2024北京东城高三一模数学试题及答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届北京市东城区高三一模

2024 北京东城高三一模 数 学 2024.4 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．如图所示， 第1页/共11页 U 是全集， A , B 是 U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A．A B B． A B C． U ( A B ) D． U ( A B ) 2．已知a,bR,ab0，且 a  b ，则（ ） A． 1 a  1 b B．abb2 C． a 3  b 3 D．lg a lg b 3．已知双曲线 x 2 − m y 2 = 1 的离心率为2，则 m = （ ） A．3 B． 1 3 C． − 3 D． − 1 3 4．设函数 f ( x ) = l 1 n x + 1 ，则（ ） 1 A． f (x)+ f   =2 B．  x f ( x ) − f  1 x  = 2 C． f ( x ) f  1 x  = 2 1 D． f (x)=2f    x 5．已知函数 f (x)=tsinx+cosx(0,t 0)的最小正周期为，最大值为 2 ，则函数 f ( x ) 的图 象（ ）     A．关于直线x = − 对称 B．关于点 − ,0 对称 4  4 C．关于直线 第2页/共11页 x 8  = 对称 D．关于点 8 , 0    对称 6．已知 ( x + m ) 4 = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ，若 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 8 1 ，则m的取值可以为（ ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 7．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方 法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆 的直径为 2 0 c m ，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 2 c m 的粘土，然后，沿圆桶母 线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦， 全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近．（参考数据： 3 .1 4   ）（ ） A． 0 .8 m 3 B． 1 . 4 m 3 C． 1 . 8 m 3 D．2.2m3 8．设等差数列  a n  的公差为 d ，则“0a d ”是“ 1  a n n  为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图 1，正三角形 A B D 与以 B D 为直径的半圆拼在一起， C 是 B D 的中点，O为△ABD的中心．现 将△ABD沿 B D 翻折为△ABD，记△ABD的中心为O ，如图 2．设直线 1 1 1 C O 1 与平面 B C D 所成的角为 ，则sin的最大值为（ ） 1 1 A． B． C． 3 2 3 3 6 ， D． 3 10． 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 其 图 像 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 设 函 数 f (x)− f (a) g (x)= (aR)，下列说法正确的是（ ） a x−a A．若 f (x)在R 上单调递增，则存在实数a，使得g (x)在(a,+)上单调递增 aB．对于任意实数 第3页/共11页 a ，若 g a ( x ) 在 ( a , +  ) 上单调递增，则 f ( x ) 在 R 上单调递增 C．对于任意实数 a ，若存在实数 M 1  0 ，使得 f ( x )  M 1 ，则存在实数 M 2  0 ，使得 g a ( x )  M 2 D．若函数 g a ( x ) 满足：当 x  ( a , +  ) 时， g a ( x )  0 ，当 x  ( −  , a ) 时， g a ( x )  0 ，则 f (a)为 f (x)的最小值 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。 1+i 11．若复数z = ，则 z =_______． i 12．设向量 a = ( 1 , m ) .b = ( 3 , − 4 ) ，且zb= a b ，则m=_______． 13．已知角 , 的终边关于直线 y = x 1 对称，且sin(−)= ，则 2 , 的一组取值可以是 = _______， =_______． 14．已知抛物线 C 1 : y 2 = 4 x 的焦点为 F 1 ，则 F 1 的坐标为_______；抛物线C : y2 =8x的焦点为 2 F 2 ，若 直线 y = m ( m  0 ) 分别与 C 1 , C 2 交于 P , Q 两点；且 P F 1 − Q F 2 = 1 ，则 P Q = _______． 15．已知数列  a n  的各项均为正数，满足 a n + 1 = c a 2n + a n ，其中常数 c  R ．给出下列四个判断： ①若 a 1 = 1 , c  0 ，则 a n  n 1 + 1 ( n  2 ) ； ②若 c = − 1 1 ，则a  (n2)； n n+1 ③若 c = 1 , a n  n ( n  2 ) ，则 a 1  1 ； ④a =1，存在实数c，使得 1 a n  n ( n  2 ) ． 其中所有正确判断的序号是_______．三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分） 在 第4页/共11页 △ A B C 中， a c o s C + c c o s A = 2 3 3 b c o s B ． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若 a = 1 2 , D 为 B C 边的中点，且 A D = 3 ，求 b 的值． 17．（本小题13分） 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取 100 人进行一般现代文阅读速度 的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直 方图： （Ⅰ）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （Ⅱ）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取 3人，设这 3人中阅读速度达到 540字/分钟及以上的 人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望 E ( X ) ； （Ⅲ）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693， 723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判 断数学期望 E ( Y ) 与（Ⅱ）中的 E ( X ) 的大小．（结论不要求证明） 18．（本小题14分） 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD为正方形，AB =4,EF =1． （Ⅰ）求证：AB∥EF ； （Ⅱ）若H 为CD的中点，M 为BH 的中点，EM ⊥ BH,EM =2 3，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 第5页/共11页 C F 与平面 A D E 所成角的正弦值． 条件①：ED = EA； 条件②： A E = 5 ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分， 19．（本小题15分）已知函数 f ( x ) = x l n ( x − 1 ) ． （Ⅰ）求曲线 y = f ( x ) 在x =2处的切线方程； （Ⅱ）设 g ( x ) = f  ( x ) ，求函数 g ( x ) 的最小值； （Ⅲ）若 f x ( − x a )  2 ，求实数 a 的值． 20．（本小题15分） x2 y2 2 已知椭圆C: + =1(a b0)的短轴长为2 3，离心率e= ． a2 b2 2 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，直线 l 是圆 x 2 + y 2 = 1 的一条切线，且直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点，若平行 四边形 O M P N 的顶点 P 恰好在椭圆C上，求平行四边形OMPN 的面积． 21．（本小题15分） 有穷数列 a 1 , a 2 , , a n ( n  2 ) 中，令 S(p,q)=a +a + +a ( 1 pqn,p,qN*) ， p p+1 q 当 p = q 时，规定 S ( p , q ) = a p ． （Ⅰ）已知数列−3,2,−1,3，写出所有的有序数对(p,q)，且 p q，使得S(p,q)0； （Ⅱ）已知整数列 a ,a , ,a ,n 为偶数，若 1 2 n S ( i , n − i + 1 )  i = 1 , 2 , , n 2  ，满足：当i 为奇数时， S(i,n−i+1)0；当 i 为偶数时，S(i,n−i+1)0．求 a 1 + a 2 + + a n 的最小值； （Ⅲ）已知数列 a 1 , a 2 , , a n 满足 S(1,n)0 ，定义集合 A =  i S ( i + 1 , n )  0 , i = 1 , 2 , , n − 1  ．若 A=i ,i , ,i ( kN*) 且为非空集合，求证：S(1,n)a +a + +a ． 1 2 k i i i 1 2 2参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）C （3）B （4） A （5）C （6）A （7）B （8）A （9） C （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 4 （11） 2 （12）− （13） 3 第6页/共11页 π 3 π 6   = ， = (答案不唯一) （14） (1 , 0 ) ，2 （15）②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） 解：（Ⅰ）因为 a c o s C + c c o s A = 2 3 3 b c o s B ， 根据正弦定理得 s i n A c o s C + s i n C c o s A = 2 3 3 s i n B c o s B . 所以 s i n ( A + C ) = 2 3 3 s i n B c o s B . 因为 A B C  + + = ，所以 s i n B = s i n ( A + C ) ， 从而得 s i n B = 2 3 3 s i n B c o s B . 又因为 B ( 0 , )   ，所以 s in B  0 ， 所以 c o s B = 2 3  ，可得B= . ........................................5分 6 （Ⅱ）在  A B D 中， A D = 3 ， B D = 1 2 B C = 6 ， B 6  = . 6 3 = 由正弦定理得sinBAD π ， sin 6 所以 s in  B A D = 1 ，  B A D = π 2 . 2π 所以ADC=BAD+B= . 3 在  A D C 中，由余弦定理得 A C 2 = A D 2 + D C 2 − 2 A D  D C c o s 2 3 π 2π =32 +62 −236cos =63. 3 所以b= AC =3 7. ............................13分 （17）（共13分）解:（Ⅰ）由频率分布直方图可得，100 人的样本中阅读速度达到 620 字/分钟及以上的频率为 第7页/共11页 ( 0 .0 0 3 7 5 + 0 .0 0 1 + 0 .0 0 0 2 5 )  8 0 = 0 .4 ，估计该校高二学生阅读速度达到 620 字/分钟及以 上的频率为0.4,故人数的估计值为1500×0.4=600人. ...........4分 （Ⅱ）从该校高二学生中随机抽取1人，则此人阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为 1 − ( 0 .0 0 0 2 5 + 0 .0 0 2 2 5 )  8 0 = 0 .8 . 又 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 由题意可得 X ~ B ( 3 , 0 .8 ) ，则 P ( X = 0 ) = C 03  0 .2 3  0 .8 0 = 0 .0 0 8 ， P(X =1)=C10.220.81 =0.096， 3 P ( X = 2 ) = C 23  0 .2 1  0 .8 2 = 0 .3 8 4 ， P ( X = 3 ) = C 33  0 .2 0  0 .8 3 = 0 .5 1 2 . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0 .0 0 8 0.096 0 .3 8 4 0.512 X 的数学期望为 E X = 3  0 .8 = 2 .4 . .........10分 （Ⅲ）E(X)=E(Y). .........13分 （18）（共14分） 解：（Ⅰ）因为四边形 A B C D 是正方形， 所以 A B / / C D . 又 A B  平 面 C D E F , C D  平 面 C D E F ， 所以 A B / / 平 面 C D E F . 又平面ABFE 平面 C D E F = E F ，AB平面ABFE， 所以AB//EF . ......................................................................................6分 （Ⅱ）选取条件①: E D = E A . 取 A D 的中点 N ， A B 的靠近点 B 的四等分点 P ， 连接 M N , M P , N E ， 因为 N 是 A D 中点，M 是 H B 中点， 所以 M N / / A B ，MP//AD. 因为ED=EA，所以 A D ⊥ N E . 又AD ⊥ NM ，且NM NE = N ， 所以AD⊥平面NME. 又因为ME 平面NME ,所以AD ⊥ ME.又 第8页/共11页 E M ⊥ B H 且 B H 与 A D 是 相 交 线 ，所以ME ⊥平面ABCD. 又 N M , M P  平 面 A B C D , 所以 M E ⊥ N M , M E ⊥ M P . 如图，建立空间直角坐标系M −xyz， 由题意得， A ( 3 , 2 , 0 ) , C ( − 1 , − 2 , 0 ) , D ( 3 , − 2 , 0 ) , F ( 0 , 0 , 2 3 ) , F ( − 1 , 0 , 2 3 ) ， 所以 C F = ( 0 , 2 , 2 3 ) ， D A = ( 0 , 4 , 0 ) ， D E = ( − 3 , 2 , 2 3 ) . 设平面 A D E 的法向量n=(x,y,z)，则  n n   D D A E = = 0 0 , , 即  4 − y 3 = x + 0 , 2 y + 2 3 z = 0 , 令 x = 2 ，则 y = 0 , z = 3 .于是 n = ( 2 , 0 , 3 ) . 设直线 C F 与平面 A D E 所成角为，则 ⎯⎯→ ⎯⎯→ |n  CF | 6 3 7 sin=|cosn,CF|= = = ． ⎯⎯→ |n||CF | 4 7 14 所以 C F 与平面 A D E 所成角的正弦值为 3 1 4 7 . ...................14分 选取条件②: A E = 5 . 在  M A B 中， M B = 1 2 H B = 5 ， A B = 4 ， t a n  M B A = 2 , 则 c o s  M B A = 5 5 , 于是， M A = M B 2 + A B 2 − 2 M B  A B c o s  M B A = 1 3 . 因为 M E = 2 3 , A E = 5 ，于是， A E 2 = M E 2 + A M 2 ，所以ME ⊥ AM . 又 M E ⊥ B H ， B H A M = M 且 B H , A M  平 面 A B C D ， 所以 M E ⊥ 平 面 A B C D . 取AD的中点N ，取AB的靠近点B的四等分点P, 连接 M N , M P ，如图建系, 下同条件①，可得 C F 与平面 A D E 3 7 所成角的正弦值为 . ..................14分 14 （19）（共15分） 解：（Ⅰ） f '( x ) = l n ( x − 1 ) + x x − 1 = l n ( x − 1 ) + x 1 − 1 + 1 ( x  1 ) . 曲线y = f(x)在x=2处的切线的斜率k = f '(2)=2.又因为 第9页/共11页 f ( 2 ) = 0 ，所以切点为(2,0)． 曲线 y = f ( x ) 在 x = 2 处的切线方程为 y = 2 x − 4 . ..................5分 （Ⅱ）设 g ( x ) = f '( x ) = l n ( x − 1 ) + x 1 − 1 + 1 ( x  1 ) , g '( x ) = x 1 − 1 − ( x 1 − 1 ) 2 = ( x x − − 2 1 ) 2 . 当 x 变化时，g'(x)和g(x)的变化如下表： x （1，2） 2 （2，+∞） g '( x ) − 0 + g(x) ↘ 极小值 ↗ 当 x = 2 时， f '( x ) m in = 2 . ..................10分 （Ⅲ）若 a  2 ，则 f 2 ( − 2 ) a = 0 ，不合题意； 若 a = 2 ， 设 ( x ) f ( x ) 2 ( x 2 )  = − − ， 由（II）知， '( x ) f '( x ) 2 0  = −  ， 所以 ( x )  在 (1 , +  ) 上单调递增. 又 ( 2 ) 0  = ，所以 当x(1,2)时， ( x ) 0 ,   (x) x−20, 0, x−2 f x ( − x ) 2  2 ； 当 x  ( 2 , +  ) 时， ( x ) 0 ,   x − 2  0 , x ( x ) 2 0 ,  −  f x ( − x ) 2  2 . 所以 a = 2 符合题意. 综上所述 a = 2 . ..................15分 （20）（共15分） 2b=2 3  c 2 解：（I）由已知可得 = ，解得 a 2  a2 =b2 +c2   a b = = 6 3 ， x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. ................5分 6 3 （II）当直线 l 斜率存在时，设直线l:y=kx+m， m 由直线与圆相切得 =1，化简得m2 =k2 +1. k2 +1 设M(x ,y ),N(x ,y )，则P(x +x ,y + y )， 1 1 2 2 1 2 1 2第10页/共11页  y x = 2 + k x 2 + y 2 m = 6  ( 2 k 2 + 1 ) x 2 + 4 k m x + 2 m 2 − 6 = 0 ， 4km 2m x +x =− ，y + y = . 1 2 2k2 +1 1 2 2k2 +1 4km 2m 因为P（− , ）在椭圆C上， 2k2 +1 2k2 +1 所以  − 2 4 k k 2 m + 1  2 + 2  2 2 k m 2 + 1  2 = 6 ，即 8 k 2 m 2 + 4 m 2 = 3 ( 4 k 4 + 4 k 2 + 1 ) ， 即 8 k 2 ( k 2 + 1 ) + 4 ( k 2 + 1 ) = 1 2 k 4 + 1 2 k 2 + 3 1 ，解得k4 = ， 4 k =  2 2 3 ，m2 =k2 +1= . 2 此时弦长 M N = k 2 + 1 2 k  2 + 1 = 2 6  3 = 3 2 6 ， 因为 O 到直线 l 的距离d =1, 所以平行四边形 O M P N 3 6 的面积S = . 2 当直线l斜率不存在时，不妨设直线 :l x = 1 ，则 M （ 1 , − 1 2 0 ） , （N 1 , 1 2 0 ） ， 所以 P ( 2 ,0 ) 不在椭圆上,不合题意. ........15分 (21)（共15分） 解：（Ⅰ） (1 ， 4 ) ， ( 2 ， 3 ) ， ( 2 ， 4 ) ， ( 3 ， 4 ) . ...........4分 （Ⅱ）由已知得 S ( k ， n − k + 1 ) 与 S ( k + 1 ， n − k ) 异号，其中 k  N *， k  n 2 − 1 . 由于 a k + a n − k + 1 = S ( k ， n − k + 1 ) − S ( k + 1 ， n − k ) = S ( k ， n − k + 1 ) + S ( k + 1 ， n − k )  2 . n 因此 a + a 2，k =1，2，， −1. k n−k+1 2 而 a + a 1, n n +1 2 2 k = 1 ， 2 ， ， n 2 − 1 ,所以 a 1 + a 2 + + a n  n − 1 . 令 n = 2 m .当 m 为奇数时，取 a 1 = a 3 = = a m = 1 ， a 2 = a 4 = = a m − 1 = − 1 ， a m + 3 = a m + 5 = = a 2 m = 1 ， a m + 2 = a m + 4 = = a 2 m − 1 = − 1 ， a m + 1 = 0 时， 有 a 1 + a 2 + + a n = n − 1 . 当 m 为偶数时，取a =a = =a =1，a =a = =a =−1， 1 3 m−1 2 4 m a =a = =a =−1，a =a = =a =1，a =0时， a + a + + a =n−1. m+3 m+5 2m−1 m+2 m+4 2m m+1 1 2 n 综上， a 1 + a 2 + + a n 的最小值为 n − 1 . .............9分 （Ⅲ）对于数列 a 1 ， a 2 ， ， a n ，A={i ，i ， ，i }，不妨设 1 2 k i1  i2   ik . 因此要证：S(1，n)a +a + +a ， i1 i2 ik （1）首先考虑i −i 2(m=1，2， ，k−1)，2i i n−1的情况. m+1 m 1 k由于 第11页/共11页 S ( i1 ， n )  0 , S ( i1 + 1 ， n )  0 ，所以 a i1  0 .同理 a i2  0 , a ik  0 . 由已知 S (1 ， n )  0 ，所以 S (1 ， n )  a i1 + a i2 + + a ik . （2）下面考虑 i1 ， i2 ， ， ik ( i1  2 ) 中有一段是连续的正整数的情况，即 i p − 1  A , iq + 1  A ， im + 1 − im = 1 ， m = p ， p + 1 ， ， q − 1 (1  p  q − 1  k − 1 ) ， 由于 S ( i p ， n ) − S ( iq + 1 ， n ) = a ip + 1 + a ip + 2 + + a iq , 由已知 S ( i p ， n ) − S ( iq + 1 ， n )  0 , 这说明此连续的 q − p 项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负. 再由（1）的结论可得： S (1 ， n )  a i1 + a i2 + + a ik . （2）若在（1）,（2）中i =1,i =2, ,i =m,i +1A，由于 1 2 m m S ( im + 1 ， n )  0 , 此时去掉前 m 项，则可转化为（1）,（2）的情况.所以有 S (1 ， n )  a i1 + a i2 + + a ik . （4）若A={1,2, m}(mn−1),则a +a + +a 0,所以此时有 m+1 m+2 n S (1 ， n )  a i1 + a i2 + + a ik 综上所述，结论成立.............15分