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2024 年新高考九省联考新题型 - - 综合能力题
1 (2024·全国·校联考模拟预测)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a }满足：0≤a2)，我们曾在必修一中学习过“二分
法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”.
(1)证明：fx 有唯一零点a，且a∈1,b ；
(2)现在，我们任取x∈(1,a)开始，实施如下步骤：
1
在 x 1 ,fx 1 处作曲线fx 的切线，交x轴于点x 2 ,0 ；
在 x 2 ,fx 2 处作曲线fx 的切线，交x轴于点x 3 ,0 ；
⋯⋯
在 x n ,fx n 处作曲线fx 的切线，交x轴于点x n+1 ,0 ；
可以得到一个数列x n ，它的各项都是fx 不同程度的零点近似值.
(i)设x n+1 =gx n ，求gx n 的解析式(用x 表示x )； n n+1
(ii)证明：当x 1 ∈1,a ，总有x 3)满足ak
n m k
，必有
a -a =t”，则称数列{a }具有P(t)性质.
m+1 k+1 n
2n(n=1,2)
(1)若数列{a }满足a = n n 2n-5n≥3,n∈N*
，判断数列{a n }是否具有P(1)性质？是否具有P(4)性
质？
(2)对于无穷数列{a }，设T={x|x=a-a,i2024.
a
i=1 i13 (2024·江西南昌·南昌二中校考一模)若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”.
(1)求证：对任意“好数”m,m2-16一定为20的倍数；
(2)若m=p2-q2，且p,q为正整数，则称数对p,q
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为“友好数对”，规定：Hm
q
= ，例如24=52-12，称数
p
对5,1 为“友好数对”，则H24
1
= ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的Hm
5
的最大值.
14 (2024·全国·校联考模拟预测)已知无穷数列a
n
满足a =maxa ,a
n n+1 n+2
-mina ,a
n+1 n+2
(n=1,
2,3,⋯)，其中max{x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.
(1)当a=1，a =2时，写出a 的所有可能值；
1 2 4
(2)若数列a
n
中的项存在最大值，证明：0为数列a
n
中的项；
(3)若a >0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a ≤M？如果存在，写出一个
n n
满足条件的M；如果不存在，说明理由.15 (2024·河南·统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X=
1,2,⋯,p-1
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，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um,⊗为um除以p的余数；设a∈X，1,a,
a2,⊗,⋯,ap-2,⊗两两不同，若an,⊗=b n∈0,1,⋯,p-2 ，则称n是以a为底b的离散对数，记为n=log(p) a
b．
(1)若p=11,a=2，求ap-1,⊗；
(2)对m,m ∈0,1,⋯,p-2
1 2
，记m⊕m 为m+m 除以p-1的余数(当m+m 能被p-1整除时，m⊕
1 2 1 2 1 2 1
m 2 =0)．证明：log(p) ab⊗c =log(p) b⊕log(p) c，其中b,c∈X； a a
(3)已知n=log(p) b．对x∈X,k∈1,2,⋯,p-2
a
，令y=ak,⊗,y =x⊗bk,⊗．证明：x=y ⊗ynp-2
1 2 2
,⊗．
116 (2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需
要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=fx
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上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从
A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线l 也随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为Δθ
A B
(它等于l 的倾斜角与l 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角
B A
Δθ
固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=
Δs
为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，
Δθ
即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=lim
Δs→0 Δs
y
=
1+y2
(若极限存
3 2
在)为曲线C在点A处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示y=fx 在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
x2 1
(2)求椭圆 +y2=1在 3,
4 2
处的曲率；
(3)定义φy
2 2y
=
1+y
为曲线y=fx
3
的“柯西曲率”．已知在曲线fx =xlnx-2x上存在两点
P x 1 ,fx 1 和Q x 2 ,fx 2 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 3x + 3x 的取值范围． 1 217 (2024上·山东潍坊·高一统考期末)已知函数fx
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a2x+ax-2,x≥0,
=
-amx-a-x+2,x<0
(a>0且a≠1)为奇函数，
且g(x)=|f(x)|．
(1)求实数m的值；
(2)若对于函数y=m(x),x∈[p,q]，用x ii=0,1,2,⋯,n,p=x 0 0，使得和式∑mx i
i=1
-mx i-1 ≤M对任意的划分恒成立，则称函数m(x)
为[p,q]上的有界变差函数．判断函数g(x)是否为 -log a 2 ,log a 4 上的有界变差函数？若是，求M的最
小值；若不是，请说明理由．
