文档文本内容
北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准
2023.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）C （3）B （4）A （5）D
（6）C （7）B （8）C （9）C （10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13）
(答案不唯一) （14）
（15）① ③ ④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理得 ，由题设得 ，
，
因为 ，所以
所以 .
, . ………………6分
（Ⅱ）选条件①：
因为 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，解得 .
所以 ．
由 解得 . ………13分
选条件②： ．
已知 由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 , .
所以 ．
（17）（共14分）
解：
（I）由题设知
因为平面 平面 ，平面 平面 ，，
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以 .
因为 为等边三角形， 是 的中点，
所以 .
因为 ，
所以 平面 ．所以 . ………………6分
（II）设 ， .
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，
则 ， .
由（I）知 平面 ，所以 平面 ，
所以 ， .
如图建立空间直角坐标系 ，则
， ， ， ．
所以 ， ， ，
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， .于是 .
因为直线 和平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 或 .因为 ，
所以 ，即 . ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生
1，
学生2，学生4，学生5，
名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为
则从数学学习小组7
………3分
（Ⅱ）（i）随机变量 可能的取值为0，1，2．
这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1， ，3，1， ， .
；
；
．
则随机变量 的分布列为：
0 1 2
的数学期望 ． ………11分
（ii） . ………13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）因为抛物线 过点 ，
所以 ，即 ．
故抛物线 的方程为 ，焦点 ，准线方程为 .
所以 ………………6分（Ⅱ）设直线 的方程为 ．
得 ．
由
由 有 ．
设
则 ， ．
设 的中点为 ，则 .
到准线的距离 ，
依题意有 ，
即 ，
整理得 ，
解得 ，满足 ．
所以直线 过定点 ． ………………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ） ，
， .
所以曲线 在点 处的切线方程为 . ………………5分
（Ⅱ）令 ，
，
则
当 时， ， 在 上单调递增.因为 ， ，
所以 ，使得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
， ，
所以 . ………………11分
（Ⅲ）满足条件的 的最大整数值为 .
理由如下：
不等式 恒成立等价于 恒成立.
令 ，
当 时， ，所以 恒成立.
当 时，令 ， ， ，
与 的情况如下：
1
所以
当 趋近正无穷大时， ，且 无限趋近于0，所以 的值域为 .
因为 ，
所以 的最小值小于 且大于 ．
所以 的最大整数值为 . ………………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）由题设知 ， . ………………4分
（Ⅱ）依题意 ，
则有
因此
又因为
所以
所以 互不相同. ………………9分
（Ⅲ）依题意
由 或 ，知 或 .
令 ，可得 或 ，对于 成立，
故 或 .
①当 时，
，
所以 .时，
②当
或 .
当 时，由 或 ，有 ，.
同理 ，
所以 .
当 时，此时有 ，
令 ，可得 或 ，即 或 .
令 ，可得 或 . 令 ，可得 .
所以 .
若 ，则令 ，可得 ，与 矛盾.
所以有 .
不妨设 ，
令 ，可得 ，因此 .
令 ，则 或 .
故 .
所以 .
综上， 时， .
时， .
时， . ………………15分
