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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市西城区九年级统一测试
数学试卷
考生须知
1.本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作
答．
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 正方体
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据
俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱，
故选：C．
【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果
有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2. 2021年2月27日，由嫦娥五号带回的月球样品（月壤）正式入藏中国国家博物馆，盛
放月球样品的容器整体造型借鉴自国家博物馆馆藏的系列青铜“尊”造型，以体现稳重大
方之感，它的容器整体外部造型高 ，象征地球与月亮的平均间距约 ．
将384400用科学记数法表示应为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：384400=3.844×105．
故选择：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
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C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
图重合．
4. 若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数a，b在数轴上对应点的位置，判断出a，b的符号以及绝对值的大小即
可对选项逐一判断．
【详解】解：由图可知， ，
则 ，
A、∵ ，∴ ，故选项A：a−b＞0错误；
B、∵ ，∴ ，故选项B： 错误；
C、∵ ，∴ ，∴ ，故选项C：
错误；
D、∵ ，故选项D： 正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数
的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
5. 已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是（
）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设多边形的边数为n，由n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和为
360°，根据题意列方程求解．
【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得
（n-2）•180=2×360，
解得n=6，
故选C．
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【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和
是解题关键．
6. 如图， 是 的直径， 是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直
径 两侧），若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平角定义解得 的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一
半解题．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，涉及同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7. 春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪
伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取
7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相
同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】先画树状图（或列表）求出所有等可能结果，她两次都抽到“东风纸鸢”的情况占
几种结果，用这个结果数比以总结果数即得答．
【详解】解：东风纸鸢用a表示，其他六张用1、2、3、4、5、6表示
画树状图得：
∵每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，
共有49种等可能的结果，她两次都抽到“东风纸鸢”有1种情况，
∴她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是： ．
故选择：C．
【点睛】此题考查用列表或画树状图的方法求随机事件概率．用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比，要注意本题是摸出不放回的情况．
8. 风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温
度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了
当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速 的几组对应值，那么当气温为5℃时，
风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（ ）
风速v（单位： ） 0 10 20 30 40
风寒温度T（单位：℃） 5 3 1
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例
函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】利用描点法画出图象解题．
【详解】解：根据表格描点得到下图，
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根据图象可知，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是一次函数，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象，涉及一次函数图象，是基础考点，难度较易，掌握相关知识
是解题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若分式 的值为零，则x的值为_____________．
【答案】3
【解析】
【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0且x+2≠0，
由x-3=0，解得x=3
故答案为3
10. 将一副直角三角板如图摆放，点A落在 边上， ，则 ______ ．
【答案】75°
【解析】
【分析】如图，设AB与EF的交点为G，先根据平行的性质，得到∠AGE=∠F=45°，再
根据外角定理得到∠1=30°+45°=75°．
【详解】如图，设AB与EF的交点为G．
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∵AB//BF
∴∠AGE=∠F=45°（两直线平行，同位角相等）
∴∠1=30°+45°=75°（三角形外角定理）
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角定理，掌握相关的性质是解题的
关键．
11. 比 大的整数中，最小的是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】我们要先确定 在哪两个连续整数之间，再选择比较大的那个整数．
【详解】∵
∴
∴比 大的整数中，最小的是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了无理数值的估算方法，掌握估算方法是解题的关键．
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么∠DAC与∠ACB
的大小关系为：∠DAC_____∠ACB．
【答案】>
【解析】
【分析】由平行线的性质可知∠CAE=∠ACF，由角的大小比较方法可知
∠BCF<∠GCF=∠DAE，进而可得出结论．
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【详解】解：如图，
∵AE//CF，
∴∠CAE=∠ACF，
∵∠BCF<∠GCF=∠DAE，
∵∠DAC=∠CAE+∠DAE，∠ACB=∠ACF+∠BCF，
∴∠DAC>∠ACB，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的大小比较方法，熟练掌握各知识点是解答本题的
关键．
13. 已知方程组 则 的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】把两式相加即可得到结果；
【详解】 ，
①+②得： ，
∴ ；
故答案是2．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
14. 某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了
如下的统计图．
关于这个产品销售情况有以下说法：
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①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值；
②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；
③这15天日销售额的平均值一定超过2万元．
所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据图像信息，可求得第1天到第5天销售额的平均值3.4万，第6天到第10天
的日销售额的平均值4.5万可判断①正确；由第6天到第10天日销售额波动较小，销售额
的方差较小，第11天到第15天日销售额逐天下降，波动较大，销售额的方差较大，可判
断②正确；
销售额超4万有7天，销售额超3万以上4万以下有4天，销售额超2万以上3万以下有3
天，只有第十五天销售额1万，这15天日销售额的平均值约等于 ，可判断③正确．
【详解】解：第一天2万，第二天3万，第三天3.5万，第四天4万，第五天约4.5万. 销
售额的平均值3.4万，
第六天4.5万，第七天4.5万，第八天4.5万，第九天4.5万，第十天约4.5万，销售额的平
均值4.5万
∴①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值正确；
∵第6天到第10天日销售额波动较小，第6天到第10天日销售额的方差较小，
第11天到第15天日销售额逐天下降，波动较大，第11天到第15天日销售额的方差较大，
∴②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差正确；
销售额超4万有7天，销售额超3万以上4万以下有4天，销售额超2万以上3万以下有3
天，只有第十五天销售额1万，
这15天日销售额最低值的平均值约等于 ．
∴③这15天日销售额的平均值一定超过2万元正确．
所有正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查图像信息，平均数，方差，加权平均数，掌握从图像获取信息的方法，
平均数，方差，加权平均数是解题关键．
15. 将二次函数 的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变
量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象
从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“左+右-”法则得到新函数的解析式为 ，根据图象解题即可．
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【详解】解：将二次函数 的图象向右平移3个单位得到一个新函数：
画图如下，
由图象可知，
当 时，
恰好 的图象从左往右上升，而另一个函数 从左往右下降，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
16. 某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，
并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买
的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么
符合要求的一种购买方案是________．
【答案】购买24块彩色地砖，60块单色地砖 或 购买27块彩色地砖，55块单色地砖
【解析】
【分析】设购买x块彩色地砖，购买单色地砖y块，进而由题意得到2x＜y＜3x，再根据总
费用为1500元，且x、y均为正整数，将y用x的代数式表示，然后解一元一次不等式组即
可求解．
【详解】解：设购买x块彩色地砖，购买单色地砖y块，则2x＜y＜3x，
25x+15y=1500，
∴ ，
又已知有： ，
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∴ ，解得 ，
又 为正整数，且 ， ，
∴ =22，23，24，25，26，27；
由(1)式中， 均为正整数，
∴ 必须是3的倍数，
∴ 或 ，
当 时，单色砖的块数为 ；
当 时，单色砖的块数为 ；
故符合要求的购买方案为：购买24块彩色地砖，60块单色地砖 或 购买27块彩色地砖，
55块单色地砖．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，本题的关键点是将单色砖的块数用彩色
砖的块数的代数式表示，进而解不等式组，注意实际问题考虑解为正整数的情况．
三、解答题（本题共68分，第17~21题，每小题5分，第22题6分，第23题5
分，第24~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）
17. 计算： ．
【答案】14
【解析】
【分析】先求锐角三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值化简，再计算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题关键是熟练运用锐角三角函数、负整数指数幂、
二次根式运算法则进行计算．
18. 解不等式组 并求它的整数解．
【答案】 ；整数解为 ，0，1，2
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【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的整数部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
∴原不等式组的解集为
∴该不等式组的整数解为 ，0，1，2.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ；3
【解析】
【分析】利用平方差公式和单项式乘以多项式法则展开，合并同类项，整体代入，计算即
可．
【详解】解： ，
，
，
∵ ，
∴ ．
∴原式 ．
【点睛】本题考查整式乘法化简求值，掌握平方差公式，单项式乘以多项式法则，同类项
以及合并同类项法则，代数式化简求值的方法与步骤是解题关键．
20. 阅读材料并解决问题：
已知：如图， 及内部一点P．
求作：经过点P 线的段 ，使得点E，F分别在射线 ， 上，且 ．
作法：如图．
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①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线 ， 于点M，N；
②连接 ，作线段 的垂直平分线，得到线段 的中点C；
③连接 并在它的延长线上截取 ；
④作射线 ，分别交射线 ， 于点F，E．线段 就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
由②得，线段 _____ （填“＞”，“＝”或“＜”）．
在 和 中，
∴
∴ ．
∴ （______）（填推理的依据）．
又由①得，线段 ．
可得 ．
【答案】（1）见解析；（2）=； ；内错角相等，
两直线平行
【解析】
【分析】（1）根据题目的提示作出图形即可；
（2）连接MN，证明△MCN≌△DCP，利用内错角相等，两直线平行即可证明MN//EF，
从而证明OE=OF．
【详解】解：（1）补全的图形如图1所示．
（2）证明：连接MN．
由②得，线段CN=CP（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在△MCN和△DCP中，
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，
∴△MCN≌△DCP，
∴∠NMC=∠PDC．
∴MN//EF（内错角相等，两直线平行）．
又由①得，线段OM=ON．
可得OE=OF．
故答案为：＝，CN=CP，∠MCN=∠DCP，CM=CD．内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、
等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21. 奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点．小华和
小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）．小
华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分
钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点．求小萱的速度．
【答案】150米/分
【解析】
【分析】我们可以根据他们的速度之间关系假设未知数，假设小萱的速度为x米/分，则小
华的速度为 米/分，再根据两人所用的时间相同，列方程求解．
【详解】解：设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为 米/分．
由题意得
整理，得
解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
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答：小萱的速度为150米/分．
【点睛】本题主要考查了用分式方程解应用题的方法，能根据题意列方程是关键，最后别
忘了检验．
22. 如图，在平行四边形 中，点E在 的延长线上， ．CD的
中点为F， 的中点为G，连接 ， ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知 ． 由三角形中位线性质可知
，即证明 ．再由 即可证明 ，即
四边形 为平行四边形．最后由点F为DC中点，点G为DE中点， ，即
可推出 ，即证明四边形 为菱形．
（2）连接AG，设 与 的交点为O．由菱形的性质可知 ，
再根据题意即可求出 ．设 ，则
．即 ，解出 ，即可求出
．
【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，点E在 的延长线上，
∴ ．
∵ 的中点为F， 的中点为G，
∴ ．
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∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴四边形 为平行四边形．
∵ ．
∴ ．
∴四边形 为菱形．
（2）如图，连接AG，设 与 的交点为O．
∵四边形 为菱形，
∴ ．
∵四边形 为平行四边形， ，
∴ ，
在 中， ．
设 ，则 ，
∴ ．
解得 ．
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、菱形的判定和性质、解直角
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三角形以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于A，B两点，点
A，点B的横坐标 满足 ，直线 与x轴的交点为 ，与y轴的交
点为D．
（1）求b的值；
（2）若 ，求k的值；
（3）当 时，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）3 （2）2
（3） 或
【解析】
【分析】（1）把点 代入直线 ，即可解题；
（2）把 代入，直线 得到点 ，再把点 代入双曲线
中解题即可；
（3）分类讨论 与 两种情况，根据坐标系中中点公式求解．
【小问1详解】
解：把 代入 得 ，
．
【小问2详解】
将 代入 得 ，
点 坐标为 ．
将 代入 得 ，
解得 ．
【小问3详解】
由（1）得一次函数解析式为 ．
直线与 轴交点 的坐标为 ．
如图，当 时，直线与双曲线交点在第一象限，
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当 时点 为 中点，设点 坐标为 ，点 坐标为 ，
，
，
，解得 ，
，
将 代入 中得 ，
点 坐标为 ， ．
越大双曲线越远离坐标轴，
．
当 时，交点 在第二象限，交点 在第四象限，作 ， 垂直于 轴．
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联立方程 ，
解得 ，
，
，
，
当 时， ，
解得 ，
．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、待定
系数法解反比例函数解析式、公式法解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌
握相关知识是解题关键．
24. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续
航里程是人们选择时参考的重要指标，某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程
测试标准（标准M和标准N），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些
厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息：
a．标准M下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，
445，463.2（单位： ）；
b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）；
c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：
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），数据分为 六组（图2）．
不同标准下实测续航里程统计表（单位： ）
标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程
平均
400.5 316.6
数
中位
a b
数
根据信息回答以下问题：
（1）补全图2；
（2）不同标准下实测续航里程统计表中， ______，在 六组数据中，b所在 的组
是______（只填写 中的相应代号即可）；判断a与b的大小关系为a______b（填
“＞”，“＝”或“＜”）．
（3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成
比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例．
晓春打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，
请在图1中圈出实测续航里程不低于 的车型中，符合他要求的车型所对应的点．
【答案】（1）补图见解析；（2）403.7；C；＞；（3）作图见解析．
【解析】
【分析】(1)根据图1和图2，A~F六组数据中 的范围，即可得出结论；
(2) 根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那
个数据即为中位数，即可得出结论；
(3)根据续航里程达成比不低于75%，即可得出结论．
【详解】（1）根据图1和图2 ，A~F六组数据中 的范围，
由数据可得，在C组范围内的有4个数据，在D组范围内的有1个数据
∴补图如图所示:
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（2）根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那
个数据即为中位数，
∴ ，b在300~350之间即C组； ；
（3）∵续航里程达成比为y∶x，
∴画出y=0.75x的直线，再直线上方的点符合要求，如图所示
【点睛】本题主要考查读频率直方图的能力和统计图获取信息的能力，正确读懂题意是解
题的关键．
25. 如图， 为 ，C为 的中点，D为 延长上一点， 与 相切，切点为
A，连接 并延长，交 点E，直线 于点F．
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（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）7
【解析】
【分析】（1）证明：如图，连接OA．由 与 相切，切点为A，OA为 的半径，
可得 ． ．由 ，C为 的中点，
．可得 ． 即可；
（2）如图，连接 ．设 的半径为r．由O为 的中点，C为 的中点， 可得
，可证 AFE∽△DFO，可得 ．
△
． ． ， ， 解得 即
可．
【详解】（1）证明：如图，连接OA．
∵ 与 相切，切点为A，OA为 的半径，
∴ ．
∴ ．
∵ ，C为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
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（2）解：如图3，连接 ．设 的半径为r．
∵O为 中的点，C为 的中点，
∴ ，
∵ ， =90°，
∴ AFE∽△DFO，
△
∴ ．
∵ ，
∴ ，
在 中． ．
在 中， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
化简，得 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
∴ ．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角
形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程，掌握圆的切
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线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角
形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点A，过点
A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若 ，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点 ，如果抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图
象，求a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 或
【解析】
【分析】(1)根据对称轴公式求解即可；
(2)根据AB两点坐标，求出对称轴，即可求出a；
(3)确定点P在AB上，结合图象，根据抛物线与线段 恰有一个公共点，确定P点与B点
的位置即可．
详解】解：(1)根据对称轴公式可得， ；
【
（2）∵抛物线 与y轴的交点为A，
∴点A的坐标为 ．
∵过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为B， ，
∴点B的坐标为 或 ．∴抛物线的对称轴为直线 或 ．
∴ 或 ．
∴抛物线所对应的函数解析式为 或 ．
（3）∵过A所作x轴的平行线与抛物线 的交点为B，
∴点B的纵坐标为1.
∴点B的横坐标是关于x的方程 的解．
解得 ．
∴点B的坐标为 ．又∵点P的坐标为 ，
∴点P在直线 上．
①如图4，当 时， ．
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∴ 在 右侧，且 的y轴上 的上方， 在抛物线
的对称轴右侧．
∵抛物线 与线段 恰有一个公共点，
∴结合图象可得，点P，点B的横坐标 ， 满足 ．
∴ ，解得 ．
②如图5，当 时， ，
∴ 在 左侧，且 的y轴上 的下方， 在抛物线
的对称轴右侧．
∵抛物线 与线段 恰有一个公共点，
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∴结合图象可得，点P，点A的横坐标 满足 ，
∴ ，解得 ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想，结合图象，熟
练运用二次函数相关性质解决问题．
27. 如图，在 中， ．D是 内一点，
．过点B作 交 的延长线于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与 相等的线段并加以
证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE；见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；
（2）如图，根据平行，得到∠1=∠ADC=∠BAC，再根据三角形外角定理得到
， ，从而 ；
（3）通过在 上截取 ，构造 ，再结合平行进一步得到
，从而证明 ， ．
【详解】解：补全图形如图6所示．
（2）证明：如图7，延长 至点F．
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∵ ，点F在 的延长线上，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ，∴ ．
又∵ ，
∴ ．
（3）
证明：如图8，延长 至点F， 在上截取 ，连接
由（2）得 ，又∵
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等
是解决本题的关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的线段 ，给出如下定义：若存在 使得
，则称 为线段 的“等幂三角形”，点R称为线段 的“等幂
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点”．
（1）已知 ．
①在点 中，是线段 的“等幂点”的是
_____________；
②若存在等腰 是线段 的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2）已知点C的坐标为 ，点D在直线 上，记图形M为以点 为
圆心，2为半径的 位于x轴上方的部分，若图形M上存在点E，使得线段 的“等
幂三角形” 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标 的取值范围．
【 答 案 】 （ 1 ） ① ： ② 或 ； （ 2 ） 或
【解析】
【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA2进行比较即可确定线段 的“等幂点”；
②如图，由 是线段OA的“等幂三角形”，可得 ．由点A的坐标为
，若记 中 边上的高为h，可得 ， 求出 ．由
是等腰三角形，点B在线段OA的垂直平分线上即可求点B的坐标为（ ，6）或（
，-6）；
（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半
圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平
行线交于F，求出N(0，-3), H(3，0)，可证 ONH为等腰直角三角形，
∠OHN=∠ONH=45°，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部
△
分运动，在Rt TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2 ，QC=2 ，又因为
△
ECD为锐角三角形，点E在 上运动，点E到CD的距离h的范围是 ，
△
可求h=2CD=2 (x-2)， ； 第二种情况点D在射线CU上，去掉线段
CU部分运动，点E在 上运动，求出GU=GH×cos45°= ，可得 ，
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可求 ，解不等式即可得 ．
【详解】（1）① = ，P 不是线段OA的“等幂点”．
1
= ， P 是线段OA的“等幂点”．
2
= ，P 不是线段OA的“等幂点”．
3
= ， P 是线段OA的“等幂点”．
4
是线段 的“等幂点”的是 ，
故答案为： ：
②如图，∵ 是线段OA的“等幂三角形”，
∴ ．
∵点A的坐标为 ，若记 中 边上的高为h，
则有 ．
解得 ．
∴点B在直线 或 上．
∵ 是等腰三角形，
∴点B在线段OA的垂直平分线上．
OA的垂直平分线为x= ,与直线 或 的交点为B（ ，6），B（ ，-6），
1 2
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综上所述，点B的坐标为（ ，6）或（ ，-6），
（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半
圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，
设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，
当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，
∴ON=3=OH，△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，
点D运动分两种情况，
第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，
∵TC⊥NH，∠OHN =45°，
∴△TCH为等腰直角三角形，
在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2 ，QC=2 ，
又因为△ECD为锐角三角形，
点E在 上运动，
点E到CD的距离h的范围是 ，
CD=CF÷cos45°= CF= (x-2)，
∵线段 的“等幂三角形”，
S = =CD2，
△CDE
∴h=2CD=2 (x-2)，
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∴ ，
解得 ，
点D在H右侧，x>3，
∴ ；
第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在 上运动，
又因为△ECD为锐角三角形，
GU=GH×cos45°= ，
∴ ，
∵线段 的“等幂三角形”，
S = =CD2，
△CDE
∴h=2CD=2 (2-x)，
则 ，
解得 ，
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D的横坐标 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角
形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，
直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难
度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．
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