2024北京朝阳高三一模数学试题及答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届北京市朝阳区高三一模

2024 北京朝阳高三一模 数 学 2024.4 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集 第1页/共13页 U = { 1 , 2 , 3 , 4 } , A = { x  U | x  2 } ，则 U A = （A）{1} （B） { 1 , 2 } （C）{3,4} （D） { 2 , 3 , 4 } i （2）复数 在复平面内对应的点位于 3+i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）在 △ A B C 中， 3 a = 2 b s in A ，则  B =  （A） （B） 6  6 或   6 （C）  3 （D）  3 或   3 （4）已知aR ，则“ 0  a  1 ”是“函数 f ( x ) = (1 − a ) x 3 在 R 上单调递增”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知直线 x − 3 y + 6 = 0 和圆 x 2 + y 2 = r 2 ( r  0 ) 相交于A,B两点．若 | A B |= 6 ，则r= （A） 2 （B） 2 3 （C） 4 （D） 3 2 （6）已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且a +a =1, a +a =4，则 1 2 3 4 S 6 = （A）9 （B） 1 6 （C） 2 1 （D） 2 5 （7）已知双曲线 C : x a 2 2 − y b 2 2 = 1 ( a  0 , b  0 ) 的右焦点为 F ，过点 F 作垂直于 x 轴的直线 l ，M,N 分别是 l 与双曲线 C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段 F N 的中点，则 C 的渐近线方程为 （A）y=x （B） y =  2 2 x 3 （C）y= x （D） 3 y =  5 5 x （8）在△ABC中，AB= AC =2,BC =2 3，点 P 在线段 B C 上．当 P A  P B 取得最小值时，PA= 3 （A） （B） 2 7 2 3 （C） （D） 4 7 4 （9）在棱长为1的正方体 A B C D − A 1 B C1 1 D 1 中， E , F , G D C 1 1 分别为棱AA 1 ,BC,CC 1 的中 A 1 B 1 G 点，动点H 在平面EFG内，且DH =1．则下列说法正确的是 E C （A）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交 D F A B（B）存在点 第2页/共13页 H ，使得直线 D H ⊥ 平面 E F G （C）直线 B 1 H 与平面 E F G 所成角的大小为 π 3 （D）平面 E F G 被正方体所截得的截面面积为 3 2 3 （10）已知 n 个大于 2的实数 x 1 , x 2 , , x n ，对任意 x i ( i = 1 , 2 , , n ) ，存在 y i ≥ 2 满足y  x ，且 i i x yi i = y xi i ，则 使得 x 1 + x 2 + + x n − 1 ≤ 1 5 x n 成立的最大正整数n为 （A）14 （B）16 （C）21 （D）23 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）在( x −1)6的展开式中，x的系数为________．（用数字作答） （12）已知抛物线 x 2 = 2 p y ( p  0 ) 的焦点为 F ，准线方程为 y = − 1 ，则 p = ________；设 O 为原点，点 M ( x 0 , y 0 ) 在抛物线上，若 | O M |= | F M | ，则 y 0 = ________． （13）已知函数 f ( x ) =  | 5 x − − 1 x , |, x x ≤  2 2 . , 若实数 a , b , c ( a  b  c ) 满足 f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) ，则 a + b = ________； a + b + c 的取值范围是________． （14）已知函数 f ( x ) = 1 2 s in 2 x ．若曲线 y = f ( x ) 在点 A ( x 1 , f ( x 1 ) ) 处的切线与其在点B(x , f(x ))处的切线 2 2 相互垂直，则 x 1 − x 2 的一个取值为________． （15）设 A , B 为两个非空有限集合，定义 J ( A , B ) = 1 − | | A A B B | | ，其中 | S | 表示集合S的元素个数．某学校甲、 乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6 门高中学业水平等级性考试 科目中自主选择 3 门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为 S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ．已知 S ={物理，化学，生物}，S ={地理，物理，化学}， 1 2 S 3 = { 思想政治，历史，地理}，给出下列 四个结论： ①若J(S ,S )=1，则S ={思想政治，历史，生物 2 4 4 } ； ②若J(S ,S )=J(S ,S )，则S ={地理，物理，化学}； 1 2 1 4 4 ③若S ={思想政治，物理，生物}，则J(S ,S )J(S ,S )=J(S ,S )； 4 1 4 2 4 3 4 ④若 J ( S 1 , S 4 )  J ( S 2 , S 4 ) = J ( S 3 , S 4 ) ，则S ={思想政治，地理，化学}． 4 其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知函数 第3页/共13页 f ( x ) A s in ( x ) ( A 0 , 0 , 0 π 2 )     = +     的最小正周期为 π ． （Ⅰ）若 A = 1 , f ( 0 ) = 2 2 ，求的值； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定 f ( x ) 的解析式，并求函数 h ( x ) = f ( x ) − 2 c o s 2 x 的单调递增区间． 条件①： f ( x ) 的最大值为 2 ； 条件②： f ( x ) 的图象关于点 (  1 π 2 , 0 ) 中心对称； 条件③： f ( x ) 的图象经过点 ( 1 π 2 , 3 ) ． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． （17）（本小题14分） 如图，在三棱锥 D − A B C 中，侧面DAC ⊥底面 A B C ， A D = D C , A B = B C ． （Ⅰ）求证： A C ⊥ B D ； （Ⅱ）已知 A B = 5 , A C = 2 , A D = 2 ， F 是线段 B D 上一点，当 A F ⊥ B D 时，求二面角 F − A C − B D F 的余弦值． C B A （18）（本小题13分） 为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市 面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动．对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取 两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分．从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这 10篇论文的评分情况如下表所示． 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 67 82 74.5 2 80 86 83 3 61 76 68.5 4 78 84 815 70 85 77.5 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 （Ⅰ）从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率； （Ⅱ）从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数 记为 第4页/共13页 X ，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）对于序号为 i ( i = 1 , 2 , , 1 0 ) 的论文，设评委甲的评分为 X i ，评委乙的评分为 Y i ，分别记甲、乙 两位评委对这10篇论文评分的平均数为 X , Y ，标准差为 s 甲 , s 乙 1 X −X Y −Y ，以 ( i + i )作为序号为 2 s s 甲 乙 i 的论文的标准化得分．对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序 号为2的论文的两种排名结果是否相同？（结论不要求证明） （19）（本小题15分） 已知椭圆 E : x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  b  0 ) 的离心率为 2 2 ，A,B 分别是 E 的左、右顶点， P 是 E 上异于 A , B 的点， △ A P B 的面积的最大值为 2 2 ． （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，点 N 在直线x=2上， N , P 分别在 x 轴的两侧，且△APB与△NBP的面积相等． （ⅰ）求证：直线 O N 与直线 A P 的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点 P 使得 △ A P B ≌ △ N B P ，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由． （20）（本小题15分） 已知函数 f ( x ) = (1 − a x ) e x ( a  R ) ． （Ⅰ）讨论 f(x)的单调性； （Ⅱ）若关于x的不等式 f(x)a(1−x)无整数解，求 a 的取值范围．（21）（本小题15分） 若有穷自然数数列 第5页/共13页 A : a 1 , a 2 , , a n ( n ≥ 2 ) 满足如下两个性质，则称 A 为 B n 数列： ①a ≥max{a +a ,a +a , ,a +a} (k =2,3, ,n)，其中，max{x,x , ,x }表示x,x , ,x 这s个数 k 1 k−1 2 k−2 k−1 1 1 2 s 1 2 s 中最大的数； ②a ≤min{a +a ,a +a , ,a +a}+1 (k =2,3, ,n)，其中，min{x,x , ,x }表示x,x , ,x 这s个 k 1 k−1 2 k−2 k−1 1 1 2 s 1 2 s 数中最小的数． （Ⅰ）判断A:2,4,6,7,10是否为B 数列，说明理由； 5 （Ⅱ）若A:a ,a , ,a 是 1 2 6 B 6 数列，且 a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，求 a 6 ； （Ⅲ）证明：对任意 B n 数列 A:a ,a , ,a (n≥2) ，存在实数 ，使得 1 2 n a k [ k ] ( k 1 , 2 , , n )  = = ． （[x]表示不超过 x 的最大整数） （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）A （3）D （4）A （5）D （6）C （7）C （8）B （9）C （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 1 （11）15 （12）2 （13）2 [6,7) 2 π （14） （答案不唯一） （15）① ③ 2 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） 解：因为 第6页/共13页 f ( x ) 的最小正周期 T 2 π π  = = ，所以=2． 所以 f ( x ) A s in ( 2 x )  = + ． （Ⅰ）因为 A = 1 ，所以 f ( x ) s in ( 2 x )  = + ． 又 f ( 0 ) s in 2 2  = = ，且 0 π 2    ， 所以 π 4  = ． ............................................................................................................. 5分 （Ⅱ）选条件①②： 因为 f(x)的最大值为2，所以A=2． 因为 f ( x ) 的图象关于点 (  1 π 2 , 0 ) 中心对称， 所以 2 1 π 2 k π ( k )    + =  Z π ，即=kπ− (kZ)． 6 π π 因为0 ，所以= ． 2 6 所以 f ( x ) = 2 s in ( 2 x + π 6 ) ． 所以 h ( x ) = 2 s in ( 2 x + π 6 ) − 2 c o s 2 x = 2 ( 2 3 s in 2 x + 1 2 c o s 2 x ) − 2 c o s 2 x = 3 s in 2 x − c o s 2 x π =2sin(2x− )． 6 π π π 令− +2kπ≤2x− ≤ +2kπ(kZ)， 2 6 2π π 得− +kπ≤x≤ +kπ(kZ)． 6 3 所以 第7页/共13页 h ( x ) π π 的单调递增区间为[− +kπ, +kπ](kZ)． ........................................ 13分 6 3 选条件①③： 因为 f ( x ) 的最大值为2，所以 A = 2 ． 因为函数 f ( x ) π 的图象经过点( , 3)， 12 所以 f ( 1 π 2 ) = 3 ，即 s in ( π 6 ) 2 3  + = ． π 因为0 ，所以 2 π 6 π 6 π 3   +   ． 所以 π 6 π 3  + = π ，即= ． 6 下同选条件①②． .................................................................................................... 13分 选条件②③： 因为 f ( x ) 的图象关于点 (  1 π 2 , 0 ) 中心对称， 所以 2 1 π 2 k π ( k )    + =  Z π ，即=kπ− (kZ)． 6 因为 0 π 2    ，所以 6  =  ． 所以 f ( x ) = A s in ( 2 x + π 6 ) ． 因为函数 f ( x ) π 的图象经过点( , 3)， 12 所以 A s in ( π 6 + π 6 ) = 3 ． 所以 A = 2 ． 下同选条件①②． .................................................................................................... 13分 （17）（共14分） 解：（Ⅰ）取 A C 中点E，连接DE,BE． 因为AD=DC，所以DE ⊥ AC． 又因为 A B = B C ，所以 B E ⊥ A C ． 又因为 B E D E = E ， 所以AC ⊥平面BED． 又BD平面BED， 所以AC ⊥BD． ....................................................................................................... 5分（Ⅱ）因为侧面 第8页/共13页 D A C ⊥ 底面 A B C ，且 D E ⊥ A C ， D E  平面 D A C ， 平面 D A C 平面 A B C = A C ， 所以 D E ⊥ 平面 A B C ． 又 E B  平面 A B C ，所以 D E ⊥ E B ． 又因为 B E ⊥ A C ， 如图，建立空间直角坐标系 E − x y z ． 因 为 AB= 5,AC =2,AD= 2 ， 所 以 DE =1,EB=2． 则 A (1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , C ( − 1 , 0 , 0 ) , D ( 0 , 0 ,1 ) ． 所以AC =(−2,0,0), AD=(−1,0,1), DB=(0,2,−1)． 因为 F 是线段 B D 上一点，设DF =DB([0,1])． 所以 A F A D D F A D D B ( 1 , 2 ,1 )    = + = + = − − ． 因为 A F ⊥ B D ，所以 A F D B 4 (1 ) 0    = − − = ，解得 1 5  = ． 2 4 所以AF =(−1, , )． 5 5 设平面FAC 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，则  n n   A A F C = = 0 0 , ,  2 4 −x+ y+ z=0, 即 5 5  −2x=0, 令 z = 1 ，则 x = 0 , y = − 2 ．于是 n = ( 0 , − 2 ,1 ) ． 因为 E D ⊥ 平面 A B C ，所以平面 A B C 的法向量为ED=(0,0,1)． 所以 c o s  n , E D  = | n n  || E E D D | = 1 5  1 = 5 5 ． 由题知，二面角 F − A C − B 5 为锐角，所以其余弦值为 ． ............................. 14分 5 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）设事件A为“从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5”， 在这 1 0 篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的有2篇， 2 1 所以P(A)= = ． ................................................................................................ 4分 10 5 （Ⅱ）依题意， X 的可能取值为0,1,2． C3 7 P(X =0)= 8 = ， C3 15 10 x A D E z F C B yC1C2 7 P(X =1)= 2 8 = ， C3 15 10 第9页/共13页 P ( X = 2 ) = C 2 C 2 3 C 1 0 18 = 1 1 5 ． 所以X 的分布列为 X 0 1 2 P 7 1 5 7 1 5 1 1 5 所以 X 的数学期望为 E X = 0  1 7 5 + 1  1 7 5 + 2  1 1 5 = 3 5 ． ...................................... 10分 （Ⅲ）相同． ........................................................................................................................ 13分 （19）（共15分） 解：（Ⅰ）由题知 S △ A P B 的最大值为 1 2  2 a  b = a b ， 依题意  a e a b = 2 = = c a 2 b = 2 2 + , 2 2 c 2 , , 解得  a b = = 2 , 2 . 所以 E 的方程为 x 4 2 + y 2 2 = 1 ． ................................................................................ 5分 （Ⅱ）设 N ( 2 , t ) ， P ( x 0 , y 0 ) ( x 0   2 ) ，则 y 0 t  0 ． （ⅰ）由题知 S △ A P B = S △ N B P 1 1 ，所以 |AB|| y |= |BN|(2−x )， 2 0 2 0 4| y | −4y 即|t|= 0 ，故t = 0 ． 2−x 2−x 0 0 设直线ON 的斜率为 k O N ，直线 A P 的斜率为 k A P ， 所以 k O N k A P = t 2  x 0 y 0+ 2 = − 2 2 − y 0x 0  x 0 y 0+ 2 = x 2 20 y − 20 4 = 4 x − 20 − x 204 = − 1 ． 所以直线ON 与直线 A P 的斜率之积为定值−1． （ⅱ）假设存在点 P 使得 △ A P B ≌ △ N B P ， 因为 | A B | | A P | ， | N P | | N B | ，|BP|=|BP|， 所以 | A P |= | N B | ． 由（ⅰ）可知 t = − 2 4 − y 0x 0 = − 2 ( x 0y 0 + 2 ) ． x +2 所以 (x +2)2 + y2 =2| 0 |， 0 0 y 0 4(x +2)2 即(x +2)2 + y2 = 0 ． 0 0 y2 0y4 所以(x +2)2 = 0 ． 0 4− y2 0 又 第10页/共13页 y 20 = 2 − 2 x 02 ，所以 ( x 0 + 2 ) 2 = ( 4 8 − + x 2 20x ) 20 2 ． 所以 ( x 0 + 2 ) 2 = ( 2 + x 08 ) + 2 ( 2 2 x − 20 x 0 ) 2 ， (x +2)4 整理得 0 =0，解得 8+2x2 0 x 0 = − 2 ，与 x 0  − 2 矛盾． 所以不存在点 P 使得 △ A P B ≌ △ N B P ． ..................................................... 15分 （20）（共15分） 解：函数 f ( x ) 的定义域为 ( −  , +  ) ． （Ⅰ）当 a = 0 时， f ( x ) = e x ，则函数 f(x)在区间 ( −  , +  ) 上单调递增． 当 a  0 1−a 时， f(x)=(1−a−ax)ex =−a(x− )ex． a ①若 a  0 ，当 x  1 − a a 1−a 时， f(x)0，函数 f(x)在区间( ,+)上单调递减， a 当 x  1 − a a 时， f ( x )  0 1−a ，函数 f(x)在区间(−, )上单调递增． a ②若 a  0 ，当 x  1 − a a 1−a 时， f(x)0，函数 f(x)在区间( ,+)上单调递增， a 当 x  1 − a a 时， f ( x )  0 1−a ，函数 f(x)在区间(−, )上单调递减． .......... 8分 a （Ⅱ）由 f ( x )  a (1 − x ) 可得 a ( x − x − x e 1 )  1 ． 设函数 h ( x ) = x − x − x e 1 ( x  R ) ex +x−2 ，则h(x)= ． ex 令 t ( x ) = e x + x − 2 ，则 t ( x ) = e x + 1  0 ， 所以函数 t ( x ) 在区间 ( −  , +  ) 上单调递增． 又 t ( 0 ) = − 1  0 ， t (1 ) = e − 1  0 ， 所以函数 t ( x ) 在区间 ( −  , +  ) 上存在唯一零点x (0,1)． 0 所以函数 h ( x ) 在区间 ( −  , x 0 ) 上单调递减，在区间(x ,+)上单调递增． 0 所以当 x ≤ 0 时，h(x)≥h(0)=1，当x≥1时， h ( x ) ≥ h (1 ) = 1 ． ①若 a ≤ 0 ，当 x ≤ 0 时，ah(x)≤01， 此时 a  h ( x )  1 有无穷多个整数解，不符合题意． ②若 a ≥ 1 ，因为函数 h ( x ) 在区间(−,0]上单调递减，在区间[1,+)上单调递增， 1 所以当xZ时，h(x)≥min{h(0),h(1)}=1≥ ． a所以 第11页/共13页 a  h ( x )  1 无整数解，符合题意． ③若0a1，因为 h ( 0 ) = h (1 ) = 1  1 a ， 所以 0 ,1 是 a  h ( x )  1 的两个整数解，不符合题意． 综上， a 的取值范围是 [1 , +  ) ． ............................................................................. 15分 （21）（共15分） 解：（Ⅰ） A : 2 , 4 , 6 , 7 ,1 0 不是 B 5 数列．理由如下： 因为 a 1 + a 3 = 8 , a 2 + a 2 = 8 ， 所以 m a x { a 1 + a 3 , a 2 + a 2 } = 8 ． 但 a 4 = 7  8 ，所以 A 不满足性质①，故不是B 数列． ...................................... 4分 5 （Ⅱ）根据 B 6 数列的定义，可知 A : a 1 , a 2 , , a 6 满足： a 2 = a 1 + a 1 或 a 2 = a 1 + a 1 + 1 ，a =a +a 或 3 1 2 a 3 = a 1 + a 2 + 1 ． （1）若 a 2 = a 1 + a 1 ，因为 a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，所以 a 3 = a a 22 1 = 4 a 1 ． 又因为 a 1  0 ，所以 a 3  a 1 + a 2 ． 当 a 3 = a 1 + a 2 + 1 时，由a =3a +1=4a 得a =1． 3 1 1 1 （2）若 a 2 = a 1 + a 1 + 1 a2 (2a +1)2 ，因为a ,a ,a 成等比数列，所以a = 2 = 1 ． 1 2 3 3 a a 1 1 当 a 3 = a 1 + a 2 时，由 a 3 = 3 a 1 + 1 = ( 2 a 1a + 1 1 ) 2 −3 5 得a = ， 1 2 与 a 1 是自然数矛盾，舍去． 当 a 3 = a 1 + a 2 + 1 时，由 a 3 = 3 a 1 + 2 = ( 2 a 1a + 1 1 ) 2 得a =−1， 1 与 a 1 是自然数矛盾，舍去． 所以 a 1 = 1 ， a 2 = 2 ， a 3 = 4 ． 由 a 1 + a 3 = 5 , a 2 + a 2 = 4 ，以及max{a +a ,a +a }≤a ≤min{a +a ,a +a }+1， 1 3 2 2 4 1 3 2 2 可知 5 ≤ a 4 ≤ 5 ，所以a =5． 4 由 a 1 + a 4 = a 2 + a 3 = 6 ，以及 m a x { a 1 + a 4 , a 2 + a 3 } ≤ a 5 ≤ m in { a 1 + a 4 , a 2 + a 3 } + 1 ， 可知6≤a ≤7． 5 由7≤a +a ≤8,a +a =7,a +a =8， 1 5 2 4 3 3 以及max{a +a ,a +a ,a +a }≤a ≤min{a +a ,a +a ,a +a }+1， 1 5 2 4 3 3 6 1 5 2 4 3 3 可知8≤a ≤8，所以a =8． ................................................................................ 9分 6 6 （Ⅲ）当n=2时，根据B 数列的定义，可知a =2a 或a =2a +1． 2 2 1 2 1若 第12页/共13页 a 2 = 2 a 1 ，取 a 1 0 .1 0  = +  ，则 a 1 [ ] , a 2 [ 2 ]   = = ，结论成立． 若 a 2 = 2 a 1 + 1 ，取 a 1 0 .5 0  = +  ，则 a 1 [ ] , a 2 [ 2 ]   = = ，结论成立． 假设存在自然数 t  2 ，存在 B t 数列使得结论不成立，设这样的t的最小值为 t 0 ， 即存在 B t0 数列 A : a 1 , a 2 , , a t0 ，对任意实数，存在 k  { 1 , 2 , , t 0 } ，使得 a k [ k ]   ． 根据假设，数列A的前 t0 − 1 项a,a , ,a 组成的数列是一个B 数列， 1 2 t0−1 t0−1 从而存在实数，使得a =[k](k =1,2, ,t −1)． k 0 所以 a k k a k 1 ( k 1 , 2 , , t0 1 )  ≤  + = − ， 即 a k k a k k 1 ( k 1 , 2 , , t0 1 )  ≤  + = − ． a a a +1 a +1 令L=max{a, 2 , , t0−1},U =min{a +1, 2 , , t0−1 }，则 1 2 t −1 1 2 t −1 0 0 L U  ≤  ． 令 L * = m a x { L , a t t0 0 } ,U * = m in { U , a t0 t + 0 1 } ，则 L ≤ L * ,U * ≤ U ． （1）若 L * = a t0 t0 ，根据U 的定义，存在 u  { 1 , 2 , , t 0 − 1 } ，使得 U = a u u + 1 ， 又 a t 0 t0 − − u u ≤ L  U = a u u + 1 ， 则 L * = a t0 t0 ≤ a t0 − u + t0 a u + 1 = a t0 ( − u t0 + − ( u a ) u + + u 1 )  a u u + 1 = U ， 且 L * = a t t0 0  a t0 t + 0 1 ，所以L* U*． （2）若L* =L，根据 L a 的定义，存在l{1,2, ,t −1}，使得L= l ， 0 l 又 a ll = L  U ≤ a t − 0 t0 l − + l 1 ， 则 L * = L = a ll  a l l + + ( a t0 ( t 0 − l − + l ) 1 ) = a l + a t0 t 0 − l + 1 ≤ a + t0 t0 1 ， 且 L * = L  U ，所以 L *  U * ． 所以L≤L* U*≤U ． L*+U* 令= ，则L≤L* U*≤U ， 2 即 m a x { a 1 , a 2 2 , , a t0 t0 } m i n { a 1 1 , a 2 2 1 , , a t0 t 0 1 }     + + + ， a a +1 所以 k  k (k =1,2, ,t )． k k 0 所以a ka +1(k =1,2, ,t )，即a =[k](k =1,2, ,t )，与假设矛盾． k k 0 k 0综上，结论成立． .................................................................................................... 15分 第13页/共13页