曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第五章 三角函数与解三角形
5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式
及诱导公式
五年高考
考点一 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.(2022全国甲理,8,5分,综合性)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中
收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图, ⏜ 是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB
AB
的中点,D在 ⏜ 上,CD⊥AB.“会圆术”给出
AB
⏜ CD2
AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+ .当OA=2,∠AOB=60°时,s=( )
OA
11-3√3 11-4√3 9-3√3 9-4√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 B
2.(2020课标Ⅱ理,2,5分,基础性)若α为第四象限角,则( )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
答案 D
3.(2011课标,5,5分,综合性)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终
边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )
4 3 3 4
A.- B.− C. D.
5 5 5 5
答案 B
4.(2018北京文,7,5分,综合性)在平面直角坐标系中, ⏜ , ⏜ , ⏜ , ⏜ 是圆x2+y2=1上的四
AB CD EF GH
段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则P
所在的圆弧是( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A. ⏜ B. ⏜
AB CD
C. ⏜ D. ⏜
EF GH
答案 C
5.(2021北京,14,5分,基础性)若点A(cos θ,sin θ)关于y轴的对称点为B cos
( π) ( π) ,则θ的一个取值为 .
θ+ ,sin θ+
6 6
5π
答案 (答案不唯一)
12
6.(2012山东,16,4分,综合性)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置
在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)
时,⃗OP的坐标为 .
答案 (2-sin 2,1-cos 2)
考点二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.(2019课标Ⅰ文,7,5分,基础性)tan 255°=( )
A.-2-√3B.−2+√3
C.2-√3D.2+√3
答案 D
2.(2014大纲全国,3,5分,基础性)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
答案 C
3.(2018课标Ⅰ文,11,5分,综合性)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重
2
合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α= ,则|a-b|=( )
3
1 √5 2√5
A. B. C. D.1
5 5 5
答案 B曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
4.(2012山东,7,5分,综合性)若θ∈[π
,
π]
,sin 2θ=
3√7,则sin θ=( )
4 2 8
3 4 √7 3
A. B. C. D.
5 5 4 4
答案 D
5.(2018浙江,18,14分,综合性)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,
它的终边过点P( 3 4).
- ,-
5 5
(1)求sin(α+π)的值;
5
(2)若角β满足sin(α+β)= ,求cos β的值.
13
解析 (1)由角α的终边过点P( 3 4) 4 4.
- ,- 得sin α=− ,所 以s(iαn+π)=−sin α=
5 5 5 5
(2)由角α的终边过点P( 3 4) 3,
- ,- 得cos α=−
5 5 5
5 12
由sin(α+β)= 得cos(α+β)=± .
13 13
由β=(α+β)-α得cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-
56 16
或cos β= .
65 65曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
三年模拟
A组 考点基础题组
考点一 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.(2022石家庄一模,2)已知角α的终边上一点P的坐标为(-2,1),则cos α的值为( )
√5 √5 2√5 2√5
A. B.− C. D.−
5 5 5 5
答案 D
3
2.(2022长沙一中月考(八),1)若角α的终边过点P(8m,-3),且tan α= ,则m的值为( )
4
1 1 √3 √3
A.- B. C.− D.
2 2 2 2
答案 A
3.(2022山东滕州第一中学开学考,4)已知角α的终边上一点P的坐标为
( 5π 5π),则角α的最小正值为( )
sin ,cos
6 6
π 2π 7π 5π
A. B. C. D.
6 3 6 3
答案 D
4.(2020湖南永州祁阳二模,6)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终
边在直线y=-2x上,则sin 2θ=( )
3 3 4 4
A. B.− C. D.−
5 5 5 5
答案 D
5.(2022上海长宁一模,5)在直角坐标系xOy中,角α的始边为x轴的非负半轴,顶点为坐
标原点,若角α的终边经过点(-3,4),则sin(α+π)= .
4
答案 -
5
考点二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1-2sin2α
1.(2022湖北九师联盟3月质检,4)若tan(α-π)=2,则 =( )
1+sin2α
1 1
A.- B.−3C. D.3
3 3
答案 A
sin3α-sinα
2.(2022河北邯郸一模,4)已知tan α=-3,则 =( )
( π)
sin α+
2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3 3 3 3
A.- B. C. D.−
4 4 10 10
答案 C
3.(2022福建名校联盟全国优质校大联考,7)若cos 2α=1+2cos α,则sin2α+sin4α的值为(
)
√5-1
A.√5−1B.
2
C.1 D.√2
答案 C
4.(2020广东茂名化州二模,15)已知曲线f(x)=
2 sin2α-cos2α 的值为
x3在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为α,则
3 2sinαcosα+cos2α
.
3
答案
5
B组 综合应用题组
时间:30分钟 分值55分
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
1.(2022海南三模,5)若α∈(π
,π
)
且cos 2α=
24,则tan α=( )
2 25
1 1
A.-7 B.- C. D.7
7 7
答案 B
π cos2θ
2.(2022湖南三湘名校联盟联考,5)已知0<θ< ,设a=tan 2θ,b= ,c=sin
4 2(1-sin2θ)
2θ,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.c>a>b
答案 C
3.(2022广东一模,4)为解决皮尺长度不够的问题,实验小组利用自行车来测量A,B两点之
间的直线距离.如图,先将自行车前轮置于点A,前轮上与点A接触的地方标记为点C,然
后推着自行车沿AB直线前进(车身始终保持与地面垂直),直到前轮与点B接触.经观测,
在前进过程中,前轮上的标记点C与地面接触了10次,当前轮与点B接触时,标记点C在
前轮的左上方(以下图为观察视角),且到地面的垂直高度为0.45 m.已知前轮的半径为
0.3 m,则A,B两点之间的距离约为(参考数值:π≈3.14)( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.20.10 m B.19.94 m
C.19.63 m D.19.47 m
答案 D
4.(2022重庆八中高考适应性月考(五),8)在平面直角坐标系xOy中,角α的始边为x轴的
非负半轴,终边与单位圆O的交点P(x
0
,y
0
)在第一象限内,若sin(
α+
π)
=
3,则x
0
=( )
3 4
3+√21 3√3±√7 3√3-√7 3√3+√7
A. B. C. D.
8 8 8 8
答案 C
5. (2022湖北黄冈蕲春实验高级中学一模,6)若α∈(
π,
3π)
,且
cos2α
=
1,则cos2α+
2 1-sin2α 4
sin 2α=( )
47 7 7 1
A. B. C. D.
32 10 4 2
答案 B
6.(2022重庆第七次质检,6)“传得淮南术最佳,皮肤退尽见精华.旋转磨上流琼液,煮月铛中
滚雪花.”推豆花是传统的劳动技能,早在汉朝时期,劳动人民就发明了豆腐,通过连杆带动
石磨转动,碾碎黄豆,磨出豆浆,再利用胆水,点出豆花,压成豆腐(如图1).推石磨的过程(如
图2)中,推磨人(身体在A点)发力推动连杆,带动石磨逆时针转动,随着连杆移动,人体适
当倾斜.当连杆在PQ处与磨盘圆面相切时,人侧倾到A
1
(AA 1⊥OA)处,此时能使得推磨效
率最大.若OQ=r,TA=a,AA
1
=b,∠TOQ=θ,则下列等式成立的是( )
图1
图2
A.r=acos θ+bsin θ
B.r=asin θ+bcos θ
C.r=(a+r)cos θ+bsin θ
D.r=(a+r)sin θ+bcos θ
答案 C
二、多项选择题(共5分)曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
7.(2022河北仿真模拟卷(二),9)已知tan θ=2,则下列结论正确的是( )
A.tan(π-θ)=-2
B.tan(π+θ)=-2
sinθ-3cosθ 1
C. =−
2sinθ+3cosθ 7
4
D.sin 2θ=
5
答案 ACD
三、填空题(每小题5分,共20分)
8.(2022广东茂名高州二模,14)已知锐角α的终边上一点P的坐标为
√1-cos80° √1+cos80° ,则α= .
,
2 2
答案 50°
9.(2022长沙雅礼中学第七次月考,13)若tan α=2,则cos(π )= .
+2α
2
4
答案 -
5
10.(2022广东梅州丰顺、五华一模,16)数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三
角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C
为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为
2π,则其面积是 .
答案 2π-2√3
11.(2022安徽蒙城第六中学开学考,16)以Ox为始边作锐角α,角α的终边与单位圆交于
π
点P(x ,y ),将角α的终边逆时针旋转 得到角β,角β的终边与单位圆相交于点Q(x ,y ),
1 1 2 2
3
则y +y 的取值范围为 .
1 2
答案 (√3 ]
,√3
2
一年创新
