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山西大学附中
2024 2025学年第一学期高三开学考试
~~
数 学 试 题
考查时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 （其中 是虚数单位），则 的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋
壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为
O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧 的长等于半径OA长的2倍，则圆材
埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A． B． C． D．9
5．已知 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关
键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了
“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”
五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程
不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种
数为（ ）．
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
7．在边长为4的菱形 中， ．将菱形沿对角线 折叠
成大小为 的二面角 ．若点 为 的中点， 为三棱锥
表面上的动点，且总满足 ，则点 轨迹的长度为
（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ， .若 在区间 内没有零
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学科网（北京）股份有限公司点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）
9．已知向量 ， 不共线，向量 平分 与 的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．向量 ， 在 上的投影向量相等 D．
10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座
舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离
地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装
了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按
逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当
时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮
的轴心 O 为原点，与地面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系，则
， 下 列 说 法 中 正 确 的 是
（ ）
A． 关于 的函数 是偶函数
B．若在 时刻，游客甲距离地面的高度相等，则 的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆
周上的点），则劣弧 的弧长 米
11．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共15分．）
12． 的展开式中常数项为 .（用数字作答）
13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这
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学科网（北京）股份有限公司样的一列数组成的数列 称为“斐波拉契数列”.那么 是斐波拉契
数列中的第 项.
14．已知函数 ，则方程
恰好有6个不同的解，则实数 的取值范围为 .
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤．）
15．（本题13分）已知递增的等比数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
16．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 分别为 上的
点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 为 的中点， ，求
二面角 的正切值.
17．在直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于 两点．
(1)若 点的横坐标为4，求抛物线在 点处的切线方程；
(2)探究 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司18.已知函数 ，若将 的图像上的所有点向右平
移 个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得到
函数 的图像．
(1)求函数 的周期和对称轴方程；
(2)若方程 在 上的零点从小到大依次为 ， ， ，求
的值；
(3)若方程 在 上的解为 ，求 ．
19．在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”.
(1)判断函数 是否为“ 旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数 是“ 旋转函数”，求 的最大值；
(3)若函数 是“ 旋转函数”，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司山西大学附中
2024 2025学年第一学期高三开学考试
~~
数 学 试 题
考查时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，即 ，此时 ，
由 ，得 ，而 ，所以 .
2．若复数 满足 （其中 是虚数单位），则 的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【详解】依题意， ， 的虚部是 .
3．已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A， ，为奇函数，排除；
对于B， ，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为 ，不是R，舍去，
故D正确.故选：D
4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”
模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙
壁截面ABCD为矩形，且劣弧 的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙
壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【详解】由题意得 ，劣弧 ，故扇形 的面积为
，设圆心角为 ，则 ，故 ，
故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为 .
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学科网（北京）股份有限公司5．已知 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，令 ，显然有 ，而 ，A不是；
对于B，当 ， 时， ，B不是；
对于C，当 ， 时，由 ，得 ，
当且仅当 时取等号，反之取 ，满足 ，而 不成立，
因此 是 成立的一个充分不必要条件，C是；
对于D，令 ，不等式 成立，而 ，D不是.故选：C
6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．
其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章
算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选
修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再
选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（
）．
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A
【详解】先将五门课程分成三组，再安排到三个学年中，则共有
种选修方式
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学科网（北京）股份有限公司7．在边长为4的菱形 中， ．将菱形沿对角线 折叠
成大小为 的二面角 ．若点 为 的中点， 为三棱锥
表面上的动点，且总满足 ，则点 轨迹的长度为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】连接 、 ，交于点 ，连接 ， 为菱形， ，
所以 ， ， ，所以 为二面角 的平面角，
于是 ，又因为 ，
所以 ，
取 中点 ，取 中点 ，连接 、 、 ，所以 、 ，
所以 、 ， ， 相交，所以 平面 ，
所以在三棱锥 表面上，满足 的点 轨迹为 ，
因为 ， ， ，
所以 的周长为 ，
所以点 轨迹的长度为 ．
8．已知函数 ， .若 在区间 内没有零点，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设有 ，
令 ，则有 即 .
因为 在区间 内没有零点，故存在整数 ，使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，因为 ，所以 且 ，故 或 ，
所以 或
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学科网（北京）股份有限公司二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）
9．已知向量 ， 不共线，向量 平分 与 的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．向量 ， 在 上的投影向量相等 D．
【答案】BC
【详解】作向量 ，在 中， ， ，
由向量 平分 与 的夹角，得 是菱形，即 ，
对于A， 与 不一定垂直，A错误；
对于B， ，即 ，B正确；
对于C， 在 上的投影向量 ，
在 上的投影向量 ，C正确；
对于D，由选项A知， 不一定为0，则 与 不一定相等，D错误.
10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座
舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离
地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装
了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按
逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当
时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮
的轴心 O 为原点，与地面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系，则
， 下 列 说 法 中 正 确 的 是
（ ）
A． 关于 的函数 是偶函数
B．若在 时刻，游客甲距离地面的高度相等，则 的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆
周上的点），则劣弧 的弧长 米
【答案】BCD
【详解】对A，由题意， ，
所以 ，当 时，可得 ，所以 ，
故 ，所以 是非奇非偶函数，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对B，由题意 ，即 ，
即 ，所以 ，或 ，
，即 或 ， ，故B正确；
对C，由题意 ，即 ，即 ，
所以 ， ，解得 .
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为 ，
因为 两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧 对应的圆心角是 ，
故 （m）.故D正确.
11．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若 为奇函数，则 ，则 的图象关于点 对称，且
，故A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 的周期为8，所以 ， ，在 中，令
，得 ，所以 ，故B正确；
对 两边同时求导，得 ，
所以导函数 的周期为8，所以 ，故C正确；
由 周期 ，得 ， ，对 两边同
时求导，得 ，令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共15分．）
12． 的展开式中常数项为 .（用数字作答）
【答案】84
【详解】根据通项公式 ,
令 ,解得 ,所以 ,
13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这
样的一列数组成的数列 称为“斐波拉契数列”.那么 是斐波拉契
数列中的第 项.
【答案】2024
【详解】由已知
， .即 是斐波拉契数列
中的第2024项.
14．已知函数 ，则方程
恰好有6个不同的解，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【详解】令 ， ，
作出 图象，作出 图像，
时， 有两根，设为 ， ，则 ， ，即
，此时有2个根， ，此时有2个根，共4个
根，不满足条件.
时， ，解得 或 或6，即 ，无解，
，2解， ，2解，共4个解，不满足条件.
时， ，有四个根，设为 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司其中 ， ， ， ，即 ，无解，
，无解， ，2解， ，2解，共4个解，不满足条件.
时， 有4个根，0，2， ， （ ）， ，1解，
，1解， ，2解， ，2解，共6解，满足条件.
时， ，有3个根，设为 ， ， ，
其中 ， ， ，即 有2解， 有2解，
有2解，共6解，满足条件.
时， ，有两根 和3， 有2个根，
有2个根，共4个根，不满足条件，综上 .
故答案为 .
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题13分）已知递增的等比数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等比数列 公比为 ，由题 ，…………2分
解得 ，…………4分 故 ．…………5分
（2） ，…………7分
所以 ，
…………9分
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学科网（北京）股份有限公司，…………11分
．…………13分
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学科网（北京）股份有限公司16．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 分别为 上的
点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 为 的中点， ，求
二面角 的正切值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】证明：方法1：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ， ，
因为底面 是平行四边形，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，…………2分
又因为 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，…………4分
又因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ，…………5分
因为 平面 ，所以 平面 .…………6分
方法2：利用线线平行证明，也可酌情给分
在 上取一点 ，使得 ，连接
证明出四边形 为平行四边形…………4分
得出 …………5分，证明 平面 .…………6分
（2）当 为 中点， ， ，易知 ， 为 中点，
又因为 平面 ，所以 两两垂直，…………8分
则以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如（1）图，
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，……10分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，……12分
所以 ，…………14分
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学科网（北京）股份有限公司故二面角 的正弦值为 ，正切值为 .故二面角
的正切值为 .…………15分
17．在直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于 两点．
(1)若 点的横坐标为4，求抛物线在 点处的切线方程；
(2)探究 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在；
【详解】（1）由已知，得 ，…………2分
因为 ，所以 ，斜率 ，…………4分
因此，切线方程为 ，即 ．…………6分
（2）存在符合题意的点 ，理由如下：…………7分
设点 为符合题意的点， ，直线 的斜率分别为 ．
联立方程 ，得 ，…………8分
因为 ，则 ，可得 ，…………10分
从而 ……12分
，……14分
因为 不恒为0，可知当且仅当 时，恒有 ，
则直线 与直线 的倾斜角互补，故 ，
所以点 符合题意．…………15分
注意：
1. 本题是利用点 位置证明 ，如果证明逻辑有误，扣1分.
2. 此处也可以带入 消去仍得到相同的式子
18.已知函数 ，若将 的图像上的所有点向右平
移 个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得到
函数 的图像．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的周期和对称轴方程；
(2)若方程 在 上的零点从小到大依次为 ， ， ，求
的值；
(3)若方程 在 上的解为 ，求 ．
【详解】（1） ，…3
分
，…………4分
令 ，得 ∴对称轴方程 ；…………5分
（2）由题意可得 …………7分，
由方程 由，可得 ，因为 ，则
，令 ，则 ，所以 ， ，……9分
设 ，直线 与函数 在 上的图象四个交
点，
点 、 关于直线 对称，点 、 关于直线 对称，
点 、 关于直线 对称，
所以 ， ， ，即 ，…………10分
即 ，解得 ；…………11分
（3） 方程 在 上的解为 ，
∴ 为方程 在 上的两解，不妨设 ，
当 时， ， ， ，
， ， ， ，……
12分
， ，…… 13分
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学科网（北京）股份有限公司， ，…………15分
， ，∴ ．
…………17分
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学科网（北京）股份有限公司19．在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”.
(1)判断函数 是否为“ 旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数 是“ 旋转函数”，求 的最大值；
(3)若函数 是“ 旋转函数”，求 的取值范围.
【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)
【详解】（1）函数 不是“ 旋转函数”，因为 逆时针旋转 后与 轴重合，
当 时，有无数个 与之对应，与函数的概念矛盾，…… 2分
因此函数 不是“ 旋转函数”.…… 4分
（2）由题意可得函数 与函数 最多有1个交点，…… 5分
且 ，所以 最多有一个根，
即 最多有一个根，
因此函数 与函数 R 最多有1个交点，
即函数 在 上单调，…… 6分
因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，…… 8分
即 ， ，即 的最大值为 .…… 10分
（3）由题意可得函数 与函数 最多有1个交点，
即 ，
即函数 与函数 最多有1个交点，
即函数 在 上单调，…… 12分
，当 时， 所以 ，… 13
高二数学试题第11页 共12页
学科网（北京）股份有限公司分
令 ，则 ，… 14分
因为 在 上单调减，且 ，
所以存在 ，使 ，即 ，…15分
所以 在 单调递增， 单调递减，… 16分
所以 ，即 ..…… 17分
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学科网（北京）股份有限公司
