解析(1)_北京初中期末题_C605-京七八九_B京市数学七八九_北京9上数学_2019-2020_北京市西城区2020届人教版九年级上学期期末考试数学试题Word解析版

2020 年北京市西城区初三期末数学考试逐题解析 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意得选项只 有一个. 1．如图，四边形 ABCD 内接于e O，若∠ADC=80°，则∠ABC 的度数是 A．40° B．80° C．100° D．120° 【答案】C 【解析】根据圆内接四边形对角互补可知，∠ABC+∠ADC=180°.所以， ∠ABC=100°.故 C 正确. 2．在平面直角坐标系中，将抛物线y = x2向右平移 2 个单位长度，向上平移 1 个单位 长度，得到抛物线 2 2 A. y =(x−2) +1 B. y =(x−2) −1 2 2 C. y =(x+ 2) +1 D. y =(x+ 2) −1 【答案】A 【解析】根据二次函数平移口诀“上加下减常数项，左加右减自变量”则可得，抛物 线平移后表达式为 y =(x−2)2 +1.故 A 正确. 3．圆心角是 90°，半径为 20 的扇形的弧长为 A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】B nr 9020 【解析】由弧长公式可得，l = = =10 .故 B 正确. 180 180 14．如图，在△ABC 中，以 C 为中心，将△ABC 顺时针旋转 35°得到△DEC，边 ED， AC 相交于点 F，若∠A=30°，则∠EFC 的度数为 A．60° B．65° C．72.5° D．115° 【答案】B 【解析】由旋转性质可知，∠FCD=35°，∠D=∠A=30°，所以∠EFC=∠FCD+ ∠D=65°.故 B 正确. 5．如图，AB 是e O的直径，弦 CD⊥AB 于 E，若∠ABC＝30°，OE = 3，则 OD 的 长为 A．3 B． 6 C. 2 3 D．2 【答案】C 【解析】由垂径定理可得，AC = AD.所以，∠AOD=2∠ABC=60°.又 Rt△OED 中， OE 1 cos∠AOD= = ，OE= 3，所以，OD=2 3.故 C 正确. OD 2 6．下列关于抛物线 y = x2 +bx−2的说法正确的是 A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2） C．当 b>0 时，抛物线的对称轴在 y 轴右侧 D．对于任意的实数 b，抛物线与 x 轴总有两个公共点 【答案】D 【解析】A 项，二次函数表达式中，a=1>0，开口向上，故 A 错.B 项，x=0 时， y=－2.所以交点坐标是（0，－2），故 B 错.C 项，由二次函数表达式可得对称轴为直 b b 线 x=− ，b>0 时，x=− <0，所以对称轴在 y 轴左侧，故 C 错误.D 项，令 y=0，可得 2 2 2△=b2 +8>0，所以总有 2 个交点，故 D 正确. 1 7．A（− ,y ），B(1,y ) C(4,y ) 三点都在二次函数 y =−(x−2)2 +k 的图象上，则 2 1 2 3 y ,y ,y 的大小关系为 1 2 3 A． y  y  y B． y  y  y 1 2 3 1 3 2 C． y  y  y D． y  y  y 3 1 2 3 2 1 【答案】B 【解析】 由二次函数表达式可得，对称轴为直线 x=2，开口向下，所以，与对称轴距 离越远，y 值越小.结合图象可得， y  y  y .故 B 正确. 1 3 2 8．如图，AB=5，O 是 AB 的中点，P 是以点 O 为圆心，AB 为 直径的半圆上的一个动点（点 P 与点 A，B 可以重合），连接 PA， 过 P 作 PM⊥AB 于点 M.设 AP=x，AP − AM = y，则下列图象 中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 A． B． C． D． 【答案】A x2 【解析】由△APM∽△ABP 可得，AP2 = AM  AB.所以，AM= .所以 y=AP－AM= 5 x2 x－ .即，y 与 x 函数图象为抛物线.故 A 正确. 5 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．函数 y =ax2 +bx+c(0 x3)的图象如图所示，则该函数的最小值是 . 3【答案】－1 【解析】从图象中可以看出抛物线的顶点为(1，-1)，开口向上，所以当横坐标取 1 时， 函数有最小值-1. 10．如图，在△ABC 中，点 D,E 分别在边 AB，AC 上，添加一个条件使得△ADE∽ △ACB，添加的一个条件是 . 【答案】答案不唯一，如：∠AED=∠B 【解析】AED=B，A=A 两个角分别相等，两个三角形相似.本题答案不唯一， AE AD 还可写ADE =C， = 等. AB AC 11．如图，△ABO 三个顶点的坐标分别 A (－2，4)，B (－4，0)，O (0，0)，以原点 O 1 为位似中心 画一个三角形，使它与△ABO 的相似比为 . 2 【答案】答案不唯一；点B'(2，0)与点A'(—1，2)或者点B'(2，0)与点A'(1，—2) 【解析】位似中心为(0，0) 与ABO相似比为 1:2，则其边长为OB OA一半，且顶点分 4别在OB，OA上，或在OB，OA的反向延长线上，所以可确定顶点的坐标. 12．如图，A，B 两点的坐标分别为 A(3，0)，B (0， 3)，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋 转得到线段 BC，若点 C 恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为 °. 【答案】120 【解析】因为OB= 3 OA=3 AOB =90o，所以在RtAOB中，AB2 =OB2 +OA2，所 以AB=2 3.由于AB=2OB，得到BAO =30o，OBA=60o，在RtOBC中，BC =2 3， OB= 3，所以BCO =30o，CBO =60o，所以CBA=120o，则旋转角为120o. 13．在“测量学校教学楼的高度”的教学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量， 如图所示.若a =1 米，a =10 米，h=1.5 米，则这个学校教学楼的高度为 米. 1 2 【答案】15 【解析】由镜面反射法，小三角形与大三角形相似，相似比为 1:10，由于 h=1.5 米， 所以教学楼的高度为 1.510=15 米. 14．我国魏晋时期的数学家刘徽（263 年左右），首创“割圆术”，所谓“割 圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆 周率3.14. 5刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形， 圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为 p R，圆内接正六边形的周长 p =6R，计算 6 =3；圆内接正十二边形的周长 6 2R p p =24Rsin15，计算 6 =3.10；请写出圆内接正二十四边形的周长 p = ， 12 2R 24 计算 . （参考数据：sin150.258，sin750.130） 【答案】48Rsin7.5 ，3.12 【解析】由题意，圆内接正二十四边形的周长P =48Rsin7.5°， 24 P 48Rsin7.5  24 = =24sin7.53.12 2R 2R 15．在关于x的二次函数 y =ax2 +bx+c中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量 x与函数 y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … y =ax2 +bx+c … -3.19 -3.10 -2.71 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.48 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2 +bx+c =0的两个实数根中，其中的一个实 数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）. 【答案】答案不唯一，如：5.9 【解析】根据二次函数的增减性，二次函数与 x 轴其中一个交点的横坐标在 5 和 6 之 间，且更靠近 6（没有达到 6），所以一元二次方程的一个根也就大于 5 小于 6 且更靠 6近 6，所以实数根约为 5.7、5.8、5.9（答案不唯一）. 16．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，E 是边 BC 的中点，点 P 在边 AD 上，设 DP=x，若以点 D 为圆心，DP 为半径的与线段 AE 只有一个公共点，则所有满足条件 的x的取值范围是 . 24 【答案】x= 或5＜x≤6 5 【解析】圆 D 与 AE 只有一个交点，有两种情况：（1）圆 D 与直线 AE 相切，此时设 切点为 F，则△ADF∽△EBA，此时，x=DF= ，因为 AB=4，BE=3，所以 AE=5 24 所以 DF= ;（2）圆 D 与直线 AE 相交，其中一个交点在线段 AE 上，另一个交点不 5 24 在线段 AE 上，当 DE＜x≤AD 时，满足此种情况，所以 5＜x≤6，综上可得，x= 或 5 5＜x≤6. 三、解答题（本题共 68 分） 17．计算 3tan30o +4cos45o −2sin60o. 【答案】 3 2 3 3tan30o+4cos45o−2sin60o=3 +4 −2 =2 2 3 2 2 18．已知二次函数 y = x2 −4x+3. （1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图； （2）利用图象回答：当x取什么值时，y 0. 7【答案】 （1）对称轴是直线x=2，顶点是(2，－1). y = x2 −4x+3的图象，如图： （2）当1 x3时， y 0. 19．如图，在ABC中，AD平分BAC，E是AD上一点，且BE =BD. （1）求证：ABC∽ACD AE （2）若BD=1，CD=2，求 的值. AD 【答案】 （1）证明： AD平分BAC， BAC =CAD. BE = BD BED=BDE. AEB=ADC. ABE∽ACD. （2）解： ABE∽ACD， AE BE  = . AD CD BE = BD=1 CD=2 AE 1  = AD 2 820．如图，在正方形 ABCD中，点E在AB边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F ， 若点F 恰好落在边BC的延长线上，连接DE DF EF （1）判断DEF 的形状，并说明理由； （2）若EF =4 2 则DEF 的面积为 . 【答案】 （1）DEF 是等腰直角三角形； 证明：在正方形ABCD中，DA= DC，ADC =DAB =90o. ∵F 落在边BC的延长线上， ∴DCF =DAB =90o ∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F ∴DE = DF. ∴RtADE≌RtCDF ∴ADE =CDF ∵ADC =ADE +EDC =90o ∴CDF +EDC =90o 即EDF =90o ∴DEF 是等腰直角三角形. （2）DEF 的面积为 8. 21.某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场）. （1）如果有 4 支球队参加比赛，那么共进行_____场比赛； （2）如果全校一共进行 36 场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【答案】 （1）6； （2）设全校如果一共进行 36 场比赛，那么有x 支球队参加比赛. 9x(x−1) 依题意，得 =36. 2 解得 x =9,x =−8 (不合题意，舍去). 1 2 所以x =9. 答：如果全校一共进行 36 场比赛，那么有 9 支球队参加比赛. 22．如图，AB 是⊙O 的直径，PB，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B，C. 连接 PO 交⊙O 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AC. 1 （1）求证：OE = AC 2 （2）若⊙O 的半径为 5，AC=6，求 PB 的长. 【答案】 （1）∵PB，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B，C. ∴PB=PC，∠BPO=∠CPO. ∴PO⊥BC，BE=CE. ∵OB=OA， 1 ∴OE = AC. 2 （2）∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠OBP=90° 1 由（1）可得∠BEO=90°，OE = AC =3. 2 ∴∠OBP=∠BEO=90°. BE PB ∴tan∠BOE= = OE OB 在 Rt△BEO 中，OE=3，OB=5， ∴BE=4. 1020 ∴PB= . 3 1 23．图 1 是一个倾斜角为 a 的斜坡的横截面， tana = ，斜坡顶端 B 与地面的距离 2 BC 为 3 米.为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头 A，喷头 A 喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为 y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头 A 的水平距离为 x （单位：米），y 与 x 之间近似满足函数关系y =ax2 +bx（a，b 是常数，a≠0）.图 2 记录了 y 与 x 的相关数据. （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）斜坡上有一棵高 1.8 米的树，它与喷头 A 的水平距离为 2 米，通过计算判断从 A 喷出的水珠能否越过这棵树. 【答案】 1 （1）解：在 Rt△ABC 中，tana = ，BC=3 2 ∴ AC=6 ∴ 点 B 的坐标为（6，3） ∵ B（6，3）E（4，4）在抛物线y =ax2 +bx上， 62a+6b=3 ∴   42a+4b=4 11 1 a = − 解得  4  b = 2  1 ∴ y 关于 x 的函数关系为 y =− x2 +2x 4 1 （2）当 x=2 时， y =− ×22 +22=3＞1+1.8 4 所以水珠能越过这棵树. 24．如图，四边形 ABCD 内接于 O，∠BAD=90°，AC 是对角线，点 E 在 BC 的延长 线上，且∠CED=∠BAC. （1）判断 DE 与e O 的位置关系，并说明理由； （2）BA 与 CD 的延长线交于点 F，若 DE∥AC，AB=4，AD=2，求 AF 的长 【答案】（1）相切 证明：连接 BD，如图 ∵ 四边形 ABCD 内接于e O，∠BAD=90° ∴ BD 是e O 的直径，即点 O 在 BD 上. ∴ ∠BCD=90° ∴ ∠CED+∠CDE=90° ∵ ∠CED=∠BAC 又∵ ∠BAC=∠BDC ∴ ∠BDC+∠CDE=90°即∠BDE=90° ∴ DE⊥OD 于点 D 12∴ DE 是e O 的切线 （2）如图，BD 与 AC 交于点 H. ∵ DE∥AC ∴ ∠BHC=∠BDE=90° ∴ BD⊥AC ∴ AH=CH ∴ BC=AB=4，CD=AD=2 ∵ ∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F ∴ △FAD∽△FCB AD AF ∴ = CB CF ∴ CF=2AF 设 AF=x，则 DF=CF—CD=2x—2 在 Rt△ADF 中，DF²=AD²+AF² ∴ (2x−2)2 =22 + x2 8 解得x = ,x =0（舍去） 1 3 2 8 ∴ AF = 3 25．下面给出六个函数解析式: 1 1 y = x2 y = 3x2 +1 y =−x2 − x 2 2 y =2x2 −3 x −1 y =−x2 +2 x +1 y =−3x2 − x −4 小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象 和性质，下面是小明的分析和研究过程，请补充完整: （1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如 y =________ ， 13其中 x 为自变量； （2）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，画出了函数y=−x2 +2 x +1的部分图象，用描 点法将这个函数的图象补充完整； （3）对于上面这些函数，下列四个结论： ①函数图象关于 y 轴对称 ②有些函数既有最大值，同时也有最小值 ③存在某个函数，当 x>m (m 为正数)时，y 随 x 的增大而增大，当 x<-m 时，y 随 x 的增 大而减小 ④函数图象与 x 轴公共点的个数只可能是 0 个或 2 个或 4 个 所有正确结论的序号是_______； （4）结合函数图象，解决问题: 若关于 x 的方程−x2 +2 x +1=−x+k有一个实数根为 3，则该方程其它的实数根为 ______. 【答案】 （1）① y =ax2 +b x +c，（a b c 是常数，a  0） （2）图象如图 1 所示. 14图 1 图 2 （3）①③. （4）如图 2，—1，0. 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x2 −2mx−2m−2. （1）若该抛物线与直线 y=2 交于 A，B 两点，点 B 在 y 轴上. 求该抛物线的表达式及点 A 的坐标； （2）横坐标为整点的点称为横整点. ①将（1）中的抛物线在 A，B 两点之间的部分记做G （不含 A，B 两点），直接 1 写出G 上的横整点的坐标； 1 ②抛物线 y = x2 −2mx−2m−2与直线y = −x−2交于 C，D 两点，将抛物线在 C， D 两点之间的部分记作G （不含 C，D 两点），若G 上恰有两个横整点，结合 2 2 函数的图像，求 m 的取值范围. 【答案】（1）抛物线的表达式为y = x2 +4x+2； 点 A 的坐标为（—4，2）. （2）①G 上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）. 1 3 1 ②m的取值范围是—2≤m＜— 或 ＜m≤1. 2 2 【解析】 （1）∵ 抛物线 y = x2 −2mx−2m−2与直线 y=2 交于 A，B 两点，点 B 在 y 轴上， ∴ 点 B 的坐标为（0，2）. 15∴ −2m−2=2. ∴ m=-2. ∴ 抛物线的表达式为 y = x2 +4x+2. ∵ A，B 两点关于直线x=-2对称， ∴ 点 A 的坐标为（-4，2）. （2）①y = x2 +4x+2的图像，如图 1 所示. 图 1 G 上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）. 1 ②对于任意的实数m，抛物线y = x2 −2mx−2m−2与直线y = −x−2总有一个 公共点（-1，-1），不妨记为点 C. 当m≤-1时，若G 上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图 2. 2 3 ∴-2≤m＜- . 2 当m＞-1时，若G 上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为 0，1，如图 3. 2 1 ∴ ＜m≤1. 2 图 2 图 3 3 1 综上，G 上恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤m＜- 或 ＜m≤1. 2 2 2 1627．△ABC 是等边三角形，点 P 在 BC 的延长线上，以 P 为中心，将线段 PC 逆时针旋 转 n°（0＜n＜180）得线段 PQ，连接 AP，BQ． （1）如图 1，若 PC=AC，画出当PQ / /AP时的图形，并写出此时 n 的值； （2）M 为线段 BQ 的中点，连接 PM．写出一个 n 的值，使得对于 BC 延长线上任意一 1 点 P，总有MP = AP，并说明理由． 2 图 1 备用图 【答案】 （1）当 BQ∥AP 时，n=60； （2）n=120. 【解析】 （1）如图 （2）证明：延长 PM 至 N，使得 MN=PM，连接 BN，AN，QN，如图． ∵M 为线段 BQ 的中点， ∴四边形 BNQP 是平行四边形． ∴BN//PQ，BN=PQ． 17∴NBP =60o． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，ABC =ACB =60o． ∴ABN =ACP =120o． ∵以 P 为旋转中心，将线段 PC 逆时针旋转 120°得到线段 PQ， ∴PQ=PC． ∴BN=PC． ∴△ABN≌△ACP． ∴BAN =CAP，AN=AP． ∴NAP =BAC =60o． ∴△ANP 为等边三角形． ∴PN=AP． 1 又MP = PN， 2 1 ∴MP = AP． 2 28．对于给定的△ABC，我们给出如下定义： 若点 M 是边 BC 上的一个定点，且以 M 为圆心的半圆上的所有点都在△ABC 的 内部或边上，则称这样的半圆为 BC 边上的点 M 关于△ABC 的内半圆，并将半径最大 的内半圆称为点 M 关于△ABC 的最大内半圆. 若点 M 是边 BC 上的一个动点（M 不与 BC 重合），则在所有的点 M 关于△ABC 的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为 BC 关于△ABC 的内半圆. （1） 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2， ① 如图 1，点 D 在边 BC 上 且 CD=1，直接写出点 D 关于△ABC 的最大内半圆 的半径长； 18② 如图 2，画出 BC 关于△ABC 的内半圆，并直接写出它的半径长； 图 1 图 2 3 （2） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（3 0），点 P 在直线 y = x 上运动， 3 3 （P 不与 O 重合），将 OE 关于△OEP 的内半圆半径记为 R，当  R 1时，求点 4 P 的横坐标 t 的取值范围． 【答案】 2 （1）① . 2 ②BC 关于△ABC 的内半圆，如图 1， BC 关于△ABC 的内半圆半径为 1. 图 1 3 （3） 过点 E 作 EF⊥OE 与直线y = x交于点 F，设点 M 是 OE 上的动点， 3 i) 当点 P 在线段 OF 上运动时，（P 不与 O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆 是以 M 为圆心，分别与 OP，PE 相切的半圆，如图 2. 3 3 ∴当  R1时，t 的取值范围 t 3. 4 2 19图 2 图 3 ii) 当点 P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心， 经过点 E 且与 OP 相切的半圆，如图 3. ∴当 R=1 时，t 的取值范围是 t≥3. 20