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专题14 解直角三角形之新定义模型
解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试
题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数
学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对
学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这
方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。
【知识储备】
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可
利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
1）正弦定理：如图1， （其中R是三角形外接圆的半径）。
图1 图2
2 ） 余 弦 定 理 ： 如 图 2 ，
．
1 1 1
S = absinC= bcsinA= acsinB
Δ 2 2 2
3）正弦面积公式：如图2， .
4）同角三角函数的基本关系式: ， 。
5）和（差）、二倍角角公式：; .
; .
.
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：
在 中， CD=asinB； 在 中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ；(2)为了办好湖
南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知
， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： ，
例2．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务．
利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角
中， ， ， 的对边分别是 ， ， 过点 作 于点 ，则 ，即
，于是 ．在 中， ，在 中，， ，整理得 ．任务：(1)
__________， __________；
(2)已知 中， ， ， 所对边分别是 ， ， ， ， ， ，求 ．
例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对
，a，b，c分别为 ， ， 的对边，则其面积
(1)在 中， ， ， ，求b边对应的高的长度．
(2)如图，在 中，已知 ， ，D为 上一点，证明： .
(3)正数a，b，c，d，e，f满足 ，证明： ．
例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问
题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c， ，则有下列面积公式：
（海伦公式）； （秦九韶公式）．
(1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在 中， ，
， ，求 的面积和 边上得高 的长．
例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α
﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan
（α+β）＝ （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角
的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝ ＝1，利用上述
公式计算下列三角函数①sin105°＝ ，②tan105°＝﹣2﹣ ，③sin15°＝ ，④cos90°＝0，
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例6．（2022春·浙江·九年级专题练习）1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交
流，得到以下思路：思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ，tanD=tan15°= = ．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设α=60°，β=45°代入差角正
切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= = ．
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座
小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角
（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．
例7．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，
一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以
在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．
如果 中， ，那么顶角A的正对记作 ，这时 = ．容易知道一个角的大小
与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果 的正弦函数值为 ，那
么 的值为 ．
例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在
中， ， ， ，求 （用含 ， 的式子表示）．聪明的小雯
同学是这样考虑的：如图2，取 的中点O，连接 ，过点C作 于点D，则 ，然后
利用锐角三角函数在 中表示出 ， ，在 中表示出 ，则可以求出
．阅读以上内容，回答下列问题：在 中， ， ．
(1)如图3， ， ，若 ，则 ______， ______；
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式（用含 ， 的式子表示）．
例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明： ．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥ AB于点E ，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴ ．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道
直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度
数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三
角形的第三条边一定可以求出来.应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推
导过程；如果不可以，说明理由．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函
数，即在图1所示的直角三角形 ， 是锐角，那么 的对边 斜边， 的邻边 斜
边， 的对边 的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度÷来规定一个角的三角函数的÷意义：
设有一个角α，我们以它÷的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴 ，建立直角坐标系（图2），
在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点 的距离为 （r总是
正的），然后把角α的三角函数规定为： ， ， ．我们知道，图1的四个比值的
大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，
而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上
是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若 ，则角α的三角函数值 、 、 ，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线 重合，则 的值；(3)若角α是钝角，其终边上一点 ，且 ，求 的值；
(4)若 ，则 的取值范围是 ．
课后专项训练
1．（2023春·浙江九年级课时练习）阅读材料：一般地，当 为任意角时， 与 的值可以用下面的公式求得： ： 根
据以上材料，解决下列问题：如图，在 中，AB是直径， ，点C、D在圆上，点C在半圆
弧的中点处，AD是半圆弧的 ，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·广东深圳·校联考一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1
成立.如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，设CD=h，
BE=a’，DE=b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数是（ ）
(1)a2+b2=c2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4) + =
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算； ，
．例如：当 ， 时，
，则 的值为_______．4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）定义：在 中， ，把∠Ａ的邻边与对边
的比叫做 的余切，记作 ．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ．
5．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：在 中， ，我们把 的对边与 的对边的比叫做
的邻弦，记作 ，即： ．如图，若 ，则 的值为 ．
6．（2023·广东·模拟预测）关于三角函数有如下的公式：
①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ；
③ ；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如
．根据上面
的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求 ，cos75°的值；(2)如图，直升机在一建筑物CD上方的点Α处测得建筑物顶端点D的俯角α为
60°，底端点C的俯角为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为30m求建筑物CD的高．
7．（2023·江西景德镇·九年级校考期中）如图，在锐角 中， ， ，
（1）请用 ， ， 表示 （余弦定理）； ______________；（2）证明你的结论．
（3）如图，已知 的外心为 ，内心为 ，重心为 ，若IG∥BC，证明 ．8．（2022·福建福州·校考模拟预测）小明在学习直角三角形的三角函数时发现：
如图1，在 中， 所对的边分别是a、b、c，
∵ ， （ ）
∴ ．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．
(1)如图2，在锐角三角形 中， 所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函
数的有关知识验证 ；
(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西
的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东 的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯
塔A在货轮的北偏西 的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．
9．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）古希腊数学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了计算三角形
面积的公式： ， （其中， ， ， 分别为三角形的三边长， 为三角形的面积）．我国宋代数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，也曾提出由三角形三边求三角形面
积的方法，它们实质上是相同的．请根据上面的公式解决问题：已知三角形的三边长分别为 ， ， ，若
， ， 是方程 的两个实数根，请利用上面的公式求该三角形的面积．
10．（2023·福建泉州·九年级统考期中）请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式 .求 的值，
即 .
试用公式 ，求出 的值.
11．（2023·山东淄博·九年级统考期中）计算
(1) ；(2) ；
(3)已知三角函数有如下的公式： ，利用该公式求 的值．12．（2023·山西·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan75°=tan（45°+30°）= = =
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：（1）计算：sin15°；（2）某校在开展爱国主义教
育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑
的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为 米，请你帮
助李三求出纪念碑的高度．
13．（2023春·山西·九年级专题练习）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学
习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅
读下列材料并完成相应的任务．
在 中， ， ， 的对边分别为a、b、c， 的面积为 ，过点A作 ，垂足
为D，则在 中，
∵ ∴
∴同理可得， ，
即 ……………①
由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又∵
∴将等式 两边同除以 ，得，
∴ …………………②
由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
理解应用：如图，甲船以 海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏
西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船
航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距 海里．
(1)求： 的面积；(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
14．（2023秋·陕西咸阳·八年级咸阳彩虹学校校考期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为 ， ，
，记 ，即 为 的周长的一半，则 （ 表示
的面积），把这个公式称为海伦公式．
(1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为 ， ， ，求这块地的面积；
(2)有一块空地 的面积为 ，则空地A的面积是空地 面积的几倍．15．（2022秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知 三条边的长度分别是 ， ，
，记 的周长为 ．(1)当 时， 的周长 __________（请直接写出答
案）．
(2)请用含 的代数式表示 的周长 （结果要求化简），并求出 的取值范围．如果一个三角形的
三边长分别为 ， ， ，三角形的面积为 ，则 ．
若 为整数，当 取得最大值时，请用秦九韶公式求出 的面积．
16．（2022·山东济宁·统考二模）在 中， ，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，
利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如 ， 等，这些公式在三角
函数式子的变形中运用比较广泛．设 ， 是锐角，定义：当 时，两角和的余弦公式：
．
例：计算 的值．
，
两角差的余弦公式： ．利用类比的方法运用公式求解．
(1)计算 _______．(2)计算 的值；
(3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积．
