文档内容
专题 4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念-重难点题型精讲
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角 ”或“ ”或“ AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角 , 终边相同，则它们的关系为：将角 的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角 .
一般地，我们有：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，
称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示③轴线角的集合表示
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的 .这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
(3)弧度数
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，那么 .其中， 的正负由角 的终边的
旋
转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是
一个负数，零角的弧度数是0.
4．角度与弧度的换算
(1)弧度与角度的换算公式(2)用弧度表示终边相同的角
用弧度表示与角 终边相同的角的一般形式为 ，这些角所组成的集合为
.
5．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为 .
(1)弧长公式
由公式 ，可得 .
(2)扇形面积公式
.
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
6．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设 是一个任意角， ∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做 的正弦函数，记作 ，即y= ；
②把点P的横坐标x叫做 的余弦函数，记作 ，即x= ；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 = (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离
为r.则 = ， = ， = .
7．三角函数的定义域和函数值的符号
(1)三角函数的定义域
(2)三角函数值在各象限的符号
由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知
①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；
②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；
③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.
因此，正弦函数( )、余弦函数( )、正切函数( )的值在各个象限内的符号如图所示.【题型1 象限角及终边相同的角】
【方法点拨】
(1)象限角的判定：判断角 是第几象限角的常用方法为将 写成 （其中 ， 在
范围内）的形式，观察角 的终边所在的象限即可.
(2)终边相同的角的表示：根据与角 终边相同的角的集合为 ，进行求解即可．
【例1】（2021秋•惠农区校级期末）集合{ |k•180°+45°≤ ≤k•180°+90°，k Z}中的角 的终边在图中的
位置（阴影部分）是（ ） α α ∈ α
A． B．
C． D．
【解题思路】先看当k取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限，把
二者的范围取并集．
【解答过程】解：当k取偶数时，比如k＝0时，45°≤ ≤90°，故角的终边在第一象限．
当k取奇数时，比如k＝1时，225°≤ ≤270°，故角的终α 边在第三象限．
故选：C． α
【变式1-1】（2022春•莲湖区期末）若角2 与240°角的终边相同，则 等于（ ）
A．120°+k•180°，k Z α B．120°+k•360°，k Z α
C．240°+k•360°，k∈Z D．240°+k•180°，k∈Z
【解题思路】根据终∈边相同的角的集合表示方法，即可得解． ∈
【解答过程】解：因为角2 与240°角的终边相同，
所以2 ＝240°+k•360°，k Zα，
所以 α＝120°+k•180°，k ∈Z．
故选：αA． ∈
α
【变式1-2】（2021春•焦作期中）已知角 的终边与300°角的终边重合，则 的终边不可能在（ ）
3
α
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
α
【解题思路】根据题意，由终边相同的角的表示方法可得 =120°•k+100°，（k Z），由此按k的值分
3
∈情况讨论，分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，角 的终边与300°角的终边重合，则 ＝360°•k+300，（k Z），
α α α ∈
则 =120°•k+100°，（k Z）
3
∈
α
当k＝3n， 在第二象限；
3
α
当k＝3n+1， 在第三象限；
3
α
当k＝3n+2， 在第四象限；
3
α
则 的终边不可能在第一象限，
3
故选：A．
2π
【变式1-3】（2022春•宝鸡期末）若角 的终边在y轴的负半轴上，则角α+ 的终边在（ ）
3
α
A．第一象限 B．第二象限
C．y轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上
【解题思路】根据正角负角的概念，象限角的概念即可求解．
【解答过程】解：∵若角 的终边在y轴的负半轴上，
2π α
∴α+ 的终边在第一象限．
3
故选：A．
【题型2 弧度制及其应用】
【方法点拨】
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
4π
【例2】（2022春•印台区校级期末）已知扇形的圆心角为120°，面积为 ，则该扇形所在圆的半径为（
3
）
A．1 B．2 C．√3 D．√2
【解题思路】利用扇形的面积公式，即可直接解出．2π
【解答过程】解：设扇形所在圆的半径为r，120°= ，
3
1 2π 4π
∴S= × ×r2= ，
2 3 3
∴r＝2，
故选：B．
【变式2-1】（2022春•滨州期末）若扇形的周长为12cm，面积为8cm2，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
【解题思路】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，
l
进而根据公式 = 求出扇形圆心角的弧度数．
r
α
【解答过程】解：设扇形的弧长为l，半径为r，则2r+l＝12，①
1
∵S扇形 = lr＝8，②
2
解①②得：r＝4，l＝4或者r＝2，l＝8，
4 8
∴扇形的圆心角的弧度数是： =1；或 =4．
4 2
故选：A．
π
【变式2-2】（2022春•唐河县校级月考）如果弓形的弧所对的圆心角为 ，弓形的弦长为4，则弓形的面
3
积是（ ）
4 4π 8π 8π
A． ﹣4√3 B． −4√3 C． −4√3 D． −2√3
9 3 3 3
π
【解题思路】利用题中的条件解出弓形所在圆的半径，进而即可解出．
【解答过程】解：设弓形所在圆的半径为r，
π 2
∴sin = ，
6 r
∴r＝4，
1 π 8π
弓形所在的扇形面积为：S = × ×42= ；
1
2 3 3
√3
正三角形的面积为：S = ×42＝4√3；
2
4
8π
所以弓形的面积为：S＝S ﹣S = −4√3，
1 2
3故选：C．
【变式2-3】（2022春•河南月考）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为 6000份，每一份叫做1
密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画
一条短线，如7密位写成“0﹣07”，478密位写成“4﹣78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用
密位制表示为12﹣50，则该扇形的面积为（ ）
10π 5π 5π
A． B．2 C． D．
3 3 6
π
【解题思路】直接利用扇形的面积公式的应用求出结果．
1250×360° 5π
【解答过程】解：由于 =75°= ，
6000 12
1 5π 10π
所以S = ×r2 ⋅ = ．
扇形 2 12 3
故选：A．
【题型3 任意角的三角函数的定义】
【方法点拨】
任意角的三角函数的定义的应用
(1)直接利用任意角的三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这
个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过任意角的三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
【例3】（2022春•西城区校级期末）若点M（−√3，1）在角 的终边上，则tan ＝（ ）
√3 √3 α α
A． B．− C．√3 D．−√3
3 3
【解题思路】直接利用任意角的三角函数的定义直接求出tan 即可．
【解答过程】解：点M（−√3，1）是角 终边上一点，
α
y α 1 √3
由任意角的三角函数的定义可知tan = = =− ，
x −√3 3
α
故选：B．
2√2
【变式3-1】（2022春•富平县期末）已知P（﹣2，y）是角 终边上一点，且sinθ= ，则y的值是（
5
θ
）
2√2 2√2 4√34 4√34
A．− B． C．− D．
5 5 17 17
【解题思路】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得y的值．【解答过程】解：∵点P（﹣2，y）是角 终边上一点，且 2√2 y ，
sinθ= =
5 √4+ y2
θ
√32 4√34
∴y= = ，
17 17
故选：D．
3
【变式3-2】（2022春•丽水期末）已知角 的终边经过点P（﹣1，m），且sin =− ，则tan 的值是（
5
α α α
）
3 3 3 4
A．± B． C．− D．
4 4 4 3
【解题思路】由正弦函数的定义求得m，再由正切函数的定义得答案．
【解答过程】解：∵角 的终边经过点P（﹣1，m），∴|OP| ，
=√m2+1
α
m 3 3
则sin = =− ，解得m=− ，
√m2+1 5 4
α
3
∴tan ＝﹣m= ．
4
α
故选：B．
【变式3-3】（2022春•丹东期末）平面直角坐标系xOy中，角 的顶点在坐标原点O，始边是x轴的非负
半轴，终边经过点P（m，1），若tan ＝﹣2，则m＝（ α）
1 α 1
A．﹣2 B．− C． D．2
2 2
【解题思路】直接利用三角函数的定义的应用建立方程，进一步求出m的值．
【解答过程】解：终边经过点P（m，1），若tan ＝﹣2，
1 α
所以 =−2，
m
1
解得：m=− ；
2
故选：B．
【题型4 三角函数值符号的判定】
【方法点拨】
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限
的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【例4】（2022春•陈仓区期末）已知 为第二象限角，则（ ）
A．sin ＜0 B．tan ＞0 α C．cos ＜0 D．sin cos ＞0
【解题α思路】根据三角函数值α在各象限的符号直接判α断． α α
【解答过程】解：∵ 为第二象限角，
∴sin ＞0，cos ＜0，αtan ＜0，
故选：αC． α α
【变式4-1】（2022春•宿州期中）下列各式的符号为正的是（ ）
5π π
A．cos3 B．sin cos(− )
3 6
7π
C．sin2﹣cos2 D．tan
8
【解题思路】直接利用三角函数值的符号得答案．
π
【解答过程】解：∵ ＜3＜ ，∴cos3＜0；
2
π
5π π √3 √3 3
sin cos(− )=− × =− ＜0；
3 6 2 2 4
π
∵ ＜2＜ ，∴sin2＞0，cos2＜0，sin2﹣cos2＞0；
2
π
π 7π 7π
∵ ＜ ＜ ，∴tan ＜0．
2 8 8
π
故选：C．
【变式4-2】（2022春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，角 以Ox为始边，若sin ＜cos ，
且tan ＞1，则 的终边位于（ ） α α α
A．第α一象限 α B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】由题意画出图形，取交集得答案．
3π π
【解答过程】解：由sin ＜cos ，得− +2kπ＜ ＜ +2kπ，k Z．
4 4
α α α ∈
π π
由tan ＞1，得 +kπ＜α＜ +kπ，k Z．
4 2
α ∈
3π π
取交集，可得− +2kπ＜ ＜− +2kπ，k Z．
4 2
α ∈
∴ 的终边位于第三象限．
故α选：C．kπ |sinx| |cosx| 2|tanx|
【变式4-3】（2022春•海淀区校级月考）已知{x|x≠ ，k Z}，则函数y= + −
2 sinx cosx tanx
∈
的值可能是（ ）
A．1 B．﹣4 C．4 D．﹣2
【解题思路】讨论x在第一象限，x在第二象限，x在第三象限，x在第四象限四种情况分别化简得到答
案．
kπ |sinx| |cosx| 2|tanx|
【解答过程】解：{x|x≠ ，k Z}，当x在第一象限时：y= + − =1+1﹣2＝
2 sinx cosx tanx
∈
0；
|sinx| |cosx| 2|tanx|
当x在第二象限时：y= + − =1﹣1+2＝2；
sinx cosx tanx
|sinx| |cosx| 2|tanx|
当x在第三象限时：y= + − =−1﹣1﹣2＝﹣4；
sinx cosx tanx
|sinx| |cosx| 2|tanx|
当x在第四象限时：y= + − =−1+1+2＝2．
sinx cosx tanx
故选：B．
