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房山区 2023 年高三年级第一次模拟考试数学
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接求并集得到答案.
【详解】集合 ，则 .
故选：C
2. 在 展开式中， 的系数是（ ）
的
A. B. 8 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二项式定理计算即可.
【详解】 的展开式通项为 ，
取 ，则 ，系数为 .
故选：A
3. 已知数列 对任意 满足 ，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由数列递推公式依次计算 ， ， ， ，即可得答案.
【详解】由题意可得， ， ，
， .
故选：D
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】当 时， ，满足 ，充分性，取 计算得到不必要性，得到答案.
【详解】当 时， ，满足 ，充分性；
取 ，满足 ，不满足 ，不必要性.
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A
5. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上一点 到点 的距离为 ，则点 到原点的距离为（
）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的定义，将抛物线 上一点 到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点 的坐
标，进而得出点 到原点的距离．
【详解】抛物线 的准线为 ，由题意，设 ， ， ， ，
则点P到原点的距离为 ，
故选：D
6. 已知直线 与圆 相交于M，N两点.则 的最小值为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圆心 和半径，以及直线的定点 ，利用圆的几何特征可得到当 时，
最小
【详解】由圆的方程 ，可知圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ，
因为 ，则定点 在圆内，
则点 和圆心 连线的长度为 ，
当圆心到直线 距离最大时，弦长 最小，此时 ，
由圆的弦长公式可得 ，
故选：C
7. 已知函数 同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有 ；②对任意实数 ，
当 时，都有 .则函数 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】对任意实数x，都有 ，故函数为奇函数；
对任意实数 ，当 时，都有 ，即 ，即
， ，故函数单调递减.
对选项A： 单调递增，不满足；
对选项B： 单调递减，且函数为奇函数，满足；
对选项C： 单调递增，不满足；
对选项D： 不是奇函数，不满足.
故选：B
8. 在 中， ， 为 所在平面内的动点，且 ，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求出点 的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出 ， 的最
大值即圆心到定点 的距离加上半径，代入化简求值即可．
【详解】由题意， 可得，点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
取 的中点 ，则 ，
所以 ，
故选：D9. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是 ，当血氧饱和度低
于 时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： 描述血氧饱
和度 随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱和度，K为参数.已知 ，
给氧1小时后，血氧饱和度为 .若使得血氧饱和度达到 ，则至少还需要给氧时间（单位：时）为
（ ）
（精确到0.1，参考数据： ）
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时，
由题意可得 ， ，两边同时取自然对数并整理，
得 ， ，
则 ，则给氧时间至少还需要 小时
故选： B
10. 如图，已知正方体 ，则下列结论中正确的是（ ）A. 与三条直线 所成的角都相等的直线有且仅有一条
B. 与三条直线 所成的角都相等的平面有且仅有一个
C. 到三条直线 的距离都相等的点恰有两个
D. 到三条直线 的距离都相等的点有无数个
【答案】D
【解析】
【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A错误，成的角相等的平面有无数个，B错误，距离相等的点
有无数个，C错误，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：根据对称性知 与三条直线的夹角相等，则与 平行的直线都满足条件，有无数
条，错误；
对选项B：根据对称性知平面 与三条直线所成的角相等，则与平面 平行的平面都满足条件，
有无数个，错误；
对选项C：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为 ， ， ， 上一点
，则 ， ， ，点 到
直线 的距离为
，同理可得 到直线 和 的距离为 ，故 上的点到三条直线 的距离都
相等，故有无数个，错误；
对选项D： 上的点到三条直线 的距离都相等，故有无数个，正确；
故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在复平面内复数 对应点的坐标为 ，则 _________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据复数的几何意义表示复数 ，然后利用复数乘法运算法则计算.
【详解】因为复数 在复平面内对应点的坐标为 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
12. 能够说明“设 是任意实数，若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次为
__________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据不等式的性质，讨论 的正负和 三种情况，得出结论．
【详解】若 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
“设 是任意实数，若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次为 ，
故答案为： （答案不唯一）
13. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线C的离心率为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意求出双曲线 的渐近线方程，则 ，由 代入即可得
出答案.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ,
所以 ，所以双曲线C的离心率为 .
故答案为：2.
14. 在 中， ，则 __________； 的值为__________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】化简得到 ，再根据正弦定理得到 ，得到 ，计算得到答案.
【详解】 ， ，故 ， ， ；
，则 ，即 ， ，，则 ， ， .
故答案为： ；
15. 设函数 给出下列四个结论：①函数 的值域是 ；② ，方程
恰有3个实数根；③ ，使得 ；④若实数 ，且
.则 的最大值为 .其中所有正确结论的序号是
__________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.
【详解】因为函数 ，其图象如下图所示：
对于①，由图可知，函数 的值域不是 ，故①不正确；
对于②，由图可知， ，方程 恰有3个实数根，故②正确；
对于③，当 时，使得有 成立，即 与 有交点，这显然成立，
故③正确；对于④，不妨设互不相等的实数 满足 ，当满足
时，
由图可知 ，即 ，
，即 ，
所以 ，由图可知， ，
而 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，
则 的最大值为 ，故④正确.
故答案为：②③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 值；
（2）再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定 的解析式.设函数
，求 的单调增区间.条件①： 是偶函数；条件②： 图象过点 ；
条件③： 图象的一个对称中心为 .注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
给分.
【答案】（1）（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据周期公式，即可求解；
（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求 ，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.
【小问1详解】
由条件可知， ，解得： ；
【小问2详解】
由（1）可知， ，
若选择条件①： 是偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，
，
令 ,
解得： ,
所以函数 的递增区间是 ，
若选择条件②： 图象过点 ， ， ，
则 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以
令 ，
解得： ，
所以 的单调递增区间是 .
如选择条件③： 图象的一个对称中心为 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以
令 ，
解得： ，
所以 的单调递增区间是 .
17. 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面ABCD， ，M为BC的中点.
（1）求证： 平面PBD；
（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
（3）求D到平面APM的距离.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明
即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为 ，M为BC的中点，
所以 ，
因为四棱锥 的底面是矩形，
所以 ，
所以 ，所以 ，而 ，即 ，
因为 底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ，而 平面PBD，
所以 平面PBD；
【小问2详解】
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
因为因为四棱锥 的底面是矩形，
的
所以 ，建立如下图所示 空间直角坐标系，
，
为
因 平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为 ，
设平面APM的法向量为 ，
， ，
于是有 ，平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为 ；
【小问3详解】
由（2）可知平面APM的法向量为 ， ，
所以D到平面APM的距离为
18. 某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.
让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确
率如下表：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
讲座前
讲座后
（1）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于 的概率；
（2）从正确率不低于 的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.
求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）答案见解析
【解析】【分析】（1）共10份书卷，准确率低于 有 份，计算概率即可.
（2） 的取值可能是 ，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
（3）讲座前的平均准确率为 ，讲座后的平均准确率为 ，提升明显，得到答案.
【小问1详解】
共10份书卷，准确率低于 有 份，故概率为 ；
【小问2详解】
正确率不低于 的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，
的取值可能是 ，
； ；
.
故X的分布列为：
故数学期望为 .
【小问3详解】
此次公益讲座的宣传效果很好，
讲座前的平均准确率为：
；
讲座后的平均准确率为：；
平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.
19. 已知椭圆 过点 ，且离心率为
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与椭圆E相切，过点 作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明： 为定
值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆过点 ，得到 ，再由椭圆的离心率为 ，求出 的值，从而求到椭圆
的标准方程；
（2）对直线 的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出 ，得到结
论.
【小问1详解】
因为椭圆过点 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，得到 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
当直线斜率 存在且不为0时，设直线 的方程为 ，联立直线 和椭圆 的方程得 ，消去 并整理，得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，
，
化简整理得
因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为 ，
联立得 ，解得 ， ，
所以
把 代入上式得， ，所以 ，为定值；
当直线 斜率为0时，直线 ，过点 作直线 的垂线，则垂线方程为 ，
此时 或 ， ，为定值；
当直线 斜率不存在时，直线 ，过点 作直线 的垂线，则垂线方程为 ，
此时 或 ， ，为定值；
综上所述， ，为定值.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间；（3）求证：当 时，关于x的不等式 在区间 上无解.
【答案】（1）
（2） 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；
（2）根据 可求出 ，并对其进行检验即可求解；
（3）分 和 两种情况，求出函数 在区间 上的最大值即可作答.
【小问1详解】
由 可得 ，
当 时， ， ，
在点 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
因为 在 处取得极值，所以 ，解得 ，
检验如下：
令 ，解得 或 ，
若 或 时，则 ；若 ，则 .
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
故 在 处取得极小值，满足题意，故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
【小问3详解】
由（1）知 ，由 时，得 ，因 ，
当 时，当 时， ，即函数 在 上单调递减，则 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解；
当 时，当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在
上递增，
于是得 在 上的最大值为 或 ，而 ， ，
，即 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解，
所以当 时，关于 的不等式 在区间 上无解.
21. 如果数列 对任意的 ， ，则称 为“速增数列”.
（1）判断数列 是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列 为“速增数列”.且任意项 ， ，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为 （ ）的数列 是“速增数列”，且 的所有项的和等于k，若
， ，证明： .
【答案】（1）是，理由见解析（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算 ， ， ，得到答案.
（2）根据题意得到 ， ，计算当 时， ，当 时，
，得到答案.
（3）证明 ，得到 ，得到 ，代入计算得到证明.
【小问1详解】
因为 ，则 ， ，
又 ，故 ，数列 是“速增数列”.
【小问2详解】
，
当 时， ，
即 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故正整数k的最大值为 .
【小问3详解】
，故 ，即 ；
，故 ，即 ，
同理可得： ， ， ，
故 ，
故 ， ，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中根据题意利用累加法的思想确定 是解题的关键.
