2024年新高考九省联考新题型—综合能力题（学生版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024 年新高考九省联考新题型 - - 综合能力题
1 (2024·全国·校联考模拟预测)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a }满足：0≤a<a <a <⋅⋅⋅
n 1 2 3
<a ，且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a+a 或a-a 是数列{a }中的项，则称数列{a }具有性质P．
k j i j i n n
(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；
(2)设数列{a }具有性质P，a(i=1，2，⋯，k)是{a }中的任意一项，证明：a -a 一定是{a }中的项；
n i n k i n
(3)若数列{a }具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a }是等差数列．
n n
2 (2024·全国·校联考一模)关于x的函数fx
1
 =lnx+2x-b(b>2)，我们曾在必修一中学习过“二分
法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”.
(1)证明：fx  有唯一零点a，且a∈1,b  ；
(2)现在，我们任取x∈(1,a)开始，实施如下步骤：
1
在 x 1 ,fx 1    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x 2 ,0  ；
在 x 2 ,fx 2    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x 3 ,0  ；
⋯⋯
在 x n ,fx n    处作曲线fx  的切线，交x轴于点x n+1 ,0  ；
可以得到一个数列x n  ，它的各项都是fx  不同程度的零点近似值.
(i)设x n+1 =gx n  ，求gx n  的解析式(用x 表示x )； n n+1
(ii)证明：当x 1 ∈1,a  ，总有x <x <a. n n+13 (2024·全国·校联考模拟预测)“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式(Bernoulli'sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 x∈-1,+∞
2
 ，在 n∈1,+∞  时，有不等式 1+x  n≥
1+nx成立；在 n∈0,1  时，有不等式 1+x  n≤1+nx成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当 n≥1时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知 a,a ,⋯,a n∈N*
1 2 n
 是大于-1的实数(全部同号)，证明
1+a 1  1+a 2  ⋯1+a n  ≥1+a+a +⋯+a 1 2 n
a 1,1 a 1,2 ⋯ a 1,m

a a ⋯ a
4 (2024·江苏南通·模拟预测)已知A =  2,1 2,2 2,m
m  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a a ⋯ a
m,1 m,2 m,m

(m≥2)是m2个正整数组成的m行
m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记da ,a
i,j s,t
 =a -a
i,j s,j
 +a -a
s,j s,t
 ．设n∈N*，若A 满
m
足如下两个性质：
①a ∈1,2,3;⋯,n
i,j
 (i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；
②对任意k∈1,2,3,⋯,n  ，存在i∈1,2,⋯,m  ,j∈1,2,⋯,m  ，使得a =k，则称A 为Γ 数表．
i,j m n
1 2 3

(1)判断A = 2 3 1 3 
3 1 2

是否为Γ 3 数表，并求da 1,1 ,a 2,2  +da 2,2 ,a 3,3  的值；
(2)若Γ 数表A 满足da ,a
2 4 i,j i+1,j+1
 =1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A 中各数之和的最小值；
4
(3)证明：对任意Γ 数表A ，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得da ,a
4 10 i,j s,t
 =0．5 (2024·全国·校联考模拟预测)设正整数数列A:a ，a ，⋯，a (N>3)满足a<a ，其中1≤i<j≤N.
1 2 N i j
如果存在k∈{2，3，⋯，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若N为偶数，证明：数列A:1，2，3，⋯，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2,3,⋯,N}
(3)如果a ≤2019，且对于任意k∈{2,3,⋯,N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的
N
最大值．
6 (2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦
AC BD
有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称 ⋅ (分式中各项均为有向线段长
BC AD
度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．
1
(1)证明：1-(D,B;C,A)= ；
(B,A;C,D)
(2)若l ，l ，l ，l 为平面上过定点P且互异的四条直线，L ，L 为不过点P且互异的两条直线，L 与l ，l ，
1 2 3 4 1 2 1 1 2
l ，l 的交点分别为A ，B ，C ，D ，L 与l ，l ，l ，l 的交点分别为A ，B ，C ，D ，证明：(A,B;C,D)=
3 4 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 1
(A ,B ;C ,D )；
2 2 2 2
(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若△EFG与△EFG的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，
则△EFG与△EFG对应边的交点在一条直线上．
37 (2024·河北·校联考一模)已知定义域为R的函数hx
4
 满足：对于任意的x∈R，都有hx+2π  =
hx  +h2π  ，则称函数hx  具有性质P.
(1)判断函数fx  =2x,gx  =cosx是否具有性质P；(直接写出结论)
(2)已知函数fx  =sinωx+φ 
3 5
<ω< ,φ
2 2

π
 <
2
 ，判断是否存在ω,φ，使函数fx  具有性质P？若存
在，求出ω,φ的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数fx  具有性质P，且在区间0,2π  上的值域为 f0  ,f2π    .函数gx  =sin fx    ，满足
gx+2π  =gx  ，且在区间0,2π  上有且只有一个零点.求证：f2π  =2π.
8 (2024·江西吉安·吉安一中校考一模)对于无穷数列{a }，“若存在a -a =tm,k∈N*,m>k
n m k
 ，必有
a -a =t”，则称数列{a }具有P(t)性质.
m+1 k+1 n
2n(n=1,2)
(1)若数列{a }满足a = n n 2n-5n≥3,n∈N*


 ，判断数列{a n }是否具有P(1)性质？是否具有P(4)性
质？
(2)对于无穷数列{a }，设T={x|x=a-a,i<j}，求证：若数列{a }具有P(0)性质，则T必为有限集；
n j i n
(3)已知{a }是各项均为正整数的数列，且{a }既具有P(2)性质，又具有P(3)性质，是否存在正整数N，
n n
k，使得a ，a ，a ，⋯，a ，⋯成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
N N+1 N+2 N+k9 (2024·全国·校联考模拟预测)已知有穷数列A:a ，a ，⋯，a (n≥3)中的每一项都是不大于n的正整
1 2 n
数.对于满足1≤m≤n的整数m，令集合Am
5
 = k   a =m，k=1，2，⋯，n  k  .记集合A(m)中元素的个
数为s(m)(约定空集的元素个数为0).
(1)若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)；
1 1 1
(2)若 + +⋯+ =n，求证：a,a ,⋯,a 互不相同；
1 2 n
s(a) s(a ) s(a )
1 2 n
(3)已知a=a,a =b，若对任意的正整数i，j(i≠j，i+j≤n)都有i+j∈A(a)或i+j∈A(a)，求a+a
1 2 i j 1 2
+⋯+a 的值.
n
10 (2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测)记U=1,2,⋯,100  .对数列a
n
 n∈N*  和U的
子集T，若T=∅，定义S =0；若T=t,t ,⋯,t
T 1 2 k
 ，定义S =a +a +⋯+a .例如：T=1,3,66
T t1 t2 t k
 时，S =
T
a+a +a .现设a
1 3 66 n
 n∈N*  是公比为3的等比数列，且当T=2,4  时，S =30.
T
(1)求数列a
n
 的通项公式；
(2)对任意正整数k1≤k≤100  ，若T⊆1,2,⋯,k  ，求证：S <a ； T k+1
(3)设C⊆U,D⊆U,S ≥S ，求证：S +S ≥2S .
C D C C∩D D11 (2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)若存在x 0 ∈D使得fx
6
 ≤fx 0  对任意x∈D恒成立，
则称x 0 为函数fx  在D上的最大值点，记函数fx  在D上的所有最大值点所构成的集合为M
(1)若fx  =-x2+2x+1,D=R，求集合M；
(2)若fx 
2x-x
=
 x
,D=R，求集合M；
4x
(3)设a为大于1的常数，若fx  =x+asinx,D=0,b  ，证明，若集合M中有且仅有两个元素，则所有满足
条件的b从小到大排列构成一个等差数列．
12 (2024·江西抚州·临川一中校考一模)若各项为正的无穷数列a
n
 满足：对于∀n∈N*，a2 -a2=
n+1 n
d，其中d为非零常数，则称数列a
n
 为D数列.记b =a -a .
n n+1 n
(1)判断无穷数列a = n和a =2n是否是D数列，并说明理由；
n n
(2)若a
n
 是D数列，证明：数列b
n
 中存在小于1的项；
(3)若a
n

n 1
是D数列，证明：存在正整数n，使得 >2024.
a
i=1 i13 (2024·江西南昌·南昌二中校考一模)若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”.
(1)求证：对任意“好数”m,m2-16一定为20的倍数；
(2)若m=p2-q2，且p,q为正整数，则称数对p,q
7
 为“友好数对”，规定：Hm 
q
= ，例如24=52-12，称数
p
对5,1  为“友好数对”，则H24 
1
= ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的Hm
5
 的最大值.
14 (2024·全国·校联考模拟预测)已知无穷数列a
n
 满足a =maxa ,a
n n+1 n+2
 -mina ,a
n+1 n+2
 (n=1,
2,3,⋯)，其中max{x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.
(1)当a=1，a =2时，写出a 的所有可能值；
1 2 4
(2)若数列a
n
 中的项存在最大值，证明：0为数列a
n
 中的项；
(3)若a >0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a ≤M？如果存在，写出一个
n n
满足条件的M；如果不存在，说明理由.15 (2024·河南·统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X=
1,2,⋯,p-1
8
 ，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um,⊗为um除以p的余数；设a∈X，1,a,
a2,⊗,⋯,ap-2,⊗两两不同，若an,⊗=b n∈0,1,⋯,p-2    ，则称n是以a为底b的离散对数，记为n=log(p) a
b．
(1)若p=11,a=2，求ap-1,⊗；
(2)对m,m ∈0,1,⋯,p-2
1 2
 ，记m⊕m 为m+m 除以p-1的余数(当m+m 能被p-1整除时，m⊕
1 2 1 2 1 2 1
m 2 =0)．证明：log(p) ab⊗c  =log(p) b⊕log(p) c，其中b,c∈X； a a
(3)已知n=log(p) b．对x∈X,k∈1,2,⋯,p-2
a
 ，令y=ak,⊗,y =x⊗bk,⊗．证明：x=y ⊗ynp-2
1 2 2
 ,⊗．
116 (2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需
要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=fx
9


上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从

A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线l 也随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为Δθ
A B
(它等于l 的倾斜角与l 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角
B A
 Δθ
固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=
Δs


为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，
Δθ
即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=lim
Δs→0 Δs

y
=

1+y2 
(若极限存
3 2
在)为曲线C在点A处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示y=fx  在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
x2 1
(2)求椭圆 +y2=1在 3,
4 2
 处的曲率；
(3)定义φy 
2 2y
=

1+y

为曲线y=fx
3
 的“柯西曲率”．已知在曲线fx  =xlnx-2x上存在两点
P x 1 ,fx 1    和Q x 2 ,fx 2    ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 3x + 3x 的取值范围． 1 217 (2024上·山东潍坊·高一统考期末)已知函数fx
10

a2x+ax-2,x≥0,
=
-amx-a-x+2,x<0
(a>0且a≠1)为奇函数，
且g(x)=|f(x)|．
(1)求实数m的值；
(2)若对于函数y=m(x),x∈[p,q]，用x ii=0,1,2,⋯,n,p=x 0 <x 1 <⋯<x n =q  将区间[p,q]任意划分成
n
n个小区间，若存在常数M>0，使得和式∑mx i
i=1
 -mx i-1    ≤M对任意的划分恒成立，则称函数m(x)
为[p,q]上的有界变差函数．判断函数g(x)是否为 -log a 2  ,log a 4    上的有界变差函数？若是，求M的最
小值；若不是，请说明理由．