．
16.已知
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，且
7
9
4
3,
3
a
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式与前n 项和
n
S ；
(2)若
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
17.已知数列
na
是等差数列，且
2
3
5
25,2
50
a
a
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
na
的前n 项和为
n
S ，求
n
S 的最小值．
18．设
na
为等差数列，
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
7
7
S
，
15
75
S
．
(1)证明：数列
n
S
n
为等差数列；
(2)求数列
n
S
n
的前n 项和
nT ．
19．记数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
7
a ，
2
6
a ，
1
1
N ,
R
n
n
a
ka
n
k
.
(1)证明数列
na
为等差数列，并求通项公式
na ；
(2)记
1
2
3
n
n
T
a
a
a
a
，求
20
T .
