2024北京石景山高三一模数学试题及答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届北京市石景山区高三一模

2024 北京石景山高三一模 数 学 本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。   1. 已知集合A= x x2 −2x−30 ， 第1页/共4页 B =  x x  1  ，则 A B = A.(−1,3) B.(−3,1) C.(−1,1) D.(1,3) 2. 下列函数中，在区间 ( − 1 ,1 ) 上为减函数的是 A. f ( x ) = s in x B. f ( x ) = c o s x C. f ( x ) = ln ( x + 1 ) D. f ( x ) = 2 − x 3. 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球. 若从中不放回地取球 2 次，每次任取1个球，记“第一次取到 红球”为事件 A ，“第二次取到红球”为事件 B ，则 P ( B A ) = 4 2 A. B. C. 15 5 3 5 4 D. 5 4. 设 , , 是三个不同平面，且 l   = ， m   = ，则“ l / / m ”是“ / /  ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 等差数列  a n  的首项为 1 ，公差不为 0 . 若 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，则  a n  的前 5 项和为 A. − 1 5 B. − 3 C. 5 D. 2 5 6. 直线y=kx+1与圆 x 2 + ( y + 1 ) 2 = 1 6 相交于 A , B 两点，则线段 A B 的长度可能为 A. 5 B. 7 C. 9 D. 1 4 π 7. 已知函数 f(x)=2sin(x+) (0,|| )的部分图象如图所示，则 2 f ( − π ) 的值是 A. 3 B.1 C. − 1 D. − 3 8. 设 a = 2 0 .3 ， b = s in 1 π 2 ，c=ln2，则 A. c  b  a B. b  c  a C. a  b  c D. b  a  c 9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的 五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有A. 第2页/共4页 1 8 种 B. 2 4 种 C. 3 6 种 D. 7 2 种 10. 对于曲线 C : x − 2 + y − 2 = 1 ，给出下列三个命题： ①关于坐标原点对称； ②曲线 C 上任意一点到坐标原点的距离不小于 2 ； ③曲线 C 与曲线 | x | + | y |= 3 有四个交点. 其中正确的命题个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 复数 z 在复平面内对应的点为 ( − 1 , 2 ) ，则 5 z = _________. 12. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为F ，且与该抛物线相交于 A , B 两点， 则 | A B |= _________. 13. 已知向量 a , b 满足 | b |= 2 ， a 与 b 的夹角为 π 6 ，则当实数变化时， | |  b − a 的最小值为_________. 14. 设函数 f ( x ) =  x 3 3 x + + 3 a a 2 x , , x x   1 1 . ①若 f ( x ) 有两个零点，则实数a的一个取值可以是_________； ②若 f ( x ) 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是_________. 15. 黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x[0,1]时， 1 p p  ,x= (p,qN*, 为既约真分数) R(x)=q q q . 若数列  0,x=0,1和(0,1)内的无理数 a n = R ( n − n 1 ) ， n  N * ， 给出下列四个结论： 1 ①a = ； n n ② a n + 2  a n + 1 ； n 1 ③aa  ； i i+1 2 i=1 ④ n i= 1 a i  ln n + 2 1 . 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题13分） 在锐角△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，且2bsinA− 3a=0.（Ⅰ）求角 第3页/共4页 B 的大小； （Ⅱ）求 c o s A + c o s C 的取值范围. 17.（本小题14分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P − A B C D 中 ， P A ⊥ 平 面 ABCD ， PA= AD=CD=2， B C = 3 ， P C = 2 3 . （Ⅰ）求证： C D ⊥ 平面 P A D ； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求平面PBC 与平面 P A D 所成锐二面角的大小. 条件①：AB= 5； 条件②： B C / / 平面 P A D . 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答计分. 18.（本小题13分） 为研究北京西部地区 2 次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假 以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的 抽样调查数据. 其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表 2 所示： 表1：老山油松人工林林下灌木层 表2：妙峰山油松次生林林下灌木层 植物名称 植物类型 株数 酸枣 灌木 28 荆条 灌木 41 孩儿拳头 灌木 22 河朔荛花 灌木 4 臭椿 乔木幼苗 1 黑枣 乔木幼苗 1 构树 乔木幼苗 2 元宝槭 乔木幼苗 1 （Ⅰ）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选 2 株，求 2 株植物的类型都是乔木幼苗的概率； （Ⅱ）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株 （假设每次抽取的结果互不影响），记这 3 株植物的植物类型是灌木的株数为 X .求 X 植物名称 植物类型 株数 黄栌 乔木幼苗 6 朴树 乔木幼苗 7 栾树 乔木幼苗 4 鹅耳枥 乔木幼苗 7 葎叶蛇葡萄 木质藤本 8 毛樱桃 灌木 9 三裂绣线菊 灌木 11 胡枝子 灌木 10 大花溲疏 灌木 10 丁香 灌木 8 的分布列和数学期望； （Ⅲ）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表 1 中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不 同植物名称的概率估计值为P；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表 2 中植物名称的植物中任选 12株，记此 第4页/共4页 2 株植物属于不同植物名称的概率估计值为 P 2 . 请直接写出 P 1 与 P 2 大小关系.（结论不要求证明） 19.（本小题15分） 已知函数 f ( x ) = x e a x ( a  0 ) . （Ⅰ）求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程； （Ⅱ）求 f ( x ) 在区间 [ − 1 ,1 ] 上的最大值与最小值； （Ⅲ）当 a = 1 时，求证： f ( x )  ln x + x + 1 . 20.（本小题15分） 已知椭圆 C : x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  b  0 ) 的离心率为 2 3 ，短轴长为 2 2 . （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，过点 P ( − 1 , − 3 2 ) 分别作直线 l1 , l2 ，直线 l1 与椭圆相切于第三象限内 的点 G ，直线 l2 交椭圆 C 于 M , N 两点. 若 | P G 2| = | P M |  | P N | ，判断直线 l2 与直线OG的位置关系，并说明 理由. 21.（本小题15分） 已知集合 S n =  X X = ( x 1 , x 2 , , x n ) , x i   0 ,1  , i = 1 , 2 ,   , n  (n2)，对于 A = ( a 1 , a 2 , , a n ) ， B=(b,b , ,b )S ，定义 1 2 n n A 与 B n 之间的距离为d(A,B)=|a −b |. i i i=1 （Ⅰ）已知 A = (1 ,1 ,1 , 0 )  S 4 ，写出所有的 B  S 4 ，使得 d ( A , B ) = 1 ； （Ⅱ）已知 I = (1 ,1 , ,1 )  S n ，若 A , B  S n ，并且d(I,A)=d(I,B)= pn，求d(A,B)的最大值； （Ⅲ）设集合 P  S n ，P中有 m ( m  2 ) 个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为 t ，求证： m2n−i+1.石景山区 2024 年高三统一练习 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）D （3）C （4）B （5）A （6）B （7）A （8）B （9）C （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）−1−2i （12） 高三数学答案第1页（共9页） 8 （13） 1 （14） − 1 [ 0 ,1 ] [ 2 , +  ) （15）②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）在锐角 △ A B C b a 中，根据正弦定理 = ，有 sinB sinA 2 s in B s in A − 3 s in A = 0 ， 因为 A  ( 0 , π 2 ) ，所以 s in A  0 ，所以 s in B = 2 3 ， 因为 B  ( 0 , π 2 ) ，即 B =  3 【6分】 （Ⅱ）由（Ⅰ）知  A +  C = 2 π 3 ． c o s A + c o s C =cos(−B−C)+cosC 2 =cos( −C)+cosC 3 1 3 =− cosC+ sinC+cosC 2 2 1 3 = cosC+ sinC 2 2  =sin(C+ ) 6在锐角 高三数学答案第2页（共9页） △ A B C 中，因为  6  C   2 ，所以  3  C +  6  2  3  3 所以sin(C+ )( ,1] 【13分】 6 2 （17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为PA⊥平面 A B C D ， A D , C D  平面 A B C D ， 所以 P A ⊥ A D , P A ⊥ C D 在 R △t P A D 中， P A = A D = 2 ， 所以PD=2 2 . 因为PD=2 2,CD=2,PC=2 3 所以 P D 2 + C D 2 = P C 2 ，即CD⊥PD 又因为 P D P A = P 所以 C D ⊥ 平面PAD. 【6分】 （Ⅱ）选条件① 在平面 A B C D 上过 A 点作 A E // C D 交 B C 于E点， 根据（Ⅰ）知PA⊥ AD,PA⊥ AE,AD⊥AE，建立以 A 为原点， 向量 ⎯A ⎯→E , ⎯A ⎯→D , ⎯A ⎯→P 方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系. 连接AC，易知 A C = 2 2 ，因为 A B = 5 ，BC =3， 在 △ A B C 中， c o s  A C B = A C 2 2 + A B C C  2 B − C A B 2 = 2 8  + 2 9 − 2 5  3 = 2 2   所以ACB= ，因为ACD= ，所以BC⊥CD， 4 4 易证四边形AECD为正方形. A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,−1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0) ⎯⎯→ ⎯⎯→ PB =(2,−1,−2)，PC =(2,2,−2) B x E P A z C D y设平面PBC 的法向量为 高三数学答案第3页（共9页） n = ( x , y , z ) ，则  ⎯⎯→ n PB =0  即  ⎯⎯→ nPC =0  2 2 x x − + 2 y y − − 2 2 z z = = 0 0 解得y=0,x=z，令 x = z = 1 ，则n=(1,0,1)， ⎯⎯→ 由（Ⅰ）知平面PAD的法向量为CD =(−2,0,0)， c o s  ⎯C ⎯→D , n  = | ⎯C ⎯C ⎯→D ⎯→D  n || n | = 2 2 2 = 2 2 . 所以，平面PBC 与平面 P A D 所成锐二面角的大小为  4 . 【14分】 选条件② 因为 B C // 平面PAD，平面 A B C D 平面 P A D = A D ，BC平面ABCD 所以 B C // A D . 在平面 A B C D 上过 A 点作 A E // C D 交BC于E点， 易证四边形 A E C D 为正方形， 根据（Ⅰ）知PA⊥ AD,PA⊥ AE,AD⊥AE，建立以 A 为原点， 向量 ⎯A ⎯→E , ⎯A ⎯→D , ⎯A ⎯→P 方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系. 则 A ( 0 , 0 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 2 ) ， B ( 2 , − 1 , 0 ) ， C ( 2 , 2 , 0 ) ， D ( 0 , 2 , 0 ) ⎯P ⎯→B = ( 2 , − 1 , − 2 ) ， ⎯P ⎯→C = ( 2 , 2 , − 2 ) 设平面PBC 的法向量为n=(x,y,z)，则  ⎯⎯→ n PB =0  2x− y−2z=0  即  ⎯⎯→ 2x+2y−2z=0 nPC =0 解得y=0,x=z，令x=z=1，则n=(1,0,1)，由（Ⅰ）知平面 高三数学答案第4页（共9页） P A D 的法向量为 ⎯C ⎯→D = ( − 2 , 0 , 0 ) ， c o s  ⎯C ⎯→D , n  = | ⎯C ⎯C ⎯→D ⎯→D  n || n | = 2 2 2 = 2 2 . 所以，平面 P B C 与平面 P A D 所成锐二面角的大小为  4 . 【14分】 （18）（本小题13分） 解：（Ⅰ）设事件 A 为“从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株， 2 株植物的类型都是乔木幼苗”，由表格知，样本中老山油松人工林林下灌 木层的植物共有 1 0 0 株，其中乔木幼苗有 5 株，所以 P ( A ) C2 1 估计为 5 = . C2 495 100 【3分】 （Ⅱ）由题意可知，从抽取的妙峰山油松次生林灌木层的植物样本中随机抽取1 株植物是灌木的概率估计为 4 8 8 0 = 3 5 ， X 的可能取值是 0 ,1 , 2 , 3 . 所以P(X =0)估计为 (1 − 3 5 ) 3 = 1 8 2 5 ； P ( X = 1 ) 3 2 36 估计为C1 ( )2 = ； 3 5 5 125 P ( X = 2 ) 估计为 C 23  ( 3 5 ) 2  2 5 = 5 4 1 2 5 ； P ( X = 3 ) 估计为 ( 3 5 ) 3 = 1 2 2 7 5 . 随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 36 54 27 125 125 125 125 8 36 54 27 9 所以EX 估计为0 +1 +2 +3 = . 125 125 125 125 5 或因为 X B ( 3 , 3 5 ) ，所以 E X 3 9 估计为3 = 【10分】 5 5 （Ⅲ） P 2  P 1 . 【13分】（19）（本小题15分） 解：（Ⅰ） 高三数学答案第5页（共9页） f ( x ) = e a x + a x  e a x = ( a x + 1 ) e a x ， 所以 f(0)=(0+1)e0 =1， f(0)=0. 所以 f(x)在 ( 0 , f ( 0 ) ) 点处的切线方程为 y = x . 【4分】 1 （Ⅱ）因为 f(x)=(ax+1)eax，令 f(x)=0，由已知a0，解得x=− . a 当 x 变化时， f ( x ) ， f ( x ) 随 x 的变化如下表： x ( −  , − 1 a ) − 1 a ( − 1 a ， +  ) f ( x ) − 0 + f ( x ) 减函数 极小值 增函数 1 所以①当− ≤−1，即0a≤1时， f(x)在[−1,1]为增函数， a 则 f ( x ) m in = f ( − 1 ) = − e − a ， f ( x ) m ax = f (1 ) = e a . ②当 − 1  − 1 a  1 ，即a1时， f ( x ) 在 [ − 1 , − 1 a ] 为减函数，在 [ − 1 a ,1 ] 为增函数. 则 f ( x ) m in = f ( − 1 a ) = − 1 a e − 1 ，而 f ( − 1 ) = − e − a  0 ， f(1)=ea 0， 所以 f (1 )  f ( − 1 ) ，即 f ( x ) m ax = f (1 ) = e a . 【10分】 （Ⅲ）当a=1时， f(x)=xex， 令 F ( x ) = f ( x ) − ( ln x + x + 1 ) = x e x − ln x − x − 1 ( x  0 ) ， 1 x+1 则F(x)=(x+1)ex − −1= (xex −1)， x x 令G(x)=xex −1，则当 x  0 时，G(x)=(x+1)ex 0， 所以函数G(x)在区间(0,+)上是增函数，又 高三数学答案第6页（共9页） G ( 0 ) = − 1  0 ，G(1)=e−10， 所以函数 G ( x ) 存在唯一的零点 x 0  ( 0 , +  ) ， 且当 x  ( 0 , x 0 ) 时， G ( x )  0 ；当 x  ( x 0 , +  ) 时， G ( x )  0 . 所以当 x  ( 0 , x 0 ) 时， F ( x )  0 ；当 x  ( x 0 , +  ) 时， F ( x )  0 . 所以函数 F ( x ) 在 ( 0 , x 0 ) 上为减函数，在 ( x 0 , +  ) 上为增函数， 故 F ( x ) m in = F ( x 0 ) = x 0 e x0 − ln x 0 − x 0 − 1 ， 由 G ( x 0 ) = 0 得 x 0 e x0 − 1 = 0 ，即 x 0 e x0 = 1 . 两边取对数得lnx +x =0，故 0 0 F ( x 0 ) = 0 ， 所以F(x)≥0恒成立，即 f ( x ) ≥ ln x + x + 1 . 【15分】 （20）（本小题15分） c 3  = , a 2 解：（Ⅰ）由题意得 解得 2b=2 2,   a2 =b2 +c2, a = 2 2 ， b = 2 ． 所以椭圆 C 的方程为 x 8 2 + y 2 2 = 1 ． 【5分】 （Ⅱ）直线l 与直线 2 O G 平行．证明如下： 显然直线l 斜率存在，设直线 1 l1 方程为 y + 3 2 = m ( x + 1 ) ． 由  x y 2 = + m 4 y ( x 2 + = 1 8 ) , − 3 2 得 ( 4 m 2 + 1 ) x 2 + ( 8 m 2 − 1 2 m ) x + 4 m 2 − 1 2 m + 1 = 0 ． 因为直线l 与椭圆相切， 1 =(8m2 −12m)2 −4(4m2 +1)(4m2 −12m+1)=4(28m2 +12m−1)， 1 1 令=0解得m=− 或m= . 2 14因为直线l 与椭圆相切于第三象限内的点G ，所以 1 高三数学答案第7页（共9页） m = 1 1 4 舍去. 1 所以m=− ，所以 2 2 x 2 + 8 x + 8 = 0 ，x =−2， G 所以 y G = − 1 2 ( x G + 1 ) − 3 2 = − 1 ， 所以 G ( − 2 , − 1 ) ，直线 O G 斜率为 1 2 ， | P G 2| = 5 4 1 直线l 的斜率不存在时，|PM ||PN|= ， 2 2 所以|PG|2|PM ||PN|，不成立. 设直线 l2 的方程为 y + 3 2 = k ( x + 1 ) ，M(x , y )，N(x , y )， 1 1 2 2 由  x y 2 = + k 4 ( y x 2 + = 1 8 ) , − 3 2 ，得 ( 4 k 2 + 1 ) x 2 + ( 8 k 2 − 1 2 k ) x + 4 k 2 − 1 2 k + 1 = 0 ． 直线l 交椭圆 2 C 于M,N 两点．=4(28k2 +12k−1)0， 1 所以k − 或 2 k  1 1 4 . 12k−8k2 所以x +x = ， 1 2 1+4k2 x 1 x 2 = 4 k 2 1 − + 1 4 2 k k 2 + 1 ． | P M |= ( x 1 + 1 ) 2 + ( y 1 + 3 2 ) 2 = 1 + k 2 | x 1 + 1 | ，同理|PN|= 1+k2 |x +1| 2 所以 | P M |  | P N |= (1 + k 2 ) x 1 + 1 x 2 + 1 =(1+k2)|x x +(x +x )+1| 1 2 1 2 2 =(1+k2) . 4k2 +1 2 5 1 1 所以(1+k2) = ，解得k = 或k =− ; 4k2 +1 4 2 2 1 1 因为k − 或k  ，所以 2 14 k = 1 2 . 所以直线l 与直线OG平行. 【15分】 2（21）（本小题15分） 解：（Ⅰ） 高三数学答案第8页（共9页） （ 1 ,1 ,1 ,1 ） ， （ 1 ,1 , 0 , 0 ） ， （ 1 , 0 ,1 , 0 ） ， （ 0 ,1 ,1 , 0 ） ． 【4分】 （Ⅱ） d ( I , A ) = n i= 1 | a i − 1 | = n i= 1 | 1 − a i | = 1 − a 1 + 1 − a 2 + + 1 − a n = n − ( a 1 + a 2 + + a n ) = p 所以a +a + +a =n− p. 1 2 n 同理 b 1 + b 2 + + b n = n − p . ①当n− p p，即 n  2 p 时 d ( A , B ) = n i= 1 | a i − b i | ≤ n i= 1 | a i | + n i= 1 | b i | = n − p + n − p = 2 n − 2 p . 例如当 A （= 1 ,1 ,1 , p ,1 , 0 ， 0 ， − n p ， 0 ） ， B （= 0 , 0 , 0 n , − p , 0 ,1 ，1 ， p ，1 ） 时，等号成立. ②当n− p≥p，即 n ≥ 2 p 时 d ( A , B ) = n i= 1 | a i − b i | = n i= 1 | a i − 1 + 1 − b i | ≤ n i= 1 | a i − 1 | + n i= 1 |1 − b i | = p + p = 2 p . 同理可知等号成立. 所以 d ( A , B ) m ax =  2 2 p n , − 2 p , p p ≤  n 2n 2 . 【10分】 （Ⅲ）记 P  = { ( c 1 , c 2 , , c n − t+ 1 ) | ( c 1 , c 2 , , c n − t+ 1 , , c n )  P } ， ①显然集合 P  中元素的个数小于等于集合 P 中元素的个数； ②  A , B  S n 且 A  B ，假设它们满足 a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , , a n − t+ 1 = b n − t+ 1 ， 则由定义必有d(A,B)≤t−1，与P中不同元素间距离至少为t相矛盾． 从而(a ,a , ,a )(b,b , ,b )． 1 2 n−t+1 1 2 n−t+1从而集合P中元素的个数等于集合 高三数学答案第9页（共9页） P 中元素的个数，即均为 m 个. 又因为 P  中元素有 n − t + 1 个分量， 所以集合P至多有 2 n − t+ 1 个元素，从而m≤2n−t+1成立．【15分】 （以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）