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2022 高三数学适应性练习
（考试时间120分钟 满分150分）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．）
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（
）
A. B. C. D.
2. 复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A. 或 B. 或
.
C D.
4. 已知数列{ }为首项为2，公差为2的等差数列，设数列{ }的前n项和为 ，则 =（ ）
A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024
5. 已知 是两个不重合的平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则当实数 变化时， 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
7. 已知F为双曲线 的右焦点，A为双曲线C上一点，直线 轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若 ，则C的离心率 （ ）
A. B. C. D. 2
8. 如图，在圆 上取一点A（ ， ），点B为点A关于y轴的对称点，E，F为圆O上的
两点，且满足 ，则EF的斜率为（ ）
A. —2 B. C. —1 D.
9. 已知实数 是方程 的一个解， 是方程 的一个解，则 可
以是（ ）
A. B. C. D.
10. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是
黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底
与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 的等腰三角形(另一种是
顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个
黄金 中， .根据这些信息，可得 （ ）A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11. 函数 的最小正周期是____；最大值是______.
12. 若 ，则 ________．
13. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中
点，则 ____________．
的
14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形．请在下面给出 5个条件中选
出2个作为一组，使得它们能成为“在BC边上存在点Q，使得△PQD为钝角三角形”的充分条件
___________．（写出符合题意的一组即可）① ；② ；③ ；④ ；⑤
.
15. 已知函数 给出下列四个结论：
①f(x)的值域是 ；
②f(x)在 上单调递减：的
③f(x)是周期为 周期函数
④将f(x)的图象向左平移 个单位长度后，可得一个奇函数的图象
的
其中所有正确结论 序号是___________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在△ABC中， ，再从条件①、条件②中选择一个作为已知， 条件①： ；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．求：
（1） ；
（2）AC边上的高．
17. 从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间
志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000
多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从
全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照 ，
， ， ， 分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据
绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学
生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；（2）若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该
市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名
学生中达到“预期合格”的人数为 ，求 的分布列并求数学期望 ；
（3）用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在 的数据组成新样本组
A，其方差记为 ，把时间段在 的数据组成新样本组B，其方差记为 ，原来600个样本数据的
方差记为 ，试比较 ， ， 的大小（结论不要求证明）.
18. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点，已知 ，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）求 到平面 的距离．
19. 已知椭圆 ，点 ， 分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的焦点F也是抛物
线 的焦点，且 ．的
（1）求椭圆C 方程：
（2）设过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，问x轴上是否存在定点P，使点F到直线BP的
距离与点F到直线 的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
20. 已知函数
（1）讨论函数 在区间 内的单调性；
（2）若函数 在区间 内无零点，求 的取值范围．
21. 已知 是由正整数组成的无穷数列，对任意 ， 满足如下两个条件：① 是 的
倍数；② .
（1）若 ， ，写出满足条件的所有 的值；
（2）求证：当 时， ；
（3）求 所有可能取值中的最大值.
