2025北京海淀高三一模数学试题及答案_2025年4月_250413北京市海淀区2025年高三一模（全科）

2025 北京海淀高三一模
数 学
2025.04
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共 40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合
第1页/共5页
U =  x | x  1  , A =  x | x  2  ,则∁ 𝐴 =
𝑈
(A) ( −  , 2 ) (B) ( −  , − 1 ) ( 1 , 2 
(C) ( −  , 2  (D) ( −  , − 1 ) ( 1 , 2 )
(2)在复平面内，复数𝑧 =𝑖2+𝑖3对应的点的坐标为
(A) (1,1) (B) ( 1 , − 1 )
(C) ( − 1 , 1 ) (D) ( − 1 , − 1 )
(3)函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥−1+1(𝑎 >0)的图象一定经过点
(A)(
1,
2) (B)(
1,
1)
2 2
(C) ( 0 , 2 ) (D) ( 0 , 1 )
(4)已知直线 y = a x + b 经过圆𝑥2+𝑦2+2𝑥 =0的圆心，则𝑎2+𝑏的最小值为
1
(A)-1 (B)−
4
(C)0 (D)1
(5)已知四个数𝑎 = lg2+lg5 ,𝑏 =√lg2⋅lg5,𝑐 =lg2,𝑑 =lg5,其中最小的是
2
(A)a (B)b
(C)c (D)d
(6)已知抛物线C：𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝 >0)的焦点为F，点𝑀( 3, 𝑦 )在C上,|MF|=2,则(∣𝑦 ∣=
0 0
2
(A)1 (B)√2
(C)√3 (D)2
(7)已知A₄纸的长宽比约为√2:1.现将一张A₄纸卷成一个圆柱的侧面(无重叠部分).当该圆柱的高等于A₄纸的
长时，设其体积为 V₁，轴截面的面积为𝑆 ;当该圆柱的高等于𝐴 纸的宽时，设其体积为 V₂，轴截面的面积
1 4
为S₂，则
(A)𝑉 =𝑉 ,𝑆 =𝑆 (B)𝑉 ≠𝑉 ,𝑆 =𝑆
1 2 1 2 1 2 1 2
(C)𝑉 =𝑉 ,𝑆 ≠𝑆 (D)𝑉 ≠𝑉 ,𝑆 ≠𝑆
1 2 1 2 1 2 1 2
(8)已知a 是公差为d的等差数列，{b }是公比为q的等比数列.若0<q<1,则“{𝑎 −𝑏 }是递增数列”是“d≥0”
n n 𝑛 𝑛的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9)已知函数𝑦 =√3sin(𝜔𝑥+𝜑)(ω>0) 的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω=
1
(A)1 (B)
2
𝜋
(C)π (D)
2
(10)对于无穷数列
第2页/共5页
 a
n
 和正整数 k ( k  2 ) ,若存在 n
1
, n
2
,   , n
k
满足𝑛 <𝑛 <⋯<𝑛 且 𝑎𝑛1 = 𝑎𝑛2 =⋯=
1 2 𝑘 𝑛1 𝑛2
𝑎𝑛𝑘,则称数列
𝑛𝑘
 a
n
 具有性质 P
k
.下列选项中错误的是
(A)若𝑎 =𝑛2,则数列a 不具有性质P₂
𝑛 n
(B)若𝑎 =𝑛−1+cos(𝑛𝜋),则数列a 具有性质
𝑛 n
P
2 0 2 5
(C)存在数列  a
n
 和 { b
n
} ,使得a 和
n
{ b
n
} 均不具有性质𝑃 ,且{𝑎 +𝑏 }具有性质𝑃
2 𝑛 𝑛 2025
(D)若数列  a
n
 和 { b
n
} 均具有性质 P
2 0 2 5
,则{𝑎 +𝑏 }具有性质
𝑛 𝑛
P
2 0 2 5
第二部分(非选择题共 110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)已知(𝑥−2)4 =𝑎 𝑥4+𝑎 𝑥3+𝑎 𝑥2+𝑎 𝑥+𝑎 ,则𝑎 +𝑎 =___________________.
4 3 2 1 0 4 3
(12)已知双曲线𝑦2
−
𝑥2
=1的一条渐近线的方程为y=2x，则该双曲线的离心率为___________.
𝑎2 𝑏2
(13)已知向量 a = ( 2 , 0 ) , b = 1 ,则 a + b 的最大值为_______________; a + b 与 a 的夹角的取值范围是
___________.
(14)已知函数 f ( x ) =
 2
l o
−
g
x
a
2 ,
1
(
2
x
a

x
1
+
,
3 ) , x  1
( a  0 且 a  1 ) .若 f (x)的值域为(−,2]则a 的一个取值为
___________；若 f (x)的值域为R，则a的取值范围是__________________.
(15)如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮 A和转轮 B组成，B的圆心固定在转轮 A上的点
Q处，某个座椅固定在转轮 B上的点 M处.A的半径为 10米，B的半径为 5米，A的圆心 P距离地面竖直
高度为 20 米.游乐设施运行过程中，A 与 B 分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A 旋转一周用时 π 分
钟，B 旋转一周用时 分钟.当 Q 在 P 正下方且 M 在 Q 正下方时，开始计
2
时，设在第t分钟M距离地面的竖直高度为h(t)米.给出下列四个结论：
𝜋
①ℎ( )=25;
4
②
第3页/共5页
h ( t ) 最大值是35;
③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；
④存在 t
0
( 0 , )   使得𝑡 =𝑡 时M到P的距离等于15米.其中所有正确结论的序号为_____________.
0
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)(本小题13分)
如图，五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形.
(Ⅰ)求证:EF∥CB;
(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=
1
2
EF=1,BF=√2,
求直线DE与平面BCEF所成角的大小.
(17)(本小题13分)
在△𝐴𝐵𝐶中，已知2𝑎sin𝐴 =3√3(1−cos2𝐴),𝑏 =2√6.
(Ⅰ)求sinB的值;
(Ⅱ)若∠𝐵为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△𝐴𝐵𝐶存在且唯一，
求△𝐴𝐵𝐶的面积.
条件①:c=5;
条件②：cos𝐴 = √6 ;
3
条件③：𝑎sin𝐴 =√3.
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分.(18)(本小题14分)
某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备
是否发热与设备状态(完好或损坏)有较强的相关性，从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取 1000 条数
据，整理如下图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修，对单台设备的不同状态，
这三种操作给工厂带来的经济损失如下(单位：千元)：
操作
经济损失 保留观察 停机更换 检查维修
设备状态
完好 0 10 5
损坏 12 5 7
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.
(Ⅰ)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
(Ⅱ)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修.记检查维修这2台设备给工厂带
来的总经济损失为X千元，求X的分布列和数学期望EX；
(Ⅲ)该工厂的某车间现有 2 台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三
种维护这2台设备的操作方案：
发热情况
操作方案 发热 未发热
编号
① 检查维修 保留观察
② 停机更换 检查维修
③ 停机更换 保留观察
直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号.
第4页/共5页(19)(本小题15分)
已知椭圆W：𝑥2
+
𝑦2
=1(𝑎 >𝑏 >0),A，B分别是W的左、右顶点，C是W的上顶点.△𝐴𝐵𝐶的面积为2，
𝑎2 𝑏2
且∣𝐴𝐶 ∣=√5.
(Ⅰ)求椭圆W的方程及长轴长；
(Ⅱ)已知点
第5页/共5页
M ( 2 , 1 ) ,点 P在直线 AC上,设直线 PM与 x轴交于点 E,直线 BP与直线 EC交于点 Q，判断点 Q
是否在椭圆W上，并说明理由.
(20)(本小题15分)
已知函数𝑓(𝑥)=−sin𝑥+𝑘𝑥.
(Ⅰ)若曲线 y = f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线为𝑦 =− 3 𝑥,求k的值；
2
(Ⅱ)若 f (x)为R上的单调函数，求k的取值范围；
(Ⅲ)若函数𝑔(𝑥)= 𝑘 𝑥3+𝑥+sin𝑥,求证：k 可以取无数个值，使得每一个 k 的取值
6
g ( x ) 都恰有三个不同的
零点.
(21)(本小题15分)
设正整数𝑛 ≥2,对于数列𝐴:𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 ,定义变换T，T将数列A变换成数列T(A):aa ,a a ,,a a ,a a .
1 2 𝑛 1 2 2 3 n−1 n n 1
已知数列 A
0
: a
1
, a
2
,   , a
n
满足 a
i
 { − 1 , 1 } ( i = 1 , 2 ,   , n ) .记𝐴 =𝑇(𝐴 ).(k=0,1,2,···)
𝑘+1 𝑘
(Ⅰ)若𝐴 :−1,1,1,写出数列𝐴 ,𝐴 ;
0 1 2
(Ⅱ)若n为奇数且A 不是常数列，求证：对任意正整数k，𝐴 都不是常数列；
0 𝑘
(Ⅲ)求证：当且仅当𝑛 =2𝑚(𝑚 ∈𝑁∗)时，对任意𝐴 ,都存在正整数k，使得𝐴 为常数列.
0 𝑘海淀区 2024—2025 学年第二学期期中练习
2025.04
高三数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）D （3）A （4）B （5）C
（6）C （7）B （8）D （9）D （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（ 11 ）
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）
− 7 （12）
2
5
（13）3， [ 0 ,
π
6
]
（14）
1
2
（答案不唯一，只需满足 0  a  1 ），[2,+) （15）①③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由四边形 A B C D 是正方形，可得 B C / / A D .
又因为 B C  平面ADEF， A D  平面 A D E F ，
所以BC//平面 A D E F .
又因为 B C  平面BCEF，平面 B C E F 平面 A D E F = E F ，
所以BC//EF .
（Ⅱ）由四边形 A B C D 是正方形，可得 A D ⊥ A B .
又因为平面ABCD⊥平面ABF ，
所以AD⊥平面ABF .
所以 A D ⊥ A F .
在△ABF 中，因为 A B = A F = 1 ，BF = 2 ，
所以 A B 2 + A F 2 = B F 2 ，
由勾股定理逆定理得 A B ⊥ A F
如图，建立空间直角坐标系A−xyz，
由已知可得 A ( 0 , 0 , 0 )
z
B
C
A F y
D
，D(1,0,0)，F(0,1,0)，
E
xE(2,1,0)，B(0,0,1)，C(1,0,1).
所以，
高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）
D E = (1 ,1 , 0 ) ， B C = (1 , 0 , 0 ) ， B F = ( 0 ,1 , − 1 ) ，
设平面 B C E F 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) ，则
 B
B
C
F


n
n
=
=
0
0
,
,
所以
 x
y
=
−
0
z
,
= 0 .
取 y = 1 ，得x=0， z = 1 .
所以n=(0,1,1)，
设直线 D F 与平面BCEF所成角为，
则 s in | c o s D E , |
| D
D
E
E
| |
1
2
 =  n  =


n
n |
=
DEn 1
cos DE,n = = .
|DE||n| 2
又因为为锐角，所以
π
6
 = .
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为 c o s 2 A = 1 − 2 s in 2 A ，
故由2asinA=3 3(1−cos2A)可得 2 a s in A = 6 3 s in 2 A ，
因为A(0,)， s in A  0 ，所以
s
a
in A
= 3 3 ，
a b b
在△ABC中，由正弦定理 = ,所以 =3 3,
sinA sinB sinB
因为b=2 6，所以 s in B =
2
3
6
3
=
2
3
2
.
（Ⅱ）选条件②解答如下：
6 3
因为cosA= ，A(0,)，所以sinA= 1−cos2 A= ，
3 3
2 2
因为sinB= ，B为锐角，所以
3
c o s B = 1 − s in 2 B =
1
3
,
又因为 A B C  + + = ，
所以 s in C = s in ( A + B ) = s in A c o s B + c o s A s in B =
3
3

1
3
+
3
6

2
3
2
=
5
9
3
,在△
高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）
A B C
a b c
中，由正弦定理 = = =3 3,
sinA sinB sinC
所以c=3 3sinC=5(或者 a = 3 )
又因为 s in A =
3
3
， b = 2 6
所以△ABC的面积 S =
1
2
b c s in A =
1
2
 2 6  5 
3
3
= 5 2 .
选条件③解答如下：
a
由（Ⅰ）， =3 3，且
sinA
a s in A = 3 ，
3
解得a=3，sinA= ,
3
因为 a = 3  2 6 = b ，所以 A B
2

  ,
所以cosA0， c o s A = 1 − s in 2 A =
3
6
,
2 2
因为sinB= ，
3
 B 为锐角，所以 c o s B  0 ， c o s B = 1 − s in 2 B =
1
3
,
又因为 A B C  + + = ，所以
s in C = s in ( A + B ) = s in A c o s B + c o s A s in B =
3
3

1
3
+
3
6

2
3
2
=
5
9
3
,
所以△ A B C
1 1 5 3
的面积S = absinC= 32 6 =5 2 .
2 2 9
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设“一台设备未出现发热情况时该设备损坏”为事件 A ，
由图可得 P ( A ) =
4 0
4
0
0
+
0
6 0 0
=
2
5
.
（Ⅱ）X 的取值范围为10,12,14，
7
依题意，用频率估计概率，一台设备出现发热情况下损坏的概率为 .
10高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页）
P ( X = 1 0 ) =
1
3
0

1
3
0
=
1
9
0 0
,
P ( X = 1 2 ) = 2 
1
3
0

1
7
0
=
2
5
1
0
,
P ( X = 1 4 ) =
1
7
0

1
7
0
=
1
4
0
9
0
.
X 的分布列为：
X 10 12 14
P
1
9
0 0
2
5
1
0 1
4
0
9
0
9 21 49 64
所以EX =10 +12 +14 = ，
100 50 100 5
（Ⅲ）①
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意，
 a
1
2
2

+
2
b
a
2
 b
=
=
5 ,
2 ,
a=2,
解得
b=1.
所以，椭圆 W ：
x
4
2
+ y 2 = 1 ，其长轴长为 2 a = 4 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，A(−2,0)， B ( 2 , 0 ) ， C ( 0 ,1 ) ，
直线AC 的方程为 y =
1
2
x + 1 .
1
设P(x , x +1)，其中x 0，则
0 2 0 0
① 当x =2时，
0
P M : x = 2 ，E(2,0)与 B 重合，此时 B P 与 E C 的交点Q即点 B ,
所以， Q 在椭圆 W 上.② 当x 2时，
0
直线
高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）
P M : y − 1 =
(
1
2
x
0
x
0
+
−
1 )
2
− 1
 ( x − 2 ) ，即 y =
2 x
x
0
0−
4
x −
2 x
4
0
− 4
.
令 y = 0 得， x =
4
x
0
，即 E (
4
x
0
, 0 ) .
直线 B P ： y =
1
2x
x
0
0
−
+
2
1
( x − 2 ) , 即 y =
2
x 0x
0
+
−
2
4
x − x
x
0
0
+
−
2
2
.
直线EC： y =
1
0
−
−
0
4
x
0
x + 1 , 即 y = −
x
04 x + 1 .
 x
y=− 0 x+1,
  4
联立 解得
x +2 x +2
y= 0 x− 0 .
 2x −4 x −2
0 0

x
y
=
=
x
−
8 x
0
2 +
0
2 x
02
x
0
4
−
+
,
4
4
8x x2 −4
, 即Q( 0 ,− 0 ).
x2 +4 x2 +4
0 0
8x
( 0 )2
x2 +4 x2 −4 16x2 +(x2 −4)2 16x2 +(x4 −8x2 +16)
因为 0 +(− 0 )2 = 0 0 = 0 0 0 =1,
4 x2 +4 (x2 +4)2 x4 +8x2 +16
0 0 0 0
所以， Q 在椭圆 W 上.
综上， Q 在椭圆 W 上.
（20）（本小题15分）
解：（I） f '( x ) = − c o s x + k ，
因为曲线y= f(x)在 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y = −
3
2
x ，
3 1
所以 f '(0)=−1+k =− ， 解得k =− .
2 2
检验： f ( 0 ) = 0 ，故曲线 y = f ( x ) 在 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y = −
3
2
x .…… 4分
（Ⅱ）因为 f(x)为 R 上的单调函数，所以对任意
高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）
x ，有 f '( x )  0 ；或对任意 x ，有 f '(x)0，
即 k  c o s x 恒成立，或 k  c o s x 恒成立，
所以 k 的取值范围是 ( −  , − 1 ] [1 , +  ) .
（Ⅲ）因为g(x)是奇函数，
所以只需证明： k 存在无数个取值使得 g ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上恰有一个零点.
k k
g'(x)= x2 +1+cosx，令h(x)= x2 +1+cosx，
2 2
h '( x ) = k x − s i n x = f ( x ) ，
根据（Ⅱ）， k  − 1 时， h '( x ) 在 ( 0 , +  ) 上是减函数.
所以，任意 x  0 ，h'(x)h'(0)=0， h ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上是减函数.
h ( 0 ) = 2 ， h ( π ) =
k π
2
2
 0 ，故存在 x
0
 ( 0 , π ) ，h(x )=0.
0
x2 x2
{存在其它取点情况，由h(x)− +1+cosx2− 可得
2 2
x  2 时，h(x)0}
当 x 变化时， g '( x ) , g ( x ) 的变化情况如下表：
x 0 (0,x )
0
x
0
( x
0
, +  )
g'(x) 2 + 0 −
g(x) 0 ↑ 极大值 ↓
故 x  ( 0 , x
0
] 时， g ( x )  g ( 0 ) = 0 .
k 1
g(π)= π3+π− π3+π0.
6 6
x3
{存在其它取点情况，x0时，由g(x)− +x+1可得x3时，g(x)0}
6
故存在唯一的x (x ,π)，g(x )=0.
1 0 1于是k −1时，
高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）
g ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上存在唯一的零点.
于是k 存在无数个取值使得 g ( x ) 恰有三个不同的零点.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ） A
1
: − 1 ,1 , − 1 ，A :−1,−1,1.
2
（Ⅱ）证明：设n=2t−1，其中 t  N * .
假设存在正整数 k ，使得 A
k
是常数列，由 A
0
不是常数列，
不妨设A ,A,...,A 不为常数列且A 为常数列，
0 1 k−1 k
记 A
k − 1
: b
1
, b
2
,   , b
2 t− 2
, b
2 t− 1
，则 A
k
: b b1
2
, b
2
b
3
,   , b
2 t− 2
b
2 t− 1
, b
2 t−
b1
1
.
令 b
2 t
= b
1
，b =b
2t+1 2
当 i = 1 ,2 ,    ,2 t − 1 时，因为 b bi
i+ 1
= b
i+
b1
i+ 2
，且 b
i+ 1
 { − 1 ,1 } ，所以 b
i
= b
i+ 2
.
故 b
1
= b
3
= b
5
= = b
2 t− 1
= b
2
= b
4
=    = b
2 t− 2
.
此时A 为常数列，矛盾.
k−1
另法：
① 若 A
k
: 1 ,1 ,   ,1 ,则 b
2
= b
1
， b
3
= b
2
，    ， b
2 t− 1
= b
2 t− 2
， b
1
= b
2 t− 1
，有
b
1
= b
2
=    = b
2 t− 1
，
此时 A
k − 1
为常数列，矛盾.
② 若A :−1,−1,,−1，则bb =bb ==b b =b b =−1，有
k 1 2 2 3 2n−2 2n−1 2n−1 1
( − 1 ) 2 t− 1 = ( b b1
2
) ( b
2
b
3
)    ( b
2 t− 2
b
2 t− 1
) ( b
2 t−
b1
1
) = b
1
2 b 22    b 22
t− 1
= 1 ，
矛盾.
综上，对任意正整数k， A
k
都不是常数列.（Ⅲ）① 首先证明，若
高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）
n = 2 m  ( 2 s − 1 ) ，其中 m  N * ， s  2 ， s  N * ，
则存在 n 项的数列 A
0
，使得对任意的正整数 k ， A
k
都不是常数列.
证明：构造2s−1项的数列C ：c,c ,...,c ，其中
0 1 2 2s−1
c =c ==c =1，
1 2 2s−2
c
2 s− 1
= − 1 .
构造 n 项的数列
A
0
: c
1
, c
2
, ..., c
2 s− 1
, c
1
, , c
2
m 组 2
..., , c 
2 1 s−
, ,..., c c c 1 2 2 1 s−
 , c
1
, c
2
, ..., c
2 s− 1
对任意的正整数 k ，设 C
k
: d
1
, d
2
, ..., d
2 s− 1
，则
A :
k
d
1
, d
2
, ..., d
2 s− 1
, d
1
, d
m 2
2
组
, ..., , d
2 1 s−
, ,..., d d d 1 2 2 1 s−
  , d
1
, d
2
, ..., d
2 s− 1
由（Ⅱ）得， C
k
不是常数列，故 A
k
不是常数列.
② 其次证明：若 n = 2 m ，其中 m  N * ，对任意 A
0
，都存在正整数k， A
k
是常数列.
证明：假设存在 n = 2 m ，其中 m  N * ，使得存在数列 A
0
，使得对任意的正整数 k ， A
k
都不是
常数列，不妨设m 的最小值为m .
0
情形一：m =1，则
0
n = 2 ，记 A
0
: a
1
, a
2
，则A :aa ,aa 为常数列，矛盾.
1 1 2 1 2
情形二：m 2，对任意的数列A :a,a ,a ,...,a ,a ,a ，则
0 0 1 2 3 n−2 n−1 n
A
1
: a
1
a
2
, a
2
a
3
, a
3
a
4
, ..., a
n − 2
a
n − 1
, a
n − 1
a
n
, a
n
a
1
， A
2
: a
1
a
3
, a
2
a
4
, a
3
a
5
, ..., a
n − 2
a
n
, a
n − 1
a
1
, a
n
a
2
.
记 A
0
:
1
,
1
,
2
,
2
, ...,
n2
,
n2
     ，
n
定义数列E :,,..., ，F :,,..., ，其中 =2m0−1.
0 1 2 n 0 1 2 n 2
2 2
则 E
1
:
1 2
,
2 3
, ...,
n2 1
  ,F :,,...,,
1 1 2 2 3 n 1
2
A
2
:
1 2
,
1 2
,
2 3
,
2 3
, ...,
n2 1
,
n2 1
     .
则依此类推，对任意正整数 k ，记E :u ,u ,...,u ，F :v,v ,...,v ，
k 1 2 n k 1 2 n
2 2高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）
A
2 k
: u
1
, v
1
, u
2
, v
2
, ..., u
n2
, v
n2
.
存在正整数k ，k ，使得
1 2
E
k1
， F
k2
为常数列，记k =max{k ,k }，
0 1 2
则数列 E
k0
, F
k0
均为常数列，设 A
2 k0
: , , , , ..., ,  ，则 A
2 k0 + 1
的各项均为.
即 k = 2 k
0
+ 1 时， A
k
是常数列，矛盾.
综上，当且仅当 n = 2 m （mN*）时，对任意A ，都存在正整数k，使得A 为常数列.
0 k