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2024 北京西城高三一模
数学
2024.4
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
Ｃ． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
Ｃ． D．
3．在 的展开式中，常数项为（ ）
A．60 B．15 Ｃ．－60 D．－15
4．已知抛物线 与抛物线 关于直线 对称，则 的准线方程是（ ）
A． B． Ｃ． D．
5．设 ，其中 ，则（ ）
A． B．
Ｃ． D．
6．已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 （
）A．－1 B．1 Ｃ．－7 D．7
7．已知函数 若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A． B． Ｃ． D．
8．在等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．关于函数 ，给出下列三个命题：
① 是周期函数;
②曲线 关于直线 对称:
③ 在区间 上恰有3个零点.
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 Ｃ．2 D．3
10．德国心理学家艾・宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗
忘曲线”，“遗忘曲线”中记忆率y随时间 小时变化的趋势可由函数 近似描述，则记忆率
为 时经过的时间约为（ ）（参考数据： ）
A．2小时 B．0.8小时 Ｃ．0.5小时 D．0.2小时
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若复数 满足 ，则 ______．
12．已知 .使 成立的一组 的值为 ______， ______．
13．双曲线 的渐近线方程为______；若 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ______．
14．在数列 中， ，数列 满足 .若 是公差为1的等差数
列，则 的通项公式为 ______， 的最小值为______．
15．如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，点 在正方形 及其内部运动，点
在矩形 及其内部运动.设 ，给出下列四个结论：
①存在点 ，使 ；
②存在点 ，使 ；
③到直线 和 的距离相等的点 有无数个；
④若 ，则四面体 体积的最大值为 .
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．本小题14分
如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ， 为 的中点.
（1）求证: 平面 ;
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
17．本小题13分
在 中， .（1）求 的大小:
（2）若 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的面积.
条件①： 边上中线的长为 ；
条件②： ;
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）同得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
18．本小题13分
10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，
总环数排名前8的选手进入决赛。三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：
环数 6环 7环 8环 9环 10环
甲的射击频数 1 1 10 24 24
乙的射击频数 3 2 10 30 15
丙的射击频数 2 4 10 18 26
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立。
（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（2）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
（3）甲、乙、丙各射击10次，用 分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于 环的次数，其
中 .写出一个 的值，使 .
结论不要求证明
19．本小题15分
已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程：
（2）设 为原点。直线 与椭圆 交于 两点 不是椭圆的顶点， 与直线 交于点 ，直线
分别与直线 交于点 ，求证： .
20．本小题15分
已知函数 .（1）当 时，求曲线 在点 处切线的斜率；
（2）当 时，讨论 的单调性；
（3）若集合 有且只有一个元素，求 的值.
21．本小题15分
对正整数 ，设数列 . 是 行 列的数阵， 表示
中第 行第 列的数， ，且 同时满足下列三个条件：①每行恰
有三个 ；②每列至少有一个 ；③任意两行不相同。
记集合 中元素的个数为 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若对任意 中都恰有 行满足第 列和第 列的数均为1.
（i） 能否满足 ？说明理由：
（ii）证明： .
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效
