山西大学附属中学校2025届高三上学期开学考试数学试题+答案(1)_8月_240808山西大学附属中学校2024~2025学年高三上学期8月开学考试

山西大学附中 2024 2025 学年第一学期高三开学考试 ~~ 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．设集合A= { 1,3,a2} ，B={1,a+2}，若B⊆A，则a=（ ） A．2 B．1 C．−2 D．−1 2．若复数z满足(1+i)z=3+i（其中i是虚数单位），则z的虚部是（ ） A．1 B．-1 C．i D．−i 3．已知函数 f(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的解析式可能是（ ） A． f(x)=sin(tanx) B． f(x)=tan(sinx) C． f(x)=cos(tanx) D． f(x)=tan(cosx) 4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模 型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截 面ABCD为矩形，且劣弧 AB 的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内 部的阴影部分截面面积是（ ） 9 9 1 A．9− sin2 B． sin2 C．2− sin2 D．9 2 2 2 1 1 5．已知a>0，b>0，则使 + ≥4成立的一个充分不必要条件是（ ） a b A．a2+b2 =1 B．a+b≥4ab 1 1 C．a+b=1 D． + ≥8 a2 b2 6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关 键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九 章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要 求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大 三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．150种 B．210种 C．240种 D．540种 7．在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC =120°．将菱形沿对角线AC折叠 成大小为30°的二面角B′−AC−D．若点E为B′C的中点，F为三棱锥 B′−ACD表面上的动点，且总满足AC ⊥EF，则点F轨迹的长度为（ ） 4+ 6− 2 4+ 6+ 2 A． B． 2 2 C．4+ 6− 2 D．4+ 6+ 2 ωx 1 1 8．已知函数 f(x)=sin2 + sinωx− (ω>0)，x∈R.若 f(x)在区间(π,2π)内没有零点， 2 2 2 则ω的取值范围是  1  1 5   5  1 1 5 A．0,  B．0,  ∪  ,1 C．0,  D．0,  ∪  ,   8  4 8   8  8 4 8 二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有 高二数学试题第1页 共17页 学科网（北京）股份有限公司多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）       9．已知向量a，b不共线，向量a+b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）       A．a⋅b=0 B．(a+b)⊥(a−b)         C．向量a，b在a+b上的投影向量相等 D． a+b = a−b 10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱 里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面 高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个 座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向 匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当t=15时，游客 甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点， 与 地 面 平 行 的 直 线 为 x 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则 H(t)= Asin(ωt+ϕ)+b(A>0,ω>0,ϕ<π)，下列说法中正确的是（ ） A．H关于t的函数H(t)是偶函数 B．若在t ,t (t ≠t )时刻，游客甲距离地面的高度相等，则t +t 的最小值为30 1 2 1 2 1 2 C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D．若甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆 50π 周上的点），则劣弧PQ的弧长l = 米 3 11．已知非常数函数 f (x)及其导函数 f′(x)的定义域均为R，若 f (2−x)为奇函数， f (2x+4)为偶函数，则（ ） A． f (2)=1 B． f (2024)=−f (2020) C． f′(−1)= f′(7) D． f′(−2021)= f′(2025) 三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共15分．） 9 1  12．  − x 的展开式中常数项为 .（用数字作答） x  13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这 a2+a2+a2+...+a2 样的一列数组成的数列{a }称为“斐波拉契数列”.那么 1 2 3 2023 是斐波拉契数 n a 2023 列中的第 项.  −x2+2x+1,x≤2  1  14．已知函数 f (x)= ，则方程 f x+ +1=a恰  log 2 (x−2),x>2  4x  好有6个不同的解，则实数a的取值范围为 . 高二数学试题第2页 共17页 学科网（北京）股份有限公司四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题13分）已知递增的等比数列{a }的前n项和为S ，且a =2,S =7． n n 2 3 (1)求数列{a }的通项公式； n (2)设b =(log a +1)⋅a ，求数列{b }的前n项和T ． n 2 n n n n 16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E,F分别为AB,PD上的点， AE PF 且 = . EB FD (1)证明：AF//平面PCE； (2)若PD⊥平面ABCD,E为AB的中点，PD= AD=CD,∠BAD=60°，求二面 角P−CE−F 的正切值. 17．在直角坐标系xOy中，抛物线x2 =4y与直线l: y=kx+a(a>0)交于M,N两点． (1)若M 点的横坐标为4，求抛物线在M 点处的切线方程； (2)探究y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM =∠OPN？若存在，求出P点 坐标；若不存在，请说明理由． 3  18.已知函数g(x)= 3sin(3π−x)+sin π−x，若将y=g(x)的图像上的所有点向右平移 2  π 1 个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 6 2 h(x)的图像． (1)求函数g(x)的周期和对称轴方程；  π 5π (2)若方程h(x)=1在x∈   − 3 , 3   上的零点从小到大依次为x 1 ，x 2 ,，x n ，求 x +2x +2x ++2x +x 的值； 1 2 3 n−1 n 2 (3)若方程h(x)= 在(0,π)上的解为x,x ，求sin(x −x )． 5 1 2 1 2 高二数学试题第3页 共17页 学科网（北京）股份有限公司π 19．在平面直角坐标系中，如果将函数y= f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0α ) 2 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 f (x)为“α旋转函数”. π (1)判断函数y= 3x是否为“ 旋转函数”，并说明理由； 6 (2)已知函数 f (x)=ln(2x+1)(x>0)是“α旋转函数”，求tanα的最大值； x2 π (3)若函数g(x)=m(x−1)ex−xlnx− 是“ 旋转函数”，求m的取值范围. 2 4 高二数学试题第4页 共17页 学科网（北京）股份有限公司山西大学附中 2024 2025 学年第一学期高三开学考试 ~~ 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．设集合A= { 1,3,a2} ，B={1,a+2}，若B⊆A，则a=（ ） A．2 B．1 C．−2 D．−1 【答案】A 【详解】由A= { 1,3,a2} ，得a2 ≠1，即a≠±1，此时a+2≠1,a+2≠3， 由B⊆A，得a2 =a+2，而a≠−1，所以a=2. 2．若复数z满足(1+i)z=3+i（其中i是虚数单位），则z的虚部是（ ） A．1 B．-1 C．i D．−i 【答案】B 3+i (3+i)(1−i) 4−2i 【详解】依题意，z= = = =2−i，z的虚部是−1. 1+i (1+i)(1−i) 2 3．已知函数 f(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的解析式可能是（ ） A． f(x)=sin(tanx) B． f(x)=tan(sinx) C． f(x)=cos(tanx) D． f(x)=tan(cosx) 【答案】D 【详解】观察图象可知函数为偶函数， 对于A， f (−x)=sin ( tan(−x))=sin(−tanx)=−sin(tanx)=−f (x)，为奇函数，排除； 对于B， f (−x)=tan ( sin(−x))=tan(−sinx)=−tan(sinx)=−f (x)，为奇函数，排除；  π π  同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为− +kπ, +kπ，不是R，舍去，  2 2  故D正确.故选：D 4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模 型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截 面ABCD为矩形，且劣弧 AB 的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内 部的阴影部分截面面积是（ ） 9 9 1 A．9− sin2 B． sin2 C．2− sin2 D．9 2 2 2 【答案】A 【详解】由题意得OA=3，劣弧 AB=2OA=6 ，故扇形AOB的面积为 1 ×3×6=9， 2 6 1 9 设圆心角为θ，则θ= =2，故S = OA⋅OBsinθ= sin2， 3 AOB 2 2 9 故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为9− sin2. 2 高二数学试题第5页 共17页 学科网（北京）股份有限公司1 1 5．已知a>0，b>0，则使 + ≥4成立的一个充分不必要条件是（ ） a b A．a2+b2 =1 B．a+b≥4ab 1 1 C．a+b=1 D． + ≥8 a2 b2 【答案】C 2 1 1 【详解】对于A，令a=b= ，显然有a2+b2 =1，而 + =2 2<4，A不是； 2 a b 1 1 对于B，当a>0，b>0时，a+b≥4ab⇔ + ≥4，B不是； a b 1 1 1 1 b a 对于C，当a>0，b>0时，由a+b=1，得 + =(a+b)( + )=2+ + ≥4， a b a b a b 1 1 1 1 当且仅当a=b= 时取等号，反之取a=b= ，满足 + ≥4，而a+b=1不成立， 2 3 a b 1 1 因此a+b=1是 + ≥4成立的一个充分不必要条件，C是； a b 1 1 1 1 1 对于D，令a= ,b=2，不等式 + ≥8成立，而 + =3.5<4，D不是.故选：C 3 a2 b2 a b 6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其 中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”， “古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系 每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年 必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．150种 B．210种 C．240种 D．540种 【答案】A 【详解】先将五门课程分成三组，再安排到三个学年中，则共有  C2C2  C3+ 5 3 ⋅A3 =(10+15)×6=150种选修方式  5 A2  3 2 高二数学试题第6页 共17页 学科网（北京）股份有限公司7．在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC =120°．将菱形沿对角线AC折叠成 大小为30°的二面角B′−AC−D．若点E为B′C的中点，F为三棱锥B′−ACD 表面上的动点，且总满足AC ⊥EF，则点F轨迹的长度为（ ） 4+ 6− 2 4+ 6+ 2 A． B． 2 2 C．4+ 6− 2 D．4+ 6+ 2 【答案】A 【详解】连接AC、BD，交于点O，连接OB′，ABCD为菱形，∠ABC =120°， 所以AC⊥BD，OB′⊥ AC，OD⊥ AC，所以∠B′OD为二面角B′−AC−D的平面角， 1 于是∠B′OD=30°，又因为OB′=OD= AB=2， 2 所以 B′D= B′O2+DO2−2B′O⋅DOcos30 = 22+22−2×2×2× 3 = 6− 2 ， 2 取OC中点P，取CD中点Q，连接EP、EQ、PQ，所以PQ//OD、EP//OB′， 所以AC⊥EP、AC ⊥PQ，EP，EQ相交，所以AC⊥平面EPQ， 所以在三棱锥B′−ACD表面上，满足AC ⊥EF的点F轨迹为△EPQ， 1 1 1 因为EP= OB′，PQ= OD，EQ= B′D， 2 2 2 所以△EPQ的周长为 1 × ( 6− 2+2+2 ) = 4+ 6− 2 ， 2 2 4+ 6− 2 所以点F轨迹的长度为 ． 2 ωx 1 1 8．已知函数 f(x)=sin2 + sinωx− (ω>0)，x∈R.若 f(x)在区间(π,2π)内没有零点， 2 2 2 则ω的取值范围是  1  1 5   5  1 1 5 A．0,  B．0,  ∪  ,1 C．0,  D．0,  ∪  ,   8  4 8   8  8 4 8 【答案】D 1−cos 1 1 2  π 【详解】由题设有 f(x)= ωx+ sinωx− = sinωx−  ， 2 2 2 2  4 π 令 f (x)=0，则有ωx− π =kπ,k∈Z即 kπ+ 4 . 4 x= ,k∈Z ω π 5π kπ+ kπ+ 因为 f(x)在区间(π,2π)内没有零点，故存在整数k，使得 4 4 ， ≤π<2π< ω ω  1 ω≥k+   4 1 k 5 即 ，因为ω>0，所以k ≥−1且k+ ≤ + ，故k =−1或k =0， ω≤ k + 5 4 2 8  2 8 1 1 5 所以0<ω≤ 或 ≤ω≤ 8 4 8 高二数学试题第7页 共17页 学科网（北京）股份有限公司高二数学试题第8页 共17页 学科网（北京）股份有限公司二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）       9．已知向量a，b不共线，向量a+b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）       A．a⋅b=0 B．(a+b)⊥(a−b)         C．向量a，b在a+b上的投影向量相等 D． a+b = a−b 【答案】BC           【详解】作向量OA=a,OB=b，在OACB中，OC =a+b，BA=a−b，       由向量 a+b 平分a与b 的夹角，得OACB是菱形，即|a|=|b|，   对于A，a与b 不一定垂直，A错误；           对于B，(a+b)⋅(a−b)=a2−b2 =0，即(a+b)⊥(a−b)，B正确；       对于C，a  在 a  +b  上的投影向量 a⋅  (a+  b) (a  +b  )= a2  +a  ⋅b (a  +b  )， |a+b|2 |a+b|2          b  在 a  +b  上的投影向量 b⋅  (a+  b) (a  +b  )= b2  +a  ⋅b (a  +b  )= a2  +a  ⋅b (a  +b  )，C正确； |a+b|2 |a+b|2 |a+b|2       对于D，由选项A知，a⋅b不一定为0，则|a+b|与|a−b|不一定相等，D错误. 10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱 里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面 高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个 座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向 匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当t=15时，游客 甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点， 与 地 面 平 行 的 直 线 为 x 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则 H(t)= Asin(ωt+ϕ)+b(A>0,ω>0,ϕ<π)，下列说法中正确的是（ ） A．H关于t的函数H(t)是偶函数 B．若在t ,t (t ≠t )时刻，游客甲距离地面的高度相等，则t +t 的最小值为30 1 2 1 2 1 2 C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D．若甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆 50π 周上的点），则劣弧PQ的弧长l = 米 3 【答案】BCD 2π π 【详解】对A，由题意，A=50,b=110−50=60,T =30,ω= = ， 30 15  π  π 所以H(t)=50sin t+ϕ+60，当t=0时，可得sinϕ=−1，所以ϕ=− ， 15  2  π π 故H(t)=50sin t− +60,(t≥0)，所以H(t)是非奇非偶函数，故A错误； 15 2  π π  π π 对B，由题意H(t )=H(t )，即50sin t − +60=50sin t − +60， 1 2 15 1 2 15 2 2 π π π π π π 即cos t =cos t ，所以 t =2kπ+ t ，或 t =2kπ− t ， 15 1 15 2 15 1 15 2 15 1 15 2 高二数学试题第9页 共17页 学科网（北京）股份有限公司(k∈N,t ≠t ,t ≥0,t ≥0)，即t =t +30k或t +t =30k，(t +t ) =30，故B正确； 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 min  π π  π π 1 π 1 对C，由题意50sin t− +60≥85，即sin t− ≥ ，即cos t≤− ， 15 2 15 2 2 15 2 2π π 4π 所以2kπ+ ≤ t≤2kπ+ ，(k∈N)，解得30k+10≤t≤30k+20,(k∈N) . 3 15 3 所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，C正确； 对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱， 2π π 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为 = ， 36 18 π π 因为P,Q两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧PQ对应的圆心角是 ×6= ， 18 3 π 50π 故l= ×50= （m）.故D正确. 3 3 11．已知非常数函数 f (x)及其导函数 f′(x)的定义域均为R，若 f (2−x)为奇函数， f (2x+4)为偶函数，则（ ） A． f (2)=1 B． f (2024)=−f (2020) C． f′(−1)= f′(7) D． f′(−2021)= f′(2025) 【答案】BCD 【详解】因为非常数函数 f (x)及其导函数 f′(x)的定义域均为R， 若 f (2−x)为奇函数，则 f (2+x)=−f (2−x)，则 f (x)的图象关于点(2,0)对称，且 f (2)=0，故A错误； 因为 f (2x+4)为偶函数，所以 f (2x+4)= f (−2x+4)，即 f (x+4)= f (−x+4)， 则 f (x)= f (8−x)，又 f (2+x)=−f (2−x)，所以 f (x)=−f (4−x)， 所以 f (8−x)=−f (4−x)，即 f (x+4)=−f (x)，所以 f (x+8)= f (x)， 故 f (x)的周期为8，所以 f (2024)= f (0)， f (2020)= f (4)，在 f (x+4)=−f (x)中，令 x=0，得 f (4)=−f (0)，所以 f (2024)=−f (2020)，故B正确； 对 f (x+8)= f (x)两边同时求导，得 f′(x+8)= f′(x)， 所以导函数 f′(x)的周期为8，所以 f′(−1)= f′(7)，故C正确； 由 f′(x)周期T =8，得 f′(−2021)= f′(3)， f′(2025)= f′(1)，对 f (x)=−f (4−x)两边同 时求导，得 f′(x)= f′(4−x)，令x=1，得 f′(1)= f′(3)， 所以 f′(−2021)= f′(2025)，故D正确. 高二数学试题第10页 共17页 学科网（北京）股份有限公司三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共15分．） 9 1  12．  − x 的展开式中常数项为 .（用数字作答） x  【答案】84 【详解】根据通项公式T =Cn  1   9−n ( − x )n =(−1)n Cnx 3n 2 −18 , n+1 9x 9 3n−18 令 =0 ,解得n=6,所以T =(−1)6 C6 =84, 2 7 9 13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这 a2+a2+a2+...+a2 样的一列数组成的数列{a }称为“斐波拉契数列”.那么 1 2 3 2023 是斐波拉契数 n a 2023 列中的第 项. 【答案】2024 【详解】由已知a +a =a ,n≥2 n−1 n n+1 ∴a2+a2+a2+...+a2 =aa +a2+a2+...+a2 =a (a +a )+a2+...+a2 1 2 3 2023 1 2 2 3 2023 2 1 2 3 2023 =a a +a2+...+a2 =a (a +a )+a2+...+a2 =a a +a2+...+a2 2 3 3 2023 3 2 3 4 2023 3 4 4 2023 a2+a2+a2+...+a2 a2+a2+a2+...+a2 ==a a ，∴ 1 2 3 2023 =a .即 1 2 3 2023 是斐波拉契数列 2023 2024 a 2024 a 2023 2023 中的第2024项.  −x2+2x+1,x≤2  1  14．已知函数 f (x)= ，则方程 f x+ +1=a恰  log 2 (x−2),x>2  4x  好有6个不同的解，则实数a的取值范围为 . 【答案】(0,1] 1  1  【详解】令x+ +1=t， f x+ +1=a⇔ f (t)=a， 4x  4x  1 作出 f (x)图象，作出t=x+ +1图像， 4x 1° a>2时， f (t)=a有两根，设为t ，t ，则23，即 1 2 1 2 1 1 x+ +1=t ，此时有2个根，x+ +1=t ，此时有2个根，共4个 4x 1 4x 2 根，不满足条件. 9 1 2° a=2时， f (t)=a，解得t =1或 或6，即x+ +1=1，无解， 4 4x 1 9 1 x+ +1= ，2解，x+ +1=6，2解，共4个解，不满足条件. 4x 4 4x 3°13），x+ +1=0，1解，x+ +1=2， 4x 4x 1 1 1解，x+ +1=m，2解，x+ +1=n，2解，共6解，满足条件. 4x 4x 5° 00)交于M,N两点． (1)若M 点的横坐标为4，求抛物线在M 点处的切线方程； (2)探究y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM =∠OPN？若存在，求出P点 坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2x−y−4=0 (2)存在；P(0,−a) 【详解】（1）由已知，得M(4,4)，…………2分 1 1 1 因为y = x2，所以y′ = x，斜率k= ×4=2，…………4分 4 2 2 因此，切线方程为y−4=2(x−4)，即2x−y−4=0．…………6分 （2）存在符合题意的点P(0,−a)，理由如下：…………7分 设点P(0,b)为符合题意的点，M(x,y ),N(x ,y )，直线PM,PN 的斜率分别为k ,k ． 1 1 2 2 1 2 y=kx+a  联立方程 x2 ，得x2−4kx−4a=0，…………8分 y=  4 因为a>0，则∆=16k2+16a>0，可得x +x =4k,xx =−4a，…………10分 1 2 1 2 y −b y −b kx +a−b kx +a−b 从而k +k = 1 + 2 = 1 + 2 ……12分 1 2 x x x x 1 2 1 2 2kxx +(a−b)(x +x ) −8ka+4k(a−b) k(a+b) = 1 2 1 2 = = ，……14分 xx −4a a 1 2 因为k不恒为0，可知当且仅当b=−a时，恒有k +k =0， 1 2 则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM =∠OPN， 所以点P(0,−a)符合题意．…………15分 注意： 1. 本题是利用点P位置证明∠OPM =∠OPN，如果证明逻辑有误，扣1分. 2. k +k = y 1 −b + y 2 −b 此处也可以带入x2 =4y消去仍得到相同的式子 1 2 x x 1 2 3  18.已知函数g(x)= 3sin(3π−x)+sin π−x，若将y=g(x)的图像上的所有点向右平移 2  π 1 个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 6 2 h(x)的图像． (1)求函数g(x)的周期和对称轴方程；  π 5π (2)若方程h(x)=1在x∈   − 3 , 3   上的零点从小到大依次为x 1 ，x 2 ,，x n ，求 x +2x +2x ++2x +x 的值； 1 2 3 n−1 n 2 (3)若方程h(x)= 在(0,π)上的解为x,x ，求sin(x −x )． 5 1 2 1 2 高二数学试题第14页 共17页 学科网（北京）股份有限公司3   π 【详解】（1）g(x)= 3sin(3π−x)+sin π−x= 3sinx−cosx=2sinx− ，…3分 2   6 ∴T =2π，…………4分 π π 2π 2π 令x− = +kπ，得x= +kπ,k∈Z 对称轴方程x= +kπ,k∈Z；…………5分 6 2 3 3 （2）由题意可得h(x)=2sin  2x− π … ∴ ………7分，  3  π  π 1  π 5π 由方程h(x)=2sin2x− =1由，可得sin2x− = ，因为x∈  − ,  ，则  3  3 2  3 3  2x− π ∈[−π,3π]，令u =2x− π ，则u∈[−π,3π ]，所以sinu= 1 ，u∈[−π,3π ]，……9分 3 3 2 设u =2x − π( 1≤i≤n,i∈N*) ，直线y= 1 与函数y=sinu在u∈[−π,3π ]上的图象四个交 i i 3 2 点，  1  1 π  1  1 3π 点u , 、u , 关于直线u= 对称，点u , 、u , 关于直线u= 对称，  1 2  2 2 2  2 2  3 2 2  1  1 5π 点u , 、u , 关于直线u= 对称，  3 2  4 2 2 所以u +u =π，u +u =3π，u +u =5π，即u +2u +2u +u =9π，…………10分 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4 11π 即2(x +2x +2x +x )−2π=9π，解得x +2x +2x +x = ；…………11分 1 2 3 4 1 2 3 4 2  π 2 （3）方程h(x)=2sin2x− = 在(0,π)上的解为x,x ，  3 5 1 2  π 1 x,x 为方程sin2x− = 在(0,π)上的两解，不妨设x 0)是“α旋转函数”，求tanα的最大值； x2 π (3)若函数g(x)=m(x−1)ex−xlnx− 是“ 旋转函数”，求m的取值范围. 2 4 1 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)m≥e 2 π π 【详解】（1）函数y= 3x不是“ 旋转函数”，因为y= 3x逆时针旋转 后与y轴重合， 6 6 当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，…… 2分 π 因此函数y= 3x不是“ 旋转函数”.…… 4分 6 （2）由题意可得函数 f (x)=ln(2x+1)(x>0)与函数y=kx+b最多有1个交点，…… 5分 π  且k =tan −α，所以ln(2x+1)=kx+b(x>0)最多有一个根， 2  即ln(2x+1)−kx=b(x>0)最多有一个根， 因此函数y=ln(2x+1)−kx(x>0)与函数y=b(b∈R)最多有1个交点， 即函数y=ln(2x+1)−kx在(0,+∞)上单调，…… 6分 2 2 因为y′= −k，且x>0, ∈(0,2)， 2x+1 2x+1 2 2 所以y′= −k ≤0,k ≥ ，所以k ≥2，…… 8分 2x+1 2x+1 即tan   π −α  ≥2，tanα≤ 1 ，即tanα的最大值为 1 .…… 10分 2  2 2 x2 （3）由题意可得函数g(x)=m(x−1)ex−xlnx− 与函数y=x+b最多有1个交点， 2 x2 x2 即m(x−1)ex−xlnx− =x+b⇒m(x−1)ex−xlnx− −x=b， 2 2 x2 即函数y=m(x−1)ex−xlnx− −x与函数y=b最多有1个交点， 2 即函数y=m(x−1)ex−xlnx− x2 −x在(0,+∞)上单调，…… 12分 2 lnx+x+2 y′=mxex−lnx−x−2，当x→0时，y′→+∞，所以y′≥0⇒m≥  ，… 13分  xex  max lnx+x+2 (x+1)(−lnx−x−1) 令ϕ(x)= ，则ϕ′(x)= ，… 14分 xex x2ex 1 因为t =−lnx−x−1在(0,+∞)上单调减，且t >0，t(1)<0， 4 高二数学试题第16页 共17页 学科网（北京）股份有限公司所以存在x ∈   1 ,1  ，使t(x )=0，即lnx +x =−1⇒ln ( x ⋅ex0 ) =−1⇒x ⋅ex0 = 1 ，…15分 0 4  0 0 0 0 0 e 所以ϕ(x)在(0,x )单调递增，(x ,+∞)单调递减，… 16分 0 0 lnx +x +2 1 所以ϕ (x)=ϕ(x )= 0 0 = =e，即m≥e..…… 17分 max 0 x ex0 x ex0 0 0 高二数学试题第17页 共17页 学科网（北京）股份有限公司