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湖南省常德市汉寿县第一中学 2024-2025 学年
高一下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题
1. 复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算化简复数，由虚部定义可得结果.
【详解】 ， 的虚部为 .
故选：A.
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，得到 ，从而求出交集.
【详解】因为 ， ，所以
故选： A.
3. 在 中，点 是边AC上靠近点A的三等分点，点 是 的中点．若 ，则
（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题首先由平面向量的线性运算分解向量 ，进而结合平面向量基本定理得到 和 的取值，
计算得到结果.
【详解】如图，由题意可得
，
因为 ，
所以由平面向量基本定理可得： ，
所以 .
故选：B.
4. 若 为第四象限角，且 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系计算得出.
【详解】①，
因为 ，
又因为 为第四象限角，由 可知 ，
所以① ，
故选：A
5. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜
幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把
以上这段文字写成公式，就是： ．在 中，已知角A、B、C所对
边长分别为 ，其中 为方程 的两根， ，则 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求 的面积即可.
【详解】由题意 ，则 .
故选：C
6. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则的形状是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 腰与底不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边，然后求出 的关系可判断．
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，所以 ，化简得 ，
所以 ， ，即 ， 是等边三角形．
故选：D．
7. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出不等式 ，然后可得答案.
【详解】由 可得 ，然后可得
因为由 可以推出 ，反之不成立
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件
故选：A
8. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析函数 的单调性，再根据单调性解不等式即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴函数 在 上单调递减，
∵ ，
∴ ，
∴ ，或 ，
解得 ，或 ，
∴原不等式的解集是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性解不等式，属于基础题．
二、多选题
9. 已知向量 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 在 上的投影向量为 ，则向量 与 的夹角为
C. 若 与 共线，则 为 或
D. 存在 ，使得【答案】AB
【解析】
【分析】根据 得到 ，即可得到 ，即可判断A选项；根据投影向量
得到 ，即可得到 ，即可判断B选项；根据 与 共线和 得到
，解得 ，根据 可得 ，即可得到 的坐标，即可判断C选项；假设
成立，可得到 ，与 矛盾，即可判断D选项.
【详解】对于A，若 ，则有 ，即 ，A正确；
对于B， ， ， 在 上的投影向量为 ，所以
，∵ ，∴ ，B正确；
对于C，若 与 共线，设 ，所以有 ，解得 ，
因为 ， ，∴ ，所以 ，C不正确；
对于D，若 成立，则 与 反向，所以 ， ， ，
解得 ，即有 ，则 ，与 矛盾，故D不正确．
故选：AB.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的最小值为-1
C. 是函数 的图象的一条对称轴
D. 不是奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦型三角函数的性质，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】易知 ，故A正确；
，则 ，
，故B错误；
当 时，则 ，由正弦函数的对称轴为 ，故C正确；
对于D， 不是奇函数，故D正确．
故选：ACD．
11. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.
【详解】对于A选项， 定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为偶函数，故A正确；
对于B选项， 定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为奇函数，故B错误；
对于C选项， 定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为非奇非偶函数，故C错误；
对于D选项， 定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为偶函数，故D正确，
故选：AD.
三、填空题
12. 已知复数 ，那么 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由复数的运算法则计算可得结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
故答案为：13. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，角 平分线交 于点 ，
，则 的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理解 得AD，由正弦定理解得∠ABD，从而得∠ABC，根据三角形内角和得
∠C，再正弦定理解得BC即可求得面积.
【详解】
中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得AD=2，
再由正弦定理得 ，显然 是锐角，
则 ，
∴ ，
又 是锐角，所以 ，
故 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
故答案为：
14. 函数 是定义在 上的偶函数，并且当 时， ，那么
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合对数的运算，以及 ，即可求解.
【详解】由函数 是定义在 上的偶函数，且 时， ，
又由 .
故答案为： .
四、解答题
15. 已知 为单位向量.
（1）若 ，求 的夹角；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 得 ，两边同时平方得到 ，从而求解 的夹角即可；
（2）由 得 ，求 ，先平方再开方即可求解.【小问1详解】
由于 ，所以 ，
两边平方得 ，又 为单位向量，
所以 ，设 的夹角为 ，则 ，
所以 ，故 的夹角为 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
由 ，故 ，
所以
故 .
16. 在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次
为 ， ， ．已知 ， ．
（1）求角B：
（2）若 的面积为 ，求c．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【
分析】（1）由已知可得 ，结合余弦定理可得 ，结合已知可得 ，进而求
得 ；（2）由（1）可求得 ，进而由正弦定理可得 ， ，从而由面积可求得 .
【小问1详解】
因为 ，所以
由余弦定理 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，且 ，所以 ．
【小问2详解】
由（1）可得 ， ， ，
从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ， ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 ．
17. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为 ，半径为 米的扇形
空地 如图 改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的
内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案 让矩形的一个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
方案 让矩形的两个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】方案 ，如图 所示，设 ，将 ， 都用 表示，再根据矩形的面积公式结合三
角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论
方案 ，如图 所示，过点 作 的垂线分别交 ， 于 ， ，设 ，将 ， 都
用 表示，从而可将矩形的面积表示成 的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
【详解】解：选择方案 ，
如图 所示，矩形 内接于扇形 ，
在直角 中，设 ，则 ，在直角 中，可得 ，
所以 ，
设矩形 的面积为 ，
则
由 ，可得 ，
当 ，即 时，
平方米
所以，当 时，活动场地面积取得最大值，最大值为 平方米．
选择方案 ，
如图 所示，矩形 内接于扇形 ，
过点 作 的垂线分别交 ， 于 ，
由对称性可知， 平分 ，
在直角 中，设 ，则 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，
设矩形 的面积为 ，
则
，
由 ，可得 ，
当 ，即 时， 平方米 ，
因此，当 时，活动场地面积取得最大值为 平方米．
18. 已知 ，函数 是 上的奇函数.
（1）求 的值：
（2）判断 的单调性并用定义证明：
（3）若关于 的不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）4 （2） 单调递增，证明过程见解析
（3）
【解析】【分析】（1）根据题意得到 ，求出 ，验证后得到答案；
（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论；
（3）求出 ，结合（2）中函数单调性得到不等式，求出 的取值范围.
【小问1详解】
因为 是 上的奇函数，所以 ，
即 ，解得 ，经验证，满足要求；
【小问2详解】
在R上单调递增，证明如下：
任意 ，且 ，
则 ，
因为 在R上单调递增，所以 ，
，即 ，
故 在R上单调递增；
【小问3详解】
在R上单调递增， ，
，
由于 在R上单调递增，故 ，解得 ，
实数 的取值范围是 .19. 对 于 数 集 ， 其 中 ， ， 定 义 向 量 集
，若对任意 ，存在 使得 ，则称 具有性质 ．
（1）判断 是否具有性质 ；
（2）若 ，且 具有性质 ，求 的值；
（3）若 具有性质 ，求证： 且当 时， ．
【答案】（1）具有性质
（2）4 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合新定义判断即可；
（2）在 中取 ，根据数量积 的坐标表示，求出可能的 ，再根据 求出符合条件的值即
可；
（3）取 ， ，由 ，化简可得 ，所以 异号，而 是
中的唯一的负数，所以 中之一为 ，另一个为1，从而得到 ，最后通过反证法得出 时，
.
【小问1详解】
具有性质 .
因为 ，
所以 ，
若对任意 ，存在 使得 ，
.
所以 具有性质
【
小问2详解】因为 ，且 具有性质 ，
所以可取 ，
又 中与 垂直的元素必有形式 中的一个，
当 时，由 ，可得 ，不符合题意；
当 时，由 ，可得 ，符合题意；
当 时，由 ，可得 ，不符合题意；
所以 .
【
小问3详解】
证明：取 ，设 ，满足 ，
所以 ，所以 异号，
因为 是 中的唯一的负数，
所以 中之一为 ，另一个为1，
所以 ，
假设 ，其中 ，则 ，
选取 ，并设 ，满足 ，
所以 ，则 异号，从而 之中恰有一个为 ，
若 ，则 ，显然矛盾；
若 ，则 ，矛盾，
所以当 时， ，
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参
数值.
