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湖南省常德市汉寿县第一中学 2024-2025 学年
高一下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题
1. 复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 在 中，点 是边AC上靠近点A的三等分点，点 是 的中点．若 ，则
（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 若 为第四象限角，且 ，则 值是（ ）
的
A. B. C. D.
的
5. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积 公式．以小斜幂并大斜
幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把
以上这段文字写成公式，就是： ．在 中，已知角A、B、C所对边长分别为 ，其中 为方程 的两根， ，则 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
6. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则
的形状是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 腰与底不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
7. 设 ，则“ ”是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知向量 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 在 上的投影向量为 ，则向量 与 的夹角为
C. 若 与 共线，则 为 或
D. 存在 ，使得
10. 已知函数 ，则（ ）A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的最小值为-1
C. 是函数 的图象的一条对称轴
D. 不是奇函数
11. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
12. 已知复数 ，那么 _________．
13. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，角 平分线交 于点 ，
，则 的面积为_____.
14. 函数 是定义在 上的偶函数，并且当 时， ，那么
__________.
四、解答题
为
15. 已知 单位向量.
（1）若 ，求 的夹角；
（2）若 ，求 值的.
16. 在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ， ．
（1）求角B：
（2）若 的面积为 ，求c．
17. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为 ，半径为 米的扇形
空地 如图 改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的
内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案 让矩形的一个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
方案 让矩形的两个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
18. 已知 ，函数 是 上的奇函数.
（1）求 的值：
（2）判断 的单调性并用定义证明：
（3）若关于 的不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围.
19. 对 于 数 集 ， 其 中 ， ， 定 义 向 量 集
，若对任意 ，存在 使得 ，则称 具有性质 ．
（1）判断 是否具有性质 ；（2）若 ，且 具有性质 ，求 的值；
（3）若 具有性质 ，求证： 且当 时， ．
