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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市西城区第十三中学九年级下学期
数学零模试卷
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题纸上认真填写班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将答题纸和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，第 届冬奥会将于
年在北京和张家口举办，下列四个图分别是第 届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称定义：将一个图沿一条直线对折，直线两旁的部分完全重合，则这个图形即为轴对称
图形，逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形不是轴对称图形，故不符合题意，
B选项图形不是轴对称图形，故不符合题意，
C选项图形不是轴对称图形，故不符合题意，
D选项图形是轴对称图形，符合题意；
故选D；
【点睛】本题考查轴对称图形的判断，解题的关键是找到图形的对称轴．
2. 据北京晚报报道，截止至2021年3月14日9：30时，北京市累计有3340000人完成了新冠疫苗第二针
的接种．将3340000用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【详解】将3340000用科学记数法表示为3.34×106．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图， 平分 ，则 （ ）
A. 75° B. 80° C. 45° D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出∠BOC=90°，再根据角平分线的定义求出∠BOD=45°，即可求出∠AOD．
【详解】解：因为∠AOC=120°，∠AOB=30°，
所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-30°=90°，
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOD= ∠BOC=45°，
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=75°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角的计算，理解角平分线的定义是解题关键．
4. 一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A. 1080° B. 540° C. 2700° D. 2160°
【答案】A
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【解析】
【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．
【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得：
，
∴这个多边形的内角和为： ，
故选A．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．
5. 学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同
一辆车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举出所有乘车情况，然后看在同一辆车的情况占总情况数的多少即可．
【详解】列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
∴小明和小慧乘坐同一辆车的概率是 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了基本概率的求法，解题的关键是熟练掌握求概率的方法，包括列表法和树状图法．
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6. 如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把a的值代入计算即可求出值；
【详解】原式
，
当 时，原式 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
7. 2021年世园会在中国西安举行，吉祥物“长安花”（如图）将组织带领一大堆志愿者们为参观者服务，
安排参加志愿者的人数分别为33，34，32，31，32，28，26，33．这组数据的中位数是（ ）
A. 28 B. 31 C. 32 D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】先把数据按大小排列，然后根据中位数的定义可得到答案．
【详解】解：数据按从小到大排列：26，28，31，32，32，33，33，34，
所以中位数是 ；
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故选：C．
【点睛】本题考查了中位数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．
如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
8. 如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段 和射线 组成，
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）
A. 4元 B. 3元 C. 2元 D. 1元
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可求得当 ， 时苹果的单件，从而计算出一次购买3千克苹果和分三次每
次购买1千克苹果的付款金额，从而可解答．
【详解】根据图象可得，
当 时，每千克苹果的单价是 （元），
当 时，每千克苹果的单价是 （元），
故一次购买3千克这种苹果需要花费： （元），
分三次每次购买1千克这种苹果需要花费： （元），
（元），
即一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象的应用，首先仔细观察函数图象，从中找到信息进行求解．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 一个袋子中装有4个黑球和 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球
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的概率为 ，则白球的个数 为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，
再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为 ，
∴摸到黑球的概率为 ，
∵袋子中有4个黑球和 个白球，
∴由简单概率公式可得 ，解得 ，
∴白球有6个，
故答案为：6．
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的边长为
________．
【答案】6
【解析】
【分析】由菱形的性质可得出 ，根据 为 的中点，则 为 的中位线，即可得出
结论．
为
【详解】解：∵四边形ABCD 菱形，
∴ ，
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，
∴AB＝2OE＝6．
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故答案为6．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，掌握菱形的性质与中位线的性质是解题的关键．
11. 如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为 ，表示慕田峪长城的点
的坐标为 ，则表示雁栖湖的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：（1，-3）．
故答案为（1，-3）．
【点睛】本题考查坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
12. 在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：
班级 平均分 中位数 方差
甲班
乙班
数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：
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这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；
甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；
乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．
上述评估中，正确的是______ 填序号
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答，即可得出答案．
【详解】解： ∵甲班的平均成绩是92.5分，乙班的平均成绩是92.5分，
∴这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；
故 正确；
∵甲班的中位数是95.5分，乙班的中位数是90.5分，
甲班学生中数学成绩95分及以上的人数多，
故 错误；
∵甲班的方差是41.25分，乙班的方差是36.06分，
甲班的方差大于乙班的方差，
乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；
故 正确；
的
上述评估中，正确 是 ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查平均数、中位数和方差，平均数表示一组数据的平均程度 中位数是将一组数据从小到
大 或从大到小 重新排列后，最中间的那个数 或最中间两个数的平均数 ；方差是用来衡量一组数据波
动大小的量．
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13. 关于x的一元二次方程 的常数项为 ，则m值为________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义可得 ，进而即可求得 的值．一元二次方程的
一般形式是： （ 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易
忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，
一次项系数，常数项．
【详解】根据题意 ，
，
解得 ，
又 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键，需要注意二次项系数
a≠0．
14. 函数 的图象与直线 没有交点，那么k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】函数y= 的图象与直线y=x没有交点，根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可．
【详解】解：直线y=x中， ，
过一、三象限，
要使两个函数没交点，
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那么函数y= 的图象必须位于二、四象限，
那么1-k＜0，
k＞1．
故答案为：k＞1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．
15. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 ，
和 都是正方形．如果图中 与 的面积比为 ，那么 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】证明 ，可得 ，而 与 的面积比为 ，即得 ，
设 ， 则 ， 在 中 ， 有 ， 又
，故 ．
【详解】解： 都是正方形，
，
，
，
，
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与 的面积比为 ，
，
设 ，则 ，
，
在 中，
，
由“青朱出入图”可知： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，
排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在
了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______．
【答案】 ①. B ②. 4
【解析】
【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡
片，
白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
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第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑
1，矛盾，
第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在
白2右边，与规则②矛盾，
第二行中c为白3，
第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3
矛盾，
第二行中e为白4．
为
故答案 ：①B，②4．
【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，
白4的位置．
三、解答题（共68分，17-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，
26题6分，27，28题每题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】针对负整数指数幂，二次根式化简，零指数幂，特殊角的三角函数值4个考点分别进行计算，然
后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】原式 ．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握负整数指数幂，二次根式化简，零指数幂，特殊角的三角
函数值是解题的关键．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
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【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共
部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）
【详解】解：
由不等式①，得 ；
由不等式②，得
所以不等式组的解为
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，准确找出不等式组的解集是解题的关键
19. 计算：（1）因式分解
（2）解不等式组
【答案】（1） ；（2）0< x <1．
【解析】
【分析】（1）根据提取公因式和平方差公式计算即可；
（2）准确解不等式即可得到结果；
【详解】（1）因式分解： ，
= ，
= ；
（2）解不等式组： ，
解：解不等式①，得 x<1，
解不等式②，得 x 0 ，
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在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图，
∴原不等式组的解集为：0< x <1．
【点睛】本题主要考查了因式分解和一元一次不等式组的求解，准确计算是解题的关键．
20. 如图，在 中， ，过点 的直线 ， 为 边上一点，过点 作
，交直线 于 ，垂足为 ，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）当 ，且 为中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明理由．
（3）求 ∶ ∶ ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）四边形 是正方形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形即可得证；
（2）根据题意证明四边形 是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出
，则四边形 是菱形，根据已知条件证明 ，即可得出结论；
（3）根据勾股定理求得 ，根据平行线分线段成比例得出 ，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵在 中， ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
【小问2详解】
四边形 是正方形，理由如下，
∵在 中， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴四边形 是正方形；
【小问3详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ∶ ∶ ， ，
∴
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∴ 中
∴
∵ ，
∴
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理，
熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．
21. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，过点 作 ，过点C作 交
于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质可得 ，再根据 ， 可得四边形 是平行
四边形，进而证明四边形 是矩形；
（2）根据题意可得 是等边三角形，勾股定理求得 的长，进而求得 的长，在 中，
勾股定理即可求解．
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【小问1详解】
证明： 四边形 是菱形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形；
【小问2详解】
解： 四边形 是菱形，
，
，
是等边三角形，
∴
，
在 中， ，
∴
，
，
四边形 是矩形，
， ，
在 中， ．
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【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形
的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，函数 的图像过点 ， ．
（1）求该函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出不等式 的解集，再根据当 时， ，即可得到
，解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
∴函数 的结束为 ；
【小问2详解】
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解：当函数 的值大于函数的 值时，则 ，
解得 ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是
解题的关键．
23. 在扇形 中，半径 ，点P在OA上，连结PB，将 沿PB折叠得到 ．
（1）如图1，若 ，且 与 所在的圆相切于点B．
①求 的度数．
②求AP的长．
（2）如图2， 与 相交于点D，若点D为 的中点，且 ，求 的长．
【答案】（1）①60°；② ；（2）
【解析】
【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求 的
长，先连接 ，先在 中，求出 ；再在 中，求出 即可得到答案；
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（2）要求 的长，扇形的半径已知，就转化成求 的度数，连接 ，通过条件找到角之间的
等量关系，再根据三角形内角和为 ，建立等式求出 ，最后利用弧长的计算公式进行计算．
【详解】解：（1）①如图1， 为圆的切线 ．
由题意可得， ， ．
，
②如图1，连结 ，交BP于点Q．则有 ．
在 中， ．
在 中， ，
．
（2）如图2．连结OD．设 ．
∵点D为 的中点．
．
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由题意可得， ．
又
， ，解得 ．
．
【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间
的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
24. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，
阅读丰富人生”为主题的读书节活动，在“形象大使”选拔活动中，A，B，C，D，E这5位同学表现最为
优秀，学校现打算从5位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状
图的方法，求恰好选中A和C的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好选中A和C的结果数有2种，
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所以恰好选中甲和乙的概率是 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
25. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，点 和图形 定义如下：线段 绕点 逆时针旋转
得到线段 （ 和 分别是 和 的对应点），若线段 和 均在图形 的内部（包括边界），
则称图形 为线段 关于点 的旋垂闭图．
（1）如图，点 ， ．
①已知图形 ：半径为3的 ；
：以 为中心且边长为6的正方形；
：以线段 为边的等边三角形．
在 ， ， 中，线段 关于点 的旋垂闭图是 ．
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②若半径为5的 是线段 关于点 的旋垂闭图，求 的取值范围；
（2）已知长度为4的线段 在 轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点 ，使得对半径
为2的 上任意一点 ，都有线段 满足半径为 的 是该线段关于点 的旋垂闭图，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①分别在坐标系中画出 ， ， ，再画出线段 绕点 逆时针旋转 的线段
即可得到答案；
②如图1所示，当点 在点 左侧，且此时刚好点 落在 上时，如图2所示，当点 在点 右侧，
且此时刚好点 落在 上时，求出这两种临界情形下 的值，即可得到答案；
（2）先求出点 在直线 上运动；不妨设点 在点 的左侧，如图 所示，连接 并延长
交 于P，点 绕点P逆时针旋转 后的对应点为 ， ，由旋转的性质可得 ，
，则 ，由于点 到 上任意一点的距离的最大值是 ，则只需要找到
值最小时，则此时 半径有最小值；故当 与直线 垂直时， 有最小值，即 有最小
值，如图 所示，当点 的坐标为 且 与直线 垂直时， 有最小值，即 有
最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：①由下图可知，在 ， ， 中，线段 关于点 的旋垂闭图是 ， ，
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故答案为： ， ；
②如图1所示，当点 在点 左侧，且此时刚好点 落在 上时，
由旋转的性质可得 ， ，
， ，
，
，
在 上，
，
，
，
解得 或 （不符合题意，舍去）；
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如图2所示，当点 在点 右侧，且此时刚好点 落在 上时，
由旋转的性质可得 ， ，
， ，
，
，
在 上，
，
，
，
解得 或 （不符合题意的值舍去）；
当 时，半径为5的 是线段 关于点 的旋垂闭图；
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；
【小问2详解】
解： ，
，
，
点 在直线 上运动；
长度为4的线段 在 轴负半轴和原点组成的射线上，
不妨设点 在点 的左侧，
如图 所示，连接 并延长交 于P，点 绕点P逆时针旋转 后的对应点为 ，
由旋转的性质可得 ， ，
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，
点 到 上任意一点的距离的最大值是 ，
由于A、Q都是动点，
只需要找到 值最小时，则此时 半径有最小值；
点到直线的距离，垂线段最短，
当 与直线 垂直时， 有最小值，即 有最小值，
如图 所示，当点 的坐标为 且 与直线 垂直时， 有最小值，即 有最小
值，
此时， ，
，
，
，
则
∴
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，坐标与图形变化——旋转，
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勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题等等，正确画出示意图，利用数形结合的思想求解是解题的关
键．
26. 如图，抛物线y＝ x2＋2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接
AC，BC．
（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E
的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S ＝S 时，请直接写出DM的长．
△DMN △AOC
【答案】（1）A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，直线BC的
函数表达式为y＝3x﹣6
（2）①存在，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2 ，2 ）；②3
【解析】
【分析】（1）将y＝0代入 x2+2x﹣6＝0中可得函数与横轴的交点坐标，为A（﹣6，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝﹣6，进而可得直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，则B（2，0），C（0，﹣6），从而可
得直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；
（2）当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，可分两种情况：当BD＝BC时，
四边形BDEC为菱形，以及当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，从而可求E的坐标；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，根据抛物线与横轴的交点坐标可得抛物线的对称轴
为直线x＝﹣2，进而可知直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，设直线l的解析式为y＝3x+b，
根据点D的坐标（m，﹣m﹣6），可知b＝﹣4m﹣6，进而可得M（﹣2，﹣4m﹣12），由抛物线的对称轴
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与直线AC交于点N．可知N（﹣2，﹣4），进而可知MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，因为S ＝S ，
DMN AOC
△ △
可得 （﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝ ×6×6，整理得m2+4m﹣5＝0，从而解得m＝﹣5，m＝1（舍去），进
1 2
而可知点D的坐标为（﹣5，﹣1），由点D坐标和M坐标可知DM长度．
【小问1详解】
解：当y＝0时， x2+2x﹣6＝0，
解得x＝﹣6，x＝2，
1 2
∴A（﹣6，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；
【小问2详解】
解：①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，
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∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m＝﹣4，m＝0（舍去），
1 2
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m＝ ，m＝ 2（舍去），
1 2
∴点D的坐标为（ ， ），
∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（ ， ）；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（
， ）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
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∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S ＝S ，
△DMN △AOC
∴ （﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝ ×6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m＝﹣5，m＝1（舍去），
1 2
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣2，8），
∴DM＝ ，
答：DM的长为 ．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象的相关性质，直角坐标系中两
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点之间的距离，菱形的性质，掌握数形结合思想是解决本题的关键．
27. 在 中， ， ，过点A作 的垂线 ，垂足为D，E为射线 上一动
点（不与点C重合），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，
与直线 交于点G．
（1）如图1，当点E在线段 上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为 的中点．
（2）如图2，当点E在线段 的延长线上时，用等式表示 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意画图即可；②由条件可证 ,得到 ,
从而有 ，再通过平行线分线段成比例即可证出 为 的中点；
（2）由(1)知 ,可得 为 的中点仍然成立,设 ,表示
出 即可发现它们之间的数量关系．
【小问1详解】
解：①如图，
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②如图，连接 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
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，
，
G为 的中点．
【小问2详解】
解： ．
理由如下：如图，连接 ，
由（1）可知： ，
，
为 的中点仍然成立，且 ，
设 ， ，则 ，
，
，
在 中，由勾股定理可得： ，
， ， ，
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．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出
的长度是解决问题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于图形P，图形 和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形
为 ．若图形P与图形 均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱
相关图形”．
（1）如图，点 ，点 ．
①已知图形 是半径为2的 ， 是半径为1的 ， 是半径为 的 ，在 ， ， 中，
线段 关于直线 的“弱相关图形”是： ；
②已知 的半径为2，若 是线段 关于直线 的“弱相关图形”，求b的取值范围；
（2）在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点
，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的 是圆P关于l的“弱相关图
形”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）① ，②
（2）
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【解析】
【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点 ，点 对称点的坐标，结合图形即可求
解；
②分当 时和 两种情况，结合图形即可求解；
（2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解．
【小问1详解】
解：①如图所示：
∵点 ，点 ， 关于 的对称图形为 ， 半径为 ，
∴根据轴对称性得： ，即点 在y的正半轴上，
∴ 在 的内部，
∴ 为线段 关于直线 的“弱相关图形”．
故答案为： ；
②如图所示， 是线段 关于直线l： 的“弱相关图形”，
∵ 与 平行，
∴ 与坐标轴的夹角为 ，由点O关于 对称，
则 ，则 在直线 上，
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当 时，点O离对称轴直线l： 较远，如图，当 在 上时，
设l与x轴交于点D，
依题意， ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴D的坐标为 ，代入
解得： ，
当 时，点A离对称轴直线 较远，如图：当 在 上时，
同理可得 ，
连接 ，在 中，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
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解得： ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
代入 ，
解得： ，
综上所述： ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
即C在直线 上，
如图所示：过点O作 于点S，
由 ，令 ，
令 ，
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∴ ，
依题意，点C在直线 上运动，过点C的直线为对称轴，将 与 对称，
∵半径r的 是圆P关于l的“弱相关图形”，
∴ ，
∴当 与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点 ，则 ，
又∵点C在直线 上运动， 不能与 平行，
∴Q点只能接近点S，
∴ 的最外端一点与O的距离小于 ，
∴即r的最小值为： ，
即 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换
的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键．
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