2025北京海淀高三一模数学试题及答案_2025年4月_250413北京市海淀区2025年高三一模（全科）

2025 北京海淀高三一模 数 学 2025.04 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题共 40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 第1页/共5页 U =  x | x  1  , A =  x | x  2  ,则∁ 𝐴 = 𝑈 (A) ( −  , 2 ) (B) ( −  , − 1 ) ( 1 , 2  (C) ( −  , 2  (D) ( −  , − 1 ) ( 1 , 2 ) (2)在复平面内，复数𝑧 =𝑖2+𝑖3对应的点的坐标为 (A) (1,1) (B) ( 1 , − 1 ) (C) ( − 1 , 1 ) (D) ( − 1 , − 1 ) (3)函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥−1+1(𝑎 >0)的图象一定经过点 (A)( 1, 2) (B)( 1, 1) 2 2 (C) ( 0 , 2 ) (D) ( 0 , 1 ) (4)已知直线 y = a x + b 经过圆𝑥2+𝑦2+2𝑥 =0的圆心，则𝑎2+𝑏的最小值为 1 (A)-1 (B)− 4 (C)0 (D)1 (5)已知四个数𝑎 = lg2+lg5 ,𝑏 =√lg2⋅lg5,𝑐 =lg2,𝑑 =lg5,其中最小的是 2 (A)a (B)b (C)c (D)d (6)已知抛物线C：𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝 >0)的焦点为F，点𝑀( 3, 𝑦 )在C上,|MF|=2,则(∣𝑦 ∣= 0 0 2 (A)1 (B)√2 (C)√3 (D)2 (7)已知A₄纸的长宽比约为√2:1.现将一张A₄纸卷成一个圆柱的侧面(无重叠部分).当该圆柱的高等于A₄纸的 长时，设其体积为 V₁，轴截面的面积为𝑆 ;当该圆柱的高等于𝐴 纸的宽时，设其体积为 V₂，轴截面的面积 1 4 为S₂，则 (A)𝑉 =𝑉 ,𝑆 =𝑆 (B)𝑉 ≠𝑉 ,𝑆 =𝑆 1 2 1 2 1 2 1 2 (C)𝑉 =𝑉 ,𝑆 ≠𝑆 (D)𝑉 ≠𝑉 ,𝑆 ≠𝑆 1 2 1 2 1 2 1 2 (8)已知a 是公差为d的等差数列，{b }是公比为q的等比数列.若00) 的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω= 1 (A)1 (B) 2 𝜋 (C)π (D) 2 (10)对于无穷数列 第2页/共5页  a n  和正整数 k ( k  2 ) ,若存在 n 1 , n 2 ,   , n k 满足𝑛 <𝑛 <⋯<𝑛 且 𝑎𝑛1 = 𝑎𝑛2 =⋯= 1 2 𝑘 𝑛1 𝑛2 𝑎𝑛𝑘,则称数列 𝑛𝑘  a n  具有性质 P k .下列选项中错误的是 (A)若𝑎 =𝑛2,则数列a 不具有性质P₂ 𝑛 n (B)若𝑎 =𝑛−1+cos(𝑛𝜋),则数列a 具有性质 𝑛 n P 2 0 2 5 (C)存在数列  a n  和 { b n } ,使得a 和 n { b n } 均不具有性质𝑃 ,且{𝑎 +𝑏 }具有性质𝑃 2 𝑛 𝑛 2025 (D)若数列  a n  和 { b n } 均具有性质 P 2 0 2 5 ,则{𝑎 +𝑏 }具有性质 𝑛 𝑛 P 2 0 2 5 第二部分(非选择题共 110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)已知(𝑥−2)4 =𝑎 𝑥4+𝑎 𝑥3+𝑎 𝑥2+𝑎 𝑥+𝑎 ,则𝑎 +𝑎 =___________________. 4 3 2 1 0 4 3 (12)已知双曲线𝑦2 − 𝑥2 =1的一条渐近线的方程为y=2x，则该双曲线的离心率为___________. 𝑎2 𝑏2 (13)已知向量 a = ( 2 , 0 ) , b = 1 ,则 a + b 的最大值为_______________; a + b 与 a 的夹角的取值范围是 ___________. (14)已知函数 f ( x ) =  2 l o − g x a 2 , 1 ( 2 x a  x 1 + , 3 ) , x  1 ( a  0 且 a  1 ) .若 f (x)的值域为(−,2]则a 的一个取值为 ___________；若 f (x)的值域为R，则a的取值范围是__________________. (15)如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮 A和转轮 B组成，B的圆心固定在转轮 A上的点 Q处，某个座椅固定在转轮 B上的点 M处.A的半径为 10米，B的半径为 5米，A的圆心 P距离地面竖直 高度为 20 米.游乐设施运行过程中，A 与 B 分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A 旋转一周用时 π 分 钟，B 旋转一周用时 分钟.当 Q 在 P 正下方且 M 在 Q 正下方时，开始计 2 时，设在第t分钟M距离地面的竖直高度为h(t)米.给出下列四个结论： 𝜋 ①ℎ( )=25; 4 ② 第3页/共5页 h ( t ) 最大值是35; ③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在 t 0 ( 0 , )   使得𝑡 =𝑡 时M到P的距离等于15米.其中所有正确结论的序号为_____________. 0 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 如图，五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形. (Ⅰ)求证:EF∥CB; (Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF= 1 2 EF=1,BF=√2, 求直线DE与平面BCEF所成角的大小. (17)(本小题13分) 在△𝐴𝐵𝐶中，已知2𝑎sin𝐴 =3√3(1−cos2𝐴),𝑏 =2√6. (Ⅰ)求sinB的值; (Ⅱ)若∠𝐵为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△𝐴𝐵𝐶存在且唯一， 求△𝐴𝐵𝐶的面积. 条件①:c=5; 条件②：cos𝐴 = √6 ; 3 条件③：𝑎sin𝐴 =√3. 注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答 计分.(18)(本小题14分) 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备 是否发热与设备状态(完好或损坏)有较强的相关性，从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取 1000 条数 据，整理如下图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修，对单台设备的不同状态， 这三种操作给工厂带来的经济损失如下(单位：千元)： 操作 经济损失 保留观察 停机更换 检查维修 设备状态 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. (Ⅰ)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； (Ⅱ)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修.记检查维修这2台设备给工厂带 来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望EX； (Ⅲ)该工厂的某车间现有 2 台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三 种维护这2台设备的操作方案： 发热情况 操作方案 发热 未发热 编号 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号. 第4页/共5页(19)(本小题15分) 已知椭圆W：𝑥2 + 𝑦2 =1(𝑎 >𝑏 >0),A，B分别是W的左、右顶点，C是W的上顶点.△𝐴𝐵𝐶的面积为2， 𝑎2 𝑏2 且∣𝐴𝐶 ∣=√5. (Ⅰ)求椭圆W的方程及长轴长； (Ⅱ)已知点 第5页/共5页 M ( 2 , 1 ) ,点 P在直线 AC上,设直线 PM与 x轴交于点 E,直线 BP与直线 EC交于点 Q，判断点 Q 是否在椭圆W上，并说明理由. (20)(本小题15分) 已知函数𝑓(𝑥)=−sin𝑥+𝑘𝑥. (Ⅰ)若曲线 y = f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线为𝑦 =− 3 𝑥,求k的值； 2 (Ⅱ)若 f (x)为R上的单调函数，求k的取值范围； (Ⅲ)若函数𝑔(𝑥)= 𝑘 𝑥3+𝑥+sin𝑥,求证：k 可以取无数个值，使得每一个 k 的取值 6 g ( x ) 都恰有三个不同的 零点. (21)(本小题15分) 设正整数𝑛 ≥2,对于数列𝐴:𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 ,定义变换T，T将数列A变换成数列T(A):aa ,a a ,,a a ,a a . 1 2 𝑛 1 2 2 3 n−1 n n 1 已知数列 A 0 : a 1 , a 2 ,   , a n 满足 a i  { − 1 , 1 } ( i = 1 , 2 ,   , n ) .记𝐴 =𝑇(𝐴 ).(k=0,1,2,···) 𝑘+1 𝑘 (Ⅰ)若𝐴 :−1,1,1,写出数列𝐴 ,𝐴 ; 0 1 2 (Ⅱ)若n为奇数且A 不是常数列，求证：对任意正整数k，𝐴 都不是常数列； 0 𝑘 (Ⅲ)求证：当且仅当𝑛 =2𝑚(𝑚 ∈𝑁∗)时，对任意𝐴 ,都存在正整数k，使得𝐴 为常数列. 0 𝑘海淀区 2024—2025 学年第二学期期中练习 2025.04 高三数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）D （3）A （4）B （5）C （6）C （7）B （8）D （9）D （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ） 高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页） − 7 （12） 2 5 （13）3， [ 0 , π 6 ] （14） 1 2 （答案不唯一，只需满足 0  a  1 ），[2,+) （15）①③ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）由四边形 A B C D 是正方形，可得 B C / / A D . 又因为 B C  平面ADEF， A D  平面 A D E F ， 所以BC//平面 A D E F . 又因为 B C  平面BCEF，平面 B C E F 平面 A D E F = E F ， 所以BC//EF . （Ⅱ）由四边形 A B C D 是正方形，可得 A D ⊥ A B . 又因为平面ABCD⊥平面ABF ， 所以AD⊥平面ABF . 所以 A D ⊥ A F . 在△ABF 中，因为 A B = A F = 1 ，BF = 2 ， 所以 A B 2 + A F 2 = B F 2 ， 由勾股定理逆定理得 A B ⊥ A F 如图，建立空间直角坐标系A−xyz， 由已知可得 A ( 0 , 0 , 0 ) z B C A F y D ，D(1,0,0)，F(0,1,0)， E xE(2,1,0)，B(0,0,1)，C(1,0,1). 所以， 高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页） D E = (1 ,1 , 0 ) ， B C = (1 , 0 , 0 ) ， B F = ( 0 ,1 , − 1 ) ， 设平面 B C E F 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) ，则  B B C F   n n = = 0 0 , , 所以  x y = − 0 z , = 0 . 取 y = 1 ，得x=0， z = 1 . 所以n=(0,1,1)， 设直线 D F 与平面BCEF所成角为， 则 s in | c o s D E , | | D D E E | | 1 2  =  n  =   n n | = DEn 1 cos DE,n = = . |DE||n| 2 又因为为锐角，所以 π 6  = . （17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为 c o s 2 A = 1 − 2 s in 2 A ， 故由2asinA=3 3(1−cos2A)可得 2 a s in A = 6 3 s in 2 A ， 因为A(0,)， s in A  0 ，所以 s a in A = 3 3 ， a b b 在△ABC中，由正弦定理 = ,所以 =3 3, sinA sinB sinB 因为b=2 6，所以 s in B = 2 3 6 3 = 2 3 2 . （Ⅱ）选条件②解答如下： 6 3 因为cosA= ，A(0,)，所以sinA= 1−cos2 A= ， 3 3 2 2 因为sinB= ，B为锐角，所以 3 c o s B = 1 − s in 2 B = 1 3 , 又因为 A B C  + + = ， 所以 s in C = s in ( A + B ) = s in A c o s B + c o s A s in B = 3 3  1 3 + 3 6  2 3 2 = 5 9 3 ,在△ 高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页） A B C a b c 中，由正弦定理 = = =3 3, sinA sinB sinC 所以c=3 3sinC=5(或者 a = 3 ) 又因为 s in A = 3 3 ， b = 2 6 所以△ABC的面积 S = 1 2 b c s in A = 1 2  2 6  5  3 3 = 5 2 . 选条件③解答如下： a 由（Ⅰ）， =3 3，且 sinA a s in A = 3 ， 3 解得a=3，sinA= , 3 因为 a = 3  2 6 = b ，所以 A B 2    , 所以cosA0， c o s A = 1 − s in 2 A = 3 6 , 2 2 因为sinB= ， 3  B 为锐角，所以 c o s B  0 ， c o s B = 1 − s in 2 B = 1 3 , 又因为 A B C  + + = ，所以 s in C = s in ( A + B ) = s in A c o s B + c o s A s in B = 3 3  1 3 + 3 6  2 3 2 = 5 9 3 , 所以△ A B C 1 1 5 3 的面积S = absinC= 32 6 =5 2 . 2 2 9 （18）（本小题13分） 解：（Ⅰ）设“一台设备未出现发热情况时该设备损坏”为事件 A ， 由图可得 P ( A ) = 4 0 4 0 0 + 0 6 0 0 = 2 5 . （Ⅱ）X 的取值范围为10,12,14， 7 依题意，用频率估计概率，一台设备出现发热情况下损坏的概率为 . 10高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） P ( X = 1 0 ) = 1 3 0  1 3 0 = 1 9 0 0 , P ( X = 1 2 ) = 2  1 3 0  1 7 0 = 2 5 1 0 , P ( X = 1 4 ) = 1 7 0  1 7 0 = 1 4 0 9 0 . X 的分布列为： X 10 12 14 P 1 9 0 0 2 5 1 0 1 4 0 9 0 9 21 49 64 所以EX =10 +12 +14 = ， 100 50 100 5 （Ⅲ）① （19）（本小题15分） 解：（Ⅰ）由题意，  a 1 2 2  + 2 b a 2  b = = 5 , 2 , a=2, 解得 b=1. 所以，椭圆 W ： x 4 2 + y 2 = 1 ，其长轴长为 2 a = 4 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得，A(−2,0)， B ( 2 , 0 ) ， C ( 0 ,1 ) ， 直线AC 的方程为 y = 1 2 x + 1 . 1 设P(x , x +1)，其中x 0，则 0 2 0 0 ① 当x =2时， 0 P M : x = 2 ，E(2,0)与 B 重合，此时 B P 与 E C 的交点Q即点 B , 所以， Q 在椭圆 W 上.② 当x 2时， 0 直线 高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页） P M : y − 1 = ( 1 2 x 0 x 0 + − 1 ) 2 − 1  ( x − 2 ) ，即 y = 2 x x 0 0− 4 x − 2 x 4 0 − 4 . 令 y = 0 得， x = 4 x 0 ，即 E ( 4 x 0 , 0 ) . 直线 B P ： y = 1 2x x 0 0 − + 2 1 ( x − 2 ) , 即 y = 2 x 0x 0 + − 2 4 x − x x 0 0 + − 2 2 . 直线EC： y = 1 0 − − 0 4 x 0 x + 1 , 即 y = − x 04 x + 1 .  x y=− 0 x+1,   4 联立 解得 x +2 x +2 y= 0 x− 0 .  2x −4 x −2 0 0  x y = = x − 8 x 0 2 + 0 2 x 02 x 0 4 − + , 4 4 8x x2 −4 , 即Q( 0 ,− 0 ). x2 +4 x2 +4 0 0 8x ( 0 )2 x2 +4 x2 −4 16x2 +(x2 −4)2 16x2 +(x4 −8x2 +16) 因为 0 +(− 0 )2 = 0 0 = 0 0 0 =1, 4 x2 +4 (x2 +4)2 x4 +8x2 +16 0 0 0 0 所以， Q 在椭圆 W 上. 综上， Q 在椭圆 W 上. （20）（本小题15分） 解：（I） f '( x ) = − c o s x + k ， 因为曲线y= f(x)在 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y = − 3 2 x ， 3 1 所以 f '(0)=−1+k =− ， 解得k =− . 2 2 检验： f ( 0 ) = 0 ，故曲线 y = f ( x ) 在 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y = − 3 2 x .…… 4分 （Ⅱ）因为 f(x)为 R 上的单调函数，所以对任意 高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页） x ，有 f '( x )  0 ；或对任意 x ，有 f '(x)0， 即 k  c o s x 恒成立，或 k  c o s x 恒成立， 所以 k 的取值范围是 ( −  , − 1 ] [1 , +  ) . （Ⅲ）因为g(x)是奇函数， 所以只需证明： k 存在无数个取值使得 g ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上恰有一个零点. k k g'(x)= x2 +1+cosx，令h(x)= x2 +1+cosx， 2 2 h '( x ) = k x − s i n x = f ( x ) ， 根据（Ⅱ）， k  − 1 时， h '( x ) 在 ( 0 , +  ) 上是减函数. 所以，任意 x  0 ，h'(x)h'(0)=0， h ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上是减函数. h ( 0 ) = 2 ， h ( π ) = k π 2 2  0 ，故存在 x 0  ( 0 , π ) ，h(x )=0. 0 x2 x2 {存在其它取点情况，由h(x)− +1+cosx2− 可得 2 2 x  2 时，h(x)0} 当 x 变化时， g '( x ) , g ( x ) 的变化情况如下表： x 0 (0,x ) 0 x 0 ( x 0 , +  ) g'(x) 2 + 0 − g(x) 0 ↑ 极大值 ↓ 故 x  ( 0 , x 0 ] 时， g ( x )  g ( 0 ) = 0 . k 1 g(π)= π3+π− π3+π0. 6 6 x3 {存在其它取点情况，x0时，由g(x)− +x+1可得x3时，g(x)0} 6 故存在唯一的x (x ,π)，g(x )=0. 1 0 1于是k −1时， 高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页） g ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上存在唯一的零点. 于是k 存在无数个取值使得 g ( x ) 恰有三个不同的零点. （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ） A 1 : − 1 ,1 , − 1 ，A :−1,−1,1. 2 （Ⅱ）证明：设n=2t−1，其中 t  N * . 假设存在正整数 k ，使得 A k 是常数列，由 A 0 不是常数列， 不妨设A ,A,...,A 不为常数列且A 为常数列， 0 1 k−1 k 记 A k − 1 : b 1 , b 2 ,   , b 2 t− 2 , b 2 t− 1 ，则 A k : b b1 2 , b 2 b 3 ,   , b 2 t− 2 b 2 t− 1 , b 2 t− b1 1 . 令 b 2 t = b 1 ，b =b 2t+1 2 当 i = 1 ,2 ,    ,2 t − 1 时，因为 b bi i+ 1 = b i+ b1 i+ 2 ，且 b i+ 1  { − 1 ,1 } ，所以 b i = b i+ 2 . 故 b 1 = b 3 = b 5 = = b 2 t− 1 = b 2 = b 4 =    = b 2 t− 2 . 此时A 为常数列，矛盾. k−1 另法： ① 若 A k : 1 ,1 ,   ,1 ,则 b 2 = b 1 ， b 3 = b 2 ，    ， b 2 t− 1 = b 2 t− 2 ， b 1 = b 2 t− 1 ，有 b 1 = b 2 =    = b 2 t− 1 ， 此时 A k − 1 为常数列，矛盾. ② 若A :−1,−1,,−1，则bb =bb ==b b =b b =−1，有 k 1 2 2 3 2n−2 2n−1 2n−1 1 ( − 1 ) 2 t− 1 = ( b b1 2 ) ( b 2 b 3 )    ( b 2 t− 2 b 2 t− 1 ) ( b 2 t− b1 1 ) = b 1 2 b 22    b 22 t− 1 = 1 ， 矛盾. 综上，对任意正整数k， A k 都不是常数列.（Ⅲ）① 首先证明，若 高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页） n = 2 m  ( 2 s − 1 ) ，其中 m  N * ， s  2 ， s  N * ， 则存在 n 项的数列 A 0 ，使得对任意的正整数 k ， A k 都不是常数列. 证明：构造2s−1项的数列C ：c,c ,...,c ，其中 0 1 2 2s−1 c =c ==c =1， 1 2 2s−2 c 2 s− 1 = − 1 . 构造 n 项的数列 A 0 : c 1 , c 2 , ..., c 2 s− 1 , c 1 , , c 2 m 组 2 ..., , c  2 1 s− , ,..., c c c 1 2 2 1 s−  , c 1 , c 2 , ..., c 2 s− 1 对任意的正整数 k ，设 C k : d 1 , d 2 , ..., d 2 s− 1 ，则 A : k d 1 , d 2 , ..., d 2 s− 1 , d 1 , d m 2 2 组 , ..., , d 2 1 s− , ,..., d d d 1 2 2 1 s−   , d 1 , d 2 , ..., d 2 s− 1 由（Ⅱ）得， C k 不是常数列，故 A k 不是常数列. ② 其次证明：若 n = 2 m ，其中 m  N * ，对任意 A 0 ，都存在正整数k， A k 是常数列. 证明：假设存在 n = 2 m ，其中 m  N * ，使得存在数列 A 0 ，使得对任意的正整数 k ， A k 都不是 常数列，不妨设m 的最小值为m . 0 情形一：m =1，则 0 n = 2 ，记 A 0 : a 1 , a 2 ，则A :aa ,aa 为常数列，矛盾. 1 1 2 1 2 情形二：m 2，对任意的数列A :a,a ,a ,...,a ,a ,a ，则 0 0 1 2 3 n−2 n−1 n A 1 : a 1 a 2 , a 2 a 3 , a 3 a 4 , ..., a n − 2 a n − 1 , a n − 1 a n , a n a 1 ， A 2 : a 1 a 3 , a 2 a 4 , a 3 a 5 , ..., a n − 2 a n , a n − 1 a 1 , a n a 2 . 记 A 0 : 1 , 1 , 2 , 2 , ..., n2 , n2      ， n 定义数列E :,,..., ，F :,,..., ，其中 =2m0−1. 0 1 2 n 0 1 2 n 2 2 2 则 E 1 : 1 2 , 2 3 , ..., n2 1   ,F :,,...,, 1 1 2 2 3 n 1 2 A 2 : 1 2 , 1 2 , 2 3 , 2 3 , ..., n2 1 , n2 1      . 则依此类推，对任意正整数 k ，记E :u ,u ,...,u ，F :v,v ,...,v ， k 1 2 n k 1 2 n 2 2高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页） A 2 k : u 1 , v 1 , u 2 , v 2 , ..., u n2 , v n2 . 存在正整数k ，k ，使得 1 2 E k1 ， F k2 为常数列，记k =max{k ,k }， 0 1 2 则数列 E k0 , F k0 均为常数列，设 A 2 k0 : , , , , ..., ,  ，则 A 2 k0 + 1 的各项均为. 即 k = 2 k 0 + 1 时， A k 是常数列，矛盾. 综上，当且仅当 n = 2 m （mN*）时，对任意A ，都存在正整数k，使得A 为常数列. 0 k