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东城区 2022—2023 学年第一学期期末统一检测初三数学
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D.
2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. 正方形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 正五边形
3. 关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6
4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列
事件是确定事件的为（ ）
A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球
5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增
长率为x，根据题意可得方程（ ）
.
A 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461
C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442
6. 如图，在 中， 是直径，弦 的长为5，点D在圆上，且 ， 则 的半径为（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 5 C. D.
7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点
C，D，延长AC，BD交于点P．若 ，⊙O的半径为6cm，则图中 的长为（ ）
A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm
8. 如图，正方形 和 的周长之和为 ，设圆的半径为 ，正方形的边长为 ，阴影部
分的面积为 ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关
系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系
二、填空题 (每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点C，则点C的坐标为_________．
10. 把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为
_______．
的
11. 请写出一个常数c 值，使得关于x的方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是
____________．
12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，
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学科网（北京）股份有限公司在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
.
幼树移植成活的频率 0.870 0893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若
A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．
14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接
CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．
15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：
弧田面积 （弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧
所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径等于4米的弧田，按照上
述公式计算出弧田的面积约为______ 米 ．（ ）
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学科网（北京）股份有限公司16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面
内有一个矩形 ，中心为O，在矩形外有一点P， ，当矩形绕着点O旋转时，
则点P到矩形的距离d的取值范围为__________．
三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）
17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在 上．
求作： 的切线 ．
作法： ①作射线 ；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线 ．
则直线 即为所求作的 的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
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学科网（北京）股份有限公司（2）完成下面的证明.
证明：连接 ， ．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在 上，
∴直线 是 的切线( ) (填写推理依据) ．
18. 如图， 是 的直径，弦 于点E， ，若 ，求 的长.
19. 下面是小聪同学用配方法解方程： 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得： ．①
二次项系数化为1，得： ．②
配方，得 ．③
即 .
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．④
∴ ， ．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
20. 如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
的
21. 如图，在边长均为1个单位长度 小正方形组成的网格中，点 ， ， 均为格点(每个小正方形的顶
点叫做格点)．
（1）作点 关于点 的对称点 ；
（2）连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 的对应点为 ，画出旋转后的
线段 ；
的
（3）连接 ， ，求出 面积（直接写出结果即可）．
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学科网（北京）股份有限公司22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚
平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的
心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为
“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞
天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图
或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
23. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图
所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度 (单位：m)与水平距离 (单位：m)
近似满足函数关系 ．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 4 6 8 10
竖直距离y/m
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离 近似满足函数关系 ．记实
心球第一次着地点到原点的距离为 ，第二次着地点到原点的距离为 ，则 _____ (填“＞”
“＝”或“＜”)．
25. 如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点D，交 于点E，过点D作
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学科网（北京）股份有限公司交 的延长线于点F．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 °， ，求DF的长．
26. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点 都在该二次函数图象上，
①请判断 与 的大小关系： （用“ ”“ ”“ ”填空）；
②若 ， ， ， 四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
27. 如图， 是等腰直角三角形， ， 为 延长线上一点，连接 ，将
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）比较 与 的大小，并证明；
（3）连接 ， 为 的中点，连接 ，用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
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学科网（北京）股份有限公司28. 在平面直角坐标系 中，我们给出如下定义：将图形M绕直线 上某一点P顺时针旋转 ，
再关于直线 对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点 ．
（1）若点P的坐标是 ，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；
（2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知 的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在 上且不与点A重合．
若线段 ，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，求此时 P点坐标及点B的
纵坐标 的取值范围．
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