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考向 27 等差数列及其前 n 项
和
1．（2021·全国高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】
(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关
公式并能灵活运用.
2．（2021·全国高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得 的前 项和为 可化为 ，利用（1）
的结果可求 .
【详解】
（1）由题设可得
又 ， ，
故 ，即 ，即
所以 为等差数列，故 .
（2）设 的前 项和为 ，则 ，
因为 ，
所以.
【点睛】
方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关
系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a，n，d，a，S，知道其中三个就能求出另外两个
1 n n
(简称“知三求二”)．
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a和公差d.
1
3.判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法：对任意n∈N*，a －a是同一常数．
n＋1 n
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a＝a ＋a .
n n＋1 n－1
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足a＝pn＋q(p，q为常数)．
n
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足S＝An2＋Bn(A，B为常数)．
n
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为a－a ＝d(常数)(n≥2，
n n－1
n∈N*)或a －a＝d(常数)(n∈N*)．
n＋1 n
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a＋(n－1)d.
n 1
(2)前n项和公式：S＝na＋d或S＝.
n 1 n
【知识拓展】
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a＝a＋(n－m)d(n，m∈N*)．
n m
(2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a＋a＝a＋a.
n k l m n
(3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
n k k＋m k＋2m
(4)数列S，S－S，S－S，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m(5)S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
(6)等差数列{a}的前n项和为S，为等差数列．
n n
1．（2021·海南高三）设数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·赤峰二中高三（理））若等差数列{a}的公差为2，且a是a与a的等比中项，则数列{a}的
n 5 2 6 n
前n项和S取最小值时，n的值等于（ ）
n
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则
_____________．
4．（2021·黑龙江实验中学（文））在数列 中 ， ， ， ，记 是
数列 的前n项和，则 ___________.
1．（2021·黑龙江实验中学（文））等差数列 的前15项和 ，则 （ ）
A．-2 B．6 C．10 D．14
2．（2021·云南曲靖·（文））在等差数列 中，若 ，则数列 的前13项和
=（ ）A．5200 B．2600 C．1500 D．1300
3．（2021·江西省铜鼓中学高二开学考试（理））已知等差数列 且 ，
则数列 的前13项之和为（ ）
A．24 B．39 C．104 D．52
4．（2021·福建莆田·高三）已知等差数列 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国高三专题练习（文））已知数列 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数
列 的前 项和为 ，则下列选项正确的为（ ）
A．数列 是等差数列
B．数列 是等比数列
C．数列 的通项公式为
D．
7．（2021·江苏省前黄高级中学高三）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ．已知 ，
， ，则（ ）
A．数列 的最小项为第 项 B．
C． D． 时， 的最大值为8．（2021·嘉峪关市第一中学（文））在等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 _______.
9．（2021·浙江高三）已知 ， ， 成等差数列，点 到直线 的距离为 ，则
直线 的倾斜角是______.
10．（2021·全国高三）已知数列{a}的前n项和为S，且满足a＝1，a＝2.
n n 1 2
（1）若数列{a}是等差数列，求公差d及前n项和S；
n n
（2）若数列{a}是等比数列，求公比q及前n项和T.
n n
11．（2021·海南高三）已知等差数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式;
（Ⅱ）设等比数列 满足 ， ，则 的前7项之和与数列 的第几项相等？
参考数据： ， ．
12．（2021·全国高三（理））在等差数列 中， ，其前n项和为 ，各项均为正数的等比数列
中， ，且满足 ， ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）若数列 的前n项和为 ，证明： ．
1．（2021·北京高考真题） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．2．（2021·北京高考真题）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（
）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{a}的前n项和S，公差d≠0， ．记b=S，b =S –
n n 1 2 n+1 2n+2
S， ，下列等式不可能成立的是（ ）
2n
A．2a=a+a B．2b=b+b C． D．
4 2 6 4 2 6
4．（2021·江苏高考真题）已知等比数列 的公比为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值是
___________.
5．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n
n n
项和为________．
6．（2019·北京高考真题（理））设等差数列{a}的前n项和为S，若a=−3，S=−10，则
n n 2 5
a=__________，S的最小值为__________．
5 n
7．（2021·全国高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
8．（2021·山东高考真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排
比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．
9．（2021·天津高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的
等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
10．（2021·全国高考真题（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
11．（2021·全国高考真题（文））记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等
差数列，证明： 是等差数列.
1．【答案】B
【分析】
根据数列 与 的关系，可得数列 从第 项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解 .
【详解】
由 得 ，即 ，
所以数列 从第 项开始是等差数列，又因为 ， ，
所以 ，所以 ．
故选：B
2．【答案】C
【分析】
计算得到 ， ， ，得到答案.
【详解】
是 与 的等比中项，故 ，即 ，解得 .
故 ，所以 ， ，故 最小.
故选：C.
3．【答案】3
【分析】
根据等差数列的前 项和公式，用 表示 ，可求解 ，结合 ，可得解
【详解】
由题意，根据等差数列的前 项和公式
，又
故答案为：3
4．【答案】1720
【分析】
根据数列的递推公式，分 为奇数和 为偶数，两种情况讨论，分别求得奇数项和偶数项的和，即可求解.
【详解】
由题意知，数列 中， ，
当n是奇数时，可得 ，又由 ，所以数列 中的偶数是以3为首项，2为公差的等差数列，
则 ，
当 是偶数时，可得 ，
所以数列 中的相邻的两个奇数项之和均等于2，
所以 ，
则 .
故答案为：1720.
1．【答案】B
【分析】
利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质即可得解.
【详解】
解：等差数列 的前15项和 ，
∴ ，
解得 ，
∴ .
故选：B.
2．【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质可得 ，代入等差数列前n项和公式，即可求得答案.
【详解】根据等差数列性质可得 ，
所以 ，
所以前13项和 .
故选：D
3．【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质化简已知条件可得 的值，再由等差数列前 项和等差数列的性质即可求解.
【详解】
由等差数列的性质可得： ， ，
所以由 可得： ，
解得： ，
所以数列 的前13项之和为
，
故选：D.
4．【答案】A
【分析】
求出 的值，结合等差数列的基本性质与基本量可求得 的值.
【详解】
由等差中项的性质可得 ，解得 ，
设等差数列 的公差为 ，则 .
故选：A.
5．【答案】C
【分析】分析出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】
在等式 中，令 ，可得 ，则 ，
所以，数列 为等差数列，且该数列的首项和公差均为 ，
因为 ，故 ，所以， ，则 ，
因此， .
故选：C.
6．【答案】BCD
【分析】
根据 与 的关系及 ，可得 ，再根据等比数列和等差数列的定义即可判
断AB；从而可求的数列 的通项公式，即可判断C；利用裂项相消求和法求得数列 的前 项和为
，即可判断D.
【详解】
解：由 即为 ，
可化为 ，由 ，可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，故A错误，B正
确；
则 ，即 ，故C正确；
又 ，
可得 ，
故D正确.
故选：BCD．
7．【答案】ABC【分析】
利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求
出 的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断CD选项的正
误.
【详解】
对于C选项，由 且 ，可知 ，C对；
对于B选项，由 ，可得 ，B对；
对于D选项，因为 ， ，
所以，满足 的 的最大值为 ，D错；
对于A选项，由上述分析可知，当 且 时， ；
当 且 时， ，
所以，当 且 时， ，
当 且 时， ，
当 且 时， .
当 且 时， 单调递减，即 ，
单调递减，即有 ，
所以， ，
由不等式的性质可得 ，
从而可得 ，因此，数列 的最小项为第 项，A对.
故选：ABC.
8．【答案】3
【分析】
根据条件可得 ，解出 ，即解.
【详解】
∵ 成等差数列，则 ，
由 为等比数列，设公比为q，则 ，
可得： ，解得 ，
所以 .
故答案为：3.
9．【答案】
【分析】
由题意利用等差数列的定义和性质求得 ，再利用点到直线的距离公式，求得 ，再根据直线
的斜率值，求出它的倾斜角．
【详解】
解： ， ， 成等差数列， ，即 ，
点 到直线 的距离为 ，
，两边平方化简可得 ，即 ，
则直线 的斜率为 ，故直线的倾斜角是 ，
故答案为： ．
10．（2021·全国高三）已知数列{a}的前n项和为S，且满足a＝1，a＝2.
n n 1 2
（1）若数列{a}是等差数列，求公差d及前n项和S；
n n（2）若数列{a}是等比数列，求公比q及前n项和T.
n n
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】
（1）根据等差数列的定义即可求出公差d，再利用等差数列前n项和的公式即可求出S；
n
（2）根据等比数列的定义即可求出公比q，再利用等比数列前n项和的公式即可求出T.
n
【详解】
（1）因为数列{a}是等差数列，且a＝1，a＝2.
n 1 2
所以 ，
所以 ，
；
（2）数列{a}是等比数列，且a＝1，a＝2.
n 1 2
所以 ，
所以 .
11．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 的前 项之和与数列 的第 项相等．
【分析】
（Ⅰ）用基本量 表示题干中的条件，可得 ， ，代入 ，即得解；
（Ⅱ）代入可得 ， ，可得 ，求解 的前 项之和得 ，令 ，即得解
【详解】
（Ⅰ）设 的公差为 ，
由已知得 ，所以 ．
，得 ，
因此 ．（Ⅱ）设 的公比为 ．由条件知 ， ，
所以 ， ，所以 ．
所以 ，
令 ，得 ，
所以 的前 项之和与数列 的第 项相等．
12．【答案】（1） ， ；（2）证明见解析 .
【分析】
（1）设数列 的公差为d， 的公比为q，可得 ，解得q，d即可；
（2）由（1）得 ．可得 ，即可
证明．
【详解】
解：（1）设数列 的公差为d， 的公比为q，
因为 ， ， ，所以 ，
解答 ， （负值舍去），
故 ， ；
（2）证明：由（1）得 ，
所以 ．
所以数列 的前n项和为 ，所以 ．
1．【答案】B
【分析】
由已知条件求出 的值，利用等差中项的性质可求得 的值.
【详解】
由已知条件可得 ，则 ，因此， .
故选：B.
2．【答案】C
【分析】
使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】
若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ，
则 ， ， ，
所以n的最大值为11.
故选：C.
3．【答案】D
【分析】
根据题意可得， ，而 ，即可表示出题中 ，再结合等
差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得， ，A正确；
对于B，由题意可知， ， ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
根据等差数列的下标和性质，由 可得 ，B
正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；
对于D， ，
，
．
当 时， ，∴ 即 ；
当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4．【答案】4
【分析】根据三数成等差数列列等式，再将 ， 用含 和 的式子表示，代入等式求解.
【详解】因为 为等比数列，且公比为 ，
所以 ， 且 ， .
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
有 ， ，
解得 .
故答案为： .
5．【答案】
【分析】
首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，
利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】
因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求
和公式，属于简单题目.
6．【答案】0. -10.
【分析】
首先确定公差,然后由通项公式可得 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】
等差数列 中, ,得 ,公差 , ,
由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于0,所以 的最小值为 或 ,即为 .
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
7．【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】
利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】
因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【点晴】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看
如何消项化简的更为简洁.
8．【答案】18
【分析】
根据已知条件，利用等差数列的前n项和公式求第一排的演员数量即可.
【详解】
由题意，各排人数组成等差数列 ，
设第一排人数是 ，公差 ，前5项和 ，
由 知： ，解得 ．
∴第一排应安排18名演员.
9．【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证.
【详解】
（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】
关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即
可得证.10．【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得 ,消
积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】
（1）由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【点睛】
本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由
,得到 ，进而得到 是关键一步；要熟
练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）
的递推关系是常用的重要的思想方法.
11．【答案】证明见解析.
【分析】
先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，最终得证.
【详解】
∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【点睛】
在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况.
