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北京市第十中学 2023 高三三模试卷
数学
2023.5
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合A= ,B={−2,0,1,2},则 ( )
A. {0,1} B. {−1,0,1}
C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
2. 复数 ．
A. B. C. D.
3. 下列函数中，在区间 上为减函数的是
.
A B. C. D.
4. 直线 被圆 所截得的线段的长为
A. B. C. D.
5. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
6. 若 ，且 ，则向量 与 的夹角为
A. B. C. D.
7. 设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
9. 在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位： ，记作 ）和氢氧根离
子的物质的量的浓度（单位： ，记作 ）的乘积等于常数 .已知 值的定义为
，健康人体血液 值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的 可以为
（参考数据： ， ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
10. 设集合 则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
,
D. 当且仅当 时 （2,1）
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
11. 函数 的定义域为______.12. 若双曲线 的离心率为 ，则实数 __________．
13. 在 中， ， ， ，则 _________．
14. 设函数 .
①若 存在最大值，则实数 的一个取值为___________.
②若 无最大值，则实数 的取值范围是___________.
15. 已知在数列 中， ， ，其前n项和为 ．给出下列四个结论：
① 时， ；
② ；
③当 时，数列 是递增数列；
④对任意 ，存在 ，使得数列 成等比数列．
其中所有正确结论的序号是___________．
三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
的
16. 如图，平面 平面 ， ， ， 、 分别为 、 中点，
， ．
（1）设平面 平面 ，判断直线l与 的位置关系，并证明；
的
（2）求直线 与平面 所成角 正弦值．17. 已知函数 ，且 的最小正周期为 ，再从条件①、条件
②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
（1）求 的解析式；
的
（2）设 ，若 在区间 上 最大值为 ，求 的最小值．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 的图象经过点 ；
条件③；直线 是函数 的图象的一条对称轴.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影
得到人们喜欢，“ ”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 ，
， ， ， ， 的大小关系．
19. 已知椭圆 的长轴长为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程和离心率.
（2）设点 ，动点 在 轴上，动点 在椭圆 上，且点 在 轴的右侧.若 ，求四边形面积的最小值.
20. 已知函数 ．
（1） 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）证明不等式 恒成立．
21. 若数列 和 的项数均为 ，则将数列 和 的距离定义为 .
（1）求数列 ， ， ， 和数列 ， ， ， 的距离.
（2）记 为满足递推关系 的所有数列 的集合，数列 和 为 中的两个元素，且
项数均为 .若 ， ，数列 和 的距离小于 ，求 的最大值.
（3）记 是所有 项数列 （其中 ， 或 ）的集合， ，且 中的任何两个元素的
距离大于或等于 .求证： 中的元素个数小于或等于 .
