文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市西城区德胜中学 2023-2024 学年度第二学期初三学情调研
数学学科
考试时间：120分钟
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办
公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为 万千米的月球．将384000用科学
记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为整数，
根据科学记数法的表示方法求解即可，解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】 ，
故选：B．
2. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其
中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋
转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对
称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：D．
3. 如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点 ．若 ，则
（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=60°．
故选：D．
【点睛】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键．
4. 有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值等等，正确得到
是解题的关键．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ， ，
∴四个选项中只有D选项的式子正确，符合题意；
故选D．
5. 若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数 a，c的值可
以是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．
利用根的判别式的意义得到 ，然后对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ，
A、若 ，不符合题意；
B、若 ，不符合题意；
C、若 ，符合题意；
D、若 ，不符合题意．
故选：C．
6. 若正 边形的内角和是它的外角和的2倍，则 的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和，根据多边形内角和公式 和多边形外角和为
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，可列方程，再解方程即可．
【详解】解：依题意， ，
解得： ，
故选：A．
7. 小卢在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一
结果的实验可能是（ ）
A. 掷一个正六面体的骰子，出现 点的概率
B. 在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率
C. 从 这 个整数中随机抽取一个整数，它能被 整除的概率
D. 任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，根据统计图可得，实验结果在
附近波动，故概率 ，计算四个选项的概率即可得出答案，解题的关键是掌握概率公式及正确理解频
率估计概率．
【详解】由统计图可得，实验结果在 附近波动，即概率 ，
、掷一个正六面体的骰子，出现 点的概率 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
、在“剪刀石头布”的游戏中，小李随机出“石头”的概率 ；
、从 这 个整数中随机抽取一个整数，它能被 整除的概率 ；
、任意买一张电影票，座位号是偶数的概率 ；
故选： ．
8. 在矩形 中，M，N，P，Q分别为边 上的点（不与端点重合），对于任意矩形
，下面四个结论中，
①存在无数个四边形 是平行四边形；
②存在无数个四边形 是矩形；
③存在无数个四边形 是菱形；
④至少存在一个四边形 是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定
理是解题的关键．根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到
结论．
【详解】解：①如图，∵四边形 是矩形，连接 交于O，
∴ ，
∴ ，
过点O的直线 和 ，分别交 于M，N，P，Q，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 是平行四边形，
故存在无数个四边形 是平行四边形；故①正确；
②如图，当 时，四边形 是矩形，故存在无数个四边形 是矩形；故②正确；
③如图，当 时，存在无数个四边形 是菱形；故③正确；
④当四边形 是正方形时， ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
当四边形 为正方形时，四边形 是正方形，故错误；
故正确结论的序号是①②③．
故选A．
二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9. 若式子 有意义，则实数 的取值范围是_______．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不等于零，即可得出答案，熟
练掌握分式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解： 式子 意义，
，
解得： ，
故答案为： ．
10. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于
要进行二次分解因式．
11. 分式方程 ＝ 的解为_____．
【答案】x＝﹣
【解析】
【分析】去分母，求解整式方程并验根即可．
【详解】解：去分母，得x﹣2＝6x，
移项合并，得5x＝﹣2，
∴x＝﹣ ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
经检验，x＝﹣ 是原方程的解．
故答案 ：为x＝﹣ ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键，并注意得出解后，
要注意检验．
12. 若点 在双曲线 上，则代数式 的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 ，由此求得 的值，然后将其代入所求的代数
式进行求值即可．
【详解】解：∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据题意得出 ，是解答本题的关键．
13. 在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字 ，0，2，3，现从中随机抽取
一张，记下卡片正面上的数字后不放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字之和是
偶数的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表
可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答
案．
【详解】解：列表：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
0 2 3
0
2
3
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数字之和是偶数的结果有： ， ， ，
，共4种，
抽取的两张卡片上的数字之和是偶数的概率为 ．
故答案为： ．
14. 如图, 分别是 的边上 的点， ,若 ,当 时，则
的值为=__________．
【答案】16
【解析】
【分析】证明BE:EC=1:3,得出BE:BC=1:4;证明△DOE∽△AOC,得到 由相似三角形的性质即
可解决问题.
【详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵
∴ =16
故答案是16.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质，找到相似三角形确定相似比是解决
本题的关键.
15. 为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标
表示学生的期中考试成绩，直线 上动点N的纵坐标 表示学生的期末考试成绩，线段 与直
线 的交点为P，则点P的纵坐标 就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的
期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分：②甲同学的期中考试成绩比
乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学
期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是__________．（填写序号）
【答案】②
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】①通过待定系数法求得函数关系式进而求解说明即可；
②根据题意在坐标系中画出对应的图象即可判断；
③可以通过举①的例子求解说明即可．
【详解】解：如图所示：
①中，与 的交点大于75，故错误；
②中，乙与 的交点大于甲与 的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，故正确；
③中，假设某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，图象如图所示的①，
设①的函数关系式为 ，
将（0，70）和（10，80）代入，得：
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴该学生的总评成绩为76分，
若期中成绩占学期总评成绩的60%，则该学生的总评成绩为70×60%＋80×（1－60%）＝74（分），
∵76≠74，
∴③错误；
故答案为：②．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】此题主要考查图象的坐标，画出相应的直线确定交点，即可解，也考查了用待定系数法求一次函
数关系式．
16. 如图，已知点 ，点B、C分别是直线 ， 上的动点，以 为直径作 ，则
周长的最小值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题意得点 的运动轨迹是直线 ，作点 关于这条直线的对称点 ，连接 与直线
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的交点即是 的周长最小值时的点 ，求出 ，再根据两点之间的距离公式即可
求出此时 ，进而求解即可．
【详解】解： ，
，
的周长为 ，
当 取得最小值时， 的周长最小．
为 的直径，
，
点 是直线 上的动点，点 是 上的动点，
点 的运动轨迹为 ．
过点 作直线 的对称点 ，可知点 在直线 上，
连接 ，交直线 于点 ，连接 ，如图．
此时 的最小值即为 ．
直线 与直线 相互平行，且 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
点 的坐标为
∴
∴ 周长的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、圆的性质、对称性，能够找到使 最小时点 的位置是
解答本题的关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26题6分，第27-
28题，每题7分）
17. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】分别根据绝对值的性质、负整数指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实
数混合运算的法则进行计算即可.
【详解】解：
.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟知绝对值的性质、负整数指数幂的计算法则及特殊角的三角函数
值是解答此题的关键．
18. 解不等式组： ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，首先分别解出每个不等式的解集，再找到解集的公共部分，即可得解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为： ．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将 代入，即可求解，
本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
，
当 时， ．
20. 如图，在 中， ， 交于点 ，且 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证：四边形 是矩形；
（2） 的角平分线 交 于点 ，当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出 ，即可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，由角平分线的性质得出 ．由三角函数定义得出 ，
，设 ，则 ，在 中，由三角函数定义得
出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
为矩形；
【小问2详解】
解：过点 作 于点 ，如图所示：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
四边形 是矩形，
，
，
为 的角平分线，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、勾
股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
21. 如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸 分割成大小相等的左、中、右三个小长方形
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出 个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行
两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为 ．已知卡纸的长 ，宽 ，求每个栏目
之间的中缝间距．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键．
设小正方形的边长为 ，根据题意可得 ，求得 ，即每个栏目宽为 ，即
可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为 ，
由图知 ，
即 ，
∴每个栏目的宽为 ．
则
故中缝的宽度为 ．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于x的每一个值，正比例函数 的值大于一次函数 的
值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数解析式求解方法待定系数法，分类讨论等知识．
（1）根据待定系数法得出一次函数的解析式即可；
（2）要求 的取值范围，需分类讨论： 时； 时； 时，分别讨论
即可．
【小问1详解】
一次函数 的图象经过点 ．
把点 代入 ，
可得方程组： ，
解得：
这个一次函数的表达式为： ．
【小问2详解】
当 时，对于x的每一个值，正比例函数 的值大于一次函数 的值，
，
．
①当 时， ，恒成立；
②当 ．
不能满足当 时，对于x的每一个值，正比例函数 的值大于一次函数 的值，
③当 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
时，
恒成立．
的取值范围时： ．
23. 某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别
随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位： ），并对数据（穗长）进行了整理、描
述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
频 频
分组
数 率
4 0.08
9 0.18
n
11 0.22
m 0.20
2
合计 50 1.00
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
c．乙试验田穗长在 这一组的是：
6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
试验 平均 中位 众
方差
田 数 数 数
甲 5.924 5.8 5.8 0.454
乙 5.924 w 6.5 0.608
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中m的值为__________，n的值为__________；
（2）表2中w的值为__________；
（3）在此次考察中，穗长为 的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是__________；
稻穗生长（长度）较稳定的试验田是__________；
A．甲B．乙C．无法推断
（4）若穗长在 范围内的稻穗为“优秀”，请估计甲试验田所有“优秀”的水稻约为______万个．
【答案】（1）10，0.28
（2）6.15 （3）A、A
（4）0.6
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握中位数，方差的定义，
能从图表中读取准确的数据．
（1）用50乘以对应频率可得m的值，先求出 对应的频率，再由频率之和为1可得 的值；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）将5.95甲、乙的中位数比较，再比较两个实验田的方差即可得；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：∵ 这一组对应的频率为0.2，
，
∵ 这一组的频数为2，
∴频率为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为 这组数的第1个与第2个的平均数，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故中位数为： ，
故答案为：6.15；
【小问3详解】
由题意可知，穗长为 的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，
所以穗长排名(从长到短排序)更靠前的试验田是甲，
由题意可知，稻穗生长（长度）甲方差小，故稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，
故答案为：A，A；
【小问4详解】
甲试验田中穗长在 范围内频率为 ，
故甲试验田所有“优秀”的水稻约为 （万个），
故答案为： ．
24. 如图，圆内接四边形 的对角线 交于点E， ．
（1）求证： 平分 ；
（2）过点C作 交 的延长线于点F，若 平分 ，求证： 为 的
切线．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定：
（1）同弧所对的圆周角相等，得到 ，进而推出 即可；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）先证明 ，推出 是正三角形，进而推出 ，得到 是圆的直径，
取 中点O，连接 ，易得 是正三角形，推出 ，即可得证．
【小问1详解】
证明： ，
．
，
，
平分 ．
【小问2详解】
解： 平分 ，
．
，
．
．
是正三角形．
．
为圆内接四边形，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
．
．
是圆的直径．
，
取 中点O，连接
，
是正三角形．
．
．
．
．
为 的切线．
25. 某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和
途中阶段龙舟划行总路程 与时间 的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为 ；途
中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程
与时间 的函数表达式为 ．
（1）求出启航阶段 关于 的函数表达式（写出自变量的取值范围），
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当 时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时， 视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队
完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【答案】（1）
（2）①龙舟划行的总路程为 ；②该龙舟队能达标．
（3）该龙舟队完成训练所需时间为
【解析】
【分析】（1）把 代入 得出 的值，则可得出答案；
（2）①设 ，把 代入，得出 ，求得 ，当 时，求出 ，
则可得出答案；
②把 代入 ，求得 ，则可得出答案；
（3）由（1）可知 ，把 代入 ，求得 ．求出 ，则可
得出答案．
【小问1详解】
把 代入 得 ，
解得 ，
启航阶段总路程 关于时间 的函数表达式为 ；
【小问2详解】
①设 ，把 代入，得 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得 ，
．
当 时， ．
当 时，龙舟划行的总路程为 ．
② ，
把 代入 ，
得 ．
，
该龙舟队能达标．
【小问3详解】
加速期：由（1）可知 ，
把 代入 ，
得 ．
函数表达式为 ，
把 代入 ，
解得 ．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1） ___________，m的取值范围是__________；
（2）点 在抛物线 上，若对于 ，都有
，求m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）将 点代入求出 的值，将点 代入函数解析式，求出 关于 的解析式，求出范围即可；
（2）设抛物线的对称轴为直线 ，根据二次函数的性质，推出 的中点在对称轴
右侧，进而求出 的范围，进而求出 的范围，进一步求出 的取值范围即可．
【小问1详解】
解：把 代入 ，得： ；
把 ，代入解析式，得： ，
，得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为： ； ；
【小问2详解】
设抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ，
∵对于 ，都有 ，
∴ 的中点在对称轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
故 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
27. 在 中， ，点 为平面内一点．
（1）如图1，若点 在线段 上，且 ，求 ；
（2）如图2，若点 为 内部一点，且 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ，
用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明；
（3）若点D满足 ，当 时，请直接写出 的最值．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
（3） 最小值为
【解析】
【分析】（1）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，根据平行线分线段成比例得
出 ，进而根据勾股定理可得 ，进而根据正切的定义，即可求解；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，证明
， ，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）以 为斜边向下作等腰直角三角形， ，以 为圆心， 为半径作圆， 是优弧上的一
点，根据题意得出 在 上，当 在 上时 取得最小值，最小值为 ，即可求解．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问1详解】
解：如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
又
∴
∵在 中， ，
∴
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
∴
【小问2详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵
∴
，
是等腰三角形，
， ，
点 为 中点，
，
在 和 中，
，
， ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
在 和 中，
，
∴ ，
∵
∴ ．
【小问3详解】
解：如图所示，以 为斜边向下作等腰直角三角形， ，
以 为圆心， 为半径作圆， 是优弧上的一点，
∴
∵
∴ 在 上，
∵ 等腰直角三角形， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ,
∴当 在 上时 取得最小值，最小值为 ．
28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ．对于点 ， 给出如下定义：
的
若点 关于直线 对称点为点 ，点 关于直线 的对称点为点 ，则称点 是
点 关于点 的“二称点”．
（1）已知点 ，点 ，点 是点 关于点 的“二称点”，
①如图1，当 时，点 的坐标为__________；
②连接 ，若 所在直线平行于坐标轴时，直接写出此时 的长度；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）已知点 在直线 上，如图 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
对于线段 上（包括端点）任意一点 ，若以 为半径的 上总存在一点 ，使得点 关于点 的
“二称点”在x轴的正半轴上，直接写出符合条件的 的值．（已知
）
【答案】（1）① ，② 或者 ；
（2） ．
【解析】
【分析】（ ） 根据新定义求出点的坐标即可；
分两种情况讨论，再根据特殊三角形的计算即可；
（ ）利用新定义的运算即可求解；分别求得点 与 重合的情形，取得临界值， 关于直线
对称的 与 轴相切，则 也与 轴相切，进而求得直线与 轴的夹角，进而得出
，即可求解．
本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换，垂直平分线的性质，锐角三
角函数，直角三角形的性质，中点坐标及两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
学会利用图形，寻找特殊位置解决问题．
【小问1详解】
∵
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
则 ，
如图所示，
设直线上一点为 ，直线与 轴的夹角为 ，则
∴ ，
∵ 关于 的对称点为 ，则 是等边三角形，则
则
∴点 关于 对称的点 ，
点 关于 对称的点 ，
故答案为：
如图，当点 在 时， 与 重合时，此时 轴，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当 时， ，则
∴
点 关于 对称的点 ，
∴ ；
如图，当 关于原点对称时，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
综上： 的值为 或 ；
【
小问2详解】
解：∵直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
当 时， ，当 时，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
∵点 在直线 上
∴ ，
∵点 关于直线 的对称点为点 ，点 关于直线 的对称点为点 ，
如图所示，当点 与点 重合时， 关于直线 对称的 与 轴相切时符合题意，则
轴，设 交 轴于点 ,设 是直线 在第一象限内一点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ， ， ，
在 中，
∴
∵ ，
∴
∵ 关于直线 对称
∴直线 与 轴的夹角为 ，即
即
解得：
当点 与点 重合时，如图所示，
∵
则 是等边三角形，则
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
设 ，则
∴
∴
∴直线 与 轴的夹角为 ，则
∴ 在线段 上运动，观察函数图象可得 在 ， 点时，总有1个点满足题意，在线段 （不含端
点）上时， , 总有交点，即 上总有一点使得点 关于点 的“二称点”在x轴的正半轴上，
综上所述，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
