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北京市东城区 2022-2023 学年度第二学期高三综合练习（一）
数 学
2023.3
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ，且 ，则 可以为
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）抛物线 的准线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知 ，则 的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
（5）在△ 中， ， ， ，则（A） （B）
（C） （D）
（6）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是
“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知正方形 的边长为 2， 为正方形 内部（不含边界）的动点，且满足 ，则
的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知 ， ， ， ， 成等比数列，且1和4为其中的两项，则 的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发
明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数 的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得 的值为
（A） （B）
（C） （D）
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数 的定义域是_______．
（12）在 的展开式中， 的系数为 ，则实数 =_______．
（13）已知双曲线 的一个焦点为 ，且与直线 没有公共点，则双曲线的方程可
以为_______．
（14）已知数列 各项均为正数， ， 为其前 项和.若 是公差为 的等差数列，则
_______， .
（15）已知函数 的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最
低点，过 作 轴的垂线，交 轴于点 ,点 为该部分图象与 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿 轴折
成直二面角，如图2所示，此时 ，则 .给出下列四个结论：
① ；
②图2中， ；
③图2中，过线段 的中点且与 垂直的平面与 轴交于点 ；
④图2中， 是△ 及其内部的点构成的集合.设集合 ，则 表示的区域的面积
大于 .
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期;
（Ⅱ）若 是函数 的一个零点，求 的最小值.（17）（本小题13分）
甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．
每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
学生
甲 80 78 82 86 95 93
乙 76 81 80 85 89 96 94
（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（Ⅱ）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设 表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求 的分布列及数
学期望 ；
（Ⅲ）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设 表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望
与（Ⅱ）中 的大小．（结论不要求证明）
（18）（本小题15分）
如图，在长方体 中， ， 和 交于点 ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（i）平面 与平面 的夹角的余弦值；
（ii）点 到平面 的距离.
条件①： ；
条件②： 与平面 所成角为 .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题15分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求 的单调递增区间；
（Ⅱ）设直线 为曲线 的切线，当 时，记直线 的斜率的最小值为 ，求 的最小值；（Ⅲ）当 时，设 ， ，求证： ⫋ .
（20）（本小题14分）
已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ．
设椭圆的左顶点为 ，求 的值.
（21）（本小题15分）
已知数表 中的项 互不相同，且满足下列条件：
① ；
② .
则称这样的数表 具有性质 .
（Ⅰ）若数表 具有性质 ，且 ，写出所有满足条件的数表 ，并求出 的值；
（Ⅱ）对于具有性质 的数表 ，当 取最大值时，求证：存在正整数 ，使得
；
（Ⅲ）对于具有性质 的数表 ，当n为偶数时，求 的最大值.
