2024北京海淀高三一模数学试题及答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届北京市海淀区高三一模

2024 北京海淀高三一模 数 学 本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 已知全集 第1页/共4页 U =  x − 2  x  2  ，集合 A =  x − 1  x  2  ，则 C U A = A. ( − 2 , − 1 ) B. [ − 2 , − 1 ] C. ( − 2 , − 1 )  2  D. [ − 2 , − 1 )  2  2. 若复数z满足 i  z = 1 + i ，则z的共轭复数z= A. 1 + i B. 1 − i C. − 1 + i D. − 1 − i 3. 已知  a n  为等差数列， S n 为其前 n 项和. 若a =2a ，公差d 0， 1 2 S m = 0 ，则m的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知向量 a , b 满足 | a |= 2 ， b = ( 2 , 0 ) ，且 | a + b |= 2 ，则  a , b  = π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 x2 y2 5. 若双曲线 − =1 (a0,b0)上的一点到焦点 a2 b2 ( − 5 , 0 ) 的距离比到焦点 ( 5 , 0 ) 的距离大 b ，则该双曲 线的方程为 A. x 4 2 − y 2 = 1 B. x 2 2 − y 2 = 1 C. x 2 − y 2 2 = 1 D. x 2 − y 4 2 = 1 6. 设,是两个不同的平面， l , m 是两条直线，且m， l  ⊥ . 则“ l  ⊥ ”是“m//”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 已知 f ( x ) =  3 x , x lg ( x + 1 ) , x   0 0 ，函数 f(x)的零点个数为m，过点 ( 0 , 2 ) 与曲线 y = f ( x ) 相切的直线的条数为 n，则 m , n 的值分别为 A.1,1 B. 1 , 2 C. 2 ,1 D.2,2 8. 在平面直角坐标系 x O y 中，角以 O x 为始边，终边在第三象 限. 则 A. s in c o s ta n    −  B. s in c o s ta n    −  C.sincostan D.sincostan 9. 函数 f(x) 是定义在(−4,4) 上的偶函数，其图象如图所示，f(3)=0. 设 第2页/共4页 f ( x ) 是 f ( x ) 的导函数，则关于 x 的不等式 f ( x + 1 )  f ( x )  0 的解集是 A. [ 0 , 2 ] B. [ − 3 , 0 ] [ 3 , 4 ) C. ( − 5 , 0 ] [ 2 , 4 ) D.(−4,0] [2,3) 10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1 . 通过观 察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以 该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 6 0  ），再沿直线繁殖， ；②每次 分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是，该组 同学将整个繁殖过程抽象为如图 2 所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的 中心 O 开始，沿直线繁殖到 A ，然后分叉向 11 A 2 1 与 A 2 2 方向继续繁殖，其中 A A A =60 ， 且 A A 与 21 11 22 11 21 A 1 1 A 2 2 关 于 O A 1 1 所 在 直 线 对 称 ， 1 A A = A A = OA , .若 11 21 11 22 2 11 O A 1 1 = 4 c m ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培 养皿壁，则培养皿的半径 r ( r  N * , 单 位 : c m ) 至少为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 已知 ln a b = 2 ，则 ln a 2 − ln b 2 = _________. 12. 已知 C : ( x − 1 ) 2 + y 2 = 3 ，线段AB是过点 ( 2 ,1 ) 的弦，则 | A B | 的最小值为_________. 13. 若 ( x − 2 ) 4 = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ，则 a 0 = _________； a 0 a + 1 + a 2 a 3+ a 4 = _________. π 5 14. 已知函数 f(x)=sin(x+ )sin2x，则 f( π)= _________；函数 4 4 f ( x ) 的图象的一个对称中心的坐标为 _________. 15. 已知函数 f ( x ) = x 3 − x ，给出下列四个结论： ①函数 f(x)是奇函数； ②kR，且 k  0 ，关于 x 的方程 f ( x ) − k x = 0 恰有两个不相等的实数根； 1 1 ③已知P是曲线y= f(x)上任意一点，A(− ,0)，则|AP| ； 2 2 ④设M(x ,y )为曲线 1 1 y = f ( x ) 上一点， N ( x 2 , y 2 ) 为曲线y=−f(x)上一点. 若 | x 1 + x 2 |= 1 ，则 | M N | 1 . 其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题13分） 在△ABC中，bsinC+ 3ccosB=2c. （Ⅰ）求 第3页/共4页  B ； （Ⅱ）若a=2 3， b + c = 4 ，求 △ A B C 的面积. 17.（本小题14分） 如图，在四棱锥 P − A B C D 中， A D / / B C ， M 为 B P 的中点， A M / / 平面 C D P . （Ⅰ）求证：BC =2AD； （Ⅱ）若 P A ⊥ A B ，AB= AP= AD=CD=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中 选择一个作为已知，使四棱锥 P − A B C D 存在且唯一确定. （ⅰ）求证：PA⊥平面 A B C D ； （ⅱ）设平面 C D P 平面 B A P = l ，求二面角 C − l − B 的余弦值. 条件①： B P = D P ； 条件②： A B ⊥ P C ； 条件③：  C B M =  C P M . 注：如果选择的条件不符合要求，第（ⅰ）问得 0 分；如果选择多 个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题13分） 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分. 现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整 理如下表： 科普测试成绩 x 科普过程性积分 人数 9 0  x  1 0 0 4 10 8 0  x  9 0 3 a 7 0  x  8 0 2 b 6 0  x  7 0 1 2 3 0x60 0 2 （Ⅰ）当 a = 3 5 时， （ⅰ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于 3 分的概率； （Ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生 的科普过程性积分之和，估计 X 的数学期望 E ( X ) ； （Ⅱ）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为Y ，上述100名学生 1 科普测试成绩的平均值记为Y . 若根据表中信息能推断Y Y 恒成立，直接写出a的最小值. 2 1 219.（本小题15分） 已知椭圆 第4页/共4页 G : x 2 + m y 2 = m 的离心率为 2 2 ， A 1 , A 2 分别是G 的左、右顶点， F 是 G 的右焦点. （Ⅰ）求 m 的值及点 F 的坐标； （Ⅱ）设P是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q在直线x=2上，且PF ⊥FQ，直线PQ与x轴交于点M . 比 较 | M P 2| 与 | M A 1 |  | M A 2 | 的大小. 20.（本小题15分） 已知函数 f ( x ) = x e a − 12 x . （Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）若函数 g ( x ) = | f ( x ) + e − 2 a | ，x(0,+)存在最大值，求a的取值范围. 21.（本小题15分） 已知 Q : a 1 , a 2 , a m 2 ( m  2 , m  N * ) 为有穷正整数数列，其最大项的值为 m ， 且当 k = 0 ,1 , , m − 1 时，均有 a km + i  a km + j (1  i  j  m ) . 设 b 0 = 0 ，对于 t   0 ,1 , , m − 1  ， 定义b =minn nb,a t，其中， t+1 i n m in M 表示数集M 中最小的数. （Ⅰ）若 Q : 3 ,1 , 2 , 2 , 3 ,1 , 2 , 3 ，写出 b 1 , b 3 的值； （Ⅱ）若存在 Q 满足： b 1 + b 2 + b 3 = 1 1 ，求m的最小值； （Ⅲ）当m=2024时，证明：对所有 Q ， b 2 0 2 3  2 0 2 4 0 .海淀区 2023—2024 学年第二学期期中练习 高三数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）A （3）B （4）C （5）D （6）A （7）B （8）C （9）D （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ）4 （12） 高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 8 页） 2 （13） 1 6  4 4 0 1 （14）  1 (  π 4 , 0 ) （答案不唯一） （15）②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） a b c 解：（Ⅰ）由正弦定理   及bsinC 3ccosB2c，得 sinA sinB sinC s in B s in C  3 s in C c o s B  2 s in C . 因为 C  ( 0 , π ) ，所以sinC0. 所以 s in B  3 c o s B  2 . 所以 s in ( B  π 3 )  1 . 因为B(0, π)， π π 所以B  ，即 3 2 B  π 6 . （Ⅱ）由余弦定理得 c o s B  a 2  2 2 c a c  b 2  2 3 . 因为a2 3， 所以12c2b2 6c. 因为 b  c  4 ， 所以c2. 1 所以△ABC的面积为 acsinB 3. 2（17）（共14分） 解：（Ⅰ）取 高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 8 页） P C 的中点 N ，连接 M N ， N D . 因为 M 为 B P 的中点， 所以 M N  1 2 B C ，MN//BC. 因为 A D // B C ， 所以 A D // M N . 所以M，N，D，A四点共面. 因为 A M // 平面 C D P ，平面 M N D A 平面 C D P  D N ， 所以 A M // D N . 所以 M N  A D . 所以 B C  2 A D . （Ⅱ）取 B C 的中点 E ，连接AE， A C . 由（Ⅰ）知 B C  2 A D . 所以EC AD. 因为EC// AD， 所以四边形AECD是平行四边形. 所以EC AD1，AE CD. 因为 A B  C D  1 ，所以 A E  1  1 2 B C . 所以BAC90，即 A B  A C . 选条件①： B P  D P . （ⅰ）因为 A B  A D  1 ， P A  P A ， 所以 △ P A B  △ P A D . 所以  P A B   P A D . 因为 A B  P A ，所以  P A B  9 0  . 所以  P A D  9 0  ，即APAD. 所以 A P  平面 A B C D . （ⅱ）由（ⅰ）知AP平面 A B C D P M N A B D C P M A B D E C . 所以AP AC.因为 高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 8 页） P A  A B ， A P  1 ， 如图建立空间直角坐标系 A  x y z . 则 P ( 0 , 0 ,1 ) ， C ( 0 , 3 , 0 ) ， D (  1 2 , 2 3 , 0 ) . 所以 C D  (  1 2 ,  2 3 , 0 ) ， P D  (  1 2 , 2 3 ,  1 ) ， A C  ( 0 , 3 , 0 ) . 设平面PDC 的法向量为 n  ( x , y , z ) ，则 nCD0,  即 nPD0,    1 2 1 2 x x   2 3 2 3 y y   z 0  , 0 . 令 x  3 ，则 y1 ， z 3 .于是 n  ( 3 ,  1 ,  3 ) . 因为 AC 为平面 P A B 的法向量，且 c o s  A C , n   | A A C C |   n | n |   7 7 ， 所以二面角 C  l  B 7 的余弦值为 . 7 选条件③：  C B M   C P M . （ⅰ）所以 C B  C P . 因为AB AP1， C A  C A ， 所以 △ A B C  △ A P C . 所以  P A C   B A C  9 0  ，即PA AC. 因为 P A  A B ， 所以PA平面 A B C D . （ⅱ）同选条件①． x B M P z A y C D（18）（共13分） 解：（Ⅰ）当 高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 8 页） a  3 5 时， （ⅰ）由表可知，科普过程性积分不少于 3 分的学生人数为 1 0  3 5  4 5 . 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于 3 分 的频率为 1 4 0 5 0  0 .4 5 ． 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于 3 分 的概率估计为 0 .4 5 ． （ⅱ）根据题意，从样本中成绩不低于 8 0 分的学生中随机抽取一名，这名学生 的科普过程性积分为 3 分的频率为 3 5 3 5  1 0  7 9 . 所以从该校学生活动成绩不低于 8 0 分的学生中随机抽取一名，这名学生 的科普过程性积分为 3 分的概率估计为 7 9 . 同理，从该校学生活动成绩 不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为 4 分 的概率估计为 2 9 . 由表可知 X 的所有可能取值为 6 , 7 , 8 ． P ( X  6 )  7 9  7 9  4 8 9 1 ， P ( X  7 )  2  7 9  2 9  2 8 8 1 ， 2 2 4 P(X 8)   ． 9 9 81 所以 X 49 28 4 58 的数学期望E(X)6 7 8  ． 81 81 81 9 （Ⅱ） 7 ．（19）（共15分） 解：（Ⅰ）由题意知m1. 设a2 m，b2 1，则c2 a2b2 m1. 因为 高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 8 页） G 的离心率为 2 2 ， 所以a2 2c2，即 m  2 ( m  1 ) ． 所以 m  2 ， c  1 . 所以 m 的值为 2 ，点F 的坐标为(1,0)． （Ⅱ）由题意可设 P ( x 0 , y 0 ) （ x 0 y 0  0 ）， Q ( 2 , y Q ) ， M ( x M , 0 ) ，则x 2， 0 x 0  x M ， x 20  2 y 20  2 . ① 因为 P F  F Q , 所以 ( x 0  1 , y 0 )  (1 , y Q )  0 . 所以 y Q  1  y x 0 0 . ② 因为 Q ， P ， M 三点共线， x 0  (  2 , 0 ) ( 0 , 2 ) ， 所以 y Q 2   x y 0 0  x 0 y  0 x M . ③ 由①②③可得 x M  2 x 0 . 由（Ⅰ）可知 A 1 (  2 , 0 ) ，A ( 2,0). 2 所以 | M P 2|  | M A 1 |  | M A 2 | ( x 0  2 x 0 ) 2  y 20  ( 2 x 0  2 ) ( 2 x 0  2 ) 4 x2 4 x2 x2 4 1 0  2 0 1. 0 x2 2 x2 2 0 0 所以 | M P 2|  | M A 1 |  | M A 2 | 2 x 02  1  0 ，即 | M P 2|  | M A 1 |  | M A 2 | .（20）（共15分） 1 a x 解：（Ⅰ）因为 f(x)xe 2 ， 所以 高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 8 页） f '( x )  e a  12 x  x 2  e a  12 x  e a  12 x (1  x 2 ) . 令 f '(x)0，得 x  2 ． f '(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (   , 2 ) 2 ( 2 ,   ) f '( x )  0  f ( x ) ↗ ↘ 所以，函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (   , 2 ) ；单调递减区间是 ( 2 ,   ) ． （Ⅱ）令 h ( x )  f ( x )  e  2 a ，则 h '( x )  f '( x ) . 由（Ⅰ）可得：函数 h ( x ) 的单调递增区间是 (   , 2 ) ；单调递减区间是 ( 2 ,   ) ． 所以h(x)在 x  2 时取得最大值 h ( 2 )  2  e a  1  e  2 a . 所以当 x  2 1 a x 时，h(x)xe 2 +e2ae2ah(0)；当 0  x  2 时， h ( x )  h ( 0 ) ， 即当 x  ( 0 ,   ) 时， h ( x )  ( h ( 0 ) , h ( 2 ) ] . 所 以 g(x)|h(x)| 在 ( 0 ,   ) 上 存 在 最 大 值 的 充 分 必 要 条 件 是 | 2  e a  1  e  2 a | | e  2 a | ，即 2  e a  1   e 2 2 a  e  2 a  e a  1  e  2 a  0 . 令 m ( x )  e x  1  e  2 x ，则 m '( x )  e x  1  e  2 . 因为m'(x)ex1e2 0，所以m(x)是增函数. 因为 m (  1 )  e  2  e  2  0 ， 所以m(a)ea1e2a0的充要条件是a1. 所以a的取值范围为 [  1 ,   ) .（21）（共15分） 解：（Ⅰ） 高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 8 页） b 1  1 , b 3  6 ． （Ⅱ）由题意知 m  3 . 当 m  3 时，因为a 1，b 0，所以b 1. 1 0 1 因为 a 2  a 3 ，且 a 2 ， a 3 均为正整数， 所以 a 2  1 ，或 a 3  1 . 所以 b 2  3 . 因为 a 4 ， a 5 ， a 6 是互不相等的正整数，所以必有一项大于2. 所以 b 3  6 . 所以b b b 10，不合题意. 1 2 3 当 m  4 时，对于数列 Q ：4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4有 b 1  b 2  b 3  1  3  7  1 1 . 综上所述， m 的最小值为 4 . （Ⅲ）因为b min{n|nb,a t}，t0,1, ,2023， t1 t n 所以b b ，t0,1, ,2023. t1 t （ⅰ）若 b t 1  2 0 2 4 ，则当 n  b t 1 时，至少以下情况之一成立： ① a n  t ，这样的 n 至多有 t 个； ②存在it ， b i  n ，这样的n至多有 t 个. 所以小于b 的 t1 n 至多有 2 t 个. 所以b tt12t1. t1令 高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 8 页） 2 t  1  2 0 2 4 ，解得 t  1  1 0 1 2 . 所以 b 1 0 1 2  2 0 2 4 . （ⅱ）对 k  N * ，若 b t  2 0 2 4 k  b t 1 ，且 2 0 2 4 k  b t l 1  2 0 2 4 ( k  1 ) ，因为 b t l 1  m in { n | n  b t l , a n  t  l} ，所以当 n  ( 2 0 2 4 k , b t l 1 ) 时，至少以下情 况之一成立： ① a n  t  l ，这样的 n 至多有 t  l 个； ② 存在 i ， t  i  t  l 且 b i  n ，这样的 n 至多有 l 个. 所以 b t l 1  2 0 2 4 k  t  l  l  1  2 0 2 4 k  t  2 l  1 . 令 t  2 l  1  2 0 2 4 ，解得 l  [ 2 0 2 3 2  t ] ，即 t  l  1  [ 2 0 2 5 2  t ] ，其中 [ x ] 表 示不大于x的最大整数. 所以当 b t  2 0 2 4 k  b t 1 时， b [ 2 0 2 52  t ]  2 0 2 4 ( k  1 ) ； 综上所述，定义 C 1  1 0 1 2 ， C k  1  [ 2 0 2 5 2  C k ] ，则b 2024k. C k 依次可得： C 2  1 5 1 8 ， C 3  1 7 7 1 ， C 4  1 8 9 8 ， C 5  1 9 6 1 ， C 6  1 9 9 3 ， C 7  2 0 0 9 ， C 2017， 8 C 9  2 0 2 1 ， C 1 0  2 0 2 3 . 所以 b 2 0 2 3  2 0 2 4  1 0  2 0 2 4 0 .