5.1 任意角和弧度制
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：任意角 ..........................................................................2
考点二：象限角 ..........................................................................2
考点三：轴线角 ..........................................................................3
考点四：终边相同的角的集合 ........................................................3
考点五：角度制与弧度制的概念 .....................................................4
考点六：扇形中的弧长公式和面积公式 .............................................4
模块二：题型分类 .........................................................................4
题型一：任意角的概念 .................................................................4
题型二：终边相同的角 .................................................................5
题型三：象限角的判定 .................................................................7
题型四：终边在某条直线上的角的集合 .............................................9
题型五：区域角 ........................................................................10
题型六：角的终边的对称问题与垂直问题 ........................................11
题型七：弧度制的概念 ...............................................................13
题型八：角度与弧度的互化 .........................................................14
题型九：用弧度表示角或范围 .......................................................15
题型十：弧长公式 .....................................................................16
题型十一：扇形面积公式 ............................................................17
题型十二：扇形中的最值问题 .......................................................19
模块三：综合巩固 .......................................................................21
5.1 任意角和弧度制
模块一：基础知识
考点一：任意角
1.角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
2.角的表示如图：①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④
记法：图中的角可记为“角”或“
”或“
AOB”.
3.角的表示
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：
名称
定义
图形
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角.
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角.
零角
一条射线没有做任何旋转.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
4.角的相等
设角由射线OA 绕端点O 旋转而成，角
由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
旋转量相等，那么就称=
.
5.角的加、减法
①角的加法:设,
是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角
，这时终边所对应的角是+
.
②相反角的概念:我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角
的相反角记为- .
③角的减法:像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-
= +(-
).这样，角
的减法可以转化为角的加法.
考点二：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几
象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
{ | 360
360
90 ,
}
k
k
k
Z
第二象限角
{ | 360
90
360
180 ,
}
k
k
k
Z
第三象限角
{ | 360
180
360
270 ,
}
k
k
k
Z
或
{ | 360
180
360
90 ,
}
k
k
k
Z
第四象限角
{ | 360
270
360
360 ,
}
k
k
k
Z
或
{ | 360
90
360
,
}
k
k k
Z
考点三：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
①
终边落在x 轴非负半轴
{
|
360
,
}
k k
Z
②
终边落在y 轴非负半轴
{
|
360
90 ,
}
k
k
Z
③
终边落在x 轴非正半轴
{
|
360
180 ,
}
k
k
Z
或{
|
360
180 ,
}
k
k
Z
④
终边落在y 轴非正半轴
{
|
360
270 ,
}
k
k
Z
或{
|
360
90 ,
}
k
k
Z
⑤
终边落在x 轴
{
|
180
,
}
k k
Z
⑥
终边落在y 轴
{
|
180
90 ,
}
k
k
Z
或{
|
180
90 ,
}
k
k
Z
⑦
终边落在坐标轴
{
|
90
,
}
k k
Z
考点四：终边相同的角的集合
1.所有与角终边相同的角为
|
360
k
k
Z
，
2.区间角、区域角
区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如
.终边介于某两
角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.
3.角的终边的对称问题与垂直问题
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角
就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
角α,β 终边的位置关系
α,β 的关系
α 与β 的终边关于x 轴对称
α 与β 的终边关于y 轴对称
α 与β 的终边关于原点对称
α 与β 的终边在一条直线上
α 与β 的终边垂直
α 与β 的终边关于直线y=x 对称
α 与β 的终边关于直线y=-x 对称
考点五：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度角，记作1 rad ，或1 弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式： 180
rad
0
180
1
57.30
57 18
rad
，1
180 rad
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
0
30
45
60
90
120
135
150
180
弧制度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
考点六：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：
r
l
|
|
(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：
2
|
|
2
1
2
1
r
r
l
S
.
模块二：题型分类
题型一：任意角的概念
1.经过2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.
A．60°，720°
B．－60°，－720°
C．－30°，－360°
D．－60°，720°
2.（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运
行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了
5π
6
．”
B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了
7π
6
．”
C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35 时，时针与分针所夹的钝角为67π
72 ．”
D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22 次．”
3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2 小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数
为
.
题型二：终边相同的角
1.下列各角中，与2183角终边相同的是（ ）
A．23
B．23
C．47
D．47
2.（多选）与457
角终边相同的角的集合是（ ）
A．
360
457 ,
k
k
Z
B．
360
97 ,
k
k
Z
C．
360
263 ,
k
k
Z
D．
360
263 ,
k
k
Z
3.下列角的终边与60角的终边关于x 轴对称的是（ ）
A．660
B．660
C．690
D．690
4.已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α 与120°角终边相同，则α= ．
5.若角𝛼、𝛽的终边相同，则𝛼−𝛽的终边在（ ）．
A．x 轴的正半轴上
B．x 轴的负半轴上
C．y 轴的正半轴上
D．y 轴的负半轴上
6.若𝛼与𝛽的终边互为反向延长线，则有（ ）
A．𝛼= 𝛽± 180°
B．𝛼= −𝛽
C．𝛼= 𝛽+ 𝑘⋅180°,𝑘∈Z
D．𝛼= 𝛽+ 𝑘⋅360° + 180°,𝑘∈Z
题型三：象限角的判定
1.给出下列四个命题：①−
π
3是第四象限角；②
5π
4 是第三象限角；③−
13π
6 是第二象限角；④
7π
2 是第一象限
角．其中正确命题的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2.若𝛼是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．90°−𝛼
B．180°−𝛼
C．270°−𝛼
D．−𝛼
3.设𝛼是第二象限角，则
𝛼
3的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
4.已知为第二象限角，则2
所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第二或第四象限
D．第一或第三象限
题型四：终边在某条直线上的角的集合
1.写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
2.若角α 的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线
3
y
x
上，则角α 的取值集合是
3.在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x 轴的非负半轴上；
(2)终边在
0
y
x x
上．
题型五：区域角
1.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
2.集合
π
π
π
π
,
Z
4
2
k
k
k
中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角2
的取值范围是
．
4.用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
题型六：角的终边的对称问题与垂直问题
1.列角的终边与60°角的终边关于𝑥轴对称的是（ ）
A．660°
B．−660°
C．690°
D．−690°
2.𝛼是一个任意角，则𝛼的终边与3𝜋−𝛼的终边（ ）
A．关于坐标原点对称
B．关于𝑥轴对称
C．关于𝑦轴对称
D．关于直线𝑦= 𝑥对称
3.若2𝜋< 𝛼< 4𝜋，且角𝛼的终边与角−
7𝜋
6 的终边垂直，则𝛼= （ ）
A．
7𝜋
3
B．
10𝜋
3
C．
4𝜋
3 或
7𝜋
3
D．
7𝜋
3 或
10𝜋
3
4.若𝛼= 2𝑘π +𝜃,𝛽= (2𝑘+ 1)π−𝜃,其中𝑘∈𝑍,则角𝛼与𝛽的终边（ ）
A．关于原点对称
B．关于𝑥轴对称
C．关于𝑦轴对称
D．关于𝑦= 𝑥对称
题型七：弧度制的概念
1.下列与45终边相同角的集合中正确的是（ ）
A．
|
2 π
45 ,
k
k
Z
B．
π
|
360
,
4
k
k
Z
C．
7
|
2 π
π,
4
k
k
Z
D．
π
|
π
,
4
k
k
Z
2.若
5rad
，则角的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.自行车的大链轮有88 齿，小链轮有20 齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（ ）
A．5
11
B．44
5
C．5
22
D．22
5
4.列说法正确的是（ ）
A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大
C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
题型八：角度与弧度的互化
1.把下列各角从度化为弧度：
(1)120；
(2) 25
．
2.（多选）下列各角中，与角495终边相同的角为（ ）
A．3π
4
B．
5π
4
C．
9π
4
D．13π
4
3.设r 为圆的半径，弧长为1
2
r
的圆弧所对的圆心角为（ ）
A．90
B．180
C．270
D．360
4. 5π
12 化为角度是（ ）
A．60
B．75
C．115
D．135
题型九：用弧度表示角或范围
1.将－1485°化成
2
0
2 ,
k
k
Z 的形式是（ ）
2.写出一个与角1280
终边相同的正角：
（用弧度数表示）.
3.已知
1520
.
(1)将写成
2 π
,0
2π
k
k
Z
的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与终边相同的角，满足4π
0
．
4.已知角
1200
.
(1)将改写成
2 π
Z,0
2π
k
k
的形式，并指出是第几象限的角；
(2)在区间
2π,2π
上找出与终边相同的角．
题型十：弧长公式
1.若扇形的圆心角为120，半径3
2 .则它的弧长为
.
2.已知扇形面积3π
8 ，半径是1，则扇形的周长是（ ）
A．3π
1
16
B．3π
2
8
C．3π
2
4
D．3π
1
2
3.若扇形的面积是
2
4cm ，它的周长是10cm ，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．
1
2
B．π
2
C．1
4
D．π
4
4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为
.
题型十一：扇形面积公式
1.已知扇形弧长为π
3 ，圆心角为2，则该扇形面积为（ ）
A．
2
π
18
B．
2
π
36
C．π
3
D．1
2.圆心角为2 的扇形的周长为4，则此扇形的面积为
.
3.于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻
中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇
形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分，已知
1m
AD
，弧
π m
3
AB
，弧
2π m
3
CD
，则此扇环形砖雕的面
积为
2
m ．
4.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中
心角为2π
3 ，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为
cm2
题型十二：扇形中的最值问题
1.已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若
60
，
6
R
，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
2.已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3
2
D．2
3.已知扇形的圆心角是
0
，半径为R .
（1）若
60
，
10cm
R
求扇形的弧长l .
（2）若扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
4.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.r
(1)若
60
，
3
r ，求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为16 ，当为多少弧度时，该扇形面积最大? 并求出最大面积．
5.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若
150 ,
10
r
，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
6.知一扇形的圆心角为
(
0)
，所在圆的半径为R.
（1）若
60
，
10
R
cm
，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
模块三：综合巩固
1.若角α＝30°，把角α 逆时针旋转20°得到角β，则β＝
.
2.下列各角中，与43角终边重合的是（ ）
A．137
B．143
C．317
D．343
3.下列各角中，与43∘角终边重合的是（ ）
A．137∘
B．143∘
C．−317∘
D．−343∘
4.下列各组中，终边相同的是（ ）
A．(2𝑘+ 1)𝜋与
4𝑘+ 1
2
𝜋(𝑘∈𝑍)
B．𝑘𝜋+
𝜋
3与𝑘𝜋−
𝜋
3(𝑘∈𝑍)
C．𝑘𝜋+
𝜋
2与𝑘𝜋−
𝜋
2(𝑘∈𝑍)
D．2𝑘𝜋+
2𝜋
3 与2𝑘𝜋−
2𝜋
3 (𝑘∈𝑍)
5.已知角的顶点与原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，855°是第几象限角（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
6.若角的终边在函数y
x
的图象上，试写出角的集合为
．
7.用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说
明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）
8.已知是第一象限角，那么（ ）
A．2
是第一、二象限角
B．2
是第一、三象限角
C．2
是第三、四象限角
D．2
是第二、四象限角
9.若角是第二象限角，试确定角2，3
是第几象限角．
10.将−315∘化为弧度制，正确的是（ ）
A．−
5π
3
B．−
5π
4
C．−
7π
4
D．
π
4
11.将－1485°化成𝛼+ 2𝑘𝜋(0 ≤𝛼< 2𝜋,𝑘∈𝑍)的形式是（ ）
A．
π
4−8π
B．
7
4𝜋−8𝜋
C．
𝜋
4−10𝜋
D．
7
4𝜋−10𝜋
12.下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是−
7𝜋
6 rad
B．−
10𝜋
3 rad化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
3𝜋
8 rad
D．
𝜋
12rad化成度是15°
13.玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是
一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ）
A．
2
2700cm
B．
2
3500cm
C．
2
4300cm
D．
2
4800cm
14.如图，半径为1 的圆M 与直线l 相切于点A，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M 时，圆M 与
直线l 相切于点B，点A 运动到点A，线段AB 的长度为3π
2 ，则点M 到直线BA的距离为 ．
15.写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
16.已知一扇形的圆心角为
0
，周长为C ，面积为S ，弧长为l ,所在圆的半径为r ．
(1)若
30
，
8
r ，求扇形的弧长；
(2)若
16
C
，
16
S
，求扇形的半径和圆心角．
