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2023-2024 学年第一学期 11 月高三阶段测试卷
数学
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合 ，然后求出集合 ，从而再求 .
【详解】由题意得： ，
所以 ，又因为 ，
所以 .
故选：B.
2. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数除法求得 后可得其共轭复数．
【详解】由题意 ，∴ ．
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知 ，则 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数不等式可解得 ，再由充分不必要条件可得出选项.
【详解】由 可得 ，所以 ；
根据题意可知选项需满足是 的真子集，
易知选项中只有选项C符合题意；
故选：C.
4. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据“1”的灵活应用，结合基本不等式求解.
【详解】正数 ， 满足 ，即 ，
则 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
5. 在 中，点 是 的中点，点 是 的中点，点 在线段 上并且 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又点 是 的中点，点 是 的中点，所以 ，
故 .
故选：D.
6. 已知“不小于 的最小的整数”所确定的函数通常记为 ，例如： ，则方程
的正实数根的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为 与 的图象交点问题，再利用新定义作出图像即可得解.
【详解】要求方程 的正实数根，即求 与 的图像在 轴右侧的交点个数，
因为 ，作出 与 的大致图象，如图，
观察图象，可知 与 的图象有 共2个交点，
所以方程 的正实数根的个数是2个.
故选：C.
7. 已知函数 ，满足 ，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造 ，应用导数研究单调性，进而比较 大小即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ，则 ，
所以 单调递增，则 ，即 ，即 .
故选：A
8. 已知 又 ，对任
意的 均有 成立，且存在 使 ，方程 在
上存在唯一实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 化 简 可 得 ， 根 据 成 立 ， 且 存 在
，可知存在 使得 ，即 ，根据函数性质建立不等
式关系进行求解即可.
详解】由
【
，
其中 满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司又由任意的 均有 成立，
即任意的 均有 成立，
且存在 使 ，
可知 最大值为 ，
又 ，
当 时， ，
又 在 上存在唯一实数 使 ，
即 .
故选：A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】结合函数 的单调性，可判定A正确；结合特例和不等式的性质，可判定 B、正确，
C、D错误，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A中，由函数 在 上单调递增，因为 ，可得 ，所以A正确；
对于B中，由 ，可得 ，又由 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，若 ，此时 ，但 ，所以C错误；
对于D中，令 ，此时 ，但 ，所以D错误.
故选：AB.
10. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 在 上的投影向量是
B.
C. 向量 与向量 的夹角为
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先利用向量垂直坐标表示验证选项D，选项B利用平面向量模的公式计算即可，选项C利用向量
夹角坐标表示求解即可；选项A根据坐标求解投影向量即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，故D正确；
因为 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 ，故 错误；
在 方向上的投影向量是：
，
故A错误，
故选：BD.
11. 已知函数 ，则下面几个结论正确的有（ ）
A. 函数 为偶函数
B. 函数 为奇函数
C. 函数 在其定义域内单调递减
D. 函数 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义，即可判断 AB，由 在 上递减，即可判断 C，由
即可判断D.
【详解】函数 ，定义域 为 ，
所以函数 为奇函数，故 错误， 正确；
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学科网（北京）股份有限公司，显然 在 上递减，则 在 上递减，故C
正确；
函数 ，因为 ，所以 ，则 ，所以
，即 的值域为 ，故D正确.
故选:BCD.
12. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， ，且当
时， ，则（ ）
A. 是一个周期函数 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的对称性结合函数周期性的定义判断选项 A，根据奇函数的单调性比较大小判断B，根
据导函数的奇偶性判断C，结合函数的周期性及导数运算法则求得函数值符号判断D.
【详解】因为 ，所以 的图象关于 对称，
又 ，所以 的图象关于 对称，
因 为 ，即 ，所以 ，
所以函数是以4为周期的函数，故A正确；
因为 ，所以函数 为奇函数；
当 ，函数 在 上为减函数；
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学科网（北京）股份有限公司，
因为 在 上为减函数， ，
所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
从而 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：学会利用题干已知条件结合奇偶性和对称性，对抽象函数进行推导及其运算是解题关
键；本题考查了抽象函数的应用，考查奇偶性和对称性的综合运用以及利用导数研究函数的性质，属于综
合题，较难题.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若 为假命题，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据命题为假得出判别式大于等于零计算即可.
【详解】 恒成立是假命题，因此 ，解得 或 ，
故答案为： .
14. 已知函数 是R上的奇函数，且 ， ，若
，则不等式 的解集是__________.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据单调性的定义判断 的单调性，然后利用函数值的符号结合单调性解不等式即可.
【详解】函数 是 上的奇函数，在区间 单调递增，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
因为 ，即 .所以当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
那么 ，即 或 ，
所以得 或 .
故答案为： .
15. 函数 在 上恰有2个零点，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意 时， ，结合正弦函数图像，即可求出 的取值范围.
【详解】 ，
当 时， 在 有且仅有2个零点，
，综上： ，
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数 ，若方程 有4个解分别为 ，且
，则 __________.
【答案】10
【解析】
【分析】作出函数 图象，由对数函数的性质可得 ，有二次函数的对称性可得 ，
代入 求解即可.
【详解】作出函数 的大致图象，如下：
可知， 且当 时， 有2个解 ；
，
得 ；
当 时，由 有2个解 ，根据图象的对称性，得 .
.
故答案为：10.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知复数 满足 （ 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可；
（2）根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可.
【小问1详解】
由 ，
得 ，所以
【小问2详解】
因为 ，
所以
，
因为该复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
18. 已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 .
（1）求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若锐角 满足 ，求 的值.
【答案】（1） ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知及三角函数定义求得 ，再应用诱导公式求目标式的值；
（2）由（1）得 ，平方关系得 ，讨论 的象限，应用差角正
弦公式求目标函数值
【小问1详解】
由题设知： ，则 ，
又 ，
；
【小问2详解】
由（1）知： ，且 ，
又 为锐角， 为第四象限角，所以 为第四象限角或第一象限角.
当 为第一象限角时 ，则
，
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学科网（北京）股份有限公司当 为第四象限角时 ，则
.
19. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理的边角变换得到 ，从而得到 ，由此得解；
（2）利用正弦定理与三角形恒等变换得得 关于 的三角函数式，结合 的取值范围即可得解.
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知： ，所以 ，
故
，
因为 是锐角三角形，则 ，解得 ，
所以 ，则 ，故 .
20. 已知向量 .设函数 .
（1）求函数 的解析式及其单调递增区间；
（2）将 图象向左平移 个单位长度得到 图象，若方程 在 上有两个不
同的解 ，求实数 的取值范围，并求 的值.
【答案】（1） ，
（2）实数 的取值范围是 ，
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;
（2）利用函数的平移求出 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知
.由 ，可得 ，
函数 的单调增区间为 .
【小问2详解】
，
，得 ，
在区间 上单调递增，
同理可求得 在区间 上单调递减，
且 的图象关于直线 对称，
方程 ，即 ，
当 时，方程 有两个不同的解 ，由 单调性知，
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学科网（北京）股份有限公司在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且
故当 时，方程 有两个不同的解
，实数 的取值范围是 .
又 的图象关于直线 对称，
，即 .
21. 已知 ， ，其中 是自然对数的底数.
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）讨论 的单调区间；
（3）当 时， ，总有 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 ，即可求得 ，经检验符合题意；
（2）对参数 进行分类讨论，利用导函数正负即可求出函数 的单调性，即可得出单调区间；
（3）由 ，总有 成立可得，需满足 ，分别求出
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学科网（北京）股份有限公司对应的最值即可解得 的取值范围是 .
【小问1详解】
由题意可知 .
由已知得 ，解得 ，
此时 .
易知在区间 上， ；在区间 上，
即函数 在 处取得极小值，因此 .
【小问2详解】
由 可知 ，
所以可得 .
①若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
②若 ，即 ，则 在 上单调递减；.
综上所述，当 时， 的减区间是 ，
当 时， 的减区间是 ，增区间是
【小问3详解】
当 时，由②可知当 时，函数 取得最小值，即 .
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学科网（北京）股份有限公司又 ，可得函数 在区间 上单调递增.
即当 时，函数 取得最大值，且 .
若 ，总有 成立，
则必有对于 .
又 ，联立得 ，解得 ；
所以 的取值范围是
22. 已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数 的极值；
（2）已知 ，若 恒成立.求证：对任意正整数 ，都有
.
【答案】（1）极大值为 ，无极小值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对 求导，由导数的几何意义可得 ，代入 ，即可求得 的单调性和极
值.
（2）将不等式变形为 ，令 ，分离参数后构造函数，转为为求解
的最大值，即 时， 恒成立，令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司然后结合对数运算性质可求.
【小问1详解】
由 ，可得 ，
由条件可得 ，即 .
则 ，
令 可得 ，当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极大值为 ，无极小值.
【小问2详解】
，即 对任意的 恒成立，
即 ，其中 ，
令 ，则 ，即 ，
构造函数 ，则 ，令 ，得 ，列表如下：
+ 0 -
极大值
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，
即 时， 恒成立，
取 ，则 对任意的 恒成立，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
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学科网（北京）股份有限公司
