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北大附中 2023 届高三适应性练习
数学
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算结果建立不等式求解.
【详解】由 知， ，
即 ，解得 ，
故选：B
2. 抛物线 的焦点到准线的距离是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先根据抛物线的方程求出 的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．
【详解】由 ，知 ＝4，而焦点到准线的距离就是 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．
3. 如图，点 为角 的终边与单位圆 的交点， （ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位圆、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解】由单位圆可知， ，且 为第一象限角，
根据同角三角函数的基本关系可得 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
4. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式定理，得出 展开式的通项，进而可得出结果.
【详解】因为 展开式的第 项为 ，令 ，则 ，
所以常数项为 .
故选：C.
5. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相
同”， 表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下 事件发生的概率即 （
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出 ， ，根据条件概率的计算公式即可求得答案.
【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，
则 ,
表示事件“抽到两名女同学”，则 ,
故 ,
故选：A
6. 已知圆 ，直线 上动点 ，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则
的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先得出切线长 的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【详解】圆 ： 中，圆心 ，半径
设 ，则 ，
则 ,
当 时， ，
故选：C
7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象恰好关于直线 对称，则 的
最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴可得 以及
的最小值.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为
，
因为其图象关于直线 对称，所以 ，
解得 ，则正数 的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴．属于基础题.
8. 设 均为非零向量，则“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不允分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的运算法则和公式 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由 ，则 ，即 ，
当 时，可得 ，此时 恒成立，
即充分性成立；
当 对于任意的实数 恒成立时，
可得 ，又 ，
所以 ，即必要性成立，
综上可得，“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的充分必要条件.
故选：C.
9. 已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件转化为 有解，求出 与 的切点，数形结合求解即可.
【详解】由题意 ， ，
即 有解，
先求 与 相切时，
过定点 ， 的导数 ，设切点为 ，则由导数可知 ，
所以 ，解得 ，
即切点为 ，此时切线斜率 ，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当 时，存在存在 ，使得 成立.
故选：B
10. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，
适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单
的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生
成1级科赫曲线“ ”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理
可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由 个与它的上一级图形相似，且相似比为 的部分
组成，则称 为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ）
A. B. C. 1 D.【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出 曲线是由把全体缩小 的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结
果.
【详解】由题意 曲线是由把全体缩小 的4个相似图形构成的，
则其相似的分形维数是 ，
故选：D.
二､填空题共5题，每题5分，共25分.
11. 若 ，则 的虚部是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，虚部为 .
故答案为：
12. 双曲线 的顶点坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】化为双曲线标准方程，写出顶点坐标.
【详解】因为 为双曲线方程，
所以 ，即 ，所以双曲线的顶点坐标为 .
故答案为：
13. 已知等比数列 ，记其前 项乘积 .若 ，则 _________； 的
前4项和为_________.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式求解.
【详解】由题意， ,
由 ，
解得 ， ,
所以 .
故答案为： ； .
14. 已知函数 在 上不是单调函数，且其图象完全位于直线 与
之间（不含边界），则 的一个取值为_________.
【答案】2(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据函数在 上不是单调函数利用导数确定 ，再由函数图象夹在两直线之间由正弦函数性
质列出不等式组求解 ，即可得解.
【详解】由 ，则 ，
因为 的最大最小值必在 中取得，且 在 上不是单调函数，所以必有 ，解得 ，
由 图象完全位于直线 与 之间，
所以 且 ，
即 恒成立，所以 ，
综上， .
故答案为：2(答案不唯一)
15. 如图所示，在 的长方形区域（含边界）中有 两点，对于该区域中的点 ，若其到 的距离
不超过到 距离的一半，则称 处于 的控制下，例如原点 满足 ，即有 点处
于 的控制下.同理可定义 处于 的控制下.
给出下列四个结论：
①点 处于 的控制下；
②若点 不处于 的控制下，则其必处于 的控制下；
③若 处于 的控制下，则 ；
④图中所有处于 的控制下的点构成的区域面积为 .
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据新定义，直接验证判断①，取特殊点判断②，根据定义求出点 所在区域，判断③，结合图象求出面积判断④.
【详解】由图可知 ,
设 ，则 ， ,满足 ，故①正确；
点 不处于 的控制下则 ，即 ，得不到 ，
例如取点 ， ， ， ，即
点 不处于 的控制下，也不处于B的控制下，故②错误；
若 处于 的控制下，则 ，设 ，
则 ，化简整理得 ，
作出图象如图，
由图可知，当点 在矩形且在圆及圆内部分满足 处于 的控制下,由图可知，当 处于 时，
有最大值 ，故③正确；
由③知 处于 的控制下点构成的区域面积，可以看作是 圆与矩形的面积之和，如图，故面积为 ，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点睛：本题作为一道创新型试题，关键在于理解所给新定义，对于①②可以利用具体点去直
接判断结论正确与否，在这一特殊化的过程中进一步理解新定义，对于③需要根据新定义求出点满足的轨
迹方程（边界），需要对求平面轨迹方程的方法熟练，关键在于求出点 所在区域，利用数形结合思想判
断③，对于④关键在于把区域分割为四分之一圆面与矩形，其中需要割补思想的应用.
三､解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；
（2）求出 ，再利用余弦定理求出 ，然后利用三角形面积公式可求得答案.
【小问1详解】
在 中，因为 ， ，所以由正弦定理得 .
【小问2详解】
因为 ，所以 .
由余弦定理 得 ，
解得 或 （舍）.
所以 的面积 .
17. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.
为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库 ，其中
“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点） 的搭配
频数
情况
“一个” 6
“一些” 4
“一穷” 2
“一条” 2
其他
假设用频率估计概率.
（1）求 的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为 ，求 的分布列和期望；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库 进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现
了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不
要求证明）
【答案】（1）16；
（2）分布列见解析；（3）“一个”在前更合适
【解析】
【分析】（1）根据表中数据即可求得a的值；根据古典概型的概率公示可求得甲类题材中“一”出现的概率；
（2）确定 ，根据二项分布的概率计算即可求得答案；
（3）计算样本语料库A， 中“一个”和“一格”出现的概率，比较大小，可得结论.
【小问1详解】
由题意可得 ；
故甲类题材中“一”出现的概率为 ；
【小问2详解】
由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为 ，
则 ，则 , ,
,
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
则
【小问3详解】
由题意知样本语料库 中“一格”出现的概率为 ，
甲类题材中“一个”出现的概率为 ，由于 ，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
18. 如图在几何体 中，底面 为菱形，
.
（1）判断 是否平行于平面 ，并证明；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面 与平面 所成角的大小；
（ii）求点 到平面 的距离.
条件①：面 面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】（1） 与平面 不平行，证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
的
【分析】（1）利用线面平行 判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；
（2）选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到
平面距离.【小问1详解】
不平行于平面 ，理由如下：
取 中点 ，
因为 ，所以
则四边形 为平行四边形，所以 ，又 ，所以 不平行于 ，
假设 平面 ，因为平面 平面 ， 平面
所以 ，与 不平行于 矛盾，所以假设不成立，即 不平行于平面 ；
【小问2详解】
选择条件①：
取 中点 ，连接
因为菱形 ，所以 为正三角形，又 为 中点，所以 ，
由于 ，所以 ，
又因为面 面 ，面 面 ， 面
所以 面 ，因为 面 ，所以
又因为 ， 面 ，所以 面 ，
而 面 ，所以 ，
所以如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则
（i）因为 面 ，所以 为平面 的一个法向量
设平面 的法向量为 ，因为
所以 ，令 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
所以 ，则
即平面 与平面 所成角大小为 ；
（ii）因为 ，由（i）知平面的一个法向量为
所以点 到平面 的距离为 .
选择条件②：连接 ，取 中点 ，连接
为
因 菱形 ，所以 为正三角形，又 为 中点，所以 ，由
于 ，所以 ，
在菱形 中，有 ，又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
又因为 ， 面 ，所以 面 ，
而 面 ，所以 ，
所以如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则
（i）因为 面 ，所以 为平面 的一个法向量
设平面 的法向量为 ，因为
所以 ，令 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
所以 ，则
即平面 与平面 所成角大小为 ；
（ii）因为 ，由（i）知平面的一个法向量为所以点 到平面 的距离为 .
条件③：
取 中点 ，连接
因为菱形 ，所以 为正三角形，又 为 中点，所以 ，由于
，所以 ，
因为 ，由（1）可得 ，所以
所以 ，即
因为 ，所以
又因为 ， 面 ，所以 面 ，
而 面 ，所以 ，
所以如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则
（i）因为 面 ，所以 为平面 的一个法向量
设平面 的法向量为 ，因为
所以 ，令 ，设平面 与平面 所成角为 ，
所以 ，则
即平面 与平面 所成角大小为 ；
（ii）因为 ，由（i）知平面的一个法向量为
所以点 到平面 的距离为 .
19. 已知椭圆 过点 ，长轴长为 .
（1）求椭圆 的方程及其焦距；
（2）直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与直线 交于点 ，
为坐标原点且 ，求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1） ，焦距为
（2）证明见解析，定点为 .
【解析】
【分析】（1）根据椭圆过点及 列方程组求解；
（2）设 ， ， ， ，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点 的坐标，根据已知
得到 + =0，再把韦达定理代入化简即得证.
【小问1详解】由题得 ，
所以椭圆 的方程为 ，焦距为 .
【小问2详解】
如图，
直线 与椭圆方程 联立，
化简得 ，
，即 .
设 , ， , ，则 ， ．
直线 的方程为 ，则 ，
直线 的方程为 ，则 ，
因为 ，所以 + =0，
所以 ，
所以 ，把韦达定理代入整理得 或 ，
当 时，直线方程为 ，过定点 ，
即点 ，不符合题意，所以舍去.
当 时，直线方程为 ，
过定点 .
所以直线 经过定点.
20. 已知函数 .
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）求 的极大值与极小值；
（3）证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
【答案】（1）
（2）见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可；
（3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明.
【小问1详解】
当 时， ， ，
所以 ，
又 ，
所以切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
，当 时， ，解得 ，
故 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
故 时， 的极小值为 ，无极大值；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 的极大值为 ，极小值为 ；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的极大值为 ，极小值为 ；
综上，当 时， 的极小值为 ，无极大值；当 时， 的极大值为 ，
极小值为 .
【小问3详解】
当 时，由（2）知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 时， 恒成立，
时， ，
又 的极大值为 ，极小值为 ，
所以存在实数 时，函数 有三个零点.
21. 已知A为有限个实数构成的非空集合，设 ， ，
记集合 和 其元素个数分别为 ， .设 .例如当 时，
， ， ，所以 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设A是由3个正实数组成的集合且 ， ；，证明： 为定
值；
（3）若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 ，设 ，
.已知 ， ，且对任意 ， ，求数列 的通项公式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题中的定义，列举出 ， 即可；
（2）先列举 ， ， ， 中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可；
（3）类比（1）（2）当数列由 到 ，为保证 成立，则必有其成等差数列，故猜想 ，可用数学归纳法给予证明.
【小问1详解】
当 时， ， ，
，所以 ；
【小问2详解】
设 ，其中 ，
则 ，
，
因 ，
，
因 ，
所以 ， ， ， ，
又 ，
， ，
所以 ，
因 ， ， ，
，
，
因 ， ， ， ，所以 ， ， ， ，
， ， ，
所以
所以 为定值；
【小问3详解】
，
若 ，
则 ，
,
故 ，
，
此时 ，不符合题意，
故 ，
猜想 ，下面给予证明，
当 时，显然成立，
假设当 ， 时，都有 成立，即 ，
此时 ， ，
故 ， ，
，符合题意，，
则 ，
，
若 ，
的元素个数小于
的元素个数，
则有 ，
不符合题意，故 ，
综上，对于任意的 ，都有 ，
故数列 的通项公式 .
【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到
集合的元素个数.
