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- 北京市东城区2022—2023 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准
2023.3
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）A （3）D （4）B （5）C
（6）B （7）A （8）D （9）B （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13）
(答案不唯一) （14）
（15） ② ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 = = =
所以 的最小正周期为 ………………6分
（Ⅱ）由题设， ，由 是该函数零点可知，
，即 .
或 ，
故
解得 或 .
因为 ，所以 的最小值为 . ………13分
（17）（共13分）解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过
90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为 ． …3分
（Ⅱ）随机变量 的所有可能取值为1，2，3.
；
；
则随机变量 的分布列为：
1 2 3
故随机变量 的数学期望 ． ………11分
（Ⅲ） ． ………13分
（18）（共15分）
解：（Ⅰ）连接 ， ， .
因为长方体 中, ∥ 且 ，
所以四边形 为平行四边形.
所以 为 的中点，
在△ 中，因为 ， 分别为 和 的中点，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ………………6分
（II）选条件①： .
(ⅰ)连接 .
因为长方体中 ，所以 .
在△ 中,因为 为 的中点， ，
.
所以
，因为长方体中 , ，
如图建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ， z
即
则
y
令 ，则 ， ，可得 .
设平面 的法向量为 ， x
即
则
令 ，则 ， ，所以 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
(ⅱ)因为 ，
所以点 到平面 的距离为 . ………………15分
选条件②： 与平面 所成角为 .
连接 .
因为长方体 中， 平面 ， 平面 ，
所以 .
所以 为直线 与平面 所成角，即 .
所以△ 为等腰直角三角形.
因为长方体中 ，所以 .
.
所以
以下同选条件① .
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）当 时， ，定义域为 .
，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 . ………………5分
（Ⅱ）令 ，
则 .
当 时，令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以当 时， 最小值为 .
当 时， 的最小值为1，
所以 的最小值为 . ………………11分
（III）由（Ⅱ）知 在 上单调递减，在 上单调递增,
又 ， ，
所以 ， ，
，
所以 ⫋ . ………………15分
（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得 解得 .
所以椭圆 的方程为 ． ………………5分
（Ⅱ）直线 的方程为 ．
由 得 ．
由 ，得 ．
设 ，则 ， ．
直线 的方程为 ．
令 ，得点 的横坐标为 ．
同理可得点 的横坐标为 ．
．
因为点 坐标为 ，则点 为线段 的中点，
所以 ． ………………14分
（21）（共15分）解：（Ⅰ）满足条件的数表 为 ，所以 的值分别为5，5，6. …………5分
（Ⅱ）若当 取最大值时，存在 ，使得 .
由数表 具有性质 可得 为奇数，
不妨设此时数表为 .
①若存在 ，使得 ，交换 和 的位置，所得到的新数表也具有性质 ，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在 ，使得 .
②若对任意的 ，都有 ，交换 和 的位置，所得到的新数表也具有性质
，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数 ，使得 . ………………10分
（Ⅲ）当n为偶数时，令 ，对任意具有性质 数表 ，
一方面， ，
因此 ．①
另一方面， ，
因此 . ②
记 ．
由①+②得 .
又 ，可得 .
构造数表
可知数表 具有性质 ，且 .综上可知，当n为偶数时， 的最大值为 . ………………15分
